如何证明极限 不存在(精选多篇)

-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 1 如何证明极限不存在(精选多篇) 证明极限不存在 二元函数的极 限是高等数学中一个很重要的内容,因为 其定义与一元函数极限的定义有所不同, 需要定义域上的点趋于定点时必须以任 意方式趋近,所以与之对应的证明极限不 存在的方法有几种.其中有一种是找一种 含参数的方式趋近,代入二元函数,使之 变为一元函数求极限.若最后的极限值与 参数有关,则说明二重极限不存在.但在 证明这类型的题目时,除了选 y=kx 这种 趋近方式外,许多学生不知该如何选择趋 近方式.本文给出证明一类常见的有理分 式函数极限不存在的一种简单方法.例 1 证明下列极限不存在: limx4y2x6+y6;limx2y2x2y2+2.证明 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 2 一般地,对于选择当沿直线 y=kxy=kx 趋 近于时,有 limx4y2x6+y6=limx0k2x6x6=k21+k 6.显然它随着 k 值的不同而改变,故原极 限不存在.对于若仍然选择以上的趋近方 式,则不能得到证明.实际上,若选择沿抛 物线 y=kx2+x趋近于,则有 l 2 是因为定义域 d=|x 不等于 y吗， 从哪儿入手呢，请高手指点 沿着两条直线 y=2x y=-2x 趋于时 极限分别为-3 和-1/3 不相等 极限存在的定义要求延任何过直 线求极限时极限都相等 所以极限不存在 3 lim 趋向于无穷大/ 证明该极限不存在 lim/ =lim/-8y / =1-lim8/ -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 3 因为不知道 x、y 的大校 所以 lim 趋向于无穷大/ 极限不存在 4 如图用定义证明极限不存在谢 谢! 反证法 若存在实数 l，使 limsin=l， 取 =1/2， 在 x=0 点的任意小的邻域 x 内， 总存在整数 n， 记 x1=1/x，有 sin=1， 记 x2=1/x，有 sin=-1， 使|sin-l| 和|sin-l| 同时成 立。 即|1-l| 这与|1-l|+|-1-l|-|=2 发 生矛盾。 所以，使 limsin=l 成立的实数 l 不存在。 如何证明极限不存在 反证法 若存在实数 l，使 limsin=l， 取 =1/2， -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 4 在 x=0 点的任意小的邻域 x 内， 总存在整数 n， 记 x1=1/x，有 sin=1， 记 x2=1/x，有 sin=-1， 使|sin-l| 和|sin-l| 同时成 立。 即|1-l| 这与|1-l|+|-1-l|-|=2 发 生矛盾。 所以，使 limsin=l 成立的实数 l 不存在。 反证法： 一个数列an 极限存在 ,另一个数 列bn极限不存在 假设两数列之和cn的极限存在， 那么 bn=cn-an 极限也存在 矛盾 所以原命题成立 令 y=x,lim 趋于 xy/x+y =limx /=0 令 y=x -x,lim*b 因此二项式定理 下面用二项式定理计算这一极限： -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 5 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 6 用二项式展开得： -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 7 =1 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 8 +* +*+* * -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 9 由于二项展开式系数项的分子乘 积的最高次项与的次数相同，而系数为 1，因此，最高次项与的相应次方刚好 相约，得 1，低次项与 1/n 的相应次方 相约后，分子剩下常数，而分母总余下 n 的若干次方，当 n-+,得 0。因此总的 结果是当 n-+，二项展开式系数项的 各项分子乘积与的相应项的次方相约， 得 1。余下分母。于是式一化为： -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 10 =1+1+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+1/6!+1/n! 当 n-+时，你可以用计算机， 或笔计算此值。这一数值定义为 e。 证明二重极限不存在 如何判 断二重极限不存在,是二元函数这一节的 难点,在这里笔者对这一问题不打算做详 细的讨论,只是略谈一下在判断二重极限 不存在时,一个值得注意的问题。由二重 极限的定义知,要讨论 limxx0yy0f 不存在,通常的方法是:找几条通过定点 的特殊曲线,如果动点沿这些曲线趋于时,f 趋于不同的值,则可判定二重极限 limxx0yy0f 不存在,这一方法一般人 都能掌握,但是在找一些特殊曲线时,是 有一定技巧的,不过不管找哪条曲线,这 条曲线一定要经过,并且定点是这条曲线 的非孤立点,这一点很容易疏忽大意,特 别是为图方便,对于型如 limxx0yy0fg 的极限,在判断其不存 在时,不少人找的曲线是 f-g=0,这样做就 很容易出错。例如,容易知道 limx0y0x+yx2+y2=0,但是若沿曲线 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 11 x2y-=0时,所得的结论就不同1)。为 什么会出现这种情况呢? 仔细分析一下 就不难得到答案 2 若用沿曲线，一 g=0 趋近于来讨 论，一 0g，y。 。可能会出现错误，只有 证明了不是孤立点后才不会出错。 o13a1673-38780l_0l02_02 如何判断二 重极限不存在。是二元函数这一节的难 点，在这里笔者对这一问题不打算做详 细的讨论。只是略谈一下在判断二重极 限不存在时。一个值得注意的问题。由 二重极限的定义知，要讨论 limf 不存在， 通常 x10yy0 的方法是：找几 条通过定点的特殊曲线，如果动点沿这 些曲线趋于时，f 趋于不同的值，则可 判定二重极限 limf 不存在，这一方 i 10ry0 法一般人都能掌握，但是在 找一些特殊曲线时，是有一定技巧的， 不过不管找哪条曲线，这条曲线一定要 经过，并且定点是这条曲线的非孤立点， -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 12 这一点很容易疏忽大意，特别是为图方 便，对于型如 2 的极限，在判卜 iogx，yyy0 断其不存在时，不少人 找的曲线是 f 一 g：0，这样做就很容易 出错。 3 当沿曲线 y=-x+x 趋于时，极限 为 lim/x =-1; 当沿直线 y=x 趋于时，极限为 limx /2x=0。故极限不存在。 4 x-y+x +y f= x+y 它的累次极限存在： x-y+x +y limlim=-1 y-0x-0x+y x-y+x +y limlim=1 x-0y-0x+y 当沿斜率不同的直线 y=mx,-时， -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 13 易证极限不同，所以它的二重极限不存 在。 不如何证明极限不存在 一、归结原则 原理:设 f 在 u0 内有定义，limf 存在的充要条件是：对任何含于 x?x0 u 且以 x0 为极限的数列?xn?极限 limf 都存在且相等。 n? 例如：证明极限 limsin x?0 1x 不存在 12n? 证：设 xn? 1n? ?,xn? ? 2 ，则显然有 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 14 xn?0,xn?0，si 由归结原则即得结 论。 ? ?0?0,si?1?1?xnxn 二、左右极限法 原理：判断当 x?x0 时的极限， 只要考察左、右极限，如果两者相等， 则极限存在，否则极限不存在。例如： 证明 f?arctan 当 x ?0 时的极限不存在。 1x)? 1x )? ? 2 x=0，limarctan?lim?arctan， 所以当 x?0 时，arctan 的极限不 存在。 三、证明 x?时的极限不存在 原理：判断当 x? -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 15 ? 时的极限，只要考察 x?与 x? 时的极限，如果两者 相等，则极限存在，否则极限不 存在。例如：证明 f?ex 在 x? x? ? 时的极限不存在 x? x? xxxx 因为 lime?0，lime?；因此， lime?lime x? 所以当 x? 四、柯西准则 ? 时，ex 的极限不存在。 0 原理：设 f 在 u 内有定义，limf 存在的充要条件是：任给? x?x0 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 16 ?0 ，存 在正数? ，使得对任何 x?,x?u0，使得 f?f?0。 例如：在方法 一的例题中，取?0?1，对任何?0，设正 数 n? x?1 n?,x?1 n?1?，令? 2 即证。 五、定义法 原理：设函数 f 在一个形如的区 间中有定义，对任何 a?r，如果存在 ?0?0，使对任何 x?0 都存在 x0?x, 使得 f?a?0,则 f 在 x? x?时没有极限。 例如：证明 limcosx 不存在 设函数 f?cosx，f 在中有定义， 对任何 a?r，不妨设 a?取?0?120,，于是 对任何?0，取?0?0 反证法 数学归纳法 极限证明 1.设 f 在上无穷次可微，且 f?， -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 17 求证当 k?n?1 时，?x， limf?0 x? 2.设 f?0sinntdt，求证：当 n 为 奇数时，f 是以 2?为周期的周期函数； 当 n 为 偶数时 f 是一线性函数与一以 2? 为周期的周期函数之和 x f?0 ?xn?3.设 f 在上无穷次可 微；ff?0xlim 求证：n?1，? ?n，0?xn?xn?1 ，使 f?0 sin)?1 求证 limf 存在 4.设 f 在上连续，且 xlim?x? 5.设 a?0,x1?2?a,xn?1?2?xn,n?1,2?, 证明权限 limn?xn 存在并求极限值。 6.设 xn?0,n?1,2,?.证明：若 limxn?1?x,则 limxn?x. n?xn?n 7.用肯定语气叙述： limx?f?x?. 8.a1?1,an?1?1,求证：ai 有极限存 在。 an?1 t?x9.设函数 f 定义在?a,b?上，如 果对每点 x?a,b?,极限 limf?t?存在且有 限。证明：函数 f 在?a,b?上有界。 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 18 10.设 limn?an?a,证明： lima1?2a2?nana?. n?2n2 11.叙述数列?an?发散的定义，并 证明数列?cosn?发散。 12.证明：若? af?x?dx 收敛且 limx?f?x?， 则?0. 11?an?收敛。?,n?1,2,?.求证： 22an?1an13.a?0,b?0.a1?a,a2?b,an?2?2? n 14.证明公式?k?11k?2n?c?n ，其 中 c 是与 n 无关的常数，limn?n?0. 15.设 f?x?在上连续，且 f?0, 记 fvn?f,?n? ?exp b?a ，试证明：n 1b lnfdx并利用上述等式证明下?ab?a 式 2? -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 19 ? 2? lndx?2lnr f?f ?k b?a 34.设 f?k,试证明 lim a?0?b?0? 35.设 f 连续，?0fdt，且 lim x?0 论? 在 x?0 处的连续性。 f ，求?，并讨?a x 36 给出 riemann 积分?afdx 的 定义，并确定实数 s 的范围使下列极限 收敛 i1 lim?s。 n?ni?0n ?x322 ,x?y?0?2 37.定义函数 f?x?x?y2. 证明 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 20 f?x?在?0,0?处连续但不可微。 ?0,x?y?0? n?1 b 38.设 f 是?0,?上有界连续函数， 并设 r1,r2,?是任意给定的无穷正实数列， 试证存在无穷正实数列 x1,x2,?,使得： limn?f?xn?rn?f?xn?0. 39.设函数 f?x?在 x?0 连续，且 limx?0 f?2x?f?x?a,求证：f?0?存在且 等于 a. x 1n 40.无穷数列?an?,bn?满足 limn?an?a,limn?bn?b,证明:lim?aibn?1- i?ab. n?ni?1 41.设 f 是?0,?上具有二阶连续导 数的正函数，且 f?x?0,f有界，则 limt?f?t?0 42.用?分析定义证明 limt?1 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 21 x?31 ? x2?92 43.证明下列各题 ?1?设 an?0,1?，n?1,2,?,试证明级 数?2nann?1?an?n 收敛； n?1 ? ?2?设?an?为单调递减的正项数列， 级数?n2014an 收敛，试证明 limn2014an?0; n? n?1 ? ?3?设 f?x?在 x?0 附近有定义，试 证明权限 limx?0f?x?存在的充要条件是： 对任何趋于 0 的数列?xn?,yn?都有 limn?f?xn?f?yn?0. ?1?44.设?an?为单调递减数列的 正项数列，级数?anln?1?an?0?收敛， 试证明 limn?n?n?1? a?1。 45.设 an?0，n=1,2 ， an?a?0,证 limn -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅