向量证明重心 (精选多篇)

-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 1 向量证明重心( 精选多篇) 向量证明重心 三角形 abc 中， 重心为 o，ad 是 bc 边上的中线，用向 量法证明 ao=2od .ab=12b，ac=12c。ad 是中线则 ab+ac=2ad 即 12b+12c=2ad，ad=6b+6c;bd=6c- 6b。od=xad=6xb+6xx。.e 是 ac 中点。 作 df/be 则 ef=ec/2=ac/4=3c。平行线分 线段成比 od/ad=ef/af 即 /=3c/9c，x/=1/3，3x=1。.od=2b+2c，ao =ad-od=4b+4c=2=2od。 2 设 bc 中点为 mpa+pb+pc=0pa+2pm=0pa=2mp -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 2 p 为三角形 abc 的重心。上来步步可 逆、p 是三角形 abc 重心的充要条件 是 pa+pb+pc=0 3 如何用向量证明三角形的重心将 中线分为 2：1 设三角形 abc 的三条中线分别为 ad、be、cf ，求证 ad、be、cf 交于一点 o，且 ao：od=bo：oe=co：of=2 ：1 证明：用归一法 不妨设 ad 与 be 交于点 o，向量 ba=a,bc=b,则 ca=ba-bc=a-b 因为 be 是中线，所以 be=/2,向量 bo 与向量 be 共线，故设 bo=xbe= 同理设 ao=yad=y/2=-ya+b 在三角形 abo 中， ao=bo-ba 所以-ya+b=-a=a+b 因为向量 a 和 b 线性无关，所以 -y=x/2-1 y/2=x/2 解得 x=y=2/3 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 3 所以 a0：ad=bo：be=2 ：3 故 ao： od=bo：oe=2:1 设 ad 与 cf 交于 o,同理有 ao： od=co:of=2:1 所以有 ao:od=ao:od=2:1,注意到 o 和 o都在 ad 上，因此 o=o 因此有 ao：od=bo ：oe=co:of=2:1 证毕! 4 设三角形 abc 的顶点 a,b,c 的坐标 分别为,，证明：三角形 abc 的重心 m 的坐标满足： x=x1+x2+x3/3y=y1+y2+y3/3 设:ab 的中点为 d.dx=/2，又 m 为三角形的重心,cd=3md,x3- /2=3=x=/3 同理:y=/3 5 如图。设 ab=a，ac=b,ad=/2,ao=tab=ta/2+tb/2. be=b/2-a.ao=a+sbe=a+sb/2. t/2=1-s,t/2=s/2.消去 s.t=2/3.ao=ab.od=ab,ao=2od. -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 4 如何用向量证明三角形的重心将 中线分为 2：1 设三角形 abc 的三条中线分别为 ad、be、cf ，求证 ad、be、cf 交于一点 o，且 ao：od=bo：oe=co：of=2 ：1 证明：用归一法 不妨设 ad 与 be 交于点 o，向量 ba=a,bc=b,则 ca=ba-bc=a-b 因为 be 是中线，所以 be=/2,向量 bo 与向量 be 共线，故设 bo=xbe= 同理设 ao=yad=y/2=-ya+b 在三角形 abo 中， ao=bo-ba 所以-ya+b=-a=a+b 因为向量 a 和 b 线性无关，所以 -y=x/2-1 y/2=x/2 解得 x=y=2/3 所以 a0：ad=bo：be=2 ：3 故 ao： od=bo：oe=2:1 设 ad 与 cf 交于 o,同理有 ao： od=co:of=2:1 所以有 ao:od=ao:od=2:1,注意到 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 5 o 和 o都在 ad 上，因此 o=o 因此有 ao：od=bo ：oe=co:of=2:1 证毕! 向量与三角形的重心 ?例 1 已知 a，b，c 是不共线的三点，g 是abc 内一点，若 ga?gb?gc?0求 证：g 是abc 的重心 ?证明： 如图 1 所示，因为 ga?gb?gc?0，所以 ga? ?以 gb，gc 为邻边作平行四边形 bgcd，则有 gd?gb?gc， ?所以 gd?ga ?又因为在平行四边形 bgcd 中，bc 交 gd 于点 e，所以 be?ec， ?ge?ed 所以 ae 是abc 的边 bc 的中线，且 ga?2ge 故 g 是abc 的重心 点评：解此题要联系重心的性 质和向量加法的意义；把平面几何知 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 6 识和向量知识结合起来解决问题是解此 类问题的常用方法 变式引申：已知 d，e，f 分别为 abc 的边 bc，ac，ab 的中点求证： ?ad?be?cf?0 证明：如图 2 的所示， ? ?ad?ac?cd?2ad?ac?ab? cd?bd，即 2ad?ac?ab ad?ab?bd? ?同理 2be?ba?bc，2cf?ca?cb ?2af?a?c ?0?c?f?ad?be ?ab?ba?b0c? ca?cb? 点评：该例考查了三角形法则和 向量的加法 例 2 如图 3 所示，abc 的重心 为 g，o 为坐标原点， ?oa?a，ob?b，oc?c，试 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 7 用 a，b，c 表示 og 解：设 ag 交 bc 于点 m，则 m 是 bc 的中点， ?b?aab?ac?bc?c?b则， c?a， ?1?1?1?am?abb?c?a? 222 ?21?aga 33 ?11 故 og?oa?ag?a? 33 点评：重心问题是三角形的一个 重要知识点，充分利用重心性质及向量 加、减运算的几何意义是解决此类题的 关键 变式引申：如图 4，平行四边形 abcd 的中心为 o， ?1?p 为该平面 上任意一点，则 po? 4 ?p o?pa?ao，po?pb?bo，po?pc?co，证法 1： -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 8 ?po?pd?do， ?p?bp?c pd?4po?pa，? ?1? 即 po? 4 ?1?1?证法 2：?po?，po?， 22 ?1?po? 4 点评：证法 1 运用了向量加法的 三角形法则，证法 2 运用了向量加法的 平行四边形法则 ?若 p 与 o 重合， 则上式变为 oa?ob?oc?od?0 三角形重心向量性质的引申及应 用 新化县第三中学肖雪晖 平面向量是高中数学实验教材中 新增的一章内容加入向量，一些传统 的中学数学内容和问题就有了新的内 涵在数学教学中引导学生积极探索向 量在中学数学中各方面的应用，不仅可 深人了解数学教材中新增内容和传统内 容的内部联系，构建合理的数学知识结 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 9 构，而且有利于拓展学生的想像力，激 发创新活力，显现出向量作为一个工具 在数学中的重要性下面就向量与三角 形的重心关系加以引申和应用 三角形重心向量形式的充要条件： 设 o 为?abc 所在平面上一点，o 为?abc 的重 ?心?oa?ob?oc?0 证明：先证必要性： ?如图 1 以 ob,oc 为邻边作平行四边形 obdc,则 od?ob?oc. ?又 oa?ob?oc?0，则 ob?oc?oa，所以?oa?od, o 为 ad 的中点，且 a、o、d 共线. 又 e 为 od 的中点, 因此，o 是中 线 ae 的三等分点，且 oa?2ae 3 即 o 为?abc 的重心. 再证充分性:设 bo、oc 与 ac、ab 分别交于 f、g 点，则由三角形的中线 公式可得， ?ae?bf?cg?0 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 10 ?2?2?2?又 o 为?abc 的重心，得 ao?ae,bo?bf,co?cg 333 ?所以 oa?ob?oc?0 引申 1 若 o 为?abc 内任一点，则 有 ?s?oab.oc?s?obc.oa?s?oac.ob?0 ?证明： 如图 2,设 oa1?1oa,ob1?2ob,oc1?3oc, ?且 o 为?abc 的重心， 则?1oa?2ob?3oc?0 且 s?aob?s?boc?s?aoc,记为 s,那么， s?oab s1oa?obsin?aob1?.?12oa1?ob1sin?aob2 s 即 s? aob?1?2. 同理可得 s?obc?s ?2?3，s?oac?s?1?3. -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 11 ?所以 ? 1:?2:?3?s?obc:s?oac:s?oab.则 s?oab.oc?s?obc.oa?s?oac.ob?0 引申 2 如图 3,已知点 g 是?abc 的 重心，过 g 作直线与 ab、 ac 两边分别 交于 m、n ?11 两点， 且 am?xab,an?yac,则?3 xy ?证明：点 g 是?abc 的重心，知 ga?gb?gc?0, ?1?得? ag?0 有 ag? 3 又 m、n、g 三点共线,于是存在?,?， 使得 ?1?ag? am?an),有 ag?xab?yac? 3 ?111?3 得? 于是得 1xy?x?y?3?运用引申 1、引申 2 可以 解决许多数学问题，使解题过程简单。 例 1. 设设 o 为?abc 所在平面上 一点，角 a、 b、c 所对边长分别为 a,b,c -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 12 则 o 为?abc ?的内心的充要条件 为：aoa?bob?coc?0 证明：必要性，由 o 为?abc 的内 心，得 o 到?abc 三边的距离相等，记为 r, 则 s?oab?111111ab?r?cr,s?obc?bc?r?ar,s?oac?a c?r?br, 222222 所以 s?oab:s?obc:s?oac?c:a:b ?由引 申 1 得 s?oab?oc?s?obc?oas?oac?ob?0， 即 aoa?bob?coc?0 ?充分 性：由 aoa?bob?coc?0 及 s?oab?oc?s?obc?oas?oac?ob?0， 得 s?oab:s?obc:s?oac?c:a:b 设 o 到?abc 三边的距离分别为 r1,r2,r3, 则 s?oab?111cr1,s?obc?ar2,s?oac?br3, 222 所以 ar1:br2:cr3?a:b:c, 可得 r1?r2?r3,即 o 为?abc 的内心。 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 13 ?所以 o 为?abc 的内 心的充要条件为：aoa?bob?coc?0 例 2.已知在?abc 中，过重心 g 的 直线交 ab 于 p, 交 ac 于 q,设?apq 的面 积为 s1， ?abc 的面积为 s2，且 ap?ppb,aq?qqc,则 pq?_ p?q s1 的取值范围是 _ s2 ?11appaqq?3 解析：因 为,?,由引申 2 得 pqab1?pac1?q 1?p1?q 即 1?p1?q11pq?3，推出?1,所以? 1,故填 1. pqpqp?q 由题可知 s2ab?ac1?2. s1ap?aqpqpq 11?411s94s1pq21?,所以 2 运 用引申 1、2，还可以轻松解答下列问题. ?1. 已知点 o 为?abc 内一点，且存在正数?1,?2,?3 使? 1oa?2ob?3oc?0 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 14 设?aob,?aoc 的面积分别为 s1,s2, 求 s1:s2. ?2. 已知点 p 是?abc 内一点，且满足 pa?2pb?3pc?0，求?abp 与?abc 的面积的 比. ?3. 已知点 o 在?abc 内部且满足 oa?2ob?3oc?0,求?abc 与凹四 边形 aboc 的 面积的比. 三角形外心、重心、垂心的向量 形式 已知abc，p 为平面上的点，则 p 为外心 p 为重心 p 为垂心 证明 如 p 为abc 的外心， 则 pa=pb=pc， 如 p 为abc 的重心，如图 2，延 长 ap 至 d，使 pd=pa，设 ad 与 bc 相交 于 e 点 由重心性质 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 15 四边形 pbdc 为平行四边形 bc 和 pd 之中点 心 如图 3，p 为abc 的垂心 同理 paac，故 p 为abc 之垂 心 由上不难得出这三个结论之间的 相互关系： abc 为正三角形 abc 为正三角形，且 o 为其 中心 向量与三角形内心、外心、重心、 垂心知识的交汇 一、四心的概念介绍 重心中线的交点：重心将中 线长度分成 2：1； 垂心高线的交 点：高线与对应边垂直； 内心角 平分线的交点：角平分线上的任意点到 角两边的距离相等； 外心中垂线 的交点：外心到三角形各顶点的距离相 等。 二、四心与向量的结合 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 16 oa?ob?oc?0?o 是?abc 的重心. 证法 1：设 o,a,b,c ?0? ?0 oa?ob?oc?0? x1?x? ?y?y1? x2?x33y2?y33 ?o 是?abc 的重心. 证法 2：如图 ?oa?ob?oc ?oa?2od?0 ?ao?2od ?a、o、d 三点共线，且 o 分 ad 为 2：1 ?o 是?abc 的重心 bdc oa?ob?ob?oc?oc?oa?o 为?abc 的垂 心. 证明：如图所示 o 是三角形 abc 的垂心，be 垂直 ac，ad 垂直 bc， d、e 是垂足. oa?ob?ob?oc?ob?ob?ca?0 ?ob?ac -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 17 同理 oa?bc，oc?ab ?o 为?abc 的垂心 设 a,b,c 是三角形的三条边长，o 是?abc 的内心 aoa?bob?coc?0?o 为?abc 的内心. 证明：? ? abc? ab acac 方向上的单位向量， 分别 为 ab、cb acb 平分?bac, abc?acb ?ao?，令 ? bca?b?c ?ao? bca?b?c a外心 b内心 c重心 d垂 心 分析：如图所示 ?abc，d、e 分别为 边 bc、ac 的中点. ?ab?ac?2ad -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 18 ?op?oa?2?ad ?op?oa?ap ?ap?2?ad bdc ?ap/ad ?点 p 的轨迹一定通过 ?abc 的重 心，即选 c. 例 2：o 是平面上一定点， a、b、c 是平面上不共线的三个点，动 点 p 满足 op?oa?，?0,? ，则点 p 的轨迹一定通过?abc 的 a外心 b内心 c重心 d垂 心 分析：? ac 方向上的单位向量， 分别为 ab、 ? ab? ac 平分?bac, ?点 p 的轨迹一定通过 ?abc 的内 心，即选 b. 例 3：o 是平面上一定点， a、b、c 是平面上不共线的三个点，动 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 19 点 p 满足 op?oa?ab? ac，?0,? ，则点 p 的轨迹一 定通过?abc 的 a外心 b内心 c重心 d垂 心 分析：如图所示 ad 垂直 bc，be 垂直 ac， d、e 是垂足 . ? ?bc ? ? =? =0 ?点 p 的轨迹一定通过 ?