向量法证明不 等式(精选多篇)

-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 1 向量法证明不等式(精选多篇) 向量法证明不等式 高中新教材 引入平面向量和空间向量，将其延伸到 欧氏空间上的 n 维向量，向量的加、减、 数乘运算都没有发生改变.若在欧式空间 中规定一种涵盖平面向量和空间向量上 的数量积的运算，则高中阶段的向量即 为 n=2，3 时的情况. 设 a， b 是欧氏空间的两向量， 且 a=，b= 规定 ab=x1y1+x2y2+xnyn=xiyi. ，表示两向量的内积)，有 由上，我们就可以利用向量模的 和与和向量的模的不等式及数量积的不 等式建立一系列 n 元不等式，进而构造 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 2 n 维向量来证明其他不等式. 一、利用向量模的和与和向量的 模的不等式+. 证明：先证左边，设 m=，n=，p=， 则由 综上，原不等式成立. 点评：利用向量模的和不小于和 向量的模建立不等式证明左边，利用向 量数量积建立不等式证明右边. 作单位向量 jac j=jab jac+jcb=jab jcb=jab |cb|cos=|ab|cos 即|cb|sinc=|ab|sina a/sina=c/sinc 其余边同理 在三角形 abc 平面上做一单位向 量 i,ibc,因为 ba+ac+cb=0 恒成立，两 边乘以 i 得 i*ba+i*ac=0根据向量内积 定义，i*ba=c*cos=c*sinb,同理 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 3 i*ac=bcos=b=-bsinc 代入 得 csinb- bsinc=0 所以 b/sinb=c/sinc 类似地，做另 外两边的单位垂直向量可证 a/sina=b/sinb,所以 a/sina=b/sinb=c/sinc 步骤 1 记向量 i，使 i 垂直于 ac 于 c， abc 三边 ab,bc,ca 为向量 a,b,c a+b+c=0 则 i =ia+ib+ic =acos)+b0+ccos =-asinc+csina=0 接着得到正弦定理 其他 步骤 2. 在锐角abc 中，设 bc=a,ac=b,ab=c。作 chab 垂足为点 h ch=asinb ch=bsina asinb=bsina 得到 a/sina=b/sinb -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 4 同理，在abc 中， b/sinb=c/sinc 步骤 3. 证明 a/sina=b/sinb=c/sinc=2r： 任意三角形 abc,作 abc 的外接圆 o. 作直径 bd 交o 于 d.连接 da. 因为直径所对的圆周角是直角,所 以dab=90 度 因为同弧所对的圆周角相等,所以 d 等于c. 所以 c/sinc=c/sind=bd=2r 类似可证其余两个等式。 运用向量可以证明不等式 向量一章中有两处涉及到不等式， 其一， ?a?a+?b?a?b 或-?b?a?b；其二， ?a?b?a?b。前者的几何意义是三角形 两边之和大于第三边，两边之差小于第 三边，后者是数量积的性质，这两个结 论用于证明不等式，可以使证明思路清 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 5 晰明快，过程简单明了之功效。 ? 一、利用 a-b?a?b 证明不等式 例 1 、函数 f?，a?b ，求证： f?f?a?b 解析：f?f?a?b 即?a?b ? 构造两个向量 a?,b?，?可?以理 解为两个向量的模的差 a?b，那么 a?b 表示向量?c?的模，其中 a?b? 。 ? 因此，原不等式等价于证明 a?b?a?b，其中 a?b，向量 ?a 和 b 不可 能同向，不取等号。 ? 二 利用 a?b?ab 证明不等式 2222 例 2 、已知实数 mnxy 满足 m?n?a,x?y?b ，求 mx?ny 得最大值 ?解析：构造向量 a?,b?， -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 6 则 a? ?a?b?mx?ny?，因为 a?b?ab，所以 mx?ny ? ?my ?nx 取最大值。 ?例 3、已知 a?b? 1,解析： 构造向 量?a?b?1m? ，n? 12?2 ?n?,m?， 。 ? 。m?n?因为 m?n? m?n 所以， ?n?n?2。 用向量法证明 步骤 1 记向量 i，使 i 垂直于 ac 于 c， abc 三边 ab,bc,ca 为向量 a,b,c a+b+c=0 则 i =ia+ib+ic =acos)+b0+ccos =-asinc+csina=0 接着得到正弦定理 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 7 其他 步骤 2. 在锐角abc 中，设 bc=a,ac=b,ab=c。作 chab 垂足为点 h ch=asinb ch=bsina asinb=bsina 得到 a/sina=b/sinb 同理，在abc 中， b/sinb=c/sinc 步骤 3. 证明 a/sina=b/sinb=c/sinc=2r： 任意三角形 abc,作 abc 的外接圆 o. 作直径 bd 交o 于 d.连接 da. 因为直径所对的圆周角是直角,所 以dab=90 度 因为同弧所对的圆周角相等,所以 d 等于c. 所以 c/sinc=c/sind=bd=2r 类似可证其余两个等式.希望对你 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 8 有所帮助! 2 设向量 ab=a,向量 ac=b，向量 am=c 向量 bm=d,延长 am 到 d 使 am=dm，连接 bd,cd,则 abcd 为平行四边 形 则向量 a+b=2c 平方=4c 平方 a 平 方+2ab+b 平方 =4c 平方 向量 b-a=2d 平方=4d 平方 a 平方 -2ab+b 平方=4d 平方 +2a 平方+2b 平方=4d 平方+4c 平 方 c 平方 =1/2-d 平方 am =1/2-bm 3 已知 ef 是梯形 abcd 的中位线， 且 ad/bc，用向量法证明梯形的中位线 定理 过 a 做 agdc 交 ef 于 p 点 由三角形中位线定理有： -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 9 向量 ep=向量 bg 又adpfgc 且 agdc向量 pf= 向量 ad=向量 gc 向量 pf= 向量 ep+向量 pf= 向量 ef= efadbc 且 ef= 得证 4 先假设两条中线 ad,be 交与 p 点 连接 cp,取 ab 中点 f 连接 pf pa+pc=2pe=bp pb+pc=2pd=ap pa+pb=2pf 三式相加 2pa+2pb+2pc=bp+ap+2pf 3pa+3pb+2pc=2pf 6pf+2pc=2pf pc=-2pf 所以 pc,pf 共线，pf 就是中线 所以 abc 的三条中线交于一点 p -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 10 连接 od,oe,of oa+ob=2of oc+ob=2od oc+oc=2oe 三式相加 oa+ob+oc=od+oe+of od=op+pd oe=op+pe of=op+pf oa+ob+oc=3op+pd+pe+pf=3op+1/2ap+1/2 bp+1/2cp 由第一问结论 2pa+2pb+2pc=bp+ap+cp 2pa+2pb+2pc=0 1/2ap+1/2bp+1/2cp 所以 oa+ob+oc=3op+pd+pe+pf=3op 向量 op=1/3 构造法证明不等式 由于证明 不等式没有固定的模式，证法灵活多样， 技巧性强，使得不等式证明成为中学数 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 11 学的难点之一.下面通过数例介绍构造法 在证明不等式中的应用. 一、构造一次函数法证明不等式 有些不等式可以和一次函数建立 直接联系，通过构造一次函数式，利用 一次函数的有关特性，完成不等式的证 明. 例 1 设 0a、b、c2，求证： 4a+b+c+abc2ab+2bc+2ca. 证明：视 a 为自变量，构造一次 函数 =4a+b+c+abc-2ab-2bc-2ca=a+， 由 0a2，知表示一条线段.又 =b+c-2bc=0， =b+c-4b-4c+8=+0， 可见上述线段在横轴及其上方， 0，即 4a+b+c+abc2ab+2bc+2ca. 二、构造二次函数法证明不等式 对一些不等式证明的题目，若能 巧妙构造一元二次函数，利用二次函数 的有关特性，可以简洁地完成不等式证 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 12 明. 例 2 实数 a、b、c 满足 4a. 证明：由已知得 a=0 时，bc， 否则与 故 a=0 时，4a 成立. 当 a0 时，构造二次函数 =ax+x+，则有 =a+b+c，=2，而=2 存在 m，当-1 不等式的证明 点击要点 1作差比较法证明不等式的步 骤是：、 、变形是手段，判断差的符号 才是目的常用的变形方法有：配方法、 通分法、因式分解法等有时把差变形 为常数，有时变形为常数与几个数平方 和的形式，有时变形为几个因式积的形 式等总之，变形到能即可 2商比法：若 b0，欲证 ab，只需证 步骤：；判断商值与的大小关 系 指数不等式常用证明有时要用 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 13 到指数函数的性质如若 a1，且 x0，则等 学习策略 解答本节习题应把握以下几个方 面：准确理解比较法的概念；综合应用 作差比较法、作商比较法证明不等式； 要注意等价转化的思想、化归思想的应 用；本节知识易错点是不能合理运用因 式分解和正确使用指数函数的性质解题。 高考展望 本节知识在高考中以考查比较法 证明不等式为主，考点有比较法证明不 等式，经常与一次函数、二次函数、对 数函数等知识结合考查，多以选择题、 填空题为主。 练好你的基本功！ 1已知 a、b、c r，那么，下 列命题正确的是 ab?22 a a b?ac bcbccab ca3b3 且 ab0?1111?22abda b 且 ab0ab 2设 a、br，下面的不等式成 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 14 立的是 aa23abb2bababab aa?1?bb?1da2b22 c 3在横线上填写恰当的符号 2x 2 若 xr，且 x1，那么，1?x 若 0a 1，那么 a) 1413 若 a 0，a1，那么 loga_loga 当 x1 时，那么 x5x4x32x1 4设 pa2b25， q2ab a24a，若 pq，则实数 a，b 满足的条件为 _ 5设 a0，b0 ，则下面两式 的大小关系为 2lg_lglg提升你 的能力！基础巩固题 1设 0a 2，下列不等式成立 的是 1111?1?a2?1?a2?1?a2?1?a2?1?ab1?a1?a -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 15 a1?a c1?a2?1111?1?a2?1?a2?1?a21?a1?a1?a d1?a 2若 ab0，则下列不等式关 系中不能成立的是 11?aab 11?b a?ba c ab da2 b2 3若 a0，b0 ，m0，且 ab，则下列不等式中恒成立的是 aa?maa?m?1?abb?mbbb?m aa?ma?ma?11?b?mb cbb?md 4设 a、br，用不等号连接下 列两个式子， a2b2ab1_ab 5已知 abc ，求证： a2bb2cc2a ab2 bc2ca2 综合应用题 11?1 a，br，那么 ab 成立的 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 16 一个充分非必要条件是 aabbab0c0abda b 2设 0a b1 ，则 ab，2ab，a2b2，2ab 中最大的值是 ab aa2b2babc2abd 2 3已知 ab0，则下列不等式 成立的是 aab2abba2abb a?ba?b ca2babdaab2b 4若 x 为正数，且 x3x2， 则 x 与 5 的大小关系为_ a2b2 5 设 abc，求证