叙述并证明余 弦定理(精选多篇)

-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 1 叙述并证明余弦定理(精选多篇) 叙述并证明余弦定理 余弦定理 余弦定理是揭示三角形边角关系的重要 定理，直接运用它可解决一类已知三角 形两边及夹角求第三边或者是已知三个 边求角的问题，若对余弦定理加以变形 并适当移于其它知识，则使用起来更为 方便、灵活。 直角三角形的一个锐角的邻边和 斜边的比值叫这个锐角的余弦值 编辑本段余弦定理性质 对于任意三角形，任何一边的平 方等于其他两边平方的和减去这两边与 它们夹角的余弦的两倍积，若三边为 a，b，c 三角为 a，b，c，则满足性质 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 2 a =b +c -2bccosa b =a +c -2accosb c =a +b -2abcosc cosc=/ cosb=/ cosa=/ 第一余弦定理 设 abc 的三边是 a、b、c，它们 所对的角分别是 a、b、c ，则有 a=bcosc+ccosb，b=ccosa+acosc ，c=a cosb+bcosa。 编辑本段余弦定理证明 平面向量证法 如图，有 a+b=ccc= c =aa+2ab+bbc =a +b +2|a|b|cos 又cos=-cos c2=a2+b2-2|a|b|cos -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 3 再拆开，得 c2=a2+b2- 2*a*b*cosc 即 cosc=/2*a*b 同理可证其他，而下面的 cosc=/2ab 就是将 cosc 移到左边表示一 下。 平面几何证法 在任意abc 中 做 ad bc. c 所对的边为 c， b 所对的边 为 b，a 所对的边为 a 则有 bd=cosb*c，ad=sinb*c ，dc=bc-bd=a- cosb*c 根据勾股定理可得： ac2=ad2+dc2 b2=2+2 b2=2+a2-2ac*cosb+2*c2 b2=*c2-2ac*cosb+a2 b2=c2+a2-2ac*cosb cosb=/2ac -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 4 编辑本段作用 已知三角形的三条边长，可求出 三个内角 已知三角形的两边及夹角，可求 出第三边。 已知三角形两边及其一边对角， 可求其它的角和第三条边。 判定定理一： 若记 m 为 c 的两值为正根的个数， c1 为 c 的表达式中根号前取加号的值， c2 为 c 的表达式中根号前取 减号的值 若 m=2,则有两解 若 m=1,则有一解 若 m=0,则有零解。 注意：若 c1 等于 c2 且 c1 或 c2 大于 0，此种情况算到第二种情况，即 一解。 判定定理二: 一当 absina 时 当 ba 且 cosa0 时，则有两 解 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 5 当 ba 且 cosa 当 b=a 且 cosa0 时，则有一解 当 b=a 且 cosa 当 b 二当 a=bsina 时 当 cosa0 时,则有一解 当 cosa 三当 a 例如：已知 abc 的三边之比为 5：4：3，求最大的 内角。 解设三角形的三边为 a,b,c 且 a:b:c=5:4:3. 由三角形中大边对大角可知： a 为最大的角。由余弦定理 cosa=0 所以a=90. 再如abc 中，ab=2,ac=3,a=60 度，求 bc 之长。 解由余弦定理可知 bc2=ab2+ac2-2abaccosa =4+9-223cos60 =13-12x0.5 =13-6 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 6 =7 所以 bc=7. 以上两个小例子简单说明了余弦 定理的作用。 编辑本段其他 从余弦定理和余弦函数的性质可 以看出，如果一个三角形两边的平方和 等于第三边的平方，那么第三边所对的 角一定是直角，如果小于第三边的平方， 那么第三边所对的角是钝角，如果大于 第三边的平方，那么第三边所对的角是 锐角。即，利用余弦定理，可以判断三 角形形状。同时，还可以用余弦定理求 三角形边长取值范围。 解三角形时，除了用到余弦定理 外还常用正弦定理。 在 abc 中，设 bca，acb ，ab c，试根据 b，c，a 来表示 a。 分析：由于初中平面几何 所接触的是解直角三角形问题，所以应 添加辅助线构造直角三角形，在直角三 角形内通过边角关系作进一步的转化工 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 7 作，故作 cd 垂直于 ab 于 d，那么在 rt bdc 中，边 a 可利用勾股定理用 c、b 表示，而 cd 可在 rtac 中 利用边角关系表示，db 可利用 abad 转化为 ad，进而在 rtac 内求解。 解：过 c 作 cdab，垂足为 d， 则在 rtcb 中，根据勾股定理可得： a2c2b2 在 rtac 中， c2b2a2 又 b22c2 2ca a2 a2b2a2c22caa2b 2c2 2ca 又在 rtac 中， adbcosa a2 b2 c22bccosa 类似地可以证明 b2a2c22accosb，c2a2b22a bcosc -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 8 余弦定理及其证明 1.三角形 的正弦定理证明： 步骤 1. 在锐角abc 中，设三边为 a，b，c。作 chab 垂足为点 h ch=asinb ch=bsina asinb=bsina 得到 a/sina=b/sinb 同理，在abc 中， b/sinb=c/sinc 步骤 2. 证明 a/sina=b/sinb=c/sinc=2r： 如图，任意三角形 abc,作 abc 的 外接圆 o. 作直径 bd 交o 于 d. 连接 da. 因为直径所对的圆周角是直角,所 以dab=90 度 因为同弧所对的圆周角相等,所以 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 9 d 等于c. 所以 c/sinc=c/sind=bd=2r a/sina=bc/sind=bd=2r 类似可证其余两个等式。 2.三角形的余弦定理证明： 平面几何证法： 在任意abc 中 做 ad bc. c 所对的边为 c， b 所对的边 为 b，a 所对的边为 a 则有 bd=cosb*c，ad=sinb*c ，dc=bc-bd=a- cosb*c 根据勾股定理可得： ac =ad +dc b = + b =sin b*c +a +cos b*c -2ac*cosb b =*c -2ac*cosb+a b =c +a -2ac*cosb cosb=/2ac 3 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 10 在 abc 中，ab=c、bc=a、ca=b 则 c =a +b -2ab*cosc a =b +c -2bc*cosa b =a +c -2ac*cosb 下面在锐角中证明第一个等式， 在钝角 中证明以此类推。 过 a 作 adbc 于 d，则 bd+cd=a 由勾股定理得： c = + ， =b - 所以 c = - +b = - +b =a -2a*cd+ - +b =a +b -2a*cd 因为 cosc=cd/b 所以 cd=b*cosc 所以 c =a +b -2ab*cosc 题目中 表示平方。 2 谈正、余弦定理的多种证法 聊城二中魏清泉 正、余弦定理是解三角形强有力 的工具，关于这两个定理有好几种不同 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 11 的证明方法.人教 a 版教材 数学是用 向量的数量积给出证明的，如是在证明 正弦定理时用到作辅助单位向量并对向 量的等式作同一向量的数量积，这种构 思方法过于独特，不易被初学者接受.本 文试图通过运用多种方法证明正、余弦 定理从而进一步理解正、余弦定理，进 一步体会向量的巧妙应用和数学中“数” 与“形”的完美结合. 定理：在abc 中， ab=c,ac=b,bc=a,则 =; c2=a2+b2-2abcosc, b2=a2+c2-2accosb, a2=b2+c2-2bccosa. 一、正弦定理的证明 证法一：如图 1，设 ad、be 、cf 分别是 abc 的三条高。则有 ad=bsin bca ， be=csincab， -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 12 cf=asinabc。 所以 sabc=abcsinbca =bcsincab =casin abc. 证法二：如图 1，设 ad、be 、cf 分别是 abc 的 3 条高。则有 ad=bsin bca=csinabc， be=asinbca=csincab。 证法三：如图 2，设 cd=2r 是 abc 的外接圆 的直径，则dac=90， abc=adc 。 证法四：如图 3，设单位向量 j 与向量 ac 垂直。 因为 ab=ac+cb， 所以 jab=j=jac+jcb. 因为 jac=0， jcb=|j|cb|cos=asinc， jab=|j|ab|cos=csina. -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 13 二、余弦定理的证明 法一：在abc 中，已知，求 c。 过 a 作， 在 rt 中， ， 法二： ，即： 法三： 先证明如下等式： 证明： 故式成立，再由正弦定理变形， 得 结合、有 即. 同理可证 . 三、正余弦定理的统一证明 法一：证明：建立如下图所示的 直角坐标系，则 a=、b=，又由任意角 三角函数的定义可得：c=，以 ab、bc 为邻边作平行四边形 abcc，则 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 14 bac=-b， c,asin)=c. 根据向量的运算： =， =-=, 由=：得 asinb=bsina, 即 =. 同理可得：=. =. 由=2+2=b2+c2-2bccosa， 又|=a, a2=b2+c2-2bccosa. 同理： c2=a2+b2-2abcosc; b2=a2+c2-2accosb. 法二：如图 5， ,设轴、轴方向上的单位向量分别 为、 ，将上式的两边分别与、作数量积， 可知 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 15 ， 即 将式改写为 化简得 b2-a2-c2=-2accosb. 即 b2=a2+c2-2accosb. 余弦定理证明 在任意abc 中,作 adbc. c 对边为 c，b 对边为 b，a 对边为 a bd=cosb*c，ad=sinb*c ，dc=bc- bd=a-cosb*c 勾股定理可知： ac=ad+dc b=+ b=sinb*c+a+cosb*c-2ac*cosb b=*c-2ac*cosb+a b=c+a-2ac*cosb 所以，cosb=/2ac 2 如右图，在 abc 中，三内角 a、b、c 所对的边分别是 a、b、c.以 a -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 16 为原点，ac 所在的直线为 x 轴建立直角 坐标系，于是 c 点坐标是，由三角函数 的定义得 b 点坐标是.cb=.现将 cb 平 移到起点为原点 a，则 ad=cb.而 |ad|=|cb|=a，dac=-bca=-c，根据三 角函数的定义知 d 点坐标是，asin)即 d 点坐标是,ad=而 ad=cb=asinc=csina- acosc=ccosa-b由得 asina=csinc，同理可证 asina=bsinb， asina=bsinb=csinc. 由 得 acosc=b-ccosa，平方得：a2cos2c=b2- 2bccosa+c2cos2a，即 a2-a2sin2c=b2- 2bccosa+c2-c2sin2a.而由可得 a2sin2c=c2sin2aa2=b2+c2-2bccosa.同 理可证 b2=a2+c2-2accosb，c2=a2+b2- 2abcosc.到此正弦定理和余弦定理证明 完毕。3 abc 的三边分别为 a,b,c,边 bc,ca,ab 上的中线分别为 ma.mb,mc,应用 余弦定理证明: -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 17 mb= mc=ma= -ac*cosb) = 由 b =a +c -2ac*cosb 得，4ac*cosb=2a +2c -2b ，代入 上述 ma 表达式： ma= = 同理可得： mb= mc= 4 ma= -ac*cosb) = 由 b =a +c -2ac*cosb 得，4ac*cosb=2a +2c -2b ，代入 上述 ma 表达式： ma= = 证毕。 余弦定理证明过程 ma= - ac*cosb) -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 18 = 由 b =a +c -2ac*cosb 得，4ac*cosb=2a +2c -2b ，代入 上述 ma 表达式： ma= = 证毕。 2 在任意abc 中,作 adbc. c 对边为 c，b 对边为 b，a 对边为 a bd=cosb*c，ad=sinb*c ，dc=bc- bd=a-cosb*c 勾股定理可知： ac=ad+dc b=+ b=sinb*c+a+cosb*c-2ac*cosb b=*c-2ac*cosb+a b=c+a-2ac*cosb 所以，cosb=/2ac 2 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 19 如右图，在 abc 中，三内角 a、b、c 所对的边分别是 a、b、c.以 a 为原点，ac 所在的直线为 x 轴建立直角 坐标系，于是 c 点坐标是，由三角函数 的定义得 b 点坐标是.cb=.现将 cb 平 移到起点为原点 a，则 ad=cb.