一维势垒—— 一维散射中的几率密度 毕业论文.doc

一维势垒 一维散射中的几率密度 摘 要: 利用数值计算方法研究了粒子在一维“方形”势垒中运动时的粒子的几 率分布,并给出了几率密度图.从这些图我们可以清楚的看出不同能量的粒子在“方形” 势垒散射时的几率分布情况, 并讨论了透射系数、反射系数与势垒宽度的关系. 关键词:几率密度; 势垒 几率密度; 阶梯势; 势垒; 几率密度阶梯势; 势垒; 几率密度; 阶梯势; 势垒 one-dimensional square potentials one-dimensional square potentials abstract: in this paper, we outline the quantitative calculation of the stationary states of the particle. we limit ourselves to one-dimensional models. we shall give the results of this calculation for a certain number of simple cases, and discuss their physical implications. we study the motion of a particle in a “square potential” whose rapid spatial variation for certain values of introduce purely quantum effects. we consider the quantum mechanics of x a particle which encounters the potential step with and . we 0eu0e next study more complicated potential form, the rectangular potential barrier. we draw as a function of by numerical calculation. from this figure, we 2x can see clearly an important difference between classical mechanics and quantum mechanics. keywords：probability density; potential steps; potential barriers; classical mechanics; quantum mechanics 目 录 引 言.1 1 势垒模型与量子力学方程.2 1.1 势垒模型.2 1.1.1 势垒模型 2 1.1.1.1 势垒模型 .2 1.2 量子力学方程与边界条件 3 2 阶梯势垒散射.5 2.1 模型与方程 .5 2.2 0eu的情况 6 2.3 的情况 8 2.4 0的情况 9 3 方形势垒散射.12 3.1 模型与方程.12 3.2 0eu情况 12 3.3 情况 15 3.4 0情况 .16 总 结.17 致 谢.17 注 释.17 参考文献.17 附录.19 引 言 一维势垒散射问题属于量子力学非束缚定态的基本问题,几乎所有的量子力学著 作中均作为主要内容加以阐述 1-5. 对该问题深入讨论可以初步掌握经典力学与量子 力学所给出的粒子的穿越势垒的不同行为的基本特征.但是大部分都是着重描述粒子 在势垒存在时的穿过势垒的透射系数或被势垒反射回来的反射系数,而对于势垒存在 时微观粒子的几率分布的情况却描述较少, 由其对于势垒中粒子的几率分布情况更是很 少涉及.并且一些书中 1-2给出粒子穿越势 垒时的波动图像存在问题(如图 0.1).因为对 于非束缚定态问题粒子的波函数是复函数, 一般情况下很难在二维图像中表示.如果说 这里给出的是粒子的几率分布图像,那么由于穿过势垒后波函数一般形式是 ,ikxe 所以几率分布 显然应该是一常数,并不存在任何的波动.为了能够对粒子在穿越势2 垒时的几率分布有一个清晰的认识,我们分别对粒子穿越阶梯形势垒和方形势垒的不 同情况下的几率分布通过计算机数值计算给出了相应的几率密度图像. 本 文 讨 论 的 阶 梯 势 垒 与 方 形 势 垒 由 于 模 型 简 单 ,数 学 计 算 相 对 容 易 而 使 得 物 理 图 像 清 晰 ,对 于 深 入 理 解 粒 子 穿 越 势 垒 时 的 物 理 图 像 有 一 深 刻 正 确 的 了 解 可 以 起 到 一 定 的 作 用 . 图 0.1 粒子穿越势垒时的波动图 像 1 势垒模型与量子力学方程 1.1 势垒模型 1.1.1 势垒模型 1.1.1.1 势垒模型 如果空间中有两个区域, 并且在这两个区域内粒子的势能都比它在这两个区域的 分界面上的势能小, 我们就说, 这两个区域是由一个势垒分隔开的. 图 1.1 所示的一维势垒可以作为一 维势垒最简单的例子. 纵轴上标出势能 , 它是粒子的坐标 的函数. 在()uxx 点上势能具有极大值 . 整个空间0 0u 在这一点上分为两个区域: 和 , 在这两个区域内 . 0x0xm 如果我们根据经典力学来考察粒子在场 中的运动, 我们马上可以说明“势垒”的意义. 粒子的总能量 等于e (1.1) 2()peux 式中 为粒子的动量, 为它的质量. 从(1.1)解出动量. 我们得到p (1.2)()2()x 上式中的符号 应该根据粒子的运动方向来选择. 如果粒子的能量 大于势垒 的 emu “高度”, 则当粒子的初始动量 时, 粒子可以毫无阻碍地从左边向右边通过势0p 垒; 而当粒子的初始动量 时,粒子通过势垒的方向正好相反. 假设粒子是从左向右运动的, 其总能量 小于 . 于是在某一点 , 势能emu1x , , 粒子将停止下来. 它的全部动能转化为势能, 因而运动将向相1()uxe1()0p 反的方向进行: 是反转点. 因此, 当 时,从左边来的粒子不能穿过势能极大x 值的区域 , 因而便不能进入第二个区域 去. 相似地, 如果粒子是从右向0 0x 左运动的,而且 , 则它便不能进入第二个反转点 后面的区域去, 因为在 点mu2 2x 上 (参阅图 1.1). 因此对于所有能量小于 的粒子来说,势垒都是一个2()xe mu “不透明”的壁垒. 相反地, 对于能量大于 的粒子, 势垒则是“透明”的. 这也m 就说明了“势垒”这个名称的来源. ()uxmeumx0xo 图 1.1 一维势垒 12 为了进一步理解势垒这个概念, 我们想象一个质量为 , 在图 1.2 所表示的那种 力函数作用下的粒子. , , ,()xl(0uxl , ()2mxl2mx , , ,lu0 在横坐标为 和 的两个点之间, 粒子受到一个力 的作用, 此力的指向与l()x f 轴的单位矢量 相反oxe2mxuf 在这个区域之外, 势能 或 为一常数, ()x()0 而力等于零. 在 时刻,以速度 , 在横0t0v 坐标为 的点处接近这一区域的粒子由于 的作用而减速,由此得运动方程()xf ,200()4muxtvtl 只有当方程 ,200()mlttl 具有实根时,粒子才能到达横坐标为 的点, 这就要求()l ,201mvu 如果不是这样, 粒子的能量 小于e (1.3)20 这个粒子就不可能到达势能变化区的端点. 因而粒子要被反射回来, 并重新向反向运 动. 使趋于零,而保持值不变, 力就变的无限大, 作用区变得无限薄. 方程(1.3)所表 示的结果依旧成立, 因为它与宽度无关. 1.2 量子力学方程与边界条件 如果我们谈的是微观粒子在微观场中的运动, 也就是在谈到不能略去量子效应的 ()uxmxlo 图 1.2 一维势垒粒子受力分析 ()lex 运动时. 在势垒附近发生的现象就完全不同了.在这种情况下, 与经典力学的结论相 反, 能量 大于势垒高度 的粒子有一部分为势垒反射,而能量小于 的粒子也有emumu 一部分会穿过势垒. 在量子力学里, 必须知道波函数 , 因此必须要解薛定谔方程 (1.4) 2()iuxt 一维散射问题是一个非束缚态问题( 与时间无关, 而 是正的).因此令e (1.5)(,)(eitxte 由此得到 (1.6) 2()dux 按照势能 的形式, 方程(1.6)一般需要分成几个部分求解.将上式改写成如下形式()ux (1.7) 20kdx (1.8)22112,()()kenex 为了确定波函数要满足的边界条件, 我们把 和 看作是 的缓变函数, 在unx 图 1.2 中为方便取 , 于是,在 点附近对方程(1.7)求积分, 我们得到0l0x220dkdx 即 221()dxknx 由此得 (1.9)21()()()kxd 当取极限 时, 我们得到一个边界条件0 (1.10)(0)() 其次, 根据波函数的连续性的普遍要求,我们有第二个边界条件: (1.11)() 因为在 点并没有任何特殊之处, 所以条件(1.10)和(1.11)在任一点都能得到满足. 0x 实际上上述边界条件在任何势能函数跃变的地方均可以满足. 2 阶梯势垒散射 2.1 模型与方程 本章中,我们将讨论体系势能在无限远处为有限的情况,这时粒子可以在无限远处 出现,波函数在无限远处不为零,由于没有无限远处波函数为零的约束,体系能量可以 取任意值,即能级组成连续谱.这类问题属于粒子被势函数散射的问题,粒子从无限远 处来,被势场散射后又到无限远处去.在这类问题中,粒子的能量是预先给定的. 考虑在一维空间中运动的粒子,它的势能在有限区域 内等于常量0x ,而在 区域内等于零,即0u0x (2.1)0,ux 我 们 称 这 种 势 为 阶 梯 势 垒 图 2.1. 具 有 一 定 能 量 的 粒 子 由 势 垒 左 方 向 右 方 运 动 .e0x 在经典力学中,只有能量 大于 的粒子才能越过e0 势垒运动到 的区域;能量 小于 的粒子运动到势0x 垒左方边缘( 处)时被反射回去,不能透过势垒. 在量子力学中,情况却不是这样.能量 大于 的粒0u 子有可能越过势垒,但也有可能被反射回来;而能量 小e 于 的粒子有可能被势垒反射回来,但也有可能贯穿势0u 垒而运动到势垒右边 的区域中去.0x 粒子的波函数 所满足的定态薛定谔方程是 (2.2) 2,0dexx 和 (2.3) 20,uxdx 或改写成 (2.4) 2,0exx 和 (2.5) 20,duxx 下面我们分两种情况分别进行讨论. ()u0ox 图 2.1 一维阶梯势 垒 2.2 的情况0eu 现在令 (2.6)221 0,keku 则得 (2.7) 210,dkxx 和 (2.8) 2,d 容易得出方程(2.7) 和(2.8)的解为 (2.9)11,(0)ikxikxae (2.10)22iib 由(1.5)式可知 ,当(2.9) 和(2.10)式中的波函数 、 乘上时间因子 后, 、 中的1eite12 第一项和第二项分别描述的是由左向右传播的平面波和由右向左传播的平面波. 由于 在 处的边界条件并不足以确定(2.9)和(2.10) 中的 4 个未知常数, 为确定这些常数0x 我们假设粒子自左向右运动.当 为很大的正值时, 波函数应该描述越过“壁顶”并x 沿 轴的正方向运动的一个粒子, 它的渐近形式必然是 (2.11)2,(0)ikxbe 即取 . 由 处的边界条件:0bx , (2.12)0201xx (2.13)00xxdd 我们有 (2.14),()ab (2.15)12kkx (2.14)和(2.15)两式给出透射波和反射波振幅与入射波振幅之间的关系如下: (2.16)12a (2.17)12kb 由这两式可以求出透射波和反射波的几率密度与入射波几率密度之比. 将入射波 、透射波 和反射波 依次代换下式1ikxae1ikxbe1ikxae*2j 中的 ,得入射波的几率流密度为1111212ikxikxikxikx*ddjaeaea 透射波的几率流密度为 2djb 反射波的几率流密度为 21rkja 透射波的几率流密度与入射波的几率流密度之比称为透射系数,以 表示.这个比值也d 就是贯穿到 区域的粒子在单位时间内流过垂直于 方向的单位面积的数目,与入0xx 射粒子(在 区域)单位时间内流过垂直于 方向的单位面积的数目之比.由上面的 结果,有 (2.18) 21214djkbka 反射波几率流密度与入射波几率流密度之比称为反射系数,以 表示.由上面结果,有r (2.19) 2124rjkd 由上两式可见, 和 都小于 1, 和 之和等于 1.这说明入射粒子一部分贯穿势垒d 区域,另一部分被势垒反射回去.为画出粒子分布的几率密度图,我们令入射波的0x 振幅 ,得到1a (2.20)112,(0)ikxikxee (2.21)212,()ikx 粒 子 的 几 率 密 度 分 布 如 图 2.2 所 示 .要 注 意 当 , 即 时 ,势 垒 消 失 ,因 此 反120u 射 为 零 ,透 射 系 数 .此时只有入射波而没有反射波,在 、 的区域粒子分1dx 布的几率密度相同,如图 2.3 所示. 2.3 的情况0eu 此时我们只要令 ,2ki (2.22)02ei20ue 则我们得到: (2.23)11,()ikxikxae (2.24)222 0b 由于当 时,波函数应该保持有限,所以应取(2.24)中的 .因此有xb (2.25)12kia (2.26)12bi 此时反射系数为: (2.27) 212rajki 透射系数为: (2.27) 210dbjra 与经典力学不同的是,虽然透射系数为零,但在 区域找到粒子的几率并不为零.x 如果我们取 ,则可将波函数写作:1a (2.28)112,(0)ikxikxee 图 2.3 设 , ,12k 粒子几率密度图. 图 2.2 设 , ,12k 粒子几率密度图. (2.29)212,(0)xkei 从(2.28)可以看出虽然入射波与反射波的振幅相同,反射系数为 1,但由于 为一复/a 数,所以反射波相对于入射波有一相移因子.这与经典力学无共同之处,但与光在金属 表面反射时的情况类似.造成这种原因是因为粒子进入了 区域延误所致.0x 由 (2.28)和 (2.29)式 我 们 可 以 画 出 在 和 区 域 中 找 到 粒 子 的 几 率 密 度 曲 线 .0x 从 图 中 可 以 明 显 的 看 出 ,在 找 到 粒 子 的 几 率 随 着 的 增 加 而 指 数 衰 减 ,在 的0x 21/x 区 域 内 ,找 到 粒 子 的 几 率 几 乎 可 以 忽 略 不 计 .值 得 注 意 的 是 由 于 反 射 波 的 振 幅 与 入 射 波 的 振 幅 相 同 ,所 以 入 射 波 与 反 射 波 在 的 区 域 中 发 生 干 涉 ,使 得 一 些 点 ,这 是 干20 涉 相 消 的 结 果 .这 与 时 的 情 况 不 同 ,因 为 在 时 入 射 波 的 强 度 大 于 反 射 波 的0eu0eu 强 度 ,干 涉 相 消 的 结 果 只 使 的 区 域 中 的 一 些 点 的 几 率 密 度 取 极 小 值 ,另 一 点 取 极 大0x 值 ,但 不 会 完 全 为 零 .当 然 当 时 ,反 射 波 的 振 幅 接 近 入 射 波 的 振 幅 ,因 而 那 些 取 极2k 小 值 的 点 将 趋 于 零 . 2.4 0u的情况 当 势 垒 高 度 趋 于 无 穷 大 时 ,即 时 的 解 ,可 以 由 的 情 况 中 令0u0eu 得 到 :2 (2.30)212limkia (2.31)212li0bi 此时反射系数为: 图 2.4 设 , ,12k 粒子几率密度图. 图 2.5 设 , ,12k0.5 粒子几率密度图. (2.32)2 21limrjki 透射系数为: (2.33)2li10dj 如果我们令 ,则可将波函数写成如下形式:1a (2.34)11,()ikxiex (2.35)20, 值得注意的是,由(2.34) 和(2.35) 式给出的波函数 和 ,在 点处波函数连续,但120x 波函数的导数并不连续.这是因为在 时,在(1.9)式中0u21()()()knxd 右端的积分在 时,由于 并不等于零.所以在这种情况下,波函数仍然保0nx 持连续但波函数的导数却不在连续. 我们可以由方程(2.34) 和(2.35)给出的波函数 和 ,绘出在 和 区域找120x 到粒子的几率曲线图 2.6.由于此时入射波与反射波的振幅相等,相位相差 ,显然在 区域中入射波与反射波干涉相消会使得一些点的几率密度为零.0x 实际上 时所给出的粒子几率分布曲线图 2.6,是在 时 的极限0u0eu2 情况.为了说明这一点,我们利用方程(2.28)和(2.29)分别取 为 、 和 画出图21 2.7、图 2.8 和图 2.9.从图中可以看出当 时与图 2.6 已经很接近,而当 取2102 时图 2.9 与图 2.6 已经无法区别.从这里可以理解实际上所谓 的情况实际1 0 上是势垒比粒子能量高的多时的一种理想近似. 图 2.6 当 ,取 ,0u12k 时的粒子几率密度图. 图 2.7 当 ,取 ,0eu12k 时的粒子几率密度图. 图 2.8 当 ,取 ,0u12k0 时的粒子的几率密度图. 图 2.9 当 ,取 ,0eu12k0 时的粒子几率密度图. 3 方形势垒散射 3.1 模型与方程 考虑在一维空间中运动的粒子,它的势能在有限区域 内等于常量0xa ,而在这个区域外等于零,即0u (3.1)ax,x0 我们称这种势为方势垒图 3.1.具有一定能量 的粒子由e 势垒左方 向右方运动.0 粒子的波函数 所满足的定态薛定谔方程是 (3.2)ax,edx02 和 (3.3) 20,uxa 同第二章一样我们分两种情况分别进行讨论. 3.2 0eu情况 与(2.6)式一样我们定义 和 将方程(3.2) 和(3.3)改写为1k2 (3.4)ax,dx0 和 (3.5) 2,k 此处 都是大于零的实数.21k, 在 区域内,波函数0x (3.6)xikxikea11 是方程(3.4)的解 . 在 区域内,方程(3.5)的解是ax , (3.7)xikxikeb22 在 区域内,方程(3.4)的解是 ()ux0oax 图 3.1 一维方势垒 (3.8)xikxikec113 按照公式(1.5) ,ietxt 定态波函数是 再分别乘上一个含时间因子 . 由此看出(3.6)(3.8) 321, tie 三式右边第一项是由左向右传播的平面波,第二项是由右向左传播的平面波.在 区域内,没有由右向左运动的粒子,因而只应有向右传播的透射波,不应有向左传ax 播的波,所以在(3.8) 式中必须令 (3.9)0c 在 和 均可以用波函数和波函数导数的连续条件(1.8)和(1.9)来确定函数中的0xa 其它系数.由 ,我们有0201xxba 由 有001xxddkk21 由 ,有axax32 aikaikaikcebe122 由 有032xaxddaikaikaikee122 解这一组方程组,可以得出 和 的关系是a,c (3.10)aekekaiaiki22114 (3.11)2211snikaika (3.10)和(3.11)两式给出透射波和反射波振幅与入射波振幅之间的关系.由这两式可以 求出透射系数为: (3.12) 2212114sindcjkaak 反射系数为: (3.13) 22121sin4rkakaj d 由上两式可见, 和 都小于 1, 和 之和等于 1.这说明入射粒子一部分贯穿势垒ddr 区域,另一部分被势垒反射回去特别要注意当 , 时,反射为ax 2akn012 零,透射系数 ,产生所谓共振透射.此时只有透射波而没有反射波. 1 从系数方程解得: 221221212()()()iakiikbaek 令 我们得到波函数的形式为:1,a (3.14)1 1221sinikx ikxikaiae ee (3.15)2 22 212 122 1() ()ix ikxiak iak e (3.16) 1122314ikixiaikaee 设 ,势垒宽度 分别为 、 、 和 分别画出粒子分布的几率密度图12,k3 图 3.2 取 时粒子几12,1ka 率密度分布. 图 3.3 取 时的粒子12,ka 几率密度分布. 图 3.4 取 时的粒子12,3ka 几率密度分布. 图 3.5 取 时的粒子12,ka 几率密度分布. 3.2、图 3.3、图 3.4 和图 3.5.其中图 3.5 对应共振散射的情形. 如果我取 、 而分别令 为 1 和 0.1 我们得到图 3.6、图 3.7.从两图中1.5a2k2k 可以看出当,当 减小,对应势垒增高.相应的粒子穿过势垒的几率变小,反射几率增大,反2k 射波的强度与入射波的强度接近.所以在 的区域内入射波与反射波干涉相消使得0x 一些点波函数的密谋接近零. 3.3 0eu情况 这时 是虚数,令2k 2ki 则 是实数:2 (3.17) 1202ue 把 换成 ,前面的计算仍然成立. 经过简单计算后(3.10) 式可改写为2k2i (3.18) 12212shchikaecak 透射系数 的公式可改写为d (3.19) 2122114shdkak 在(3.14)、(3.15)和(3.16)式样中分别令 和0.5,0. 可画出在 时粒子分布的几率图 3.8 和图 3.9.由图可以看出当12,ak0eu 势垒变高变宽透射过势垒粒子的几率迅速减小.从而同样使反射的几率增加.与 的情况类似,这时反射波的强度和入射波的强度接近从而使在 的区域中入0eu 0x 图 3.6 取 时的粒子11.5a 几率密度分布. 图 37 取 时的粒12,0.,1.5ka 子几率密度分布. 射波和反射波的干涉出现相消而使得一些点上找到粒子的几率接近于零. 3.4 情况0eu 对于 情况,我们选