二次型及应用 毕业论文.doc

绥化学院 本科毕业设计（论文） 二次型及应用 学生姓名： 学 号： 年 级： 指导教师： suihua university graduation paper quadratic form and its applications student name student number major supervising teacher suihua university 摘 要 ii 二次型是线性代数的重要内容之一，二次型的理论起源于解析几何学中二次曲线 方程和二次曲面方程化为标准形问题首先，介绍了二次型的基本理论，然后研究了 二次型的应用，包括在多元函数极值、线性最小二乘法、证明不等式以及二次曲线中 的应用一些矩阵的问题可以转化为二次型，用二次型的方式去解决，方便而快速 关键词：二次型；标准型；矩阵；应用 abstract iii quadratic form is one of the import contents in linear algebra, which originated from problem of put quadratic curve equation and quadric equation into standard form in analytic geometry. firstly, the paper introduces basic theories. secondly, the paper studies applications of quadratic form, including extremum problems of multi-variable functions, linear least square method, proving inequality and quadratic curve. some problem can be converted into quadratic form to solve, which is convenient and fast. key words: quadratic form; standard form; matrix; applications 目 录 摘 要 .i iv abstract .ii 第 1 章 二次 型的基本理论 .1 第 1 节 二次型的概念及相 关定义 .2 第 2 节 替换后的二次 型与原二次型的关系 3 第 3 节 写出二次 型的方法 3 第 4 节 二次 型的标准型 4 第 5 节 二次型在 复数域下的规范型 8 第 6 节 二次 型的一般定理 10 第 2 章 二次型 的应用 .12 第 1 节 多元函数极值 .12 第 2 节 线性最小二乘法 15 第 3 节 证明不等式 17 第 4 节 二次曲线 .19 结 论 21 参考文献 .22 致 谢 .23 1 第 1 章 二次型的基本理论 在这一节,我们首先回顾高等代数 中关于二次型的一般理论设 是一个数1 p 域， ， 个文字 的二次齐次多项式paijnnx,21,22,1313111nijji nnxaxaxaxf 称为数域 上的一个 元二次型，简称二次型当 为实数时，称 为实二次型；当pijaf 为复数时，称 为复二次型ijaf 设 阶对称矩阵n , nnnaaa 212112 则 元二次型可表示为下列矩阵形式n .axxaaxxf tnnnn 2121122121 ),(),( 其中 .对称矩阵 称为二次型的系数矩阵，简称为二次型的矩阵tnxx),(21la 二次型与非零对称矩阵一一对应即，给定一个二次型，则确定了一个非零的对 称矩阵作为其系数矩阵；反之,给定一个非零的对称矩阵，则确定了一个二次型以给定 的对称矩阵为其系数矩阵 如果二次型中只含有文字的平方项即 ,222121, nn xdxdxf 称 为标准型.在高等代数 的教材中，还有以下关于二次型理论的结果f 3 2 第 1 节 二次型的概念及相关定义 1.1 二次型的表示 二次型 可唯一的表示成： ，称为二次型的nxf,21 axxftn,21 矩阵形式，其中， ， 为对称矩阵，称 为二次型的矩阵tnx,21nijaa (都是对称矩阵) ，称 的秩为二次型 的秩af4 1.2 线性替换 2 设 是两组文字，系数在数域 中的一组关系式nnyx,;,11 p （11） 21221211 nnn nycycx ， 称为由 到 的一个线性替换，或简称线性替换用矩阵形式可写nx,21 y,21 为 ,cyx 其中 ， ， 如果系数行列式 ，tnxx,21nijcctny21 0c 那么线性替换（1-1）就称为非退化的(或可逆的, 或满秩的) 数域 上的 矩阵 称为合同的，如果有数域 上的可逆的 矩阵 ，pba, pn 使 acbt 1.3 二次型的正定、负定与不定 9 设 是一实二次型，对于任意一组不全为零的实数 ，nxf,21 nc,21 如果都有 ，那么 称为正定的；如果都有0c nxf,21 ，那么 称为负定的；如果都有 ，那,21ncf nxf,21 0,21ncf 么 称为半正定的；如果都有 ，那么 称x,. 0,21ncf x, 为半负定的；如果它既不半正定又不半负定，那么 就称为不定的nxf,21 3 第 2 节 替换后的二次型与原二次型的关系 设 ， ,是一个二次型，作非退化线性替换axxftn,21 t ， (12)cy 我们得到一个 的二次型ny,21 ， (13)byftn,21 把（13）代入（12） ，有 ，byacycyacxxf tttttn ,2 容易看出，矩阵 也是对称的a 事实上， ，由此，即得 这就是前后两ttt)( bt 个二次型的矩阵关系 数域 上 矩阵 , 称为合同的，如果有数域 上可逆的 矩阵 ，使pnabpnc acbt 因此，经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的 第 3 节 写出二次型的方法 正确写出二次型的矩阵是化简二次型的基础对于含 个变元的二次型n ，可以按下述方法得到二次型的矩阵 ， 的主对角线上的nxf,21 ijaa 元素依次为二次型的平方项 的系数，而 的第 行第 列元素 是221,nx jjiaj 交叉项 的系数的一半，在取 即得到对称矩阵 ，于是这个二次型jixjiajij 就可以用矩阵形式表示为 ，其中 axt tnxx,21 注 一个二次型的矩阵之所以要求是对称矩阵，原因之一是使得二次型矩阵是 唯一确定的 例 1 写出二次型的矩阵： 32312123214321, xxxxf 解 应注意由 可知右端的二次型为 4 元二次型，虽然二次型右边4321,xf 4 表达式中没有含有 的项，但其对应矩阵必须补零做成 4 阶对称矩阵为4x . 001230a 第 4 节 二次型的标准型 二次型中最简单的一种是只包含平方项的二次型 221nxdxd 4.1 二次矩阵变合同矩阵 数域 上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和的形式p 不难看出，上面二次型的矩阵是对角矩阵，则 nnn xddxxdxd 212121221 0, 反过来，矩阵为对角形的二次型就只含有平方项所以经过非退化的线性替换， 二次型的矩阵变到一个合同的矩阵 4.2 对称矩阵与对角矩阵 在数域 上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵也就是说，对于任意一个p 对称矩阵 都可以找到一个可逆矩阵 使 成对角矩阵acat 4.3 可逆的线性变换 二次型 经过非退化线性替换所变成的平方和称为 的nxf,21 nxf,21 一个标准型 例 1 用可逆的线性变换化二次型为标准型 方法 1 配方法 用配方法化二次型为标准型的关键是消去交叉项，其要点是利用两数和的平方 公式与两数平方差公式逐步消去非平方项并构造新平方项分两种情形来处理： 5 （1）二次型中含某个变量 的平方项和交叉项ix 先集中含 的交叉项，然后与 配方，化成完全平方，令新变量代替各个平方项ix2i 中的变量，即可做出可逆的线性变换，同时立即写出它的逆变换（即用新变量表示旧 变量的变换） ，这样后面求总的线性变换就比较简单每次只对一个变量配平方，余 下的项中不应在出现这个变量，再对剩下的 个变量同样进行，直到各项全化为平1n 方项为止 （2） 二次型中没有平方项，只有交叉项 先利用平方差公式构造可逆线性变换，化二次型为含平方项的二次型，如当 的系数 时，进行可逆的线性变换 代jix0ija jikyxyxyxkjijii , 入二次型后出现平方项 ，在按情形（1）来处理2jiijya 方法 2 初等变换法 10 用可逆的线性变换使 化为二次型 为标准型pxaxft ，相当于对于对称矩阵 找到一个可逆矩阵 使221nydydf p ，其中 ，即 合同于对角矩阵 由于可逆矩阵dapt ndiag,21 d 可以写成若干个初等矩阵 乘积，即 ，从而有sp sp21 ， astts 212 en 根据初等矩阵的性质，由上式即可得到用初等变换法化二次型为标准型的步骤如 下： 第一步 写出二次型的矩阵 ，并构造 矩阵 ；an2ea 第二步 进行初等变换 ， pde换只 进 行 其 中 的 初 等 列 变对 和 初 等 列 变 换进 行 同 样 的 初 等 行 变 换对 当 化为对角矩阵 时，单位矩阵 也相应地化为可逆矩阵 ；ad 第三步 可逆线性变换 化二次型为标准型pyx 6 221nt ydyddyf 例 2 化下列二次型为标准型，并写出所用的可逆线性变换 323121231321 4, xxxxf 解 方法 1 （配方法） ,2232321 32312 xxxf 令 .,3231xy 即 .,3231yx 得 23213221 yyf 令 .,321yz 即 .,321zy 则 323121231321 4, xxxxf 的标准型为 321,zf 7 所用的可逆线性变换为 . 3322 3213211zyx zzz 方法 2 初等变换法 二次型的矩阵为 由于 3120a ， 10011021010321023132 rcrcea 故可逆线性变化 ，化二次型为 3232yx .2121,yxf 用正交变换化二次型为标准型的步骤 将 元实二次型 用正交变换化为标准型的步骤是：naxftn,21 第一步 写出二次型 的矩阵 ，则 是是对称矩阵；x nijaa 第二步 求 阶正交矩阵 ，使得 ；qntdgq,211 第三步 正交变换 化二次型为yx 22121 ., nn yyxf 例 3 求一正交变换，化二次型 32312121321 844, xxf 为标准型 8 解 二次型的矩阵为 由 421a ，92e 得 的特征值为 , a02193 可求得对应 的特征向量为 ， 将其正交化，tp0,12tp1,02 得 ， ，t,1t,542 再单位化，得 ， tq0,521 tq53,42 又对应 的特征向量为 ，单位化得 故正交变93tp,13 tq2.,13 换为 321321504yx 化二次型为 .239yf 第 5 节 二次型在复数域下的规范型 设 是一个复系数二次型经过以适当的非退化线性替换后nxf,21 变成标准型不妨假定它的标准型是xf, (14)riydydr,21,21 9 易知 就是 的矩阵的秩因为复数总可以开平方，我们再作一非退rnxf,21 化相性替换 (15) .,1,nrrzyzdy （14）式就变成 (16)221yzz （16）式称为复二次型 的规范形显然，规范形完全被原二次型矩nxf,21 阵的秩所决定 5.1 规范型 任意一个复系数的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形，且规 范行是唯一的 再来看实数域的情形 设 是以实系数的二次型经过某一非退化线性替换，在适当排列nxf,21 文字的次序可使 变成标准形nf,21 ， (17)221221 rppdydyd 其中 ， 是 的矩阵的秩因为在实数域中，整实数总ridi ,0nxf,2 可以开平方所以再作一非退化线性替换 10 .,1,nrrzyzdy （17）式就变成 (18)22121 yfzzz （18）式称为实二次型 的规范形显然，规范形完全被 ， 这两个nxf,2 rp 数所决定 5.2 逆线性变换 8 任意一个实数域上的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变为成规范形， 且规范形是唯一的 第 6 节 二次型的一般定理 6.1 惯性定理 5 在实二次型 的规范形中，正平方形的个数 称为 的nxf,21 pnxf,21 正惯性指数；负平方项的个数 称为 的负惯性指数；它们的差prnxf,21 称为 的符号差rprpnxf,21 6.2 矩阵的全部特征值 元实二次型 （ 是实对称矩阵， 可以经过变量的正交变换naxft x 为正交阵） ，可化为 ，这里 是矩阵 的全部特征值qyx 221nyyf ia 6.3 最大（小）特征值 6 设 元实二次型 ，则 在条件 下的最大（小）值恰为矩阵naxftf12nix 的最大（小）特征值 a 例 1 设 为 阶正定矩阵， 与 是实向量，tnx,21tnc,21 11 为实数，则实函数 当 时，取得最小值xaxft21a 1at 证明 ，因 正定，所以 存在(对称)而1ft1 , 111 00 aaeaettnttn 1001aeetntn ， 因此 ,10101111 ayaxxxeaef tt tt ntn 其中 ，因 正定，故当且仅当 时， 取最小值 0，从而当且1ayt0yyt 仅当 ， 取得最小值 xxf 1t 12 第 2 章 二次型的应用 第 1 节 多元函数极值 在实际问题中经常要遇到求三元以上函数的极值问题，对此可由二次型的正定性 加以解决 1.1 梯度 设 元函数 在 的某个邻域内有一阶、nnxfxf,21ntrxx,21 二阶连续偏导数记 ， 称为函数 在点nffff ,21 ()fx()fx 处的梯度tnxx,21 1.2 驻点 满足 的点 称为函数 的驻点0()f0x()f 1.3 阶实对称矩阵n22211122221()()()()()()()()nijnnnnfxffxxxxfhxxfff 称为函数 在点 处的黑塞矩阵显然 是由 的12(),)nff xr()hx()f 个二阶偏导数构成的 阶实对称矩阵2n (极值存在的必要条件) 设函数 在点 处存在一阶偏导数，()f0012(,)tnx 且 为该函数的极值点，则 0x0x 例 2 设函数 在点 的某个邻域内具有一阶、二阶连续偏导数，且()fnr ，则000012()()(),nfffxx （1）当 为正定矩阵时， 为 的极小值；0()hx0()fx()f （2）当 为负定矩阵时， 为 的极大值； 13 （3）当 为不定矩阵时， 不是 的极值0()hx0()fx()f 利用二次型的正定性来判断多元函数的极值虽然是一个很好的方法，但也有一定 的局限性，因为充分条件对正定和负定的要求是很严格的，若条件不满足，那结论就 不一定成立 例 3 求三元函数 的极值22(,)346fxyzyzxyz 解 先求驻点，由 046xyzff 得 ，所以驻点为 1,xyz0(1,)p 再求 黑塞矩阵hesian 因为 ，所以 ，可知 是2,0,4,0,6xxyxzyyzzffffff2046hh 正定的，所以 在 点取得极小值 (,)f0(1,)p(1,)f 当然，此题也可用初等方法 求得极小值222,()3(fxyzyz ，结果一样6 1.4 极大（小）点 设 元实函数 12(,)nfx 在点 的一个邻域中连续，且有足够高阶的连续偏导n0p 数，则函数 在点 近旁有性质：1）若 xa正定，则 为极小t0p 点；2）若 负定，则 为极大点；3）若 不定，则 非极大点或极小点；axt0t0 4）其余情形时， f在点 性质有待研究余项 的性质来确定特别当 f是二次函数pr 时， ，只要 半正（负）定，则 为极小（大）点0rt 0p 例 4 求函数 2ln()zxy的极值 14 解 ， ， 解方程组 ，22lnyxyztx 22lnyxxzty 0tyxz 易得 ， ， ， 10yxeyx21 ， 223,xyzyxztytx ，2 42lnytyxtxy 于是， ，经计算得yxza 正定， 2021,21,a 负定，21,21, 不定01,0,1a 故在点 (1,0)，点 (,)，z 不取极值；在 11(,),(,)22ee点，z 取极小值， =-2ze极 小 ，在 1(,),(,)2e点，z 取极大值， =z极 大 下面利用二次型的矩阵的特征值求多元函数的最值设 元二次型n ，则 在条件 下的最大（小）值恰为矩阵axft)( tnx),.(21f12 nix 的最大（小）特征值 例 5 设 为 阶正定矩阵 与 实向量， 为tnxx),.(21tnc),.(21 实数，则实函数 ,当 时取得最小值 xaxftt2)( 1aa 15 证明 ，由 正定， 存在（对称）,而1xaxfta1 111 00 aeettnttn ，11atntn ， 01xxf ttn 其中， ， 正定，故 ，所以 取得最小值xyx)(f at 第 2 节 线性最小二乘法 众所周知，线性方程组 0521 22 1521nnbxaxa 可能无解 即任何一组 都可能使得 不等于 0，05201,x ni iiii bxaxy1 52)( 我们设法找到 ，使得 最小，这样 称为方程组的最小二乘05201, 0520, 解这种问题就叫最小二乘法问题 若记 为上述方程组的系数矩阵， 于是，使得 y值最小的 xatnbb,21 一定是方程组 的解，而其系数矩阵 是一个正定矩阵，它的惯性指数xtta 等于 ，因此这个线性方程组总是有解的，这个解就是最小二乘解n 例 1 已知某种材料在生产过程中的废品率 某种化学成分 有关,下列表中记载yx 了某工厂生产中 与相应的 的几次数值yxx 1.00 0.9 0.9 0.81 0.60 0.56 0.35y 3.6 3.7 3.8 3.9 4.0 4.1 4.2 我们想找出 对 的一个近似公式yx 16 解 把表中数值画出图来看，发现它的变化趋势近于一条直线，因此我们决定选 取 的一次式 来表达，当然最好能选到适当的 , 使得下面的等式xbaxab0.16.3ba97.8.013ba6.0.4503.2.ba 都成立，实际上是不可能的任何 , 代入上面各式都发生些误差，于是想找到 ,a 使得上面各式的误差的平方和最小，即找 , 使b (3.6 + -1.00) 2+(3.7 + -0.9) 2+(3.8 + -0.9) 2+(3.9 + -0.81) 2+(4.0 + -aabababb 0.60) 2+(4.1 + -0.56) +(4.2 + -0.35) 最小，这里讨论的是误差的平方即二乘方，故称为最小二乘法，用最小二乘法解易 知 12.40.9318.76. ， 35.06.819.0. ，ab 最小二乘解 , 所满足的方程就是abtba t0ab 即为 .12.573.269106a 解得 ， （取三位有效数字) 05.1a8.4b 17 第 3 节 证明不等式 其证明思路是首先构造二次型，然后利用二次型正（半）定性的定义或等价条件， 判断该二次型（矩阵）为正（半）定矩阵，从而得到不等式 7 例 1 求证： （其中 是不全为零的实数） xzyzyx243922 zy, 证明 设二次型 ，则 的矩阵是xxf 2439),( f 12a 因为， a的各阶顺序主子式为： ； ，所以， a正定，从而09052 （因为 是不全为零的实数） ，即0fzyx, ，xzyzyxzyf 2439),(22 0 （其中 是不全为零的实数） ，结论得证zyx, 3.2cauch不等式 （ y不等式）设 ,(1,2)iabn 为任意实数，则 baxbbxaxayxbxaxttnni iiii n, 021 5205201 52121251 例 1 记 ， 2121211221 )()()()(),( xbxaxaxaxf niniiiniii 解 因为对于任意 2,，都有 12,0f， 故关于 12,的二次型 2,f是半 正定的该二次型矩阵的行列式大于或等于 0，即 18 21120nni ii ii ii iaabb ， 故得 222111()()() nnni iii iaba 例 2 2112)(ninix 解 记 ，其中axxlf tnini 211221 )(),( ， 1,),(21 nlxtn 将矩阵 a的第 2，3， n列分别加到第一列，再将第 2，3，, 行减去第 1 行， 得 01n ， a 于是 a的特征值为 由定理可知， 为半正定矩阵，即二次型是半正定的，从,0nl 而得 12(,)nfx ，即 ， 2112)(ninix 结论得证 例 3 设 ,是一个三角形的三个内角，证明对任意实数 ,xyz，都有 cos2scos22 zxzyzyx 解 记 ，)( yaxft 其中 19 cos,1cos1,azyxxt 对 做初等行变换得： 10ini0 ，于是 a的特征值为 0，1， sin，从 而得二次型 ()fx是半正定的，即对于任意实数 ,xyz， ()fx，得证 例 4 设 a为 n阶半正定矩阵，且 a，证明 1e 解 设 的全部特征值为 (1,2)in ，则 的全部特征值为 i ),l 因为 为实对称矩阵，所以存在正交矩阵 t，使得ea121naet 由于 为半正定矩阵，且 ，则 是半正定的，且其中至少有一个 ，a0ae0i 同时至少有一个等于 0故 ，结论得证1)(10ni ii 以上是根据不等式的要求证明该二次型为