关于一类矩阵秩的恒等式猜想的注记 高等代数毕业论文.doc

莆田学院学士学位论文 编号 莆田学院毕 业 论 文课题名称：关于一类矩阵秩的恒等式猜想的注记系 别 数学系 学生姓名 学 号 专 业 数学与应用数学 年 级 03级 指导教师 2007 年 6 月13目 录摘 要iiabstractiii原创性声明（学生）iv原创性声明（指导老师）v0引言10.1 记号说明10.2 研究现状11 预备知识22 主要定理及证明23 猜想1与猜想2的解决84 猜想的应用9参考文献12致 谢13关于一类矩阵秩的恒等式猜想的注记摘 要采用分块矩阵，初等变换以及数学归纳法，证明了文献1中提出的猜想并对这个猜想进行推广。探讨sylvester不等式的等号成立问题，从而得到矩阵秩的和与矩阵乘积的秩两者之间的关系。【关键词】分块矩阵 初等变换 矩阵秩the remark to the speculation of a class of matrix rank identitiesabstractby using the block matrix, the elementary transformation as well as the mathematical induction, we had proven the speculation in the literature 1 and generalized the it .we discussed the question that made the sylvester inequality be equal, thus obtained the rela- tionship between the sum of the rank of matrix and the rank of the product of matrix.【key words】 block matrix; elementary transformation; matrix rank莆田学院学士学位毕业论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。学位毕业设计（论文）作者签名：日期： 年 月 日 莆田学院学士学位毕业论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是在本人的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。指导教师签名：日期： 年 月 日莆田学院学士学位论文0 引言0.1 记号说明本文使用以下记号：表示矩阵的秩；表示矩阵是数域上的阶矩阵；表示矩阵是复数域上的阶矩阵；表示数域上多项式环；表示相应阶数的单位矩阵.0.2 研究现状本文所研究是矩阵秩的恒等式问题。众所周知，sylvester不等式是矩阵秩的一个著名的结果，在求矩阵秩的相关问题中处于重要的地位，我们感兴趣的是其不等式何时取等号。如果sylvester不等式能取等号，这将是一个很好的公式。文献1将sylvester不等式中的矩阵限定为的形式，给出矩阵秩的一些恒等式结果并提出下列猜想：猜想1 设，当满足适当条件时，则猜想2 设且，当满足适当条件时，则其中是关于的多项式。2007年文献2将讨论的数域限制在复数域上，然后利用矩阵的jordan标准形的性质证明了猜想1是正确的。jordan标准形是个很好的研究工具，但是它也存在局限性即jordan标准形仅在复数域中有效。本文讨论的数域将不作限制，采用分块矩阵的性质及初等变换证明猜想1成立，进而证明猜想2亦成立，并对相关的矩阵的恒等式作进一步推广。1 预备知识引理13（著名的sylvester不等式） 设则引理23 初等方阵从左边乘以矩阵a相当于对a作初等行变换. 初等方阵从右边乘以矩阵a相当于对a作初等列变换. 初等变换不改变矩阵的秩.引理34 设则 则引理42 设 两两可交换,那么当可逆时,引理55 设 ，若且矩阵的特征值全不为，则。2 主要定理及证明定理1 设，,当两两互异时,那么等价于证明 （采用数学归纳法） 当t=2时所以等价于故当t=2时结论成立. 当t=3时， 所以等价于故当t=3结论成立. 假设对所有结论成立，则有等价于于是存在可逆矩阵使得=那么当 时， 由于互不相同，那么多顶式为两两互素。根据带余除法定理6知其中且.（若，则，这与两两互素矛盾）因此，矩阵多项式,. 等价于故所以当 时结论成立。即定理1得证。定理2 设 两两可交换。那么当可逆时, 等价于。其中 证明 证明过程同定理1。3 猜想1与猜想2的解决猜想1 设，,当两两不相同时,则有证明 由定理1可知 由引理3可得，即猜想1得证。注 由此可知猜想1正确性。对猜想1文献2也给出的证明，但文献2讨论的数域仅仅限制在复数域内，而本文对猜想1的讨论可以不受数域限制。猜想2 设且 且为两两, 则有，其中是关于的多项式。证明 由猜想1可知，当为两两互异时，不妨设其中因为,所以故其中都是关于的多项式。 所以，猜想2是正确的。4 猜想的应用命题1设， ，若时，必满足的特征值全不为，那么证明不妨设两两互异,而且的特征值全不为。于是矩阵多项式皆为可逆矩阵。由猜想1及引理5可知 由 两式相加得则故有即命题1得证。命题2 设,两两可交换且当可逆时, 证明 由引理3可知由定理2及引理2可知故结论得证。注明 猜想1将不等式中的矩阵限定为的形式, 命题2把不等式中的矩阵推广为的形式。命题3 设,，且互不相同，则证明 令，则由于且互不相同，所以，是两两互素，根据猜想1可知故命题成立。参考文献1 李书超等.一类矩阵秩的恒等式及其推广j.武汉科技大学学报(自然科学版), 2004.3,27(1):9698 2 王廷明等.一类矩阵秩恒等式的证明j.山东大学学报(理工版)j. 2007.2，42（3）:43453 张贤科等.高等代数学m.北京：清华大学出版社,19974 樊恽,钱吉林等.代数学辞典m.武汉：华中师范大学出版社，1994.12 5 姚慕生.高等代数m.上海：复旦大学出版社，2002.86 北京大学数学系几何与代数教研室数学组编.高等代数(第二版)(m).北京:高等教育出版社,1988.37 李师正.高等代数解题方法与技巧m.北京：高等教育出版社，2004.28 方炜.关于矩阵秩的一个不等式的注记j.黄山学院学报，2005.7 ,7（3）：789 蒋永泉.互素多项式在矩阵秩中的应用j.徐州师范大学学报(自然科学版),2004.9,22(3):7173致 谢本文是在 教授悉心指导下完成的。杨教授以其严谨求实的教学态度、高度的敬业精神和