例谈含参数不等式恒成立问题 毕业论文.doc

例谈含参数不等式恒成立问题 摘 要：含参数不等式恒成立问题是高中数学教学的重难点之一，其综合性较强，联系的知识点较广泛，所以处理这方面问题的方法也是多种多样的。对此文中以相应的例题为基础分类讨论了此类问题。关键词：参数；不等式；恒成立；高考不等式是高中代数重要的内容之一，它的覆盖面较广和方程、函数的性质都有一定的关系，又有自己鲜明的特征，使得它既是高中数学的基础也是连接整个高中知识的一条纽带，因此，使它成为历年高考考查的一个重要考点。在不等式知识中，含参数不等式恒成立问题尤其重要，这类问题难度大，综合性强，导致考生失分多。这类问题常常和函数的单调性、奇偶性、不等式、方程、函数最值的求法等知识联系在一起，使之看起来比较复杂，若不掌握一些基本技巧，不了解解题策略和解题规律，就无法解决这类问题。因此，这更是一个高考中的难点。本文探讨了高考中相关题目的试题特点及解题策略，对于即将走上教师岗位的我而言，这有助于对此类问题有一个总体的把握，以便于完善相关内容的教学方法，从而让此部分知识在我以后的教学中变得条理化，清晰化。一、含参数不等式恒成立问题在近几年高考中的地位在近几年高考试题中,含参数不等式恒成立问题是屡见不鲜的。如：（07）年全国卷1文第20题12分、天津卷文第21题14分、福建卷文第20题12分；（08年）山东卷理科第16题5分和21题12分 、上海卷文科第19题16分、浙江卷理科第17题15分；（09年）全国卷2理科第22题12分、重庆卷理科第5题5分、湖北卷理科第11题5分、天津卷理科第8题5分；（10年）天津卷第16题12分、全国卷1文第20题12分、安徽卷理第16题12分，等等。从分值来看，含参数不等式恒成立问题部分题约占总分的10%左右，这是一个不小的比例，不容忽视。如果这一部分处理不好，就会直接影响总分，从而影响高考的总成绩。从考查的难度来看，若这类问题出现在前面的选择题中则大多是中档型的题目，较简单。若这类问题出现在后面的大题则大多是考查能力的综合题，相对就有了一定的难度。从考查的知识点来看，近三年全国各省市的高考试题中，此类问题和二次函数的相关知识联系得比较密切，其中求导、单调性、函数的最值都是经常用到的方法。基于含参数不等式恒成立问题在高考中的这些特点，以下通过几个例题讨论在解决有关此类问题时的常见方法。二、处理含参数不等式恒成立问题的几种常见方法1.利用函数的最值 这种方法将参数和函数最值以及指定区间的极值联系起来，先通过对已知函数求导来求得函数的最大值或最小值，再根据题目给出的条件和参数联系起来，有时恒成立问题就可以转化为恒大于指定区间的最小值或小于指定区间的最大值的问题。例1（07 全国卷文 20题 12分）设函数在及时取得极值（）求、的值；（）若取的所有实数时，都有成立，求的取值。 分析：此题是自变量时的恒成立型问题，对（）中的式子可以理解成当的最大值都小于时就恒成立，那么问题就转换成求函数的最大值的问题。而是高次幂的函数，可考虑通过求导的方法先求得在指定区间内的极值，又因为自变量是闭区间，可知在端点的取值是有意义的，所以还得考虑函数在区间端点的函数值，通过比较求出函数在闭区间内的最大值。解：，因为函数在及取得极值，则有，。即解得，。即，。当时，；当时，；当时，。所以，当时，取得极大值，又，。则当时，的最大值为。因为对于任意的，有恒成立，所以，解得或，因此的取值范围为。小结：本题考查了用函数的最值求参数范围的方法，其中考查了函数的相关知识，比如用求导的思想求函数的最值。同时考查学生把数学叙述和相关的式子转换成相应的数学问题的能力和对基础知识掌握的牢固性及一定的运算能力。例2（08 山东理21题12分）已知函数其中,为常数 （）当时，求函数的极值；（）当时，证明：对任意的正整数,当时，有。 分析：（ii）问中是对任意的正整数都成立，则可以理解为恒成立问题。如果在时是单调的话问题就变简单了，问题就变成求当时的最大值的问题。但是并不是单调的，对于不好讨论，不妨观察一下要证明的式子给它移一下项构造一个新的函数对 求导会发现当时单调递增，即构造一个函数使得这个函数的最小值为0，命题得证。证明：（）因为,所以当为偶数时，令则=1+0 。所以当2,+时，单调递增，又 因此当2，+时恒成立，所以成立。当为奇数时，要证,由于2，+时，所以只需证,令 则 ,所以 当2，+时，单调递增，又所以当时，恒有,即命题成立。综上所述，结论成立。小结：本题不是直接考查含参数不等式恒成立问题的类型，但是其中用到的方法及解题思路却和含参数的不等式的知识是分不开的，（ii）问中主要考查了用构造函数法求最值来解决不等式恒成立的思想，其中要求学生要有较强的逻辑思维能力及对函数求导和函数最值之间要有明确的认识。2.转换主元法用这种方法来解决含参数不等式恒成立问题的题型在近几年的全国高考试题中很少出现，但是这是一种非常灵巧，非常开发思维的方法。其主要的思路是在含参数的恒成立的不等式中，知道了参数的取值范围，将原来的不等式看成是以参数为新的未知量（主元）的不等式恒成立的问题。可以说这种方法很难也可以说此法很简单，难在不好想，不敢想，不敢打破常规。若敢于逆向思维，敢于创新，此类问题就变得简单了。例3 对于满足 的所有实数,求使不等式+-4+恒成立的取值范围。分析:对题目进行观察，发现是已知参数范围的恒成立不等式问题，那么在参数的范围内取定参数的某一两个值同样能使不等式成立，不妨设参数为新的未知量，令 =,则将问题转化为关于的一元一次不等式，且在时不等式恒成立。解:由时+-4+恒成立，令 =则,即,即或,即，解得或综上，的取值范围为或。小结：这类问题的难点在于找到题目的突破口，主要考查的是逆向思维能力和构造函数的能力。3.分离参数法分离参数法是解决含参数不等式恒成立的问题中常见的一种方法，其主要步骤是将恒成立参数不等式中的参数分离出来单独放在不等号的一边，另一边尽量构造成一次函数或二次函数，这样问题就变成求一次函数或二次函数最值的问题了。在遇到含参数不等式恒成立的问题时，先对题目进行观察，若发现题目中的参数明显可以分离出来，那么应首选分离参数法。 例4（08上海文19题 16分）已知函数（1）若，求的值；（2）若对于恒成立，求实数的取值范围。分析：对于此题中的第二问当时是很容易分离出来的，所以应该首先尝试分离参数的方法。解：（2）当 即 时。故的取值范围是。 小结：本小题主要考查了学生对分离参数法的认识及相应的演变能力和计算能力，属于较简单题型。4.函数单调性法函数单调性法在这里所指的是通过函数的单调性来求含参数恒成立问题中参数范围的方法，主要原理是通过讨论函数在指定区间上的单调性得到函数在指定区间的取值范围，其中在闭区间上的还要讨论端点的取值。借此将一些和函数有关的含参数恒成立问题转换为恒成立不等式的问题，通过解不等式解出参数的取值范围。例 5 （09全国卷二文21题12分） 设函数 ，其中常数()讨论的单调性，()若当时，恒成立，求的取值范围。分析：式中含有项，在高中数学知识中结合以往的解题经验应该首先尝试求导的方法将高次函数降次，变为我们熟悉的二次函数。解：由知，当时，故在区间是增函数；当时，故在区间是减函数；当时，故在区间是增函数。综上，当时在区间和是增函数，在区间是减函数。即当时，在或处取得最小值。恒成立 ，即 解得 ，故的取值范围是。小结：本题主要对二次函数单调性的知识进行了考查，考查学生怎样用求导的方法求出函数的极值和单调区间，属于基础知识的考查。 5.三角转换法三角转换法用来求解含参数恒成立问题中参数的范围的实质是利用形如+的三角函数的有界性来构造成不等式，结合题目给出的条件解不等式，从而解出参数的范围。而能否用三角转换法来解决此类问题就要看能否通过适当的三角换元，把所给问题转化为含有+的形式。例6 已知实数,满足+=1，当时恒成立，则实数的取值范围是多少？分析：因为、是实数且满足+=1，很容易和三角函数中的关系联系起来，不妨设，再将，代入式子可以转化为形如+的三角函数，所以此题可用三角转换法。解：因为实数、满足+=1，不妨设，则设，则的最大值为，要使恒成立，必须大于等于的最大值，即。小结：本小题主要考查了三角函数的相关知识点在含参数恒成立不等式中求参数范围的应用，同时考查了学生的知识迁移能力，在以往掌握知识的基础上加以变形改动，培养学生思维的灵活性。6. 柯西不等式法柯西不等式：设，则有不等式成立；当且仅当 时等号成立。基于柯西不等式的特殊性，可以利用柯西不等式来求一些恒成立参数不等式中参数的范围。但解题时要分清主元与参数，最难的是怎样把主元和参数构造成柯西不等式，通过解柯西不等式求出参数的范围。这是实行新课改后不等式命题的一个热点和走势。例6已知实数，满足，求的取值范围。分析：初看本题是很难找到解题的突破口的，但只要对柯西不等式有一定的认识，大胆的把所求参数移到一边，就可以利用柯西不等式作为连接两式的桥梁，找到解题的突破口。解：由，则 ，由柯西不等式即 ，解得。所以的取值范围为。小结：此题结合柯西不等式考查学生的观察能力、构造能力。同时要求学生要有一定的数学基底和技巧。含参数不等式恒成立问题是多变复杂的，因此方法也是多种多样的，前面5种方法是较常用的，最后一种方法：“利用柯西不等式求参数的范围”是考虑到新课改后对不等式和含参数不等式的内容在以往的基础上延伸的初步认识及了解。对于其他的方法，我将在今后的工作和学习中不断进行总结归纳。三、含参数不等式恒成立问题的高考试题特点通过以上高考试题和典型例题的分析及求解过程再结合近几年高考对此部分知识体系的考察，含参数不等式试题一般有如下特点：1.每年全国各省市的高考试题中大多都有含参数不等式恒成立的试题，且大多数题目都出现在大题的前三个中，分值都在10分左右，难度不是太大，都属于中档型的题目。2.在历年的全国各省市的高考试题中还有一个非常显著的特点就是：含参数不等式恒成立问题和函数知识联系起来考查的特别多，而且多数都和函数的求导，通过求导判别函数的最值和判别函数的单调性等内容和参数联立起来，最后通过解不等式解决问题。3.在新课改后，不等式和含参数的不等式的问题可能会和一些特殊的不等式有所联系，如柯西不等式、均值不等式、琴森不等式、三角不等式等等。总之，我个人认为含参数不等式恒成立的问题在今后的高考试题中仍会以中档题的形式出现，且联系较广。由于高考是为了选拔人才的考试，因此我觉得考能力的探索题、综合题仍会成为高考的热点和重点之一。四、总结解决含参数不等式恒成立问题的方法是多种多样的，这样的题型在高考中更能起到考查学生综合能力的目的，故它在高考中的重要性是不容忽视的。本文以高考中的试题对此类问题进行了分类讨论，其中给出了六种常见的解决此类问题的方法，同时给出了自己的分析和见解。希望通过此工作对此类问题有一个清晰的认识，以后遇到此类问题能知道从何入手，其中包括用什么方法和考查什么知识点。既此，对即将走上工作岗位的我而言，在以后这部分内容的教学过程中会特别注意如下问题：1.一定要重视基础知识的讲解，要讲深讲透，让学生完全理解。也就是说通过讲解，让学生能真正理解含参数不等式恒成立问题在知识方面的广泛联系性以及解题方法的多样性。2.着重讲解这部分内容和二次函数联系的问题，让学生多加练习这方面的题型，让学生在亲自做题的过程中感受这类题的命题特点及规律，避免在高考中发生无谓失分的情况。3.注重分类思想、转化与化归思想，从而化难为易，化特殊为一般，化未知为已知，最终转化为处理一般含参数不等式恒成立问题的目的。参考文献1霍洪亮.不等式恒成立问题的十种解法 j.数理化学习(高中版),2004,(1):9-11. 2孟凡栋.恒成立型不等式中参数范围的几种求法j.数学教学通讯,2004,(1):