凸函数的性质及应用 毕业论文.doc

摘 要 本文首先提出了凸函数的几种等价定义并说明凸函数的几何意义， 接着探讨了凸函数的几条定理及其在经济学中的应用，比如最优化 应用及风险态度应用，以及函数的凸性在有关经济学问题中发挥的 作用，并从数学的角度详细说明了经济学教材中一些结论的来源， 如对经济曲线的分析. 关键字：凸函数；曲线分析；最优化；风险态度 目 录 1.引言 1 2.凸函数的定义及几何意义 1 2.1 凸函数的几种定义 1 2.2 凸函数的几何意义： 3 3.凸函数的判定定理 3 4.函数凸性在经济学中的应用 7 4.1 凸函数在经济函数曲线分析中的应用 7 4.2 凸函数在经济优化中的应用 .11 4.3 凸函数在风险态度中的应用 .14 5.总结 .17 参考文献 .18 1 1.引言 凸函数是一个十分重要的函数，它的定义最早是由jensen给出. 凸函数具有较好的几何和代数性质, 它在判定函数的极值、研究函 数的图像以及证明不等式等方面都有广泛的应用. 利用函数凸性分析经济问题是在十九世纪五十年代以后随着数 学规划、最优控制论、数理经济学等应用学科的兴起而发展起来的. 经济学中所涉及的函数大多数都有一定的凸性，从而凸函数在经济 学中的最优化问题的研究成为了当今的一大热点. 人们经常用它来 研究系统中人、财、物的组织管理、筹划调度等问题，以发挥最大 的经济效益. 2.凸函数的定义及几何意义 2.1 凸函数的几种定义 定义 1:设函数 在区间 上有定fxi 义，从几何上来看，若 的图像上yf 任意两点 和 之间的曲线1,xf2,x 段总位于连接这两点的线段之下（上） ， 则称该函数是凸（凹）.参见图 1.1 定义 2：设函数 在开区间 上有定义，若fxi xyo y=f(x) 2 有12,0,1xi 212fxfxfx 则称 在区间 是下凸函数或简称函数 在区间 是凸的.fxi i 若记 ，则 .由 的凸性可知：2112xxf1212ffffx21221xxff 从而有 212112xfxfxf 即 212112xfxfxfxf ， 整理后可得 12fxffxf 这就是凸函数的另一种定义. 定义 3： 在区间 上有定义且连续，称 为 上的凸函数，fxi fxi 如果 ,有12,xi1212fxfxf 将“ ”改为“ ”，函数便成为严格凸函数. 定义 4： 在区间 上有定义且连续,称 为 上的凸函数，fxi fxi 如果 ，有 .12,.nxi1212 nnfxffxxxf 3 2.2 凸函数的几何意义： 当 时，点 表示了区间0,11221xxx 中的某一点，即 .在下图中弦 的方程是： 12,x,a121fxfyf 将 代入上式得： 3231bafxfx 但 因此不等式（1）在4bafx 几何上表示为 也就是说，曲线34 在弦 下方，呈现为下凸的yfx12 形状，而上凸函数的图象则呈现为上 凸的形状.（图 1） 凸函数除了上面的定义以外，还 可以给出连续函数 在区间 上为fxi 凸函数的等价性定义.如下所示： 3.凸函数的判定定理 定理1 设函数 在开区间 上可导，函数 在区间fx(,)abfx 上是凸函数当且仅当 .(,)ab121212, ,x且 x yo1a2yfxfx1212ffb34 图 1 4 证明： 根据 中值定理对一切 及 必存在lagrne1212,xabx01t 使得：122,ttxx和 1221121() 0tt tt tffxtfxfxf ftfx 又 12ff12txtfx 由凸函数定义得 在 上是凸函数.f(,)ab 任取 满足 .我们来证明：12,x12x 及 在区间 上严格增加，设 从 中存fff, ,x 在数 使得 ，根据 的严格下凸条件得：0ttxfx 即 上式表明 的函数1ftfxtff f 在 严格增加.ffx12,x 由此可见 记起 并以此类推可得11xf22xf 在 严格增加. .1xf,ab 定理2 设 在开区间 上可导，则下述论断相互等价：fi 1） 为 上凸函数；xi 2） 为 上的增函数；f 3）对 上的任意两点 ，有i12,x 5 21121fxffx （3） 证明:若 在 是凸函数，则由定理 1 有 在 上单调增加fxi fxi 有12,12 21121fxffxfx12x211 同理可证明当 时也有2x21121fxffx 若 有12,xi11ff 令 则32x011121,x x 对 有：3,i13313fxffx33121fxfx 对 有：23,xi233233321fxffxfxfx 从而： 133122 31123121fxffxfxfff 即 在 是凸函数. fxi 定理3 如果函数 在 上有存在二阶导函数 ,若对fx(,)abfx ，有 ，则函数 在 上是一个凸函数.,xab0ffx(,) 证明：在区间 内任取两点 ，令(,)122,0120xx即 6 函数 在 的泰勒公式是fx0 200012fxfxfcx0cx是 与 之 间 当 时：1x 2001010ffxfxfcx 10xc 当 时2x 22002020ffxfxfcx02xc21200120100201fxfff ffcxcx 有,xab0f120,fc 即 220xfcx 于是 或 ，因此 内12fff120fxff,fxab在 是凸函数. 定理4 （极值的第二充分条件）设 在点 的某邻域fx0 内一阶可导，在 处二阶可导，且 ， .0;ux0xf0fx 1）若 ，则 在 取得极大值.0fxf 2）若 ，则 在 取得极小值. x02 证明： 1） 由于 ，00lim/ffxfx 故存在一个 的邻域 ，在此邻域内有：0x0;ux00/ffx 当 时，有 ，则 必须大于 0，即0x0x 7 0fxf 因此 在 的左邻域内单调递增，即fx0 0fxf 当 时，同理可知道 在 的右邻域内递减，有0xf00xf 故当 时，有 在 取得极大值.0fxf0 同理可证 2）. 4.函数凸性在经济学中的应用 4.1 凸函数在经济函数曲线分析中的应用 4.1.1 无差异曲线的凸性分析 无差异曲线用来表示消费者偏好相同的两种商品的所有组合.如 下图所示，横轴和纵轴分别表示商品1的数量 和商品2的数量 ，曲xy 线 、 分别表示两条不同商品组合的无差异曲线 .l2 曲线是连续的，并在 轴上的具有二阶导数，二阶导数又是大1lx 于零的，所以无差异曲线是凸函数. 8 从上图可以明显地看出，无差异曲线的斜率为负值,而且无差异 曲线斜率的绝对值是递减的.商品的边际替代率递减规律决定了无差 异曲线具有这样的特征.下面介绍一下边际替代率递减规律. 商品1对商品2的边际替代率的定义公式为： 2121xmrs 式中 和 分别表示为商品1和商品2的变化量.1x 当商品数量的变化趋于无穷小时，则商品的边际替代率公式为： 1222011limxdmrs 从上式可以看出，无差异曲线上某一点的边际替代率就是无差异曲 线在该点上的斜率的绝对值. 利用上图来具体说明商品的边际替代率递减规律和无差异曲线 形状之间的关系.在图中，当消费者沿着既定的无差异曲线 由 点ua 运动到 点时，商品1的增加量为10，相应的商品2的减少量为20.这b 两个变量的比值的绝对值为 .在图中，由于无差异曲线是凸21x 函数，并且斜率是负的，这就保证了当商品1的数量一单位一单位地 9 逐步增加时，即由点 经 、 、 运动到 的过程中，每增加一单位abcde 的商品1所需放弃的商品2的数量是递减的，也就是说两个变量的比 值的绝对值是逐渐减小的. 这就是在两商品的代替过程中普遍存在的边际曲线代替率递减 规律.随着一种商品的消费数量的逐步增加，消费者想要获得更多的 这种商品的愿望就会递减，从而他为了多获得一单位的这种商品而 愿意放弃的另一种商品的数量就会越来越少. 3 经济活动中，我们可以根据市场调查利用无差异曲线和预算线 等的关系来得到商品的需求曲线，厂商会根据需求曲线获得最大的 利润的生产组合，而消费者也可以得到最满意的商品组合.所以利用 凸函数的性质描绘无差异曲线在买卖双方的交易活动中起到很大的 作用. 4.1.2 生产函数曲线的凸性分析 短期生产函数 表示在资本投入量固定时，由资本投入,qflk 量变化所带来的最大产量的变化.由该生产函数可以得到相应的资本 总产量、平均产量和边际产量相互之间的关系，它们的定义公式分 别为： , ,kkktpltpltpflam 或者 0,limkkktldtlm 根据三者的定义，可以绘制下图中的函数图像来表示三者的关 10 系.图中的横轴表示可变要素劳动的投入量 ，纵轴表示产量 ，lq 、 、 三条曲线顺次表示劳动的总产量曲线、平均产量曲线tpam 和边际产量曲线. 由图可以清楚地看到，对一种可变生产要素的生产函数来说， 边际产量递减规律决定了边际产量表现出先上升而最终下降的特征. 根据边际产量的定义公式 可知，过 曲线任何,ldtpkmltp 一点的切线的斜率就是相应的 值.l 曲线在 的斜率大于零. 曲线的一阶导数即为 曲线lmp10pl 的二阶导数.所以 曲线在 阶段的二阶导数大于零，即 在lt10tp 阶段为凸函数.也就是说，边际产量 曲线，在 阶段上升，10 lm10 达到最大值后，然后再下降.所以相应的总产量 曲线的斜率先是t 递增的，在 到达拐点，然后再递减.1l 通过上述分析可以发现：根据在边际报酬曲线递减规律作用下 的边际产量 曲线先上升，最终下降的特征，可以先描绘出 曲lmp lmp 线.由总产量和边际产量之间的关系可以描绘出 曲线的图象.最后ltp 11 由平均产量和总产量之间的关系描绘出 曲线的图象.凸函数在描lap 述三者关系中间发挥了很大的作用，利用函数凸性可以描绘出生产 函数图象.估算和研究生产函数，对于经济理论实践和生产实践又是 前提. 以上两种经济曲线的凸性分析，从数学的角度使我们对常见的 经济现象有了更加深入的理解.经济教材中复杂的经济曲线，通常具 有一定的凸性，所以掌握了这种分析方法，对以后的经济问题探索 有很大的帮助. 4 4.2 凸函数在经济优化中的应用 在经济生产过程中，为了提高经济资源配置效率，使用最少的 资源和能源，达到获得最大的经济效益的目的.厂商会进行预算估计， 建立起利润，成本和价格之间的关系函数，然后利用凸函数求极值 的方法来解决利润最大、成本最小的问题.函数的极值是根据定理 4 极值的充分条件求得的.由定理 4 可知，可导函数的二阶导数大于零 即为凸函数，则在稳定点取得的函数值为极小值；可导函数的二阶 导数小于零即为凹函数，则在稳定点取得的函数值为极大值. 4.2.1 利润最大问题 利润最大化问题的求解取决于厂商的需求函数、成本函数以及 生产组合情况，它们之间存在一定的函数关系.这个函数若是凸（凹） 函数的话，就满足了凸（凹）函数的性质.可以用定理 4 中求极值的 充分条件，得到生产关系中利润函数的最大值. 12 例 1 北京一家商场的某商品的需求函数为 （p 的1208q 单位为元） ；该商品的总成本函数为 ;且每件商品需要250c 纳税 2 元，求出使销售利润最大的产品单价和最大利润额. 解 该商品的收入函数为 ，12082rpp 将 代入 得出总成本函数1208q5cq6504p 则利润函数为 lpr212082650481690p 由 得 ,又因为 ，则611l 时，根据定理 3， 为凹函数，则在 处取得极大值，10pl10 由于是唯一的极值点，所以是最大值，当单价为 101 元时，销售利 润取得最大，最大利润为 元.10678 在解决最大利润问题时，先找到利润和其它生产要素之间的函 数关系式，对利润函数求一阶导数，得到利润函数的稳定点.再求利 润函数的二阶导数，从而判断利润函数是否为凹函数,根据推论求得 的利润函数是凹函数，则在稳定点的函数值即为极大值,即利润最大 值.这样就把经济问题转化为了数学中常见的函数问题，经济中最优 化问题看成简单的凸函数求极值的问题，这样可以使问题简单化， 便于理解. 4.2.2 成本最小问题 下面看一下成本最小问题. 13 例 2 要做一个容量为 的圆柱形饮料罐，当罐子的底半径350cm 为多少时，才能最省材料. 解： 设饮料罐的高为 ，底半径为 ，则表面积 ，hr2srh 由体积 得 ，带入可得250vrh2r ， 10sr 由 得 ，又因为 ，可知 为凸函数，214sr4.3r240s 则当 时， 取得极小值，只有一个极小值点，既是最大值.当.3s 底半径为 4.3cm 时，用的材料最少. 求成本最小问题时，首先建立起函数关系式，根据定理 4 极值 的第二充分条件，判断函数关系式是凸函数，所以在稳定点求的函 数值为极小值，即成本最小值.利用凸函数求极值来解决这类问题， 可以在经济活动中节省资源，避免浪费. 4.2.3 最佳库存问题 在生产与销售管理中，库存量一定要适度，库存太少，会造成 供不应求，失去时机；库存太多，又会出现资金积压或货物过期等 状况，生产厂家或销售公司要想维持正常的生产和销售,管理者必须 确定物资的库存量，即何时补充库存，应该补充多少等.可以把库存 问题转换化为函数关系表示，然后用凸函数求极值解决最佳库存问 题. 例3 武汉某公司的a产品年销售量为10万件，假设这些产品分成 若干批生产，每批需生产准备费100元；并假设产品的平均库存量为 14 批量的一半，且每件产品库存一年需库存费005元.现想要使每年 生产所需的生产准备费与库存费之和为最小，则每批的生产量是多 少最合适. 解： 设每年的生产准备费与库存费之和为 ，批量为 ，则wx ， 71010.524xwx 由 得 ，又因为 ，可知 73210x4273x 是凸函数.所以当 时 去的极小值，且是唯一的极w410xx 小值，即为最小值,所以当每批生产2万件时最合适,使得每年生产所 需的生产准备费与库存费之和为最小. 解决经济学中的优化问题，可以归结为求某个函数的最值问题. 步骤为： （1）分析经济问题，列出目标函数关系式； （2）对函数关系式求一阶导数，并令其为零，求出稳定点； （3）对函数关系式求二阶导数，判断函数是否是凸函数.若为凸 函数，则在稳定点求的函数值为极小值；若为凹函数，则在稳定点 求的函数值为极大值. （4）当确定该问题存在最大值或最小值时，判定所求的极值点 若是唯一的，则函数在该驻点处取得最值.最终求得经济中的利润最 大，成本最小问题. 5 15 4.3 凸函数在风险态度中的应用 期望效用函数是商家们很关心的一个指标，所谓期望效益函数 就是用来刻画经济活动者在不确定环境下决策的函数，它在一般情 况下是凹函数. 设某经济活动者的期望效益函数为单变量函数 .不妨设这里()ux 自变量的含义就是收入.假设 为两种可能的收入；得到 的概,0xy 率为 ，而得到 的概率为 .记这样的事件为 ，那么由期py(1)p(,)xyp 望效用函数的定义，可得到这一事件的效用为： (,)()1()uxyuxpy 此经济活动者对 这一事件中所包含的风险的态度可由,p 与 的比较来刻画.若 ，(,)uxyp(1)uxy()(,)xyuxp 则称该经济活动者为风险中性者.如果 ，那1up 么称该经济活动者为风险厌恶者.如果 ，那()(,)xyx 么称该经济活动者为风险爱好者. 与以上的分析相对应，消费者的风险态度也可以根据消费者的 效用函数的特征来判断.一个人是风险厌恶的充要条件是他的效用函 数为凹函数.因此，判断一个人是不是风险厌恶者，只需要验证其效 用函数是不是凹函数.在判断一个人是不是风险爱好者，只需要验证 其效用函数是不是凸函数.消费者对待风险的态度，影响着消费者在 不确定情况下的行为决策.如下图所示 16 图中效用曲线上的任意两点间的弧都高于这两点间的弦.由函数 的凹凸性判断，该函数是凹函数，且斜率大于零.根据消费者的效用 曲线 ，消费者在无风险条件下持有一笔确定的货币财富量的效ux 用 相当于 的高度，而拥有一张具有风险的期望效用1pya 相当于图中 的高度.显然 点高于 点.所以，图xbab 中的效用函数 满足风险回避者的判断条件.如果从函数的图像来ux 看，自然是曲线向上弯得越厉害，对风险就越厌恶，曲线的弯曲程 度可以用函数的二阶导数来刻画. 风险爱好者和风险中立者的效用函数的分析是类似的.在实际经 济生活中，大多数的消费者都是风险回避者.三者的图象如下图所示. 17 当消费者面临一种风险时，如果对