数学与应用数学专业论文26422.doc

本科学生毕业论文（设计）题 目 待定函数法在解微分 方程中的应用 待定函数法在解微分方程中的应用摘要：待定函数法是求非齐次线性方程一种基本方法，也适用于变系数线性方程。本文讨论待定函数法在解一阶线性方程以及二阶常系数线性方程中的应用，给出了待定函数法求解一阶线性方程和二阶常系数线性方程的自然过程，并推出了一阶线性方程和二阶常系数线性方程的通解公式，还举出了相应的示例，并且利用类似方法，可以求解三阶或三阶以上的常系数线性方程。关键词：待定函数法；一阶线性方程；二阶常系数线性方程the application of method undetermined function in solving differential equation shen ting-gui (the department of mathematics of institute of shaoyang, shaoyang hunan 422000) abstract : undetermined function law to ask homogeneous linear equation one basic method non- , meet on linear equation of coefficient of turning into too. this text to discuss and undetermined function law in solve one steps linear equation and two steps often coefficient application of the equation, provide and undetermined function law ask and solve one steps linear equation and two steps often coefficient natural course of equation, and has put out a steps of linear equations and two stepses of generals solution formula of the coefficient equation frequently, still put out corresponding giving a demonstration, and utilize the similar method , can ask and solve often coefficient equation of three steps or more than three steps . keyword: method of undetermined function; first order differential equation ;second order linear differential equation1引言待定函数法不仅在解常微分方程中有用武之地，就是在解某些偏微分方程时，也少不了用待定函数法。对于一般的线性方程是没有普遍的解法，我们在解一阶线性方程以及二阶常系数线性方程时，用初等变换法、积分因子法、分离变量法求解，有时会有一定的困难，但我们用待定函数法去求解时理论上简单明了，计算简捷。2一阶非齐次线性方程其中p(x) 、q(x)为已知函数，（1.1）所对应的齐次方程为方程（1 .2 ）是变量可分离的方程，其通解为这里为任意常数下面讨论用待定函数法求非齐次线性方程（1.1）的通解。不难看出，（1.2）是（1.1）的特殊情形，两者既有联系又有差别，因此可以设想它们的解也应该有一定的联系，而又有差别，那么可以利用方程（1.2）的通解（1.3）的形式去求出方程（1.1）的通解。显然，如果（1.3）中恒保持常数，它必不可能是（1.1）的解，因此可以设想在（1.3）中将常数变易为x的待定函数v（x）,使它满足方程（1.1），从而求出v(x), 为此令（1.4）为（1.1）的通解，由（1.4）有 将 （1.4）、（1.5）代入（1.1）得+= q(x)即= q(x)积分之，可求得式中 c为积分常数。把求出的代入（1.4）就得到（1.1）的通解例1 求方程（ x+1）的通解，这里为常数。解：将方程改写为 （1）首先求线性方程的通解，从得到齐线性方程的通解其次应用待定函数法求非齐次线性方程的通解，为此，在上式中把c看成为x的待定函数c(x), 即得（2）微分之，得到（3）把（2）及（3）代入（1），得到积分之，即可求得因此，以所求的c (x) 代入 （2）式得到（c为任意常数）3 二阶非齐次常系数线性方程（1.6）其中、为常数,f(x)为已知函数，（1.6）所对应的齐次方程为 （1.7）方程（1.7）用求特征方程根的方法可求出通解，设（1.7）的通解是（1.8）这里、为两个任意常数，、为两个线性无关的函数。为了求方程（1.6）的通解，也用待遇定函数法。即把（1.8）中的、换为x的函数u(x)、v(x), 令（1.9）为方程（1.6）的一个特解，其中u(x)、v(x)为两个待定函数由（1.9）有 这样，就在中出现了及，为避免它们的出现可先假定（1.10）则有 将上两式代入方程（1.6）得整理后得因为、均为方程（1.7）的解，所以有， （）故得 （1.11）（1.10）是事先假定的，现在应考虑进去，即考虑下列方程组。设则 于是，方程组的系数行列式因此方程有唯一组解。 （1.12） （1.13）分别对上两式积分，就可得u(x)、v(x)，再代入（1.9）就得（1.6）的特解，最后根据通解结构理论2知（1.6）的通解为例2 求方程 （1） 的通解。 解：先求对应齐次方程 （2）的通解。特征方程是：22-4-6=0由于22-4-6=2（+1）（-3），故特征根1=-1，2=3，从而对应齐次方程通解为 （3）为了求方程（1）的通解，用待定函数法，即把（3）中、换为x的函数u(x)、v(x)，令 （4）为方程（1）的一个特解，其中u(x)、v(x)为两个待定函数。设 根据（1.12）及（1.13）两式得 （5） （6）对（5）、（6）两式分别积分得把u(x)、v(x)代入（4）式，得根据通解结