易拉罐下料问题数学建模论文.doc

平顶山学院 数学与信息科学学院 数学与应用数学专业 数学建模论文论文名称易拉罐下料问题题号4、易拉罐下料问题成员成员1成员2成员3姓名学号指导老师2011年12月15日 易拉罐下料问题摘 要数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的一种强有力的数学手段。 数学建模就是用数学语言描述实际现象的过程。其中，线性规划方法是数学建模方法中的一种，它是在第二次世界大战中发展起来的一种重要的数量方法，是运筹学的一个最重要的分支，理论上最完善，实际应用得最广泛。主要用于研究有限资源的最佳分配问题，即如何对有限的资源作出最佳方式地调配和最有利地使用，以便最充分地发挥资源的效能去获取最佳的经济效益。在建立模型时，考虑到实际题目的要求，我们对易拉罐的生产模式进行了合理的设计并约定特定的公式符号以及对问题进行进一步分析。对几种易拉罐的生产模式进行定量描述，采用线性规划方法建立线性规划模型，并通过lingo软件对模型进行求解，以确定最佳的生产方式。对于问题（3）我们用求极值的方法确定易拉罐高h与底面半径r之间关系，进而根据体积求出h和r的值，再用类似于上述的方法求解。最后，本文对模型进行评价，指出了模型的科学性跟合理性。关键词：最大生产量 盈利 形状与尺寸 1、 问题重述易拉罐生产企业采用一套柔性制造系统生产一种容量为255毫升的易拉罐，这种易拉罐是用镀锡板冲压制成的。易拉罐为圆柱，罐高13cm，上盖和下底直径为5cm。加工原料为50cm60cm的镀锡板。（1）200张镀锡板最多可以生产多少只易拉罐？怎样安排生产？（2）现在可以每一张1元的市场价购买最多2万张镀锡板，每种不同的加工模式需要付出100元生产准备费。每张镀锡板加工费0.1元，而加工余料可以1元/平方米的价格出售。每只易拉罐加工费0.02元，收益为0.2元。产量至少达到怎样的规模公司才可以盈利？怎样安排生产，可以使总利润达到最大？（3）如果允许改变易拉罐的形状，怎样可以进一步节省材料和提高利润？对于变形后的易拉罐回答（1）（2）中的问题。二、问题分析首先，需设计可行的下料模式，所谓下料模式是指按照需要在原料上安排下料的一种组合。其次，应当确定哪些下料模式是合理的，通常假设一个合理的下料模式的余料不能再做出我们所需要的罐身和底，盖。通过建模研究易拉罐形状和尺寸的最优设计问题，实际问题中，易拉罐的形状是相对固定的，要研究的是最优尺寸。所谓节省材料提高利润就是在易拉罐容积一定的约束下，使得所用材料最省。三、模型假设（1）生产模式设计时只考虑简便合理，不考虑是否最充分利用问题。（2）只考虑材料的节省，不考虑实际生活中可能遇到的其他因素。四、符号定义:第i种模式用的镀锡板张数：易拉罐个数：不配套的罐身个数：不配套的底，盖个数：罐身的高：底面圆半径: 易拉罐的体积：易拉罐的表面积：总利润：01变量，时；时5、 模型的建立与求解模型:1.1问题分析已知底，盖的直径为5cm，可得其面积为19.625，周长为15.7cm;已知罐身高为13cm,可得其面积为204.1。通过计算设计出如下三种下料模式： 表1 三种下料模式的特征罐身个数底盖个数余料损失/cm2模式11210354.55模式2940378.1模式301207851.2模型的建立与求解问题（1）决策目标：最多可生产的易拉罐个数 （1.1）约束条件： （1.2） 可以等价以下两个线性不等式 （1.3） （1.4）求解:模型（1.1）（1.4）直接输入lingo求解得到：模式1使用122次，模式2使用78次，模式3不使用，可生产易拉罐2166个。global optimal solution found. objective value: 2166.000 extended solver steps: 0 total solver iterations: 0 variable value reduced cost y1 2166.000 0.000000 x1 122.0000 -12.00000 x2 78.00000 -9.000000 x3 0.000000 0.000000 row slack or surplus dual price 1 2166.000 1.000000 2 0.000000 0.000000 3 0.000000 1.000000 4 4.000000 0.000000问题（2）考虑余料损失则总的余料损失包括两部分：几种下料模式下的余料和不配套的罐身和底，盖造成的原料损失。因此总的余料损失为其中 (1.5) (1.6)则利润决策目标：1）在条件下， (1.7)用的镀锡板总张数 2) (1.8)约束条件;（1.3）（1.6）再加上 (1.9)由于每种不同的加工模式需要付出100元生产准备费，于是我们分以下几种情况对问题进行论： , , ；，, , ；，；，, , ；，；，；，求解:1）分别在上述六个条件下对模型（1.3）（1.7）,(1.9)直接输入lingo求解对比得，公司要盈利至少要达到的规模为：只用模式2使用158次，模式2和模式3不使用。 global optimal solution found. objective value: 158.0000 extended solver steps: 0 total solver iterations: 3 variable value reduced cost x 158.0000 0.000000 x1 0.000000 0.000000 x2 158.0000 1.000000 x3 0.000000 0.000000 z 0.000000 0.000000 y1 1418.716 0.000000 y2 3.283980 0.000000 y3 6313.432 0.000000 a1 0.000000 0.000000 a2 1.000000 0.000000 a3 0.000000 0.000000 row slack or surplus dual price 1 158.0000 -1.000000 2 0.000000 -1.000000 3 0.000000 0.000000 4 19842.00 0.000000 5 3.283980 0.000000 6 1741.284 0.000000 7 0.000000 0.000000 8 0.000000 0.000000 9 0.000000 0.000000 10 0.000000 -1.000000 11 157.0000 0.000000 12 0.000000 -1.000000 13 0.000000 0.000000 14 0.000000 0.000000 15 0.000000 0.000000 16 0.000000 0.0000002）分别在上述六个条件下对模型（1.3）（1.7）,(1.8)(1.9)直接输入lingo求解对比得最大利润为18377元，模式1使用12222次，模式2使用7778次，模式3不使用。global optimal solution found. objective value: 18377.73 extended solver steps: 2 total solver iterations: 8 variable value reduced cost z 18377.73 0.000000 y1 216666.0 -0.1800000 x1 12222.00 1.064545 x2 7778.000 1.062190 x3 0.000000 0.000000 y2 0.000000 -0.2041000e-01 y3 433340.0 -0.1962500e-02 a1 1.000000 0.000000 a2 1.000000 0.000000 a3 0.000000 0.000000 row slack or surplus dual price 1 18377.73 1.000000 2 0.000000 1.000000 3 0.000000 0.000000 4 0.000000 0.000000 5 4.000000 0.000000 6 0.000000 0.000000 7 0.000000 0.000000 8 12221.00 0.000000 9 7777.000 0.000000 10 0.000000 -1.021500 11 0.000000 -100.0000 12 0.000000 -100.0000 13 0.000000 -100.0000模型:2.1问题分析体积一定的条件下，想进一步节省材料和提高利润，必须使得它的表面积最小。用求极值的方法求得易拉罐高h与底面半径r之间关系，进而根据体积确定出h和r的值，再用类似于模型的方法求解。2.2模型的建立与求解易拉罐高为h ，底面圆半径为r，则体积又易拉罐的表面积： 将带入得 体积v是长数 ，半径r为变量 ，表面积s是r的函数。故设计方案转化为数学问题：当r取何值时s取最小值？由当且仅当即时易拉罐具有最小的表面积：，此时易拉罐高h=2r。也就是说当易拉罐设计为等边圆柱体时消耗的原料最少。将v=255ml代入计算得出r=3.44cm,h=6.88cm则底，盖的面积为37.2，周长为21.6cm，罐身面积为148.6。通过计算设计出如下四种下料模式：罐身个数底盖个数余料损失/cm2模式4832620.8模式51414398.8模式6056916，8 表2 四种下料模式的特征问题（1）决策目标：最多可生产的易拉罐个数 （2.1）约束条件： （2.2） 可以等价以下两个线性不等式 （2.3） （2.4）求解：模型（2.1）（2.4）直接输入lingo求解得到：模式5使用160次，模式6使用40次，模式4不使用，可生产易拉罐2240个。global optimal solution found. objective value: 2240.000 extended solver steps: 0 total solver iterations: 3 variable value reduced cost y1 2240.000 0.000000 x4 0.000000 -8.000000 x5 160.0000 -14.00000 x6 40.00000 0.000000 row slack or surplus dual price 1 2240.000 1.000000 2 0.000000 0.000000 3 0.000000 1.000000 4 0.000000 0.000000问题（2）总的余料损失包括两部分：几种下料模式下的余料和不配套的罐身和底，盖造成的原料损失。因此总的余料损失其中 (2.5) (2.6)则利润决策目标：1）在条件下， (2.7)用的镀锡板总张数 2) (2.8)约束条件;（2.3）（2.6）再加上 （2.9）由于每种不同的加工模式需要付出100元生产准备费，于是我们分以下几种情况对问题进行讨论, , ；，, , ；，；，, , ；，；，；，求解:1）分别在上述六个条件下对模型（2.3）（2.7）,(2.9)直接输入lingo求解对比得，公司要盈利至少要达到的规模为：用的总镀锡板张数为191，其中模式5使用89次，模式6使用102次，模式4不使用。global optimal solution found. objective value: 191.0000 extended solver steps: 2 total solver iterations: 10 variable value reduced cost x 191.0000 0.000000 x4 89.00000 1.000000 x5 102.0000 1.000000 x6 0.000000 0.000000 z 0.000000 0.000000 y1 2136.526 0.000000 y2 3.474331 0.000000 y3 4269.051 0.000000 a4 1.000000 0.000000 a5 1.000000 0.000000 a6 0.000000 0.000000 row slack or surplus dual price 1 191.0000 -1.000000 2 0.000000 -1.000000 3 0.000000 0.000000 4 19809.00 0.000000 5 3.474331 0.000000 6 1.474331 0.000000 7 0.000000 0.000000 8 0.000000 0.000000 9 0.000000 0.000000 10 88.00000 0.000000 11 101.0000 0.000000 12 0.000000 -1.000000 13 0.000000 0.000000 14 0.000000 0.000000 15 0.000000 0.0000002）分别在上述六个条件下对模型（2.3）（2.7）,(2.8)(2.9)直接输入lingo求解对比得最大利润为20791元，模式5使用16000次，模式6使用4000次，模式4不使用。 global optimal solution found. objective value: 20791.36 extended solver steps: 0 total solver iterations: 5 variable value reduced cost z 20791.36 0.000000 y1 224000.0 0.000000 x4 0.000000 0.000000 x5 16000.00 -1.511960 x6 4000.000 0.8000000 y2 0.000000 0.1725800 y3 448000.0 0.000000 a4 0.000000 0.000000 a5 1.000000 0.000000 a6 1.000000 0.000000 row slack or surplus dual price 1 20791.36 1.000000 2 0.000000 1.000000 3 0.000000 0.000000 4 0.000000 0.000000 5 0.000000 0.000000 6 0.000000 0.1800000 7 0.000000 0.3720000e-02 8 0.000000 0.5211200 9 15999.00 0.000000 10 3999.000 0.000000 11 0.000000 -100.0000 12 0.000000 -100.0000 13 0.000000 -100.00006、 模型评价1.模型优点（1）通过利用数学工具和lingo编程的方法，严格地对模型求解，具有科学性。（2）模型运用求极值的数学方法，计算方便，简单易懂。2.模型的缺陷（1）模型只考虑了半径与高之比，没有考虑其他，可能有点不全面。（2）建立的模型没能与实际紧密联系，因此通用性、推广性较弱。七、参考文献1 数学模型（第四版），高等教育出版社2 易拉罐形状和尺寸的最优设计模型（2006年全国二等奖作品）附录1模型最大生产量max=y1;x1+x2+x3=200;y1=12*x1+9*x2;y1=5*x1+20*x2+60*x3; gin(x1); gin(x2); gin(x3);endglobal optimal solution found. objective value: 2166.000 extended solver steps: 0 total solver iterations: 0 variable value reduced cost y1 2166.000 0.000000 x1 122.0000 -12.00000 x2 78.00000 -9.000000 x3 0.000000 0.000000 row slack or surplus dual price 1 2166.000 1.000000 2 0.000000 0.000000 3 0.000000 1.000000 4 4.000000 0.000000附录2模型最小规模min=x;x=x1+x2+x3;z=0.18*y1+0.0001*(354.55*x1+378.1*x2+785*x3+204.1*y2+19.625*y3)-1.1*(x1+x2+x3)-100*(a1+a2+a3);x1+x2+x3=20000;y1=12*x1+9*x2;y10;x1=1;x2=1;x3=1;a1=1;a2=1;a3=1; gin(x1); gin(x2); gin(x3);end global optimal solution found. objective value: 324.0000 extended solver steps: 2 total solver iterations: 9 variable value reduced cost x 324.0000 0.000000 x1 200.0000 1.000000 x2 123.0000 1.000000 x3 1.000000 1.000000 z 0.000000 0.000000 y1 3503.966 0.000000 y2 3.034156 0.000000 y3 7033.932 0.000000 a1 1.000000 0.000000 a2 1.000000 0.000000 a3 1.000000 0.000000 row slack or surplus dual price 1 324.0000 -1.000000 2 0.000000 -1.000000 3 0.000000 0.000000 4 19676.00 0.000000 5 3.034156 0.000000 6 16.03416 0.000000 7 0.000000 0.000000 8 0.000000 0.000000 9 0.000000 0.000000 10 199.0000 0.000000 11 122.0000 0.000000 12 0.000000 0.000000 13 0.000000 0.000000 14 0.000000 0.000000 15 0.000000 0.000000min=x;x=x1+x2+x3;z=0.18*y1+0.0001*(354.55*x1+378.1*x2+785*x3+204.1*y2+19.625*y3)-1.1*(x1+x2+x3)-100*(a1+a2+a3);x1+x2+x3=20000;y1=12*x1+9*x2;y10;x1=0;x2=1;x3=1;a1=0;a2=1;a3=1; gin(x1); gin