概率方法在其他数学问题中的应用 毕业论文.doc

概率方法在其他数学问题中的应用 海 南 大 学毕 业 论 文（设计） 题 目： 概率方法在其他数学问题中的应用 学 号： 姓 名： 年 级： 2007级 学 院： 信息科学技术学院 系 别： 数学系 专 业： 数学与应用数学 指导教师： 完成日期： 2011年 4 月 18 日 25概率方法在其他数学问题中的应用摘要基于对数学分支中概率统计重要性的认识，本文通过分析： 一、概率方法在经典数学中的应用；二、概率方法在近代数学中的应用；三、概率方法在经济数学中的应用；这三个方面的应用来说明概率统计的重要性。数学一共五大分支，1.经典数学2.近代数学3.计算机数学4.随机数学5.经济数学 。而概率方法在每一个数学分支都有应用，可见概率方法在数学领域是何等的重要。作为研究随机现象数量规律的一门数学分支学科，概率论有着悠久的历史，早在16、17世纪，就有一些著名数学家探讨过掷骰子在赌博中出现的各种概率计算问题。随后，法国科学家拉普拉斯集前人之大成，并在概率论中引入了更有力的分析工具，证明了第二个极限定理，即中心极限定理的雏形；同时他还从哲学的高度提出了“概率论终将成为人类知识中最主要的组成部分”的重大见解，大大扩展了概率论的应用范围。概率论的理论和方法与数学其他分支、自然科学、工程技术以及社会经济相互交叉、渗透，取得了极其丰富的成果，已经成分一些自然科学学科、社会和经济科学学科的坚实的方法论。关键词：概率；经典数学；近代数学；经济数学； abstract based on mathematics branch in recognition of the importance of probability and statistics, this paper analysis:1, probability method in classical mathematic application;2, probability method in modern mathematics application;3, the probability method in the application of economic mathematics, mathematics branch, 1. total five classical mathematical 2. modern mathematics 3. computer mathematics 4. random mathematical 5. economic mathematics. and probability method in every branch of mathematics are applied, visible probability method in mathematics field how important they are. as a research random number of a foreign law phenomenon of mathematics branch of discipline, probability theory has a long history, early in the 16th and 17th centuries, there is some famous mathematician discussed in gambling dice various appearing in the probability calculation problem. subsequently, french scientists laplace sets of forefathers of dacheng, and in probability theory introduced into the more powerful analytical tools, proved the second limit theorem, namely the rudiment of center limit theorem, he also put forward from philosophy view of human knowledge in the probability will be the main component of major views, greatly expanded probability range of applications. probability theory and method and mathematical other branch, natural science, engineering technology and social economy overlapping, seepage, and achieved extremely abundant achievements, has some natural ingredients in scientific discipline, social and economic science disciplines of solid methodology.keywords: probability, classical mathematic; modern mathematics, economic mathematics, 目录引言（1） 1、 概率方法在经典数学中的应用；（2）1.1、 概率积分法基本原理(2）1.2、 概率积分法应用于开采沉陷预计时的误差分析（3）1.3、 概率积分法的修正（4）1.4、 概率积分法参数求取的发展展望（6）二、概率方法在近代数学中的应用；（6）2.1、多目标决策；（6）2.2、等概率法（拉普拉斯决策准则）；（7）2.3、决策树法（或称概率树决策法）；（8）2.4、蒙特卡罗方法的应用（11）三、概率方法在经济数学中的应用；（14）3.1、按概率的定义计算（15）3.2、按概率的公式与性质计算（15）3.3、由随机变量的概率分布计算（15）3.4、概率的在股票和盈利中的应用（17）四、致谢（24）五、参考文献（25）概率方法在其他数学问题中的应用引言 概率论是对随机现象统计规律演绎的研究，由于随机现象的普遍性，使得其具有极其广泛的应用，特别是在科学技术、工农业生产等方面。随着概率问题研究和应用的日益深入，随机变量独立性研究的重要性亦与日俱增。独立性是概率统计中最基本的概念之一，无论在理论研究还是在实际应用中都具有特别重要的意义概率论和数理统计已有的成果很多都是在某种独立性的前提下得到的随机变量独立性的研究因而应在该课程的教学与教研中倍受重视通过对它的研究可使许多理论问题的讨论和实际问题的概率模型的计算得到简化。 对于随机变量独立性判定的研究，一般思路是从其定义出发，通过定义、概率分布（函数）、密度函数等经典方法来进行，但在实际问题的解决过程中常会碰到困难，有些从定义出发根本无从下手，有些难于求出边缘分布或边缘密度函数。一般的教材和教辅书对这个课题只是泛泛地叙述了一下。如魏宗舒的概率论与数理统计教程只是简单地描述了它的定义，而没有进行进一步的探讨。孙荣恒的应用概率论也只从整体上论述了一下，而未进行具体深入的探讨。近年来，关于这方面的著作、文献逐渐多了起来。在一些文献中，如毛纲源的概率论与数理统计解题方法技巧归纳对这方面的研究有了较为全面的论述。董俊超通过分布矩阵的秩，骈俊生等通过可分离变量概率密度的判别，使随机变量独立性的判定研究有了进一步的发展。但如何针对不同的类型，找到一个快速化、合理化、普适化的判定方法呢？如何系统的理解和掌握随机变量独立性的判定方法呢？本文着重就此进行归纳总结，针对其中存在的若干问题进行讨论，寻找相关的解决办法。 通过查阅中国期刊网近年来有关该课题研究的论文和阅读一般的高校教辅书，并对之进一步的分析、探讨，从而构建了本文的体系。阜阳师范学院的骈俊生和张德然在1995年6月第2期的工科数学中发表的一篇论文关于二维连续型随机变量独立性的判断就二维连续型随机变量，给出了两种判断其分量独立性的理论和具体方法，并对其进行了比较。从而较为容易判定二维连续型随机变量的独立性。要是能把它推广到 维随机变量独立性的判定，那就更具有普遍性了。这个问题在1998年10月李裕奇、赵刊发表在西南交通大学学报上的一篇论文 维随机变量独立性的一个充要条件上得到了解决。他们就此给出了 维随机变量独立性的一个充要条件，避开了求边缘概率密度函数的繁琐过程，使判定随机变量的独立性的工作变得较为简单。而本文就变量取值方面进行了探讨，并对上述方法进行了分析、总结，使上述定理方法更简便明了，更容易使读者理解和接受。第一章、概率方法在经典数学问题中的应用-主要在积分方面的应用1.1概率积分法基本原理概率积分法是因其所用的移动和变形预计公式中含有概率积分（或其倒数）而得名。由于此方法的理论基础是随机介质理论，所以又叫随机介质理论方法1随机介质理论首先由波兰学者李特威尼申与50 年代引入岩层移动研究，后由我国学者刘宝琛、廖国华等发展为概率积分法【2】。经过我国开采沉陷工作者不断的研究，目前以成为我国较成熟的、应用最为广泛的预计方法之一。该方法认为开采引起的岩层和地表移动的规律与作为随机介质的颗粒体介质模型所描述的规律在宏观上相似。概率积分法属于影响函数法,通过对单元开采下沉盆地进行积分即可求取工作面开采地表移动与变形值，参考文献 1 中给出了详细的推导过程。在计算机实现过程中,可以将工作面剖分成0.1h0.1h(h 为工作面平均采深)的矩形网格进行积分。具体实现过程可参见文献。1.2 概率积分法应用于开采沉陷预计时的误差分析概率积分法应用于开采沉陷预计主要有两种误差来源，即模型误差和参数误差【3】。其中，模型误差又分为“第一类模型误差”、“第二类模型误差”和“第三类模型误差”。概率积分法的理论模型基于随机颗粒介质模型，与真实情况差异较大，在非充分采动极不充分采动时，由于岩层结构对地表沉陷有一定的控制作用，偏离概率积分模型的假设较远，这种由于达不到充分采动而导致的模型误差称为“第一类模型误差”； 概率积分法考虑上覆岩层为均质颗粒介质,不涉及具体地质构造，由于具体地质构造而导致的模型误差称为“第二类模型误差”；由于概率积分法本身基础理论的缺陷,在实际应用中还存在一些问题,由于模型本身理论上的缺陷导致的模型误差称为“第三类模型误差”。这里重点介绍参数误差。概率积分法预计参数4包括下沉系数、水平移动系数、主要影响角正切、拐点偏距、影响传播角等。目前,概率积分法参数获取主要有2 种方法: 通过实测地表移动资料反演预计参数; 在没有实测资料可借鉴的情况下,参照临近矿区或规程上的预计参数经验值。概率积分法参数反演涉及下沉系数、主要影响角正切、水平移动系数等8 个参数,且部分参数之间具有一定的相关性。因此,反演出的参数极有可能与开采沉陷规律相悖,纯属数学意义上的预计参数;另一方面,由于各矿区在具体地质采矿条件方面的差异,使采用临近矿区的预计参数进行预计误差较大。这种由于参数反演或选取使预计参数不准确而导致的误差称为“参数误差”。1.3 概率积分法的修正 针对概率积分法预计存在的误差,我国科技工作者对此进行了深入的研究,针对模型误差和参数误差分别有很多学者提出了不同的修正方案。对于模型误差的修正，详见参考文献,诸多学者提出了修正方案，这里不再赘述，下面重点介绍现阶段对预计参数求取时误差的修正。参数误差包括参数选取误差和参数反演误差。一方面,在缺乏预计区域内预计参数的情况下,采用临近矿区的概率积分法预计参数,由于各矿区本身地质采矿条件的差异,存在误差不可避免; 另一方面,在利用数据处理方法反演预计参数的同时,由于各参数之间的相关性和数据处理方法的局限性,反演出的参数与真实值总是存在一定的差异。目前,对参数选取误差的修正方案主要有2 种。（1）建立本矿区的岩移观测站,通过观测站反演本矿区的预计参数,这是修正参数选取误差的主要方法。（2）采用非线性科学辅助进行参数选取。郭文兵、邓喀中、邹友峰等在分析沉陷预计参数与地质采矿因素关系的基础上,提出利用人工神经网络进行沉陷预计参数的选取,研究结果表明,神经网络方法选取的概率积分法参数误差在5%以内。栾元重采用神经网络对下沉系数和主要影响角进行了建模,实现了岩层移动参数的类比。张庆松等采用粗集理论对岩移数据进行预处理,提高了神经网络方法选取参数的效率和准确度;研究结果表明,各地质采矿因素对下沉的支持度由大到小依次为采厚、采深、采宽、采长、岩性和煤层倾角。麻凤海等利用改进的bp 神经网络对沉陷预计参数进行建模,研究结果表明,神经网络选取概率积分法预计参数误差在6%范围内。柴华彬、邹友峰提出利用相似第二准则和模式识别理论进行沉陷预计参数的选取,给出了基于准则的开采沉陷预计参数计算公式和确定方法。研究认为:地表下沉系数和主要影响角正切主要与岩体的综合变形模量有关,采深和采厚对其影响较小;拐点偏移距与采深的比值和水平移动系数也主要与岩体的综合变形模量有关,但采深和采厚也对其具有一定的影响。于宁峰、杨化超提出将粒子群优化（pso）算法和bp 神经网络进行融合，采用改进的混合粒子群优化算法优化神经网络的权值和阈值，在分析概率积分法参数与地质采矿条件之间关系的基础上, 建立了基于pso 优化bp 神经网络的概率积分法预计参数的优化选择模型。研究表明：pso-bp 神经网络方法用于概率积分法预计参数的选取收敛速度更快, 计算精度更高。神经网络具有自适应性、非线性和强容错性等特点,具有同时能处理确定性和不确定性动态非线性信息的能力,能建立复杂的非线性映射关系,特别适合于处理各种非线性问题。目前,神经网络方法并不是用于直接从观测站的数据中反演参数,而是通过建立基于已知参数的神经网络用于预测新情况下预计参数。目前参数反演的方法较多,大致包括利用特征点求参、曲线拟合法求参、空间拟合法求参、正交试验设计法求参、模矢法求参;从数据利用度、求参稳定性、计算机实现难易程度、主要缺陷等几个方面详细比较了不同求参方法的差异。 通过分析的比较结果,可以看出:从求参准确性、稳定性来看,曲线拟合法、正交试验法和模矢法效果较好,但正交试验法计算机实现较难;因此,常用的求参方法主要是曲线拟合法和模矢法。由于曲线拟合法、模矢法求参等都属于迭代求参,求参过程对参数初值较敏感,不合适的初值可能使求参过程发散,或者陷入局部极小点,得不到正确的参数值。为避免求参误差函数陷入局部极小点,吴侃提出迭代初值应从不同点开始,至少引入2 个独立的搜索。郭广礼将稳健估计理论应用于参数求取,认为采用稳健求参技术求得的概率积分法参数有较好的稳健性,与常规方法相比,具有明显的抗粗差或异值干扰的能力。另外，为了改善现有预计参数求取的不足，进一步提高预计精度，还有学者在以下方面做了研究，取得了较好的效果。如，路璐、刘胜富提出以多个个实测典型工作面的概率积分参数作为样本,借助matlab 的曲线拟合工具对概率积分法的预计参数进行回归分析,确定参数与矿山地质采矿因素之间的函数关系,研究结果表明：利用该方法得到的函数模型合理，用于概率积分法的地标变形移动预计是误差有所减小。胡青峰、崔希民等根据泰勒级数展开法迭代易失真、收敛速度慢以及计算量大等不足，提出借助broyden 算法的基本思想建立迭代模型研究表明：改进后的新模型在计算精度、计算量和收敛性方面具有明显的优越性。范洪东等根据概率积分法的预计参数在不同采动程度下有所变化，提出利用三次指数平滑方法来进行动态参数预计，结果表明：应用此方法预计参数的平均相对误差都小于4 %，对开采沉陷预计有一定应用价值。1.4 概率积分法参数求取的发展展望尽管基于随机颗粒介质建立的概率积分法模型在地表沉陷预计领域获得广泛的应用,但由于其基本假设的缺陷,致使其在实际应用中还存在许多问题。对于参数求取，由于在非充分采动或部分开采沉陷预计方面,目前概率积分法的预计参数仅是数学意义上的参数,参数与地质采矿条件之间联系较弱,不能依开采情况合理选定预计参数，所以，本文在总结目前研究现状的基础上,认为在开采沉陷预计参数物理意义的研究方面仍有待进一步研究。 第二章、概率方法在近代数学中的应用-主要在多目标决策和统计中的应用2.1 多目标决策：主要研究多目标决策、模糊逻缉、金融工程等。在运筹学理论及应用方面，已作出了一系列成果，近年来在非线性罚函数、交叉数学规划和神经优化和群体决策方面做出深入研究，系统地创立了非线性集值映射锥次微分理论5，开展了“数据仓库技术的理论与方法的研究”，对大规模多目标线性规划的求解进行了研究，并应用于证券投资。在de.morgan函数的优化及de.morgan不等式的求解做出了有创新的工作。首先提出了算子，研究了算子与算子之间的内在联系，建立了算子与算子之间的性质，为de.morgan的不等式的求解提出了一个解决方案。拓展了法国数学家e.sanchez的研究，丰富和发展了heyting代数理论。主要导师包括：成央金副教授、梁开福副教授。2.2 、等概率法（拉普拉斯决策准则）这是著名数学家拉普拉斯提出的决策准则。其基本原则是假定各种自然状态出现的概率相等。即如果有n个自然状态，则认为每一个自然状态出现的概率均为p=1/n，然后求出各方案的期望收益值，取其最大者作为最优决策方案，这种借助等概率的假定来作出决策的方法，就称为等概率法。等可能性决策法也称等可能性法、拉普拉斯决策准则、拉普拉斯方法 等可能性决策法概述：等可能性决策是当决策人在决策过程中，不能肯定哪种状态容易出现，哪种状态不容易出现时，可以一视同仁，认为各种状态出现的可能性是相等的。如果有 n个自然状态，那么每个自然状态出现的概率即为1/n，然后按收益最大的或损失最小的期望值(或矩阵法)进行决策。这个想法是法国数学家拉普拉斯首先提出的，所以又叫作拉普拉斯方法。 等可能性决策法的基本原理 ：等可能性决策法是当存在两种或两种以上的可行方案时，假定每一种方案遇到各种自然状态的可能性是相等的，然后求出各种方案的损益期望值，以此作为依据，进行决策；这种决策方法带有一定的主观性。 等可能性决策法的应用领域 ：等可能性决策法主要应用于生产、销售、建筑施工和交通运输等领域，在决策者无法预测各种自然状态出现的概率时，认为各种状态出现的概率相等，但每种状态下各方案的损益值是可以预测的，在这种情况下，可以使用等可能性决策法。 2.3 决策树法（或称概率树决策法）决策树法是期望值法的派生方法，是进行风险型决策时常用的方法。决策树又称决策图，是以其图形酷似大树而得名，其图形如所示。它把未来的自然状态、出现的概率、损益值等决策因素，画成有分枝的树形图，通过计算比较各方案在各种状态下的平均期望值来选择期望值最大的方案为最优方案。 状态结点 概率枝 损益值决策点 概率枝 损益值 （树根） （树梢） 状态结点 概率枝 损益值 概率枝 损益值图1 决策树构成图 从图上可清楚看出，决策树以决策结点为出发点，同时也是决策的归结点，表明决策的结果；从决策点引出若干方案枝，每条方案枝代表一个方案。在方案枝的末端有一个状态结点，用以表示各种自然状态下的平均期望值；从状态结点引出若干条概率枝，每条概率枝代表一种自然状态及其概率，在概率枝的最末端，列出各自然状态的损益值（就是损益矩阵中的qij）。决策树法的主要步骤：第一步：绘制决策树图。绘图时，从决策点开始，由左向右，逐步进行。第二步：计算各结点的期望值。即由右到左、逐步后退，根据右端的损益值ij和概率枝上的概率pij，计算出i方案多种自然状态下的期望值eij，并将它列在状态结点上。e= ()(不需投资)若需投资，上式e就需扣除该方案的投资额i： e= -i ()(需投资)第三步：剪枝。又称修枝，就是根据不同方案的期望值大小舍去期望值不好的方案，在舍弃的方案枝上画“”，以示剪掉。最后决策点只留下一条方案枝，即为最优方案。 下面举例说明决策树的应用。例1、某电视机厂为增强市场竞争能力，以便在国内外市场的三种不同销售状态下（高、中、低需求）取得较好收益，拟通过国内联营或中外合资经营渠道方式达到目的。并估计国内联营和中外合资经营签约成功的可能性均为100%。不论哪种经营签约成功，下一步都考虑两种生产方案：一是产量增加50%，全部内销；二是产量增加150%，部分外销，其余全部内销。根据调查预测，得到各方案在不同市场销售状态下的损益值如表1所示，试用决策树法进行方案决 表1各方案损益值表 单位：万元高需求（p=0.5） 中需求(p=0.3) 低需求(p=0.2) 国 内 增产50% 200 105 -350联 营 增产150% 350 120 -500中外合资 增产50% 280 0 -400经 营 增产150% 850 -300 -560解：这是一个多级决策问题。根据题意，绘制决策树图3首先计算第二级决策点的期望值，即判断增产50%的方案还是增产150%的方案好。 61.5 高需求 p=0.5 +20046 中需求 p=0.3 +105 111 低需求 p=0.2 -3502 111 高需求 p=0.5 +3505 中需求 p=0.3 +120 223 低需求 p=0.2 -5001 60 高需求 p=0.5 +28066666 中需求 p=0.3 0 223 低需求 p=0.2 -4003 223 高需求 p=0.5 +8507 中需求 p=0.3 -300 低需求 p=0.2 -560 第一级决策 第二级决策图2 决策树图 点4：e4 =p = 2000.5 + 1050.3 + (-350) 0.2 = 61.5万元 点5： e5 =p = 3500.5 + 120 0.3 + (-500 ) 0.2 = 111万元这表明在国内联营时增产150%的方案较优，因此剪掉点4，并将e5转移到点2上。点6： e6=p= 2800.5 + 00.3 + (-400) 0.2 = 60万元点7： e7 =p= 8500.5 + (-300) 0.3 + (-560) 0.2 = 223万元比较点6与点7，剪掉点6，并将e7转移到点3上。最后比较点2和点3，点3较优，剪掉点2，并将e3=e7=223万元列在点1上。因此，该电视机厂宜采用“中外合资经营”方案，并用增产150%的生产方案进行生产，部分外销，其余全部内销，可得收益223万元。2.4、蒙特卡罗方法的应用蒙特卡罗方法的基本原理：由概率定义知，某事件的概率可以用大量试验中该事件发生的频率来估算，当样本容量足够大时，可以认为该事件的发生频率即为其概率。因此，可以先对影响其可靠度的随机变量进行大量的随机抽样，然后把这些抽样值一组一组地代入功能函数式，确定结构是否失效，最后从中求得结构的失效概率。蒙特卡罗法正是基于此思路进行分析的。设有统计独立的随机变量，其对应的概率密度函数分别为，功能函数式为。首先根据各随机变量的相应分布，产生n组随机数值，计算功能函数值，若其中有l组随机数对应的功能函数值zi0，则当n时，根据伯努利大数定理及正态随机变量的特性有：结构失效概率，可靠指标。从蒙特卡罗方法的思路可看出，该方法回避了结构可靠度分析中的数学困难，不管状态函数是否非线性、随机变量是否非正态，只要模拟的次数足够多，就可得到一个比较精确的失效概率和可靠度指标。特别在岩土体分析中，变异系数往往较大，与jc法计算的可靠指标相比，结果更为精确，并且由于思路简单易于编制程序。蒙特卡罗方法（monte carlo method），也称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。是指使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。与它对应的是确定性算法。蒙特卡罗方法在金融工程学，宏观经济学，计算物理学(如粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算)等领域应用广泛。 蒙特.卡罗方法所特有的优点，使得它的应用范围越来越广。它的主要应用范围包括：粒子输运问题，统计物理，典型数学问题，真空技术，激光技术以及医学，碳矿等方面。随着科学技术的发展，起应用范围将更加广泛。 为了说明monte carlo方法的基本思想，让我们先来看一个简单的例子，从此例中你可以感受如何用monte carlo方法考虑问题。例:比如y=x2(对x)从0积到1，结果就是下图3红色部分的面积： 图3注意到函数在(1,1)点的取值为1，所以整个红色区域在一个面积为1的正方形里面。所以所求区域的面积即为在正方形区域内任取点，点落在所求区域的概率。这个限制条件是y=0)/10000; 重复计算6次，得结果 表2 第k次 1 2 3 4 5 6 数据 0.3396 0.3335 0.3363 0.3339 0.3416 0.3309 由表中数据可知，每次计算的结果都接近于定积分准确值 1/3。 由于随机因素的影响， 存在一定的误差。第3章 、概率方法在经济数学中的应用 概率论与数理统计是研究随机现象及其规律性的一门学科。作为经济数学的三大支柱之一，概率统计知识在当今信息社会里越来越重要。在经济和管理活动中，怎样使利润最大、风险最小；怎样由不确定因素得出相对可靠的结论等，只有运用概率统计的知识才能解决。本章将通过实例来讨论概率统计知识在经济管理活动中的具体应用。3.1按概率的定义计算概率的统计定义是由频率学派给出的，事件的概率是由在相同条件下重复进行试验时事件的频率确定的，求事件的概率就是观察事件的频率。古典概率定义是由古典概型问题给出的，古典概型概率的计算往往是比较初等的，通常会涉及排列数与组合数的计算。概率的公理化定义包含了前两种定义，更符合数学学科的特点，更便于进行理论上的深入分析。3.2 按概率的公式与性质计算当知道一些简单事件的概率时，若所求的事件可用简单事件的运算表示，这些时候往往用概率公式或性质计算。概率的加法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式等都要熟记。例2、设某公司拥有两支获利是独立的股票，且甲种股票获利的概率为0.8，乙种股票获利的概率为0.7，求(1)两种股票都获利的概率；(2)两种股票至少有一种股票获利的概率.解：依题意，设a表示“甲种股票获利”，b表示“乙种股票获利”，且a与b独立，p(a)=0.8，p(b)=0.7，则由乘法公式与加法公式(1) 两种股票都获利的概率p(ab)=p(a)p(b)=0.60.7=0.42。(2) 两种股票至少有一种股票获利的概率p(a+b)=p(a)+p(b)-p(ab)=0.6+0.7-0.42=0.88。3.3 由随机变量的概率分布计算研究随机现象的统计规律性抽象为研究随机变量的概率分布6，当随机变量的概率分布巳知时，随机变量取某值或某区间内的值的概率都是可以计算的。我们应当记住常见的随机变量的概率分布，如01分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布等。以下是几个例子。例3、设某厂生产的水果罐头，根据历史资料已知其不合格率为3%，重复抽出10瓶进行检验。试求：（1）两瓶为不合格品的概率；（2）至多两瓶为不合格品的概率；（3）不合格品数大于两瓶的概率。解 例 4、已知某公司生产的一批产品的次品率为0.002 5，现随机抽取1000个产品。求次品数为0，1，2，3的概率。解：将抽到的次品数看成随机变量，显而易见，服从二项分布,，代入二项分布公式求解得：用二项分布直接计算非常麻烦，因为，可采用泊松分布近似计算。 在实际应用中，二项分布和泊松分布7的计算都可以直接查书后所附的二项分布表和泊松分布表，而不需要用公式直接计算。例5、一部件包括10部分，每部分的长度是一个随机变量，相互独立，且具有同一分布。其数学期望是2，标准差是0.05，规定总长度为200.1时产品合格，试求产品合格的概率。解：设部件的总长度为，每部分的长度为，则，。由定理可知，近似地服从正态分布，则产品合格的概率为：3.4 概率的在股票和盈利中的应用 概率论在股市技术分析中的应用：辩证法有一个经典理论，即规律的普遍性和特殊性。这是从定性上说，如从定量上说就是概率论。技术分析实际上是经验分析，什么是经验？就是对事物普遍性规律的总结。股票市场上没有绝对的，在技术上，任何一类图形都没有完全走好的，也没有完全走坏的，但有相对性，即有大多数走好，或者大多数走坏之别。从概率论上讲就是，百分之多少走好，或者百分之多少走坏。如果一类图形走好的概率是：90%，就大胆地满仓操作；70%，可1/2以上仓位操作；60%，可选择情况，具体分析后，适量参与；50%以下，最好不参与。所谓90%，即10只股票里面有9只走好，赚钱；1只走坏，赔钱。我可以用1只股票的利润来弥补另1只股票的亏损，即使1只不够，用2只完全可以了吧，这样还有7到8只是纯利润，坚持下去，一年下来，利润将相当可观。所谓50%，即10只股票里面有5只赚钱，5只赔钱，赢亏相抵，零和游戏，止损点如果控制不好，反而会亏损。这种情况我从不做。有的图形非常特殊，即使有1只涨的非常好，哪怕翻几番，但同类的其它图形，可能有9只都失败了，这种图形没有普遍性，根本说明不了问题，即使赚钱也是靠运气。有一个理论，说创新高的股票就是好股票，这是不完全对的。好股票要走好，必然90%要创新高，为什么呢？1、 不创新高，产生不了高价差，只有产生了高价差，才能算走好；2、 还有10%不创新高也能走好，是因为有的股票从50元跌到15元，再从15元涨到30元，涨幅100%，虽然没有创新高，但100%的涨幅应算走好了吧！相反，创新高后并不一定都走好，因为：1、 大势好的情况下，创新高后，80%的庄再接再厉，继续上涨，这叫真突破；2、 大势不好的情况下，创新高后，90%的股票都不能走好，叫假突破，是庄家骗线行为。从逻辑数学的角度分析，创新高是股票进一步走好的必要条件，但不是充分条件，是必要但不充分。从概率论的角度分析，创新高后股票进一步走好的概率只有55%。 概率方法不仅在股票中作用重大而且在企业各个方面也必不可缺。在实际经营中,许多量之间存在某种密切联系,根据数理统计原理,可以根据往年资料或市场信息,通过对社会经济现象之间客观存在的因果关系及其变化趋势进行线性回归分析预测,从而得出未来的数量状况。下面以一元线性回归分析为例探讨一下线性回归分析在经济预测中的应用。例 6、合金的强度 与合金中碳的含量 有关,为了生产强度满足用户需要的合金,在冶炼时要控制碳的含量。现调查收集了12组数据,见表3,试建立适当的线性回归模型并进行检验。如果在冶炼过程中通过化验得知了碳的含量为0.16 ,根据模型预测这炉合金的强度。表3合金刚强度与碳含量的数据表序号序号10.1042.070.1649.020.1143.080.1753.030.1245.090.1850.040.1345.0100.2055.050.1445.0110.2155.0 0.1547.5100.2360.0解第一步,建立线性回归模型8已知一元线性回归模型为,根据公式及表中的数据得: , ,从而所求的回归模型第二步,检验线性关系的显著性现在用 检验法,经计算得 ,取显著性水平 ,则 ,由于 ,因此在显著性水平下回归方差是显著的。第三步,预测将 代入回归模型,则得到预测值为 ,在显著性水平下,得 的概率的预测区间为 ,即有的把握认为,碳的含量为时,合金的强度介于之间。 概率不仅在经济预测中为我们提供了很大的便利在企业经营中更是功不可没。以下便是概率知识在企业的盈利中的一些例子。 数学期望在企业经营中的应用： 在经济活动中，商业企业总是想方设法追逐更多的利润。为此，他们推出了各种名目繁多的活动，看似降低售价，让利于消费者，实质上还是为了提高利润。 例7、某大型商场对某种原来售价2500元的家用电器进行“让利”促销活动，推出先使用后付款的方式。设该家用电器的使用寿命为x（单位：年），规定： x1 一台付款1500元 1x2 一台付款2000元 23 一台付款3000元 已知寿命x服从参数为1/10的指数分布，请估算该商场在促销活动中销售一台该家电利润是降低了还是提高了？ 为此，需求出在促销活动中该电器售价y的数学期望e(y).先求出寿命x落在各时间区间内的概率，因为寿命x服从参数为1/10的指数分布，由大数定律知，促销活动中该电器的平均售价约为2732元，每台电器利润提高了232元。 在商品销售过程中，商品的进货量是一个很重要的因素。若商品进货过多，不但要占用大量资金，商店还要支付商品的保管费用；若进货过少，商品脱销，则商店的营业额减少，利润降低。对商店来说，控制好各商品的的进货量是至关重要的。 例8、一商店采用科学管理的方法经营商店，它对某种商品前12个月的销售情况做了记录，数据如下： 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 售出件数 5 7 7 6 4 5 3 6 6 9 10 5问商店在本月初至少进货多少件才能以95%以上的概率保证这个月不脱销。 在实际中，我们总是认为商品的销售量是服从泊松分布的，故先求出参数.商品的月平均销售件数为：设商品每月销售x件，则，由参数估计的有关知识得。所以我们可以判断出x服从参数为6的泊松分布。假设商店在月初应进货n件，则n应是满足不等式的最小值。查泊松分布概率值表得： 故 n=10，即月初商店至少进货10件，才能以95%以上的概率保证这