泰勒公式的新证明及其应用 毕业论文.doc

1 泰勒公式的新证明及其应用 中文摘要 数学分析与微积分学中，泰勒公式是将函数展成类似多项式的一个重要公 式且数学分析和微积分的关键一环。 本文章新证明了泰勒公式且到出了泰勒公式的两个推广形式。着重论述了 泰勒公式在证明不等式，极限运算，部分分式，级数的敛散性判别等方面的具 体应用方法。 关键词：泰勒公式；泰勒余项；罗尔定理；等式和不等式；极限；高价导 数；级数; 敛散性 2 目录 中文摘要 1 引言 1 1.泰勒公式及其有关定理 1 1.1 罗尔中值定理的两种推广形式 .2 2. 泰勒公式的新证明 .4 2.1 泰勒公式的推广 5 3.泰勒公式的应用 7 3.1 利用泰勒公式求极限。 .7 3.2 泰勒公式在证明不等式中的应用 .9 3.3 泰勒公式在部分分式中的应用 10 3.4 泰勒公式在 近似计算中的应用 .14 3.5 讨论级数的敛散性。 15 4.总结 .17 参考文献 .18 致谢 .19 1 引言 泰勒公式是数学分析和微积分学的一个重要公式，他有广泛的应用。下面 我重新证明泰勒公式及简单的介绍泰勒公式在求极限，证明不等式，分解部分 分式，求近似解，判别级数的敛散性等方面的应用 1.泰勒公式及其有关定理 大家都知道，一元函数泰勒公式指： 定理 1.1（泰勒定理）设 在 内存在 阶连续导数，x()ua1n 那么对 ，有 0()xua()2)()!nnaxxax (rx; 这里 称为在 在 的 次泰勒余项，简称泰勒余项。()nrxan （1）特别低 称为佩亚诺余项。()nx) （2） 称为拉格朗日余项，其中 在 与 之间。 (1)1nax （3） 称为积分型余项。()nrx(1)!xnnaftadt 由于泰勒余项形式的不同，文（1）、（2）、(3)分别利用洛比达法则、柯西中 值定理及分部积分法证明了泰勒公式。本文先探寻得到了罗尔中值定理的两种 推广形式，然后利用其重新证明了泰勒公式，并进而导出了泰勒余项的两种更 一般形式。 2 本文还论述了泰勒公式的有些最方便的应用。 1.1 罗尔中值定理的两种推广形式 引理1： 设函数 满足：()x (i)在 上存在直到 阶的连续导数；,abn (ii)在 内 阶可导；(,)1 (iii) ，且 。（ 或者 ，且 ()ab()“b()0n()ab = ）“ 0na 那么在 内至少存在一点 ，使 。(,)abc(1)0nc 证：在条件(iii)中仅就 ，且 = ()ab()a“()0na 的情形给出证明，至于后一情形可类似证明。 由假设 ，在 上连续、可导，且 ，从而由罗尔定理知在x,ab()ab 内至少存在一点 ，使 。注意到 在 上也连续、可导，(,)ab11()0x, 且 ，再由罗尔定理知在 内至少存在一点 ，使1()01(,)2 ，结合假设条件，再反复使用罗尔定理， 次，可得 在 “2() n()nx 3 上连续，在 内可导，且 ，故知在 内至少,na(,)na()na()n(,)na 存在一点 ，使 。c(1)0c 引理2：设函数 满足：()x (i)在 上存在直到 阶的连续导数；,abn (ii)在 内， 阶可导；()1 (iii) ，且， = ，（ 或者ab()a“()0na ，且 ）()()“()nb 那么对任何常数 ，在 内至少存在一点 ，使,abc1()()0nnc 证：由假设可完全类似引理1前面部分的证明，连续使用 次罗尔定理即知 在 内至少存在一点 ，使 。(,)abn()0n 于是对任何常数 ，函数 在 上连续、在 内可导，nxgxe,na(,)na 且 由罗尔定理知， 在 内至少存在一点 ，使 。()0nga()c0g 注意到在 内， , ，从而有1 1)()()()()nnnnxx xxeee 。 ，显然，引理1是引理2的特殊情形 10ncacb(0) 4 2. 泰勒公式的新证明 定理2.1：设 在内存在直到 阶连续导数， 那么，对 ，()ua1n0()xua 有 2()()!nnaaxxxr （1） 这里， ()nrx(1)1),()nncxacx 证：由假设对 ，不妨设： 0()ua （2） ()2 1)()!nnnaxaxxxka 那么： 2 1)()()()()!nnnaaafttttkta 在 （或者 ）上存在直到 阶连续导数，且注意到(2)，有,ax,1n 且 ，()0“().()0nafa 从而依引理1知存在 ，c 使 。()nf 这里 在 与 之间，而cax(1)(1)()!nnttk 故有 ()() 0fc ， (1)!nck 代入(2) 即知结论成立。 5 2.1 泰勒公式的推广 定理2.2：设 ， 在 内存在直到 阶连续导数，且()xg()ua1n ， ， 。那么对 有：“()().0nga(1)0nx0()ua0()uxa (3)2()()()()!nnaaxxxr 这里 1()()nncrgxa()c 证：首先由假设知， 对 ， 有 ( k=1,2, 0u()()0kkg n)，否则将与引理l矛盾，故先设: ()2()()()(4)!nnaaaxxxxktga 那么，由假设知 ()2)()()()!nnftattatkt 在 (或者 )上存在直到 阶连续导数,且 ，,x,1n(0fax ，依引理1知存在 ， 使， ， 这里“).(0nafac1()nc 在 与 之间，然而注意到c(1)(1)(1)nnnttkgt()() 0cc 结合 ，就有 代入（4）即知定理1成立。(1)0ngc(1)()nkg 6 显然当 。由于 ， ， 故(3)就是(1)，1()ngxa()0ga1()!nx 即定理2.1仅是定理2.2中 的情形，同样易知文【3】中的定理4x 就是定理2.2中 的情形。1(1)()!nnagtxtd 定理2.3：设 ， 在 内存在直到 阶连续导数，且xu ，“()().0ngga 若对常数 ， 且 ， ，那么对(1)0nx(1)()nx()xua 有 0()xua2()()()()!nnaxxxrx 这里 (5), 1()() ()()nnnncrgagc (c在 与 之间)。ax 证明：由假设对 ，有 ， 从而易知有， 0(u(1)0nx ， ，否则与引理1矛盾，()()kkgx,2.k 先设当 时， 0a 22()()()()(6)!naaxxxxkgxa 那么： 2)()()()()!nnftattatkt 在 (或者 )上存在直到 阶连续导数，且,x,1n 7 ， ，()0fax“().()0nfafa 由引理2知对， 常数 ，存在 ，使 c （ 在 与 之间）(7)1()()nn x 而， (1)(1)(1)nnttkgt ，nfa 由（7），有 1(1)()()() 0n nnnckgccc 即 ， () ()1()()nnkcc (1)()nng 代入(6)即知定理成立。显然定理2.2是定理2.3中的情形。 3.泰勒公式的应用 3.1 利用泰勒公式求极限。 对有些极限问题，利用带佩亚诺余项的泰勒公式求极限是十分有效的方法，要 比暑洛比达法则，等价无穷小代等法来的更简便，但需对一些常用的函数的泰 勒公式角熟。 例1： 0tan()sin()limxxx 解： 313si ()!x3tan()tant(tan)x331()xsi()siisi)!x 8 331sini()6xx333ta()sn1itasin()6x 又当 时 0xt(co)2x ， sint 故 3330 01(tansi)tansi()tan()i() 6limlimsx xxxx 3330001()6lilili122xxx3 例2：求 221limcosxx 解：先做换元 ， 时 t0t 原式 2201licost t24240 1()()288lim!ttttt401()!li 32ttt 9 3.2 泰勒公式在证明不等式中的应用 例1：若 在 上二价可导，且 （ 是正常数）()x,ab“()xm ， ，求证 0214ab 证：将 和 在 处展成一价泰勒公式：()02x“ 21()() )2abaa ， 在 与 之间（1） “ 1()()22b1b 在 与 之间（2）2()()aba a （1）+（2）得 ，2“121()()()8aba 于是有 ， ()()4m(1)ba 例2：设函数 处处二阶可导，且 ， 又 为任意连续数， x“0x)ux 证明： 0011()()aautdutd 证：写出 在点 处的一阶泰勒公式：()x0 （ 在 与 之间） “ 2000()()xxx0 ， （1）“()0x() 10 令 ， 代入一式中，并对（1）式0 到 积分，得，01()axutd()xta00000()()()()()aaatutdutdtutd 即 001()()aautdt 故 .001()()aatutd 3.3 泰勒公式在部分分式中的应用 下面介绍利用泰勒公式，把即约的真分式化为部分分式的方法。 预备知识（1）： 设 有理分式，若分母 可以写成两个互质多项式的乘积，即()xg()gx ，且有 则 可以分解成：1()()12(),1x()xg11()()xvuxgg 预备知识（2）: 设 是 上不可约多项式，那么有理分式 可以分解成：()rxp()sxr1 ， 其中 是2()().() ssxrx(),.()sx 次数低于 的次数的多项式或者是零次多项式。 用泰勒公式把既约的真分式分为部分分式的方法，理论根据以下： 11 设 为既约的真分式，多项式 在复数范围内分解成()pxq()qx ，则： ，12().()rnnnaa2()().rnnppxa 令： 则：12()().()rnnnpxx 1()()nqx 当 时， 有意义，故 在点 的领域内必然存在直至 阶导数1a1a1 ， 则1()“(),nxx 111 ()“ 2111().)()!nnaaxaxarx 故： 1111()“1 2() ()()()() !. nnnn xpxaqxxaxa 则： 1111 12()“1() ()()().)!( rnnnn n qxparx aaxaxa 令 111“ (1)21111 () ()()().)!nnnnr xpxa afxa 111 12 ()“ 12()()() ()!.(.rnnn nnpxa fxqxxaa 令 ，32)()(.()rnnnfxa 12 有前可得 有意义32 21()()().)rnnnnfxxxaa2()a222 22(1)“21 2() ()( !.() nnnnnarxxxxxa 仿前可得： 23 32 2(1)1 22() .()!()().) (.r rnn nnnn nfxxfxxaaaa 仿前继续推到，并可得： （1）1 (1)()()()!rrnrrnnrpx rqaxaxa 由预备知识（1）和（2）可知 0r 上述过程理论上是对的，但在实用上显得较繁。 我门看出，分解的关键是获取每个这样 因子，与之相对应()tnxa(1,2.) 的一组 阁简单方式 tn1() !.)tt t tt t tnnaaxxx 故可以这样处理： 令 31()().)t rnnnpgxaxa 由于 时， 存在，且有意义，在点 的领域内也是如此，故22( 2x 所分成的部分分式中含有：()pxq 13 2222(1)“1 2()()() !.nnnngagagagaxxxx 仿此，可的： 1111 22()“ 2 2 11()()()() ()()!.nnnn nnaapxa gaqxxxx （2） () ()21()()! ! .r rrrnnnrggaxaxxa 由于（1）和（2）式是恒等式，所以（1）式和（2）式的右式也可以构成恒等 式，推得： ， ，22()g 22()()ag22(1)1()nnga ， ，rra rr()rr 所以仍然可靠。 例：把分式 分为部分分式。28(1)x 解：令 ，则 ；令 ，2()x(1)28()1xg 28()1)xg 则 ，(1)4g ；2284()1()1xxx 14 3.4 泰勒公式在 近似计算中的应用 例 1：求 的近似值65 解： 14864 由 52321xxx 可得到 216588.0664 此时误差 52.0.r 例 2：求定积分的近似值 10sinxd 解： 357si2sin.!xx356sin7si1.2!4!xxx 由此得到 3510 sin(7)si 2!dxsin(7)123!5!xa 15 10sin10.94613!5xd 此时误差 .7!r (注意：因为 的原函数不是初等函数，所以这个定积分不能直接用（牛顿sinx 莱布尼兹）公式求值。只能用泰勒公式 求近似解。 3.5 讨论级数的敛散性。 例1： 讨论 的敛散性。1()lnnp0)r 解:由泰勒展开式得： 22()(1)1l ()nnnppppun) 因 221()nppn 故 时，级数绝对收敛 当 时， 条件收敛12p1()lnpn 从而 绝对收敛22()ppn 当 时， 条件收敛，而 发散，故元级数发101lnp221()ppn 散。 16 例2：判断级数 的敛散性2(1)n 解： 2(1)21 lnnue 有泰勒展开式得： 21ln22lln()1e22ll()n322lnl10()n 故元级数收敛。 17 4.总结 本论文主要介绍了泰勒公式的最近的新证明和它的推广及其论述了它的有 些比较方便的应用内容，我在论文中无方面讨论了泰勒公式的应用，特别是用 泰勒公式求极限，证明不等式，分解部分分式，求近似解，判别级数的敛散性 等方面。 18 参考文献 【1】孙宏仪写的泰勒公式在部分分式中的应用。北京师范大学出版社 （1985.4