浅谈导数在中学数学中的应用_毕业设计论文.doc

本科毕业论文浅谈导数在中学数学中的应用姓 名 系 别数学与计算机科学系专 业数学与应用数学班 级学 号指导教师答辩日期目录 内容摘要：3关键词：3abstract:3key words:4引言51.导数51.1定义51.2导数的几何意义61.3 利用定义求在点处的导数的三个步骤61.4注意61.5导数的四则运算71.6基本求导公式72导数法在中学数学解题中的应用82.1利用导数发确定函数的解析式82.2 利用导数研究函数的单调性问题92.3利用导数确定函数的值域102.4利用导数研究曲线的切线方程问题112.5利用导数求函数的极值、最值122.6 利用导数求参数值的问题142.7利用导数处理不等式证明的问题152.8利用导数解决数列问题172.9用导数处理实际生活中的问题18结束语19参考文献20致谢21内容摘要：导数是数学学习中的重要内容，是高等数学与初等数学的纽带。许多初等数学不能解决或难以解决的问题，通过建立数学模型，把初等数学中的问题变为函数问题，用函数的思想，利用导数研究其性质，充分发挥导数的工具性和应用性，使问题的解决有更广泛的思维性。许多中学问题，例如函数（解析式、值域、最（极）值、单调区间等）问题、切线问题、不等式问题以及数列问题都可以运用到导数。本文一一对其进行了阐述，期望通过对导数在新课程中的地位以及在中学数学解题应用中的探讨、研究，拓宽学生的解题思路，提高学生分析和解决问题的能力。关键词：导数法 解题 函数 不等式 abstract: the derivative is the mathematical study of the important content, is the higher mathematics and elementary mathematics. many elementary mathematics to be solved or difficult to resolve the problem, through the establishment of the mathematical model, the elementary mathematics problem into the function problem, using the idea of function, using derivative to study its nature, give full play to the derivative tools and applications, and makes the solution of problem with broader thinking. many of the secondary problems, such as function (analytic type, range, the ( very ) value, monotone interval ) problem, tangent problem, inequalities and sequence can be applied to the derivative. this article one one of it were analyzed, with the derivative in the new curriculum in the position as well as in the middle school mathematics problem solving application discuss, study, broaden students problem-solving ideas, improve students ability to analyze and solve problems.key words: derivative method problem solving function ineguality引言导数的出现，为解决中学数学中的一些问题提供了新的方法，在中学数学教材中处于一种特殊的地位，它起到承上启下的作用。承上许多初等数学不能解决或难以解决的问题，通过建立数学模型，把初等数学中的问题变为函数问题，利用函数的思想并导数研究其性质，充分发挥导数的工具性和应用性，使问题的解决有更广泛的思路。本课题期望通过对导数在新课程中的地位以及在中学数学解题应用中的探讨、研究，拓宽学生的解题思路，提高学生分析和解决问题的能力1.导数1.1定义设在点的内有定义，且当自变量在点有一增量仍在该领域中）时，函数相应的有增量，若即存在，就称其值为在点的导数，记为，,，即，这时也称在点可导或有导数,或导数存在. 1.2导数的几何意义函数在点处的导数，就是曲线在点处的切线斜率，即。相应地，切线方程为。1.3 利用定义求在点处的导数的三个步骤1.求函数的增量；2.求平均变化率；3.取极限求导数. 例1 利用定义求函数的导数 解： ， ， 即1.4注意 1.导数常见形式有： ； . 2.若极限即存在，就称在点不可导， 特别地，若，称的切线存在，它是垂直于轴的. 1.5导数的四则运算 1.6基本求导公式 , . ， 例2 求下列函数的导数 （1） （2） 解析：（1） （2） 2导数法在中学数学解题中的应用2.1利用导数发确定函数的解析式函数关系用解析式表示，有利于研究函数的性质，利用导数求函数的解析式，函数的一些基本性质就会更加明显例3 给定函数，该函数的图像与轴交点为点，且函数在点处的切线方程为，若在处取得极值，利用已知条件确定函数解析式解 因函数的图像与轴交为点，点的坐标为，又曲线 在a点处的切线方程为，点满足此方程，从而，又切线斜率，故在处的导数，而，从而，又函数在处取得极值，所以 解方程组得，带入原函数得解析式为2.2 利用导数研究函数的单调性问题1.求的定义域；2.求出导数；3.令，并求出全部驻点（补充定义，若函数在点处的导数 ，则称点为函数的驻点）4.驻点把定义域分成几个区间，列表考察在这几个区间内的符号，因而可确定的单调区间。定理：若在上连续，在内可导，则在上单调上升（或单调下降）的充要条件为在内，即在上单调上升；在上单调下将.例4 ： 已知函数为自然对数的底数，试讨论函数的单调型。（04年湖南高考题） 解 因，所以（1） 当时，令解得 若，则，从而在上单调递增； 若，则，从而在上单调递减；（2） 当时，令解得或 若，则，从而在上单调递减； 若，则，从而在上单调递增； 若，则，从而在上单调递增。例5：（2004年高考全国卷18题）求函数(x)=ln(1+x)- x2在0，2上的最大值和最小值。解：(x)=-= 又(x)的定义域为x-1，令(x)=0，得2-x-x2=0 即x=-2，x=1, 又x-1， x=-2（舍去）x=1,又x0，2，当0x1时，(x)0 当1x2时，(x)0 ， 所以在区间0，1上是增函数在（1，2是减函数。(x)在x=1处取得极大值，(x)极大值=ln2-，又=ln1-0=0，=ln3- 22=ln3-1在0，2上的最大值为ln2- ，最小值为0。2.3利用导数确定函数的值域求函数的值域是中学数学中的难点，也是重点，方法因题而异，不易操作但是，如果采用导数来求解，就较为容易，且一般问题都可行 例6： 已知函数为，求它的值域 解 根据已知条件得，定义域为，由于， 又，可当时，所以,在上是增函数 而，所以函数的值域是2.4利用导数研究曲线的切线方程问题传统方法求曲线的切线方程的一般步骤：设过点p(x)的切线方程为y-y=k(x-x)，代入曲线方程，消去y可得到一个关于x的一元方程，根据=0时，可以得到一个关于k的一元方程，求出k的值，最后得到曲线的切线方程。导数法求曲线的切线方程：根据导数的曲线切线方程几何意义，(x)的几何意义是曲线y =(x)在点p(x，(x)处的切线斜率，用点斜式写出切线方程。例:7：（2004年全国考卷文科19题）已知直线为曲线y=x2+x-2，在点（1，0）处的切线，求切线方程。解：y=x2+x-2，y=2x+1 又点（1，0）在曲线上 由点斜式可得：y-0=3（x-1）即，切线方程为y=3x-3 评注：根据导数的几何意义求曲线在某点处的切线步骤：先求曲线在这点处的导数，则这点对应的导数值即为过该点切线的斜率，再用点斜式写出直线方程。例8：(2004年全国高考天津卷理科20题) 已知函数：(x)=ax3+bx23x在x=1处取得极值，过点a（0，16）作曲线y=f(x)的切线，求此切线方程。解：(x)=ax3+bx2-3x，(x)=3ax2+2bx-3 又(x)在x=1处取得极值(x) =0且 =0即： 解得： (x) =x3-3x (x) =3x2-2而点a（0，16）不在曲线上，设切点为m（xo,yo）则点m的坐标满足yo=xo3-3xo 。(x) =3x2-3(x) =3xo2-3，即通过点m的切线斜率为k=(x) =3x-3，由点斜式可知，过点m的切线方程为y-yo=（3xo2-3）（x-xo）又yo=xo3-3xo切线方程为y=3(xo2-1)x-2xo2又切线经过点a（0，16），16=3(xo21)0-2xo3即: xo3=-8， xo=-2 故切点m（-2，-2）切线方程为y=3(4-1)x-2x(-2)3即为9x-y+16=02.5利用导数求函数的极值、最值 定义:在上是连续的，若对于，存在的某一领域， 使对此领域中的任意点，都有，则称在有一极大值，称为极大点.如果在的某领域，总有，则称在有一极小值，称为极小点.极大值与极小值都称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点.如果上面的不等式中的等号不成立则成为严格意义下的极值.求函数的极值、最值是中学数学的难点，也是重点，是高考的内容之一。 1.给出求函数极值的方法。 （1）确定函数的定义域 （2）求导数； (3)求方程的全部实根； (4)先观察方程的根左右两侧的符号。如果是右负，那么极大值就是这个根处的值；如果左负，那么极小值就是这个根处取得。用列表的方法可以判断方程的根左右的符号。 例9： 函数的极值 解 令，解得 当变化时，与的变化情况如下表： 单调递减 不是极值 单调递减 极小值 单调递增 所以当时，取得极小值，且 2.求函数在闭区间最值的步骤（1） 求函数的导函数；（2） 求方程的全部实根；（3） 计算函数在闭区间内使得的所有点以及端点处的函数值；（4） 比较以上各个所得函数值，最大的和最小的值分别是函数的最大值和最小值。 例 10： 设函数为，求其在上的最值 解 由于，则当在区间或在区间时，所以，为函数的单调增区间；当在区间时，所以区间为函数的单调减区间又因为，所以，当时，取得最小值；当时，取得最大值2.6 利用导数求参数值的问题传统求参数值的方法是运用特定系数法对参数讨论，判断函数(x)值的“正、负”，构造不等式组，求出参数值。而导数法求解参数值的方法是：(1)判断函数(x)在单调区间的增减性 (2)利用函数增减性建立不等式，求出参数值。例11：（2004年全国高考浙江卷文科21题）已知a为实数，(x) =(x2-4)(x-a），若(x)在(- ，-2和2，+)上都是增函数，求实数a的取值范围。 解：由原式得(x) = x3 - ax2- 4x+4a(x) =3x2 - 2ax - 4的图象为开口向上且过定点(0,-4)的抛物线。又(x)在(-,-2和2,+ )上都是递增的0，0即 ：4a+80,且8-4a0-2a2所以a的取值范围为-2，2例12: （2004年全国高考全国卷21题）若函数(x) =x3-ax2+(a-1)x+1在区内（1，4）内为减函数，在区内（6，+）上为增函数，试求实数a的取值范围。解：(x) = x2ax+(a-1）=(x-1)x-(a-1),令(x)=0得：x1=1, x2=a-1当a=2时，x1=x2=1，若x1，则(x)0；若x1，则(x)0，又(x)在x=1处是连续的，所以(x)在r上是增函数，故a=2是不合题意。当a-11,即a2时列出下表：x(-,a-1)a-1(a-1,1)1(1,+ )(x)+0-0+(x)单调递增极大单调递减极小单调递增又(x)在区间（1，4）为减函数，在区内（6，+）上为增函数，a2时，不合题意，故舍去。当a-11即，a2时，得出下表：x(-,1)1(1，a-1)a-1(a-1,+)(x)+0-0+(x)单调递增极大单调递减极小单调递增依题意得: 解得：5a7 a的取值范围5a7.2.7利用导数处理不等式证明的问题传统不等式证明的常用方法有：比较法、分析法和综合法。1、比较法：(1)求差比较法，要证ab，只须证a-b0. (2)作商比较法，要证ab，只须证.2、分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充要条件，直到这个条件与已知条件相符或者是最简单的显然成立的不等式。3、综合法：利用某些已知证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要求证的不等式。导数法处理不等式证明是构造函数(x)，利用导数法求出(x)的最值，判断(x)0或(x)0 ,从而得出结论。例13：求证：xlnx 证明：设(x)=x-lnx , 则(x)=1- 令(x)=0，解得:x=1 当0x1时，(x) 0 当x1时，(x) 0 所以当x=1时，(x)有极小值(1)=1，(x)的最小值也是1。 所以(x)1，故x-lnx0 xlnx例14：（2004年全国高考卷ii（吉林、黑龙江、云南、四川等省理科第22题）已知函数g(x)=xlnx,且0ab.求证:0g(a)+g(b)-2g()(b-a)ln2证明:g(x)的定义域为（0,+）g(x)=xlnx,(x)=lnx+x=lnx+1设f(x)=g(a)+g(x)-2g()则 (x) =(x)-2g（）=(x)-2() = (x)-2()= 1 + lnx 1+ ln = lnx - ln令(x)=0，得lnx- ln=0,则有x=,即x=a.当0xa时， x, lnxln，故(x) 0当xa时，x，lnxln，故(x) 0f(x)在区内（a,+ ）上为增函数。在（0，a）上为减函数。当x=a时，f(x)有极小值f(a)，也就是最小值f(a)。f(a)=g(a)+g(a)-2g()=2g(a)-2g(a)=0又ba, f(b) f(a)=0设g(x)= f(x)-(x-a)ln2, 则：(x)=(x)-(x-a)ln2 =lnx-ln(a+x)+ln2-ln2=lnx-ln(a+x)当x0时，a+xx ln(a+x)lnx(x)0 g(x)在区内(0 , +)上为减函数.g(a)= f(a)-(a-a)ln2=0-0=0当ba时，有g(b) g(a)=0, 即f(b)(b-a)ln2g(a)+g(b)-2g()(b-a) ln2综上所述：0g(a)+g(b)- 2g()(b-a)ln22.8利用导数解决数列问题数列求和是中学数学中数列部分的重要内容之一，有许多简单的解决方法。类似 不等式的解法，先将数列变为一种特殊的函数，再运用导数进一步解决数列求和的问题. 例1:5：求和：(其中，) 解 注意到是的导数，即，可先求数列的前和， 然后等式两边同时对求导，有例16： 求和： 解 因为 上式两边对求导，有， 再令，可以得到2.9用导数处理实际生活中的问题例17：一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10千米/时燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以何种速度航行时，能使行驶每公里的费用总和最小？ 解：设船速为x（x0）千米/时，燃料费是元 则=k3, 由6=103k得k= =x3 ,总费用y=(x3+96) =x- 令=0 得x=20由于该函数在（0 ,+）内有唯一的极值点是极小值点，所以该极小值是最小值，因此，当船速为20千米/时时，航行每千米的费用总和最小。例18：一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户面积一定，当圆半径与矩形高的比为何值时，窗户周长最小？解：设圆半径为x，矩形高记作h，那么窗户的面积s=x2+2hx=0.又因为窗户周长l(x)= x+2+2h=x+2x+2+令(x)= +2-=0解得x=(负值舍去)因为l(x)只有一个极值，因此x