线性方程组的解法 毕业论文.doc

编号编号 学学士士学学位位论论文文 线性方程组的解法线性方程组的解法 学生姓名 学 号 20050105038 系 部 数学系 专 业 信息与计算科学 年 级 2005-5 班 指导教师 完成日期 2010 年 5 月 14 日 bachelor s thesis 摘要摘要 本文主要讨论：线性方程组有解的判别定理，解的求法，线性方程组解 的结构。 关键词关键词 线性方程组；矩阵的秩；增广矩阵；系数矩阵；解的结构；基础 解系 学学 士士 学学 位位 论论 文文 bachelor s thesis 2 目录目录 摘要摘要.1 引言引言.1 1.1. 线性方程组线性方程组.1 1.1 一般线性方程组 .1 1.2 线性方程组有解的判别定理 .2 1.3 线性方程组的初等变换 .3 2.2. 线性方程组的解法线性方程组的解法.4 2.1 克拉默（cramer法则）4 2.2 消元法 8 3.3. 线性方程组解的结构线性方程组解的结构.11 3.1 一般线性方程组解的结构 16 总结总结.20 参考文献参考文献.20 致谢致谢.22 学学 士士 学学 位位 论论 文文 bachelor s thesis 1 引言引言 线性方程组是高等代数中重要概念之一，因此，有必要系统而深入地 讨论求解线性方程组的问题。 对方程的个数与未知量的个数相等,且未知量的系数行列式不为零的线 性方程组用克拉默法则来解，但是行列式的阶数比较高时，用这种方法比较 麻烦;当方程的个数相等未知量的个数且系数行列式为零时，不能使用克拉 默法则，所以我们讨论一般线性方程组满足什么条件时才有解？如果有解， 那么如何求解？如果方程组的解不是唯一时，那么无穷多解如何表示成有限 个解的问题，即通过找出基础解系把线性方程组的无穷多解可用有限个解来 表示等问题。 1.1. 线性方程组线性方程组 1.11.1 一般线性方程组一般线性方程组 一般线性方程组是指形为 11 112211 21 122222 1 122 nn nn mmmnnm a xa xa xb a xa xa xb a xaxaxb 1 的方程组，其中代表个未知量；是方程的个数， 12 , n x xxnm ij a 称为方程组的系数称为常数项。1,2,1,2,im jn1,2, j bjm 方程组中未知量的个数与方程的个数不一定相等，系数的第 1nm ij a 一个指标 表示它在第 个方程表示它是的系数。iij j x 线性方程组还可以表示成矩阵形式：引入矩阵 1 学学 士士 学学 位位 论论 文文 bachelor s thesis 2 ， (2) 11121 22122 12 . . . . n n mmmn aaa aaa a aaa 1 2 m b b b b 1 2 n x x x x 那么方程组可以写成 1 axb 3 矩阵称为线性方程组的系数矩阵，称为未知量矩阵，称为常数项a 1xb 矩阵 111211 222122 12 n n mmmnm aaab abaa a aaab 4 称为线性方程组的增广矩阵。 1 若是方程组的一个解，则 1122 , nn xk xkxk 1 1 2 n k k x k 称为方程组的一个解向量，它就是方程组的一个解。 1 1 1.21.2 线性方程组有解的判别定理线性方程组有解的判别定理 定理 （线性方程组有解的判别定理）1 线性方程组有解的充要条件是它的系数矩阵 1 和增广矩阵 11121 22122 12 . . . . n n mmmn aaa aaa a aaa 111211 222122 12 n n mmmnm aaab abaa a aaab 学学 士士 学学 位位 论论 文文 bachelor s thesis 3 有相同的秩。 证明证明 充分性：如，那么向量组与向量组 r ar a 12 , n 有相同的秩，于是向量组与向量组 12 , n , 12 , n 12 , n 有相同的最大独立组，故可由该最大独立组线性表示，从而可由向量, 组线性表示，即存在一组数使 12 , n 12 , n k kk 成立。 1 122nn k ak ak a 必要性：如存在一组数使成立，这说 12 , , n l ll 1122nn lll 明可由向量组线性表示,从而向量组与向量组 12 , n 12 , n 等价。于是向量组与向量组有相 12 , n , 12 , n 12 , n , 同的秩，即。 r ar a 1.31.3 线性方程组的初等变换线性方程组的初等变换 定义定义 1 1 下列三种变换称为线性方程组的初等变换； 1.交换两个方程的位置； 2.用一个非零的数乘某一个方程； 3.把一个方程乘某一非零数后加到另一个方程； 证明证明 我们只证明第三种变换，其他的变换很容易证明。 把方程组1的第二个方程乘上后加到第一个方程，得k 11211122221212 21 122222 1 122 ()()() nnn nn mmmnnmn akaxakaxakaxbb a xa xa xb a xaxaxb 5 学学 士士 学学 位位 论论 文文 bachelor s thesis 4 设是方程组的任一解，因与的后个方程是一样的， 12 , n c cc 1 1 51m 所以（）满足的后个方程，又（）满足的 12 , n c cc 51m 12 , n c cc 1 前两个方程： 11 112 211nn a ca ca xb 6 21 122 222nn a ca ca cb 7 将式乘后加到式可得， 7k 6 。 这就是说 11211122221212 ()()() nnn akacakacakacbkb 满足的第一个方程，因此是的一个解。类 123 , n c c cc 5 123 , n c c cc 5 此地可证的任一解也是（1）的解这就证明了（1）与 是同解的。 5 5 2.2. 线性方程组的解法线性方程组的解法 2.12.1 克拉默（克拉默（cramercramer 法则）法则） 定理定理 1 1 （cramer 法则） 个未知量个方程的线性方程组nn 11 112211 21 122222 1 122 nn nn nnnnnn a xa xa xb a xa xa xb a xa xa xb （8） 的系数矩阵 学学 士士 学学 位位 论论 文文 bachelor s thesis 5 11121 22122 12 . . . . n n nnnn aaa aaa a aaa 的行列式 ,0da 那么线性方程组（8）有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表为 12 12 , n n ddd xxx ddd 其中是把矩阵中第列换成方程组的常数项所成的矩阵的行 j daj 12 , n b bb 列式，即 111,111,11 212,122,12 1,1,1 ,1,2, jjn jjn j nn jnn jnn aabaa aabaa djn aabaa 证明证明 1.把方程组（8）简写为 . 1 ,1,2, n ijji j a xbin 首先验证是（8）的解.我们把 12 12 , n n ddd xxx ddd 代入第 个方程，左端为 12 12 , n n ddd xxx ddd i 11 1 nn j ijijj jj d aa d dd 因为 学学 士士 学学 位位 论论 文文 bachelor s thesis 6 ， 1122 1 n jjjnnjssj s db ab ab ab a 所以 111 11 11 11 11 1 1 1 nnn ijjijssj jjs nn ijsjs js nn ijsjs sj nn ijsjs sj a dab a dd a a b d a a b d a ab d 由，有 1 , 0 , n ksis s dki a a ki 当 当 . 11 11 . nn ijsjii sj a adbb dd 这与第 个方程的右端一致。换句话说，把代入方i 12 12 , n n ddd xxx ddd 程使它们同时变成恒等式，因而确为方程组（8） 12 12 , n n ddd xxx ddd 的解。 2.设是方程组（8）的一个解，于是有个恒等式 12 , n c ccn . 1 ,1,2, n ijji j a cbin 为了证明，我们取系数矩阵中第列元素的代数余子式 k k d c d k ，用它们分别乘中个恒等式，有 12 , kknk aaa 1 n ijji j a cb n 学学 士士 学学 位位 论论 文文 bachelor s thesis 7 ， 1 ,1,2, n ikijjiik j aa cb ain 这还是个恒等式。把它们加起来，即得n 111 nnn ikijjiik iji aa cb a 等式右端等于在行列式按第列的展开式中把分别换成dk ik a ，因此，它等于把行列式中第列换成所得的1,2, i bindk 12 , n b bb 行列式，也就是。再来看的左端。即 k d 111 nnn ikijjiik iji aa cb a 1111 11 11 . nnnn ikijjijikj ijij nn ijikj ji nn ijikj ji aa ca a c a a c a ac 由 1 0 , n ijik i d a a jk ，当j =k 当 所以 。 11 nn ijikjk ji a acdc 于是，即为 111 nnn ikijjiik iji aa cb a .,1,2, kk dcdkn 这就是说，如果 是方程组的一个解，它必为 12 , n c cc 学学 士士 学学 位位 论论 文文 bachelor s thesis 8 ， 12 , n ddd ddd 因而方程组最多有一组解。 例例 用 cramer 法则求解方程组1 1234 1234 1234 1234 224 4326 853412 33226 xxxx xxxx xxxx xxxx 解解 2211 4312 20 8534 3322 1 4211 6312 2 12534 6322 d 2 2411 4612 2 81234 3622 d 3 2241 4362 2 85124 3362 d 4 2214 4316 2 85312 3326 d 所以，方程组的解为： 1 1 1 d x d 2 2 1 d x d 3 3 1 d x d 4 4 1 d x d 2.22.2 消元法消元法 消元法的过程就是反复施行初等行变换。对线性方程组进行行初等变换， 学学 士士 学学 位位 论论 文文 bachelor s thesis 9 相当于增广矩阵进行行初等变换，化成阶梯形a 设 111211 222122 12 n n mmmnm aaab abaa a aaab a 1112111 22222 1 0 00 rn rn rrrnr r ccccd cccd ccd d 其中。0,1,2, ii cir 如果。这时方程组无解。如果分两种情况 1 0 r d r ar a 1 0 r d ，这时方程组变成rn 11 1122141 22222 n nn nnnn c xc xc xd c xc xd c xd 其中。由最后一个方程开始的值就可以逐个0,1,2, ii cin 11 , nn xxx 地唯一确定是方程组有唯一解。 例例 解下列线性方程组2 123 123 123 20 3251 324 xxx xxx xxx 解解 对增广矩阵进行初等变换： 211013241324 32513251071 11 132421100758 a 123 23 3 1324324 071 11711 004343 xxx xx x 学学 士士 学学 位位 论论 文文 bachelor s thesis 10 由下到逐个回代，就得到唯一解： 1 2 3 13 28 47 28 3 4 x x x 这时方程组变成：rn 11 112211,1111 22222,1122 ,11 rrrrnn rrrrnn rrrr rrrnnr c xc xc xcxc xd c xc xcxc xd c xcxc xd 其中把上式改写成0,1,2,3, ii cir 11 11221111111 222222112 11 rrrnn rrrnn rrrrrrrnn c xc xc xdc xc x c xc xdc xc x c xdc xc x 任给一组值就唯一确定出的值，也就方程组的一个 1rn xx 12 , r x xx 解。称为自由变量，这时方程组有无穷多解。 1, , rn xx 例例 解下列线性方程组3 1234 1234 1234 33142916 41 274 xxxx xxxx xxxx 解解 对增广矩阵进行初等变换： 331141133 142916 1127411274 a 学学 士士 学学 位位 论论 文文 bachelor s thesis 11 1141111411 0026261300221 0066300663 1141111053 11 00110011 22 0000000000 因为=4， 所以方程组有无穷多解，且一般解为： 2r ar an 124 34 35 1 2 xxx xx 其中为自由变量。 24 ,x x 3.3. 线性方程组解的结构线性方程组解的结构 在解决了线性方程组有解的判别条件之后，我们进一步来讨论线性方程 组解的结构。在方程组的解是唯一的情况下，当然没有什么结构问题。在有 多个解的情况下，所谓解的结构问题就是解与解之间的关系问题。下面我们 将证明，虽然在这时有无穷多个解，但是全部的解都可以用有限多个解表示 出来。 上面我们提到，元线性方程组的解是维向量，在解不是唯一的情况nn 下，作为方程组的解的这些向量之间有什么关系呢？我们先看齐次方程组的 情形。 设 （9） 11 11221 21 12222 1 122 0 0 0 nn nn mmmnn a xa xa x a xa xa x a xaxax 是一齐次线性方程组，它的解所成的集合具有下面两个重要性质： 。两个解的和还是方程组的解。1 设与是方程组（9）的两个解。这就是说，把它 12 , n k kk 12 , , n l ll 学学 士士 学学 位位 论论 文文 bachelor s thesis 12 们代入方程组，每个方程成恒等式，即 1 0 n ijj j a k ()1,2,im= 1 0 n ij j j a l ()1,2,im= 把两个解的和 （10） 1122 , nn kl klkl 代入方程组，得 111 000 nnn ijjjijjij j jjj akla ka l ()1,2,im= 这说明（10）确实是方程组的解。 。一个解的倍数还是方程组的解2 设是（9）的一个解，不难看出还是方程组 12 , n k kk 12 , n ck ckck 的解，因为 11 00 nn ijjijj jj ackca kc ()1,2,im= 对于齐次线性方程组，综合以上两点即得，解的线性组合还是方程组 的解，齐次线性方程组的全部解是否能够通过它的有限的几个解的线性组 合给出来？为此，我们引入下面的定义。 定义定义 齐次线性方程组(9)的一组解称为（9）的一个基础2 12 , t 解系。如果 线性无关。 1 12 , t （9）的任一个解都能表成线性组合。 2 12 , t 当时，方程组（9）只有零解，该方程组没有基础解系。 r an 当 时，(9)有个向量的基础解系，此时 r arnnr 12 , n r 学学 士士 学学 位位 论论 文文 bachelor s thesis 13 方程组的任一解可表示为其中为任意 1 122n rn r xkkk 12 , n r k kk 实数。 定理定理 设是矩阵。若，则齐次线性方程组(9)存在3am n r arn 基础解系，且基础解系所含向量的个数为。nr 证明证明 系数矩阵的秩为 ，不妨的前 个列向量线性无关，对施行arara 一系列初等行变换可得的行最简形：a 111, 1, 10 01 00 00 n r rr n r bb bb 于是与齐次线性方程组同解的齐次线性方程组可表示为：0ax 11111, 11, b . rn rn rrrr n rn xb xx xb xbx （11） 在方程组（11）中任给一组值，就可确定的值，由此得 1, , rn xx 12 , r x xx （11）的一个解，也就是（9）的解，分别令 1 2 100 010 , 001 r r n x x x 代入（11）依次可得： 1, 11112 2,22122 12, , n r n r rrrr n r b xbb bxbb xbbb 学学 士士 学学 位位 论论 文文 bachelor s thesis 14 从而求得(11)，也就是(9)的个解。nr 111211 212222 1,2, ,1,0,0,0 ,0,1,0,0 ,0,0,01 r r n rn rn rr n r bbb bbb bbb 下面证明即为齐次线性方程组(9)的一个基础解系。首先 12 , n r 证明线性无关。 12 , n r 显然个维单位向量组线性无关，所以在每个向量前面添加 个分nrnrr 量而得到的个维向量也是线性无nrn 12 , n r 其次证明（9）的任一解 1 1 r r n 均可由线性表示。为此作向量， 12 , n r 1122rrnn r 由于是（9）的解，因此也是它的解。比较与，知它们 12 , n r 的后面个分量对应相等，由于它们都满足方程组（11） ，从而知它们前nr 面 个分量也对应相等，因此，即。故r 1122rrnn r 即为齐次线性方程组（9）的一个基础解系，且含向量的个数 12 , n r 为。nr 学学 士士 学学 位位 论论 文文 bachelor s thesis 15 例例 求齐次线性方程组的一个基础解系, 并且用基础解系表示方程组的4 全部解： 1234 1234 1234 x0 25320 7730 xxx xxxx xxxx 解解 对增广矩阵进行初等变换： 11111111 25320754 7731014108 23 10 77 1111 54 055401 77 0000 0000 即得与原方程组同解的方程组 134 234 23 77 54 77 xxx xxx 令即得一个基础解系 ， 3 4 10 , 01 x x 1 2 5 ,1,0 7 7 ， 2 3 4 ,0,1 7 7 由此得全部解是：， 1122 xkk 12 23 77 54 77 10 01 xkk 学学 士士 学学 位位 论论 文文 bachelor s thesis 16 3.13.1 一般线性方程组解的结构一般线性方程组解的结构 如果把一般线性方程组 11 112211 21 122222 1 122 nn nn mmmnnm a xa xa xb a xa xa xb a xaxaxb （1） 的常数项换成，就得到齐次线性方程组（9） 。方程组（9）称为方程组0 的导出组。方程组的解与它的导出组（9）的解之间有密切的关系： 1 1 。线性方程组的两个解的差是它的导出组（9）的解1 1 设是方程组的两个解，即 1212 , , nn k kkl ll 1 11 , nn ijjiij ji jj a kba lb ()1,2,im= 它们的差是显然有 1122 , nn kl klkl 111 0 nnn ijjjijjij jii jjj akla ka lbb ()1,2,im= 这就是说，是导出组（9）的一个解 1122 , nn kl klkl 。线性方程组的一个解与它的导出组（9）的一个解之和还是这个2 1 线性方程组的一个解。 设是的一个解，即 12 , n k kk 1 1 n ijji j a kb ()1,2,im= 又设是导出组（9）的一个解，即 12 , , n l ll 学学 士士 学学 位位 论论 文文 bachelor s thesis 17 1 0 n ij j j a l ()1,2,im= 显然 111 0 nnn ijjjijjij jii jjj akla ka lbb ()1,2,im= 定理定理 如果是方程组的一个特解，那么方程组的任一个解4 0 1 1 都可以表成 （12） 0 其中是导出组（9）的一个解。因此，对于方程组的任一个特解， 1 0 当取遍它的导出组的全部解时， （12）就给出的全部解。 1 证明证明 显然 00 由性质 ， 是导出组（9）的一个解，令1 0 0 就得到定理的结论。既然的一个解都能表成的形式，由性质，在 1 112 取遍（9）的全部解的时候， 0 就取遍的全部解。 定理 4 说明了，为了找出一线性方程组的全部解，我们只要找出他的一 个特殊的解以及它的导出组的全部解就行了。导出组是一个齐次方程组，在 上面我们已经看到一个齐次方程组的解的全体可以用基础解系来表示。因此， 根据定理我们可以用导出组的基础解系来表出一般方程组的一般解： 如果是方程组（1）的一个特解，是其导出组的一个基础解 0 12 , n r 系，那么（1）的任一个解都可以表成 学学 士士 学学 位位 论论 文文 bachelor s thesis 18 任意实数 01122n rn r kkk 12 , n r k kk 例例 5 5 用导出组的基础解系表出下列线性方程组的全部解 1234 1234 1234 0 31 22461 xxxx xxxx xxxx 解解 对增广矩阵进行初等变换：a 1111011110 1113100241 2246100241 a 1 1101 2 1 0012 2 00000 得，故原方程组有无穷多解，且得同解方程组 24r ar a 124 34 1 2 1 2 2 xxx xx 令得方程组的一个特解 2 4 0 , 0 x x 0 1 2 0 1 2 0 学学 士士 学学