行列式的计算方法研究 大学毕业论文(数学).doc

目录1.引言12.化三角形法13.提取公因式法24.利用拉普拉斯定理法25.利用范德蒙 行列式法36.利用定理 57.利用递推关系法58.升阶法79.析因子法810.利用导数求行列式的值911.结束语11致谢12参考文献13行列式的计算方法研究 摘要：给出了行列式的各种计算方法，综合利用所给的解法基本上可以解决n阶行列式的计算问题。关键词：行列式 三角行列式 导数 求值reserch on the method of determinatal caculation abstract: in this paper ,we present eight methods of detcrminatal calculation on generally using these methods,we could solve the question of detcrminatal calculation.key words: determinant triangular determinant derivative行列式的计算方法研究1. 引言行列式的计算是一个很重要的问题，也是一个很复杂的问题，阶数不超过3 的行列式可直接按行列式的定义求值，零元素很多的行列式也可以按行列式的定义求值。对于一般的行列式，特别是当n较大时，直接用定义计算行列式十分困难。因此，研究一般n阶行列式的计算方法十分必要的。由于不存在计算n阶行列式的一般方法，所以本文将讨论典型行列式的计算方法，基本上可以解决一般行列式的计算。2. 化三角形法 行列式称为上三角形行列式,行列式称为下三角形行列式。利用行列式的性质把给定的行列式表示为一个非零的数一个三角形行列式之积，所谓三角形行列式是位于对角线的一侧的所以元素全部等于零的行列式，三角形行列式的值容易求得，.例1 计算n阶行列式dn=.解3. 提取公因式法 若行列式满足下列条件之一，则可应用此法：（1）有一行（列）元素相同，称为“”型；（2）有两行（列）对应元素之和或差相等，称为“邻和”型; (3)各行（列）元素之和相等,称为“全和”型；满足条件一得可提取公因式a 满足条件（2）（3）的可以化成（1）间接使用提取公因式法。例 2 计算=解 该行列式各行元素之和都等于 属于全和型。=（）=（）=（）.4. 利用拉普拉斯定理法拉普拉斯定理 设在行列式中任意取定了个行。由这个行元素所组成的一切级子式与他们的代数余子式的和等于行列式在行列式的计算时，主要应k=1的情形，很少用一般的情形，不过当行列式的零元素很多时，运用一般情形的拉普拉斯定理，往往给行列式的计算带来方便。例 3 计算2n阶行列式=(n).解=.（n-1）=.5. 利用范德蒙 行列式法行列式 称为范德蒙行列式。 定理1 =例4 计算行列式=解 将第一行视为把第一个行列式从第1行起将第行依次加到第行；对第二个行列式第列提取（-1）=-=-.6. 利用定理 在计算行列式时，有时可以利用方阵行列式的乘法性质，将给定的行列式表示为两个容易计算或已知其值的行列式的乘积，从而求出给定的行列式的值，有时不直接计算给定的行列式，而是选两个适当的与给定的行列式同阶的行列式，利用上述定理，从而求出给定的行列式的值例 5 计算n阶行列式=解=.所以当时，=0；当n=2时，= ，当n=1时 ， =1+.7. 利用递推关系法首先利用行列式的性质，把给定的n阶行列式用同样形式的低阶行列式表示出来，这种表示方法称为递推关系式，然后，从递推关系出发求出一般表达式。（这种方法是计算n阶行列式较为有效的一种方法）。其中是与有关的函数，可以推导出公式直接计算.1 当t=0时，显然=；2 当t0时，构造一元二次方程设他的根为，s=+，t=-；3 (1)当=时，-=(-)=(-)-=，-=，两边相加，可得=，（2）当时，-=（-）=(-)，-=(-)=.= (-)，所以，=.例6 计算n阶行列式=，其中.解 将得第一列视为(a-c)+c,0+c,.0+c,=+（1）= 由于b与c 的对称性不难得到;（2）= 有（1）（2）得到, .例7计算n阶行列式=.解= 二次方程有两个相同的根a 所以.8. 升阶法在计算行列式时，我们往往先利用行列式的性质变换给定的行列式，再利用展开定理使之降阶，从而使问题得到简化。有时与此相反 ，在员行列式的基础上添行加列升阶使其构成一个新的行列式，从而求出原行列式的值这种方法叫做 升阶法。凡是可以利用升阶方法计算行的列式的特点是：除主对角线上的元素除外，其余元素都相同，或者任两行（列）元素成比例。例8计算n阶行列式=，其中.解 =，将最后一个行列式的第列的倍加到第一列，就可以变为上三角形行列式，其主对角线上的元素为1 +，故=（1 +）.9. 析因子法如果行列式d中有一些元素是某个参变量x的多项式，那么可以将行列式d看成一个多项式，然后在利用行列式的性质求出所有互素的一次因式，这些因式乘积为.则与只差一个常数因子。通过比较与的某一项系数求出c.这样 d=c.例9 d= 解 把行列式看成关于x的多项式.显然= =0 =0 所有的因子：,通过比较的项的次数可知.例 10 计算n 阶行列式=解 令=。当 时=0,所以所有可能的差 。都是得一次多项式。另外很明显是一个次多项式，并且c=1, 所以=.10. 利用导数求行列式的值定理 如果 , 那么 证明= =证毕。例 11 求 的值。解 =所以= 当 时，=0 ，求得所以=.11. 结束语本文通过引例归纳行列式的解题规律，方法和技巧。例题类型广，有一定的梯度，除了给出的定理和基本概念外，还有不少典型例题，其中大部分选自数学专业的研究生入学试题。12. 致谢本文是我在老师的细心指导下完成的。她的严谨的治学精神，精益求精的工作作风，诲人不倦的高尚师德，严以律己，宽以待人的崇高风范，深深的激励了我。从课题的选择到论文的完成，老师 一直在细心的指导着我，在此，谨向老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意！ 在此还要感谢所有老师以及我的同学，四年来对我的学习，和生活细心的关照，在这里接受我最诚挚的谢意!13. 4参考文献【1】北京大学数学几何与代数教研室小组编.高等代数（第二版）m.北京：高等教育出版社，1994【2】王品超.高等代数新方法m济南：山东教育出版社，1989.【3】张禾瑞.高等代数m（第三版）m北京：高等教育出版社，1983.【4】毛纲源.线性代数解题方法技巧归纳m北京：中国矿