行列式解法小结 数学毕业论文.doc

行列式的解法小结摘要：本文列举了行列式的几种计算方法：如化三角形法，提取公因式法等，并指明了这几种方法的使用条件。关键词：行列式 三角形行列式 范德蒙行列式 循环行列式行列式的计算是一个很重要的问题，也是一个复杂的问题，阶数不超过3的行列式可直接按行列式的定义求值，零元素很多的行列式（三角形行列式）也可按行列式的定义求值。对于一般阶行列式，特别是当较大时，直接用定义计算行列式几乎是不可能的事。因此，研究一般阶行列式的计算方法是十分必要的。由于不存在计算阶行列式的一般方法，所以，本文只给出八种特殊的计算方法，基本上可解决一般阶行列式的计算问题。1 升阶法在计算行列式时，我们往往先利用行列式的性质变换给定的行列式，再用展开定理使之降阶，从而使问题得到简化。有时与此相反，即在原行列式的基础上添行加列使其升阶构造一个容易计算的新行列式，进而求出原行列式的值。这种计算行列式的方法称为升阶法。凡可利用升阶法计算的行列式具有的特点是：除主对角线上的元素外，其余的元素都相同，或任两行（列）对应元素成比例。升阶时，新行（列）由哪些元素组成？添加在哪个位置？这要根据原行列式的特点作出选择。例1计算n阶行列式 ，其中解 将最后一个行列式的第j列的倍加到第一列（，就可以变为上三角形行列式，其主对角线上的元素为1+故 例2 计算n阶行列式解 好象范德蒙行列式，但并不是，为了利用范德蒙行列式的结果，令 按第列展开，则得到一个关于的多项式，的系数为。另一方面 显然，中的系数为所以2利用递推关系法所谓利用递推关系法，就是先建立同类型n阶与n-1阶（或更低阶）行列式之间的关系递推关系式，再利用递推关系求出原行列式的值。例3计算n阶行列式 ，其中解 将的第一行视为据行列式的性质，得 于b与c的对称性，不难得到 联立（1），(2）解之，得 例4计算n阶行列式 解将按第一行展开，得于是得到一个递推关系式，变形得 易知 所以，据此关系式在递推，有 如果我们将的第一列元素看作,1+0,0+0,按第一列坼成两个行列式的和，那么可直接得到递推关系式，同样可得的值。3 化三角形法此种方法是利用行列式的性质把给定的行列式表为一个非零数与一个三角形行列式之积，所谓三角形行列式是位于对角线一侧的所有元素全部等于零的行列式。三角形行列式的值容易求得，涉及主对角线的三角形行列式等于主对角线上元素之积，涉及次对角线的n阶三角形行列式等于次对角线上元素之积且带符号 例5计算n阶行列式解 4 利用范德蒙（vandermonde）行列式法著名的范德蒙行列式，在线性代数中占有重要地位，研究它的应用引起了一些数学家的兴趣，因此在计算行列式时，可直接用其结果。例6 计算n阶行列式 解 将第一行可视为，再由行列式的性质，得 把第一个行列式从第一行起依次将行加到行；第二个行列式的第列提取得=5 利用乘法定理法在计算行列式时，有时可以用乘法定理，将给定的行列式表为两个容易计算的或已知的行列式的乘积，从而求出给定行列式的值；有时不直接计算给定的行列式，而是选一个适当的与给定行列式同阶的行列式，计算两行列式的乘积，由此求出给定行列式的值，这样也可使问题简单。例7计算n阶行列式 解 所以，当时，；当时，当时，6 利用拉普拉斯（laplace）定理法拉普拉斯定理，在计算行列式时，主要应用k=1的情形，而很少用一般形式，不过当行列式里零元素很多时，运用一般情形的拉普拉斯定理，往往会给行列式的计算带来方便。例8 计算2n阶行列式解 7 提取公因式法若行列式满足下列条件之一，则可以用此法：（1）有一行（列）元素相同，称为“型”；（2）有两行（列）的对应元素之和或差相等，称为“邻和型”；（3）各行（列）元素之和相等，称为“全和型”。满足条件（1）的行列式可直接提取公因式变为“1，1，1型”，于是应用按行（列）展开定理，使行列式降一阶。满足（2）和（3）的行列式都可以根据行列式的性质变为满足条件（1）的行列式，间接使用提取公因式法。例9计算n阶行列式 解 该行列式各行元素之和都等于 ，属于“全和型”，所以 总结:计算行列式的方法很多,除了以上常见的方法外还有一些特