行列式的计算与技巧 毕业论文.doc

江西师范大学数学与信息科学学院学士学位论文 行列式的计算与技巧the calculation of determinant and the skill 姓 名： * * 学 号： 090*0*0*2 学 院：数学与信息科学学院 专 业：数学与应用数学 指导老师：* 完成时间： 2013-3-11 19 行列式的计算与技巧 【摘要】行列式是代数的一个重要的内容，也是讨论线性方程组的一个非常有力的工具,在数学的许多分支上有着极其广泛的应用。同时，行列式的计算非常的灵活多变，有很强的技巧和规律性。本文则主要讨论行列式的一些常用的方法，并坚持从实例出发，在以上几种常用方法的基础上，探讨并给出行列式的其他几种计算方法 。如：三角形法、升阶法、数学归纳法、递推法、提取因子法、范德蒙行列式法、拆行法等等，通过以上这些方法基本可以解决一般的n阶行列式的计算问题。【关键词】 行列式 递推法 范德蒙行列式 降阶法the calculation of determinant and the skill 【abstract】determinant is an important content of algebra, and discuss the system of linear equations is a very powerful tool, many branches of mathematics has the extremely widespread application. at the same time, the determinant calculation is very flexible, strong skills and regularity. this article mainly discuss some commonly used methods of the determinant, and proceed from the instance and on the basis of the above several kinds of commonly used method, and gives several calculation methods of the determinant are discussed. such as: the triangle method, order method, mathematical induction, recursive method, extraction factor method, vandermonde determinant method, the split line method, and so on, through the above these methods can solve the general basic n-th-order determinant calculation problem.【key words】：the determinant, recursive method, vandermonde determinant， order reduction method 目录1 引言12行列式的定义12.1 用定义法计算行列式13 行列式的相关性质3 3.1利用相关性质得到几种特殊解法33.1.1对角线法则计算行列式33.1.2 三角形法计算行列式3 3.1.2.1箭形(或爪形)行列式43.1.3加边法（升阶法）计算行列式53.1.4 分解行列法(又称拆项法)计算行列式63.1.5降阶法计算行列式74 递推法计算行列式95 特征值法计算行列式106 数学归纳法计算行列式107 提取因子法计算行列式118 利用范德蒙行列式计算行列式129 利用拉普拉斯展开定理计算行列式1410 因式分解法计算行列式1511 乘法定理法（行列式乘积法）计算行列式1612 小结17参考文献181 引言行列式是一个基本的数学工具，是线性代数的重要研究对象，无论是在高精尖端科学领域，还是在日常工业生产、工程施工或经济管理中都有着广泛的应用。因此，高等数学把行列式列为基本而重要的内容之一，并把行列式的计算作为线性代数的教学重点，可能由于一些学生数学基础不够扎实，加之行列式的类型又很多，学习中有一定的难度。本文主要从行列式的的定义和性质入手，以具体实例为依据，对行列式的各种计算方法如定义法、化三角形法、拆行（列）法、降阶法、升阶法（加边法）进行总结、归纳和比较，得出怎样特征的行列式最适合怎样的方法来，以达到最简单的计算2 行列式的定义：n阶行列式：设有个数，排成n行n列的数表= 做出表中位于不同行不同列的n个数的乘积，并冠以符号得到形如的项，其中为自然数1,2,n 的一个排列，t为这个排列的逆序数，由于这样的排列共有 n!个，所有这n!项的代数和 称为n 阶行列式2.1 定义法n 阶行列式的定义展开式中包含n！项，n=5时，已经包含120项。所以利用行列式定义进行运算基本不现实。只有一种情况考虑利用定义算行列式，就是行列式中0比较多，这样可以大大减少行列式展开的项数。例 2.11 计算 n 级行列式d =解： 例2.12 计算n阶行列式=解：利用行列式定义= ， 其中t为排列的逆序数，故t=0+1+2+=所以=例2.13 计算n阶行列式解：按行列式的定义，行列式展开后每一项都是n个元素相乘，且这n个元素要位于中不同的行与不同的列，因此只有一个非零项，这一项列标为自然顺序，行标排成的排列n,1,2,3,故=n!3 行列式计算的相关性质性质1.矩阵的行列式与其转置矩阵的行列式相等。行列式定义中可以按第一列可展开计算,当然,行列式也可按第一行展开。性质2.交换行列式的两行,等于以(-1)乘行列式。性质3.若行列式有两行(列)相同,则行列式等于0。性质4.以乘行列式的一行,等于乘行列式。推论1.若行列式某行元素都是0,则行列式等于0。性质5.行列式具有分行相加性。性质6.把的一行的若干倍加到另一行,行列式值不变。由性质4和性质3又可得到:推论2.若一个行列式的任两行成比例,则行列式值为0。3.1 利用相关性质得到几种特殊解法3.11 对角线法则此法则适用于计算低阶行列式的值：如二阶和三阶行列式。具体方法：按照对角线法则展开例 3.111=- 13- (- 2)2=1（主对角线上的元素为-1和3，辅对角线上的元素为-2和2）例3.112 =000+b2ca+3bc(-a)-0(-a)a-2cc0-3bb0=-abc3.12 三角形法这是计算行列式的一种基本方法。它是把一个行列式通过行列式的性质,设法把它们化为三角形行列式,然后利用三角行列式求其值。例3.121计算行列式解：注意到行列式各行(列)的元素之和相等，都为行列式从最后一行开始，依次加到第一行：=3.1.2.1 箭形(或爪形)行列式例3.11 结论：对于形如 、 、 、所谓箭形(或爪形)行列式,可以直接利用行列式的性质化为三角或次三角形行列式来计算。3.13 加边法（升阶法）要求：1） 保持原行列式的值不变； 2） 新行列式的值容易计算根据需要以及特点选取所加的行和列，加边法除了适用于某一行（列）有一个相同的字母外，也可用于其列（列）的元素分别为 n-1 个元素的倍数的情况。例3.1313.14 分解行列法(又称拆项法)拆分法就是根据行列式的性质把行列式拆成两个或若干个行列式的和，而拆出来的行列式可以利用已知的方法去求解。例 3.141 计算 n 阶行列式：当n=2时，=。当n3时，=0例3.1423.15 降阶法计算行列式 降阶法是通过利用行列式的相关性质降低行列式的阶数后计算，典型步骤如下：（1） 利用行（列）初等变换：1）交换两行；2)某行（列）乘以k倍；3）某行（列）的k倍加到另一行（列）上去。（2） 看行和，如果行（列）和相等，则均可以加到某一列（行），然后提取出一个数。（3） 逐行（列）相加（减）（4） 找递推公式，同时注意对称性。（5） 按拉普拉斯定理展开。一个复杂的行列式往往是以上步骤的联合使用。例3.151计算行列式例3.152计算行列式例3.153计算行列式4 递推法计算行列式递推法是应用行列式的性质，把一个n阶行列式表示为具有相同结构的较低阶行列式（比如，n-1阶或n-1阶与n-2阶等）的线性关系式子，这种关系式称为递推关系式。根据递推关系式及某个低阶行列式（比如二阶或一阶行列式）的值，便可递推求得所给n阶行列式的值，这种计算行列式的方法我们称之为递推法。一般三对角行列式的计算就是利用递推法计算的例4.1证明：将 按第 1 列展开得由此的递推公式利用此递推公式可得例4.2计算n阶行列式解： （1）由于和对称性，不难得到 （2）联立(l),(2)解之,得5 特征值法设是 n 级矩阵 a 的全部特征值，则有公式，。故只要能求出矩阵 a 的全部特征值，那么就可计算出 a 的行列式例5.1如果是n级矩阵a的全部特征值，证明: a可逆的当且仅当它的特征值全不为零。证明：因为，则a是可逆的例5.2已知i-a的特征根之模长均小于1，求证0 2, n=2时,， n=1时，小结：通过以上对行列式的计算方法的一一列举,我们知道关于行列式不同的题目可能会用到不同的计算方法,至于采用哪种方法计算则要视具体的题目而定.但是即使同样的题目有时却可以用不同的方法来计算。总之，行列式的计算方法具有多样性以及灵活性，在计算行列式时，我们应当针对具体问题，把握行列式的特点，灵活选用适当的方法来进行计算。计算行列式总的原则是：充分利用所求行列式的特点、行列式的性质及上述常用的方法来进行计算。有时可以用上面介绍的其中一种方法求出行列式的值，有时可以综合运用多种方法更简便的求出行列式的值，然而一般需要用到两种或两种以上的技巧才能解决.总之，大家在今后的学习中要多练习，多总结，以便能更好地掌握行列式的计算方法参考文献：1 gallian a. a dynamic survey of graph labelingj. the electronic journal of combinatorics, 20002 赵树女原.线性代数m.3版.北京:中国人民大学出版社,19973 冯锡刚.范德蒙行列式在行列式计算中的应用j.山东轻工业学院学报:自然科学版,20104 朱亚茹,牛泽钊.谈拉普拉斯定理及其应用j.科技信息,20095姜庆华，海进科线性代数m.北京：高等教育出版社，20096 黎伯堂,刘桂真.高等代数题解技巧与方法m.山东:山东科学技术出版社, 2003.7 钱吉林.高等代数题解精粹m.北京:中央民族大学出版社, 2002.8 魏战线，李换琴，魏立线线性代数自学指导与习题精解m西安：西安交通大学出版社，2001.9 王品超著. 高等代数新方法 m. 济南：山东教育出版社，1989.10 李师正.