非正弦周期信号有效值的概念在无穷级数求和中的应用 毕业论文.doc

毕业论文 非正弦周期信号有效值的概念在无穷级数求 和中的应用 年 级:09 物理 学 号:09041208 姓 名: 专 业:应用物理 指导老师: 二零一三年六月 目 录 目 录2 摘 要4 abstract.5 第 1 章 非正弦周期信号的分解6 1.1 非正弦信号6 1.1.1 非正弦信号的产生6 1.1.2 非正弦信号的分类6 1.2 非正弦周期信号（谐波函数的叠加）6 1.2.1 谐波信号函数)cos()(wtatf.6 1.2.2 非正弦信号的谐波叠加.7 1.3 非正弦周期信号的傅里叶分解8 1.3.1 三角函数的正交性.8 1.3.2 傅里叶系数与傅里叶级数.8 1.3.3 收敛定理-狄利赫利充分条件 .9 1.3.4 周期与非周期的傅里叶级数.9 1.4 非正弦周期信号的频谱分析10 第 2 章 有效值的概念10 2.1 有效值的定义10 2.1.1 电流的有效值.11 2.1.2 电压的有效值.11 2.2 周期信号有效值的定义11 2.1.1 周期电流的有效值.11 2.1.2 周期电压的有效值.11 2.2 有效值的实质12 第 3 章 非正弦周期信号有效值12 3.1 有效值的计算方法12 3.1.1 按定义计算.13 3.1.2 按傅里叶系数计算.13 3.2 有效值恒等式的推广-帕塞尔瓦等式.13 3.2.1 帕塞尔瓦定理.14 3.2.2 帕塞尔瓦定理在周期信号分析中的应用.15 第 4 章有效值的概念在无穷级数求和中的应用15 4.1 一类无穷级数与傅里叶系数的关系16 4.1.1 傅里叶系数的特性.16 4.1.2 数项级数与傅里叶系数的关系.17 4.2 求一类数项级数的和18 4.3 应用举例.20 结 论22 致 谢23 参考文献24 附 录 1 傅里叶级数的希尔伯特空间25 摘摘 要要 本文通过对一个周期函数进行傅里叶级数展开，得到了有效值的计算公式。 分析了有效值的意义，并从物理方面揭示了把一个周期函数表示成傅里叶级数 的意义。利用非正弦周期信号有效值的公式得到了积分恒等式，不仅给级数求 和提供了新思路，而且丰富了帕塞尔瓦定理的应用。最后，通过例子，总结归 纳无穷级数求和的解题技巧，使求解这类问题有章可循。 关键词：非正弦周期信号； 傅里叶级数； 有效值； 帕塞尔瓦等式； 数项级 数求和 abstract we develop a formula for root mean square values by an application of fourier series expansion of a periodic function. the paper analyzed the meaning of root mean square values, and the paper reveals the significance of expressing a periodic function by fourier series in physical aspects. it has obtained an identity of integration by the formula of root mean square values of no sinusoidal periodic signal. not only a new method about the sum of series is obtained, but also the application of parseval theorem has been enriched. keywords: no sinusoidal periodic signal; fourier series; fourier coefficients; root mean square values; parseval equation; the sum of series 第 1 章 非正弦周期信号的分解 1.1 非正弦信号非正弦信号 在生产和科学实验中，通常会遇到按非正弦规律变化的电源和信号。 1.1.1 非正弦信号的产生非正弦信号的产生 例如，通信工程传输的各种信号（如收音机、电视机收到的信号）波形都 是非正弦波。这些信号是由各种频率的正弦信号叠加而成的。另外，如果电路 中存在非线性元件，即使在正弦电源的作用下，电路中也将产生非正弦周期的 电压和电流。 1.1.2 非正弦信号的分类非正弦信号的分类 非正弦的电压和电流又可分为周期的和非周期的两种。本文主要分析的是 非正弦周期的电源和信号。 1.2 非正弦周期信号（谐波函数的叠加）非正弦周期信号（谐波函数的叠加） 在自然界中广泛地存在各种各样的周期性运动（即相隔一定时间间隔往复 循返的过程） 。例如，日月星球的运动，海洋潮汐的运动，电磁波与声波的运动， 工厂里机器部件的往复运动，时钟摆的摆动以及人体心脏的跳动等等，都是周 期性运动。为了描述周期性的运动过程，数学上是借助某类函数来描述的。当 然这类函数也要体现出周期性。这类函数称为周期函数，即 其)()(nttftf 中为周期函数的周期，为自然数。 非正弦周期电流、电压或t)(tfn, 2 , 1 , 0 信号，也都可以用周期函数表示。 在高等数学中，为了研究函数的性质，常常采用分析表示法，将这些函数 在某区域展开成幂级数的形式，如泰勒级数或罗朗级数。但是，这种幂级数形 式的展开式是体现不出周期性来的，那么，对于周期性函数应采取怎样的分析 表示法呢？这就是本章要讨论的内容。 1.2.11.2.1 谐波信号函数谐波信号函数)cos()(wtatf 谐波信号函数，谐波信号关于 的导数：)cos()(wtatf)(tft 仍就是谐波，一种比原信号函数超前周期的信号。) 2 cos()( wtwatf 4 1 且谐波信号仅由振幅、角频率和初相位决定。这些特点决定谐波信号函aw 数可以作为一个基本周期函数，若对于任意一个信号，都能分解成谐波的叠加， 那么对于信号分析就比较简单方便了。 1.2.2 非正弦信号的非正弦信号的谐波叠加谐波叠加 在工程中我们常常遇到的一类重要信号就是周期信号。诸如，具有能量存 储的自然响应、无电阻损耗的理想电路和无摩擦损耗的理想机械系统的自lc 然响应都是周期的，而且事实上它们都是由一些基本信号组成，例如： 。其中一个基本周期信号就是谐波信号函数)cos()( 1 0k k km kwtaatf 按某一规律确定的函数序列称为函数系。 如下形式的函数)cos()(wtatf 系：为基本三角nttttnttttsin2,3sin2,2sin2,sin2,cos2,3cos2,2cos2,cos2, 1 函数系。如果我们将基本三角函数系中的函数，任意取个组合，则我们可以n 得到一个较复杂的函数。比如：函数 实现了将不同频率正弦波逐个叠加)7sin 7 1 5sin 5 1 3sin 3 1 (sin 4 )(tttttf 成方波。 如果我们取跟多的函数组合，甚至全体的组合，将会得到更复杂的函数或我们 期望的函数。由此可知：傅里叶级数展开式的意义函数的整体逼近。 在线性电路中，应用叠加定理可计算多个不同频率的电源作用时电路中的电压和电 流。若电路中的电源是一个非正弦电源，同样可以用叠加方法进行分析。即运用数学方 法将该非正弦量分解为多个分量，每个分量相当于作用着不同频率的电源。这样，就可采 用叠加方法进行了。当非正弦周期信号分解为傅里叶级数后，可视为含有直流和一系列频 率成整数倍的正弦激励作用于电路，因此其分析计算方法与多个不同频率正弦激励的电路 分析计算方法实际上是一致的。叠加定理作为线性电路的一个基本分析方法，可以使多个 激励的电路问题化为简单激励的电路问题来研究。 1.3 非正弦周期信号的傅里叶分解非正弦周期信号的傅里叶分解 1.3.11.3.1 三角函数的正交性三角函数的正交性 三角函数有以下性质（1）正弦、余弦信号在一个周期内的积分为 0，即 。 （2）三角函数的正交性： 0)(sinwtkwtd 0)(coswtkwtd 在上正交，nttttnttttsin2,3sin2,2sin2,sin2,cos2,3cos2,2cos2,cos2, 1, 即其中任意两个不同的函数之积在上的积分为零。, 由于所以有：wtpkwtpkpwtkwt)cos()cos( 2 1 coscos 0)()cos()cos( 2 1 )(coscos wtdwtpkwtpkwtpwtdkwt pk 同理可证： 0)(sinsin wtpwtdkwt 0)(sincos wtpwtdkwt pk （3）但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在上的积分不等于零，, 而是有： 2)(11 wtd wtd kwt wtkwtd 2 2cos1 )(sin 2 。, 2 , 1, 2 2cos1 )(cos2 n kwt wtkwtd 1.3.21.3.2 傅里叶系数与傅里叶级数傅里叶系数与傅里叶级数 )cos()sincos()( 1 0 1 0k k kmk k k kwtaakwtbkwtaatf 为的周期。，为傅里叶系数，按下列公式计算： t w 2 t)(tf 0 a k a k b 2 0 0 )()( 2 1 wtdwtfa 2 0 )()cos()( 2 1 wtdkwtwtfbk 2 0 )()sin()( 2 1 wtdkwtwtfak 22 kkkm baa k k k a b tan 00 aa 可见周期函数可以分为以下分量：)(tf 第一项称为周期函数的恒定分量（或直流分量） ，即 0 a)(tf 2 0 0 )()( 2 1 wtdwtfa 第二项称为一次谐波（或基波分量）)sin( 1 wtam 第三、第四项分别称为二次谐波、三次谐波，依此类推。 1.3.31.3.3 收敛定理收敛定理-狄利赫利充分条件狄利赫利充分条件 在高等数学中，凡是满足狄利赫利条件的周期函数都可以分解为傅里叶级数。 在工程中遇到的非正弦周期量一般都满足狄利赫利条件。如：对于给定的周期 函数f(t)，若满足狄利赫利条件,即， （1）周期函数的极值点数目为有限个； （2）间断点的数目为有限个；（3）在一个周期内绝对可积，即有， （有界） ；则可展开成如下的傅立叶级数: dttf t 0 )( )cos()sincos()( 1 0 1 0k k kmk k k kwtaakwtbkwtaatf t w 2 为的周期。，为傅里叶系数。t)(tf 0 a k a k b 1.3.4 周期与非周期的傅里叶级数周期与非周期的傅里叶级数 定理定理 设周期为 2l 的周期函数 f(x)满足收敛定理的条件 则它的傅里叶级数展开 式为 )sincos( 2 )( 1 0 l xn b l xn a a xf nn n 其中系数 an bn 为 (n0 1 2 ) l l n dx l xn xf l a cos)( 1 (n1 2 ) l l n dx l xn xf l b sin)( 1 当 f(x)为奇函数时 l xn bxf n n sin)( 1 其中(n 1 2 ) dx l xn xf l b l n sin)( 2 0 当 f(x)为偶函数时 l xn a a xf n n cos 2 )( 1 0 其中 (n 0 1 2 ) dx l xn xf l a l n cos)( 2 0 1.4 非正弦周期信号的频谱分析非正弦周期信号的频谱分析 lcarleson(卡尔松，1928-)指出：对于平方可积的周期函数，其傅里叶 级数几乎处处收敛。可知傅里叶级数是一个收敛的无穷三角级数，其谐波分量 的幅值随谐波次数的增高而诼渐减少。因此，在工程上，一般只需要前几 km a 项之和，便能近似地表征非正弦周期函数。 为了表示一个周期信号分解为傅里叶级数后包含哪些频率分量以及各分量 所占比重，常用频谱（图）来表示。描述各谐波分量的振幅与频率的变化关系 的图形称为幅度频谱。描述各谐波分量初相与频率的变化关系的图形称为相位 频谱。由于各谐波的角频率是的整数倍，所以这种频谱是离散的，也可以称w 为线频谱。又由于高次谐波分量在幅度频谱中所占的“比重”相对较少，因此 视工程要求的精度及级数收敛的快慢，可选择截取有限的项数，近似地代表信 号函数。 第第 2 2 章章 有效值的概念有效值的概念 2.1 有效值的定义有效值的定义 在两个相同的电阻器件中，分别通过直流电和交流电，如果经过同一时间， 它们发出的热量相等，那么就把此直流电的大小作为此交流电的有效值。有效 值也称为均方根值。 2.1.12.1.1 电流的有效值电流的有效值 将一直流电与一交流电分别通过相同阻值的电阻，如果相同时间内两电流 通过电阻产生的热量相同，就说这一直流电的电流值是这一交流电的有效值。 2.1.22.1.2 电压的有效值电压的有效值 让恒定电流和交变电流分别通过阻值相等的电阻,使它们在相同时间内产生 的热量相等,就可以把该恒定电压的数值规定为这个交变电压的有效值。 2.2 周期信号有效值的定义周期信号有效值的定义 交流电的有效值等于在相同电阻上在一个周期内所获得的相同功耗（发热） 的直流电流/电压。 2.1.1 周期周期电流的有效值电流的有效值 周期性电流 通过电阻时，在一个周期内所产生的热量若等于直流电流ir 在相同时间内通过所产生的热量，则直流电流称为周期性电流的有效iri)(ti 值。（1）当直流电流流过电阻时该电阻在周期时间内消耗的电能为：irt 。（2）当交流电流流过电阻时该电阻在周期时间内消耗的电rtiw 2 )(tirt 能为：。即rdttiw t )( 0 2 rdttirti t )( 0 22 2.1.2 周期周期电压的有效值电压的有效值 周期性电压加在电阻时，在一个周期内所产生的热量若等于直流电)(tur 压在相同时间内加在所产生的热量，则直流电流称为周期性电压的uru)(tu 有效值。（1）当直流电压加在电阻时该电阻在周期时间t内消耗的电能为：ur 。（2）当交流电压加在电阻时该电阻在周期时间内消耗的电t r u w 2 )(turt 能为：。即dt r tu w t 0 2 )( dt r tu t r u t 0 22 )( 2.2 有效值的实质有效值的实质 有效值是根据发热量定义的，即交流电的有效值等于在相同电阻上获得的相同 功耗（发热）的直流电流/电压。 第第 3 章章 非正弦周期信号有效值非正弦周期信号有效值 任何周期量的有效值定义为它的方均根值，即。 t dttf t a 0 2 )( 1 3.1 有效值的计算方法有效值的计算方法 对于非正弦信号，电流 为重复角频率的各次谐波分量之和，即iw 。)cos( 1 0k k mk kwtiii 非正弦周期信号的有效值：周期性电流 通过电阻时，在一个周期内所产ir 生的热量若等于直流电流在相同时间内通过所产生的热量，则直流电流ir 称为周期性电流 的有效值。（1）当直流电流i流过电阻时该电阻在周期iir 时间t内消耗的电能为：。（2）当交流电流流过电阻r时该电阻rtiw 2 )(ti 在周期时间t内消耗的电能为：。即，则rdttiw t )( 0 2 rdttirti t )( 0 22 由三角函数的性质可知， t k kmk t dtkwtii t dti t i 0 2 1 0 0 2 )cos( 1 0 1 方括号内的项经平方后，必将包含下列各项：（1）； 2 0 i （2）；)(cos2 2 kmk kwti （3）；)cos(2 0kmk kwtii （4），；)cos()cos(2 221121kkmkmk wtkwtkuii 21 kk 各项积分后可得： （1）； 2 0 2 0 0 1 idti t t （2）； 2 2 0 222 0 2 )(2cos1 2 11 )(cos 1 k mk k t mkkmk t i i dtkwti t dtkwti t （3）；0)cos(2 1 0 0 dtkwtii t kmk t （4），0)cos()cos(2 1 221121 0 dtwtkwtkuii t kkmkmk t 21 kk 为以上各项之和的平方根，即： i 22 1 2 0k iiii 同理 22 1 2 0k uuuu 结论： 周期函数的有效值为直流分量及各次谐波分量的有效值平方和的方根 （还有一种定义方式，将直流分量、基波定义分别为零次谐波和一次谐波。在 这个前提下，非正弦量的有效值就等于它的各次谐波有效值平方和的平方根值） 。 3.1.13.1.1 按定义计算按定义计算 或 t dttu t u 0 2 )( 1 t dtti t i 0 2 )( 1 3.1.23.1.2 按傅里叶系数计算按傅里叶系数计算 对于非正弦信号，电流 为重复角频率的各次谐波分量之和，即iw 。则有：)cos( 1 0k k mk kwtiii 即 t k kmk t dtkwtii t dti t i 0 2 1 0 0 2 )cos( 1 0 1 22 1 2 0k iiii 同理 22 1 2 0k uuuu 3.2 有效值恒等式的推广有效值恒等式的推广-帕塞尔瓦等式帕塞尔瓦等式 函数的谐波展开（三角级数）表明：在某一区间里，完全不同的代数式之 间存在相等性。对于很广泛的一类函数中任意一个函数都可以相应地构造一个 三角级数，此函数在给定区间具有与该函数相同的值。信号的有效值即信号的 方均根值，据此可求出信号的有效值；非正弦周期信号可以展开成傅里叶级数， 据此也可求出信号的有效值。这两种有效值的计算式是等效的。为分析方便， 暂不考虑或中的开方运算，则有效值的计算公式 t tu t u 0 2 )( 1 t dtti t i 0 2 )( 1 可以简化了并得到了即帕塞尔瓦等式。)( 2 )( 1 2 1 2 2 02 k k k ba a dxxf 3.2.1 帕塞尔瓦定理帕塞尔瓦定理 已知为上的可积函数，若的傅里叶级数在上一致)(xf,)(xf, 收敛于，则有 parseval 等式成立：，其)(xf)( 2 )( 1 2 1 2 2 02 k k k ba a dxxf 中，为的傅里叶系数。 k a k b)(xf 证明：的傅里叶级数在上一致收敛于，故)(xf,)(xf ，；)sincos( 2 )( 1 0 kxbkxa a xf k k k ),(x 所以 2 1 02 )sincos( 2 1 )( 1 k kk kxbkxa a dxxf 由于三角函数有以下性质（1）正弦、余弦信号在一个周期内的积分为 0，即 （2）、在一个周期内的积分为，即 0sinkxdx 0coskxdx 2 sin 2 cos 。 （3）三角函数的正交性，即 xdxk 2 sin xdxk 2 cos 由0sincos pxdxkx 0coscos pxdxxk 0sinsin pxdxkx pk 三角函数的性质可知，方括号内的项经平方后，必将包含下列各项：（1）； 2 2 0 a （2）；（3）；（4），kxaa k cos 0 kxba ksin0 xkxkba kk21 sincos2 21 ；（5）；（6）各项积分后可得： 21 kk kxak 22 cos2kxbk 22 sin2 （1）； 222 1 2 0 2 0 a dx a （2）；0cos 2 1 0 kxdxaa k （3）；0sin 2 1 0 kxdxba k （4），0sincos 2 1 21 21 xdxkxkba kk 21 kk （5）； 222 cos2 2 1 kk axkxda （6）； 222 sin2 2 1 kk bxkxdb 则有：)( 2 )( 1 2 1 2 2 02 k k k ba a dxxf 此式即为周期信号下的 parseval 定理。左端即为周期下的平2t2t 均功率，右式为傅里叶级数展开式中各谐波分量有效值的平方和。该等式表明： 一周期信号所含有的功率恒等于此信号在完备正交集中各分量的功率之和。由 于该定理的物理意义是明显的，故可将推广至一 1 2 2 02 2 1 2 )( 2 1 k k a a dxxf 般周期信号的情况：t 1 2 2 02 2 1 2 )( 10 0 k k tt t a a dxxf t 3.2.2 帕塞尔瓦定理在周期信号分析中的应用帕塞尔瓦定理在周期信号分析中的应用 信号在时间区间内的能量为，但在一个周期内的平均),( 2 , 2 tt 功率为有限值，这样的信号称为功率信号。周期信号即为功率信号。 功率信号的平均功率为: 2 2 1 220 2 2 2 1 ) 2 ()( 1 )( t tn n a a dttf t tfp 信号为一电流:则 的有效值为)cos( 1 0k k mk kwtiii i 1 22 0 22 )( k k iitii 信号作用于 1 殴电阻时，其功率为： 1 2 1 20 0 ) 2 ( n n n n a a ppp 对于周期信号，在时域中求得的信号功率频域中的信号各谐波分量功率之和。 这就是 parseval 定理在周期信号时的表示形式。 第 4 章有效值的概念在无穷级数求和中的应用 一方面，数学是研究物理的一个重要工具，许多物理规律都通过借助于数 学表达式分析，另一方面，物理会促进人们对数学概念和思想的理解及创新。 总之，许多数学问题来源于物理，同时物理问题的解决又要借助于数学理论的 发展。 4.1 一类无穷级数与傅里叶系数的关系一类无穷级数与傅里叶系数的关系 4.1.14.1.1 傅里叶系数的特性傅里叶系数的特性 数学上，可以用多项式逼近任意函数，如泰勒公式： 特别对于时，有：0 0 x 故、的级数展开：xsinxcos ! 7! 5! 3 sin 753 xxx xx ! 6! 4! 2 1cos 642 xxx x 由此易猜想到：、与之间有着深刻的联系。xsinxcos n x 假设，易见在上连续，将其 为自然数xxxf k 为自然数xxxf k ，- 周期延拓，必按段光滑，故可展成傅里叶级数。 当为偶数时，有k, 2 , 10nbn 1 21 0 k dxxa k k 1 cos 1 nxdxxa k n 1 2 0 22 22 2 0 1 2 0 2 12 12 2 )!12( ) 1() 1( !2 )!12( !) 1( cos )!2( !) 1( sin k i i niki k i k i i iki i iki nik k nik xk nx nik xk nx 2 0 2 21 )!12( ) 1() 1( !2 k i i niki nik k 于是在上可以展为 k x, 1 2 1 2 21 1 0 cos )!12( ) 1() 1( !2 1 )sincos( 2 n k i i niki n k nn k nx nik k k nxbnxa a x xrxx n xf xx xf xx xf xfxf n n n 0 02 0 0 0 0 ! )( ! 2! 1 )()( xrx n f x f x f fxf n n n ! 0 ! 2 0 ! 1 0 )0()( 2 当时，上式右端收敛于从而有x k ff 2 )0()0( 1 2 1 2 21 )!12( ) 1( !2 1 n k i i ikik k nik k k 高等数学中当时，收敛；当1 时，发1p级数p 1 1 p n n p级数p 1 1 p n n 散故，从而可交换并将的项孤立在等号左端，都收敛对 2 , 2 , 1 1 2 k i n i 2 k i取 从而有 移项，等号两边同时除以 1 1 2 1 1 2 1 2 21 ) 1( 1 !2 )!12( ) 1( !2 1 n k k n k i i ikik n k nik k k k ，即有递推公式在这!2) 1( 1 2 k k 1 2 11 2 2 1 2 1 1 )!12( ) 1( )!1(2 ) 1( 1 k in i ikik k n k nik k k k n 个递推公式里，依此令并结合之和。, 6 , 4 , 2k 1 1 n k n 4.1.24.1.2 数项级数与傅里叶系数的关系数项级数与傅里叶系数的关系 设的傅里叶级数的部分和为，级数在收敛的定义为)(xf)(xsn 0 x)()(lim 00 xfxsn n ，的系数)sincos( 2 )( 1 0 kxbkxa a xs k k kn )(xsnnkbaa kk , 2 , 1, 0 )( 2 )( 2 1 2 1 2 2 0 2 k k knn ba a dxxss 奇函数的傅里叶级数展开式：)(xf ，的系数 1 0 sin 2 )()( n kn kxb a xsxf)(xsnnkba k , 2 , 1, 0 2 0 cos)( 2 1 kxdxxfbk 1 2 2 0 2 2 )( 2 1 n knn b a dxxss 偶函数的傅里叶级数展开式：)(xf ，的系数 1 0 cos 2 )()( n kn kxa a xsxf)(xsnnkaa k , 2 , 1, 0 2 0 sin)( 2 1 kxdxxfak 1 2 2 0 2 2 )( 2 1 n knn a a dxxss 4.2 求一类数项级数的和求一类数项级数的和 1. 求常数项级数的和 1 2 1 n n 解：设，显然在上光滑，满足收敛定理，可以,)(xxxf)(xf, 展成傅里叶级数。由于在上为奇函数，所以：)(xf, , 3 , 2 , 1, 0nan , 3 , 2 , 1, 21 cos 2 cos 1 cos 1 sin 1 1 n n n n nxdx n nxx n nxdxxb n n 从而有在上的傅里叶级数为，利用 parsevalxxf)(, 1 1sin ) 1(2 n n n nx 等式可得：，所以 1 2 2 1 1 2 4 21 1 nn n nn dxx 64 11 2 2 1 2 dxx n n 2. 求常数项级数的和 1 4 1 n n 解：设，显然在上光滑，满足收敛定理，可以,)( 2 xxxf)(xf, 展成傅里叶级数。由于在上为偶函数，所以：)(xf, , 3 , 2 , 1, 0nbn 2 0 22 0 3 221 dxxdxxa nx n nxx n nxdxx n x n nx nxdxxansin 2 cos 2 sin 2sin cos 1 32 22 , 3 , 2 , 1, 41 cos 4 22 n n n n n 所以在上的傅里叶级数为，利用 2 )(xxf, 1 2 2 cos ) 1(4 3 n n n nx parseval 等式可得：，所以 1 4 44 16 9 21 n n dxx 90 1 4 1 4 n n 3. 求常数项级数的和 1 6 1 n n 解：设，显然在上光滑，满足收敛定理，可以,)( 3 xxxf)(xf, 展成傅里叶级数。由于在上为奇函数，所以：)(xf, , 3 , 2 , 1, 0nan nxdx n nxx n nxdx n nxx n nxdxxbnsin 3 cos 1 cos 1 cos 1 sin 1 2 2 3333 反复使用分部积分公式有： 33 121 cos 12 n n n b n n 所以在上的傅里叶级数为，利用 parseval 等 3 )(xxf, 1 3 sin ) 1(12 n n n nx 式可得：，所以 1 6 6 1441 n n dxx 945 1 6 1 6 n n 4.求常数项级数为偶数k n n k 1 1 解：设，显然在上光滑，满足收敛定理，可以,)(xxxf k )(xf, 展成傅里叶级数。利用 parseval 等式可得： （其中为常数） ，依次令依次可得相 1 2 22 1 n k k n b adxxba,45, 3 , 2 , 1k 应的常数项级数的和，见下表： 1 1 n k n k 246810 为偶数k n n k 1 1 6 2 90 4 945 6 9450 8 93555 10 4.3 应用举例 1. 求常数项级数的和为偶数 ）（ k n n k 1 2 1 解：由于依次令依次可得相应的常数项级 11 1 2 1 2 1 n kk n k nn）（ ,810, 6 , 4 , 2k 数的和，见下表： 1 )2( 1 n k n k 246810 为偶数k n n k 1 )2( 1 24 2 1440 4 60480 6 2419200 8 95800320 10 2. 求常数项级数的和为偶数 ）（ k n n k 1 1-2 1 解：由于依次令依次可得相应的 1112 11 1-2 1 nn kk n k nnn）（ ,810, 6 , 4 , 2k 常数项级数的和，见下表： 1 1 n k n k 246810 为偶数k n n k 1 ) 12( 1 8 2 96 4 960 6 161280 17 8 2903040 31 10 3. 求常数项级数的和为偶数 ）（ k n n k n 1 1 1- 解：由于依次令依次可得相应的 111 1 2 1 2 1) 1( nn kk n k n nnn ,810, 6 , 4 , 2k 常数项级数的和，见下表： 1 1 1- n k n n ）（ k 246810 为偶数 ）（ k n n k n 1 1 1- 12 2 720 7 4 30240 31 6 12090600 127 8 47900160 511 10 结结 论论 信号的有效值即信号的方均根值，据此可求出信号的有效值；非正弦周期 信号可以展开成傅里叶级数，据此也可求出信号的有效值。这两种有效值的计 算式是等效的。为分析方便，暂不考虑或中的开 t tu t u 0 2 )( 1 t dtti t i 0 2 )( 1 方运算，则有效值的计算公式可以简化了并得到了 即帕塞尔瓦等式。由此我们可以利用这个等式)( 2 )( 1 2 1 2 2 02 k k k ba a dxxf 找到一种求数项级数和的新思路。该思路主要依赖定积分的计算，并未涉及复 杂的函数理论与大量数值计算，因此本文为一类复杂数项级数求和提供了一种 简洁的方法。 致 谢 历时将近两个月的时间终于将这篇论文写完，在论文的写作过程中遇到了 无数的困难和障碍，都在同学和老师的帮助下度过了。尤其要强烈感谢我的论 文指导老师万鹏程老师，他对我进行了无私的指导和帮助，不厌其烦的帮助 进行论文的修改和改进。另外，在校图书馆查找资料的时候，图书馆的老师也 给我提供了很多方面的支持与帮助。在此向帮助和指导过我的各位老师表示最 衷心的感谢！ 感谢这篇论文所涉及到的各位学者。本文引用了数位学者的研究文献，如果 没有各位学者的研究成果的帮助和启发，我将很难完成本篇论文的写作。 感谢我的同学和朋友，在我写论文的过程中给予我了很多素材，还在论文的 撰写和排版过程中提供热情的帮助。 由于我的学术水平有限，所写论文难免有不足之处，恳请各位老师和学友批 评和指正！ 参考文献参考文献 1杨树林. 用 fourier 级数求数项级数的和. 胜利油田师范专为偶数p n n p 1 1 科学校学报.2000 年，14 卷（4 期）：14-15 2朱时. 某些级数的和. 六盘水师专学报（自然科学版）.1990 年，3 期：p 1-3 3朱剑锋、李鸿萍. 数项级数求和的一些方法和技巧. 中国科教创新导刊. 2011 年，14 卷（4 期）：14-15 4葛彦如. 一种无穷级数求和方法. 数学教学研究.2010 年，29 卷（8 期）： 59-60 5安玉萍. 无穷级数求和归类在教学中的应用. 吉林建筑工程学院学报.2010 年，27 卷（5 期）：14-15 6章益. 正确理解正弦（余弦）交变电流的有效值. 课程教育研究.2012 年， 222 7腾远江. 从热的解析理论中看傅里叶分析的产生. 衡阳师范学院学报.2010 年，31 卷（3 期）：22-24 8成凯歌. 利用 fourier 级数求级数和的讨论. 高等函授学报（自然科学版）. 2012 年，25 卷（3 期）：66-71 9王白银、杨东升. 应用傅立叶级数求常数项级数的和. 高等数学研究.2009 年，44-45 10 李小平. parseval 定理在物理学中的应用. 塔里木大学学报.2008 年，20 卷 （2 期）：35-36 11 邓新蒲. 傅里叶级数的起源、发展与启示. 电气电子教学学报.