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分析动力学方法在电路中的应用摘要：本文先介绍了分析动力学的发展过程和在当今物理学界的发展趋势，并简单的介绍了当今在分析动力学领域内比较成功的几个人所做的成就。其次再从动力学分析方法的角度出发，简单的介绍了拉格朗日方程的推导方法，利用力电比拟法比较力学量与电学量，磁学量的区别与联系，通过归纳演绎的方法比较动力学系统与电路系统之间的差别，并探讨了在电路系统中拉格朗日方程的应用，并且举出了几个应用的实例，体现了用动力学方法解决电路问题的优越性。从物理本质上看，机械系统中的运动与电路中的状态是不同的。这表现在描述这两类物体的物理量和遵循的物理规律各不相同，但是它们在各自规律基础上建立起来的运动方程和电路方程在形式上是完全相同的。关键词：分析动力学; 拉格朗日方程；电路analysis of dynamics in the application of the circuitabstract：this paper first introduces the development of the analytic dynamics and the trend of development in todays physics, and then briefly presents the achievements made by the several successful individuals in the field of todays analytic dynamics.then, this paper simply introduces the down method of lagrange equation by means of analytic dynamic method, force - electrical analogy method to compare the mechanical quantity and electrical quantity, the quantity of magnetism, compares differences and links between dynamics system and circuit system with inductive deductive method, discusses the application of lagrange equation in the circuit system, and cites the several application instances, and embodies the superiority of analytic dynamic method reflected in understanding circuit problem. looking from the physical nature, mechanical system movement and the state in the circuit are different, which is shown in that the physical quantity describing the two types of objects and the laws of physics obeyed by the two types of objects are quite different. but the motion equation and the circuit equation that they build on the basis of their respective rule are identical in form.key words：analytical mechanics; lagranges equation; electric circuit目录目录第1章 绪论11.1 选题的目的与意义11.2 分析动力学的发展趋势11.3 本课题主要讨论问题2第2章 分析动力学中的拉格朗日方程32.1分析动力学32.2拉格朗日方程的基本形式及其各符号的物理意义32.3应用拉格朗日方程解题的一般方法和步骤52.3.1应用拉格朗日方程应该注意的问题52.3.2使用拉格朗日方程的优越性6第3章 对电路系统的探讨73.1机械系统与电路系统73.2力-电比拟73.3电路中的拉格朗日方程9第4章 拉格朗日方程在电路中的应用114.1拉格朗日方程在电磁振荡的应用114.2 应用拉格朗日方程计算一般的电路问题124.2.1保守线性电路系统124.2.2非保守线性电路系统16结论19致谢20参考文献21第1页西安文理学院本科毕业设计（论文）第1章 绪论1.1 选题的目的与意义传统的电路分析研究方法是根据电路模型利用欧姆定律和基尔霍夫定律等去解决电路问题的。这种方法的优点是简明扼要，容易理解，但是它没有从电路的本质上去揭示电路内在的规律；传统的分析动力学方法主要是根据拉格朗日方程等基本的公式定理去解决用经典动力学知识解决不了或者解决起来比较复杂的问题的，它主要研究利用数学分析的方法去解决所有的动力学问题的。况且学习的要领是要举一反三的，它讲究一题多解，所以我们用另一种方法 去研究解决电路问题是非常必要的1。本选题目的就是来探讨如何利用分析动力学的方法尤其是拉格朗日方程去更好地解决电路中的问题。利用分析动力学解决电路问题与传统的电路分析方法最大的不同就是不用去关心电路的具体连接方式。由于涉及该选题的论文很少，但是它对分析动力学和电路理论的发展都有着重要的作用，所以研究本选题有很高的价值；此外我们还通过对该选题的研究发现物理学中两个看似无关的学科竟然有如此重要的联系。综上所述，本选题有很大的价值与意义。1.2 分析动力学的发展趋势18世纪、19世纪，随着工业革命的迅速发展，在工程技术上迫切需要解决受有复杂约束（约束反力未知）的质点组力学问题，这类问题用牛顿动力学解决起来很困难，甚至无法解决，人们迫切需要寻找另外的方法来解决这一类问题。1788年，拉格朗日写了一本大型著作分析力学，在此基础上逐步发展形成处理力学问题的新方法，称之为分析动力学。后来哈密顿在1843年又提出哈密顿原理和正则方程，在理论中有着更为重要的应用。自此分析动力学形成了一个完整的体系。1894年hertz开辟了非完整力学研究的新领域。近40年来，微分几何、流形上的大范围分析、对称性理论、数值计算方法的发展，又将动力学理论推进到近代分析力学的新阶段。我国关于分析动力学的研究起步较晚，源于1958年汪家訸教授的分析动力学著作。经过半个世纪我国的分析动力学研究取得了历史性进步，已在国际上占有重要位置2。 20世纪70年代以后，在梅凤翔教授的倡导和带领下，我国学者在非完整系统的理论研究、现代数学描述、运动稳定性、随机运动、振动与控制、几何动力学以及各种专门问题的研究方面取得了丰硕成果，提升了我国在非完整力学研究领域内的国际地位。20世纪90年代，梅凤翔教授提出和建立的birkhoff系统动力学将完整力学系统、非完整力学系统和各种非hamilton系统纳入同一理论体系。由于他对非完整力学的突出贡献，在分析力学诞生地的法国获得国家科学博士学位3。在1982年辽宁建筑工程学院的韩柱亭教授通过对拉格朗日函数 l=t-v 的讨论,着重阐明了作为系统的重要状态函数的广义动能的物理本质,从而为该方程在非线性条件下的正确应用提供了更确切的基础。最后利用拉格朗日方程建立了一般化电机的运动方程。在1996年，山东烟台海军航空工程学院的赵曦教授用拉格朗日方程建立了保险带的打开模型，并代入了具体实例进行了验证。它所反映的建模方法在引信的众多机构中都具有较高的实用价值4 .在2011年时哈尔滨商业大学的程雪龙教授应用动力学原理可以解决中药药物代谢动力学问题,研究中药活性成分、组分、单味药和复方体内吸收、分布、代谢、排泄和毒性(adme/tox)的动态变化规律及其体内时-量、时-效关系,并用数学函数加以定量描述的一门新兴学科。开展中药药物代谢动力学研究对阐明和揭示中药药效物质基础和作用5。1.3 本课题主要讨论问题本选题将介绍分析动力学的发展历史并且初步的介绍分析动力学在最近这一个世纪多的重要的应用和比较重大的发展，之后介绍拉格朗日力学中的拉格朗日方程的基本形式和在保守力系下的形式以帮助读者回顾拉格朗日分析力学的基本内容。然后再探讨电路系统与动力学系统中的区别与联系，在两个都有了较深入了解的基础上再比较力学量，电学量和磁学量的关系，这部分我们将通过类比的方法去解释一些较简单的物理量，直接得出结论，对于较复杂的物理量将通过具体的讨论，得出最终的结论。给读者清晰的思路。最后再介绍分析动力学在振荡电路中的常见的例子和在一边的电路问题中如何使用拉格朗日方程去解决问题。第2章 分析动力学中的拉格朗日方程 2.1分析动力学从十八世纪开始，在力学发展史上出现了与矢量力学并驾齐驱的另一力学体系，即分析动力学。这个体系的特点是对能量与功的分析代替对力与力矩的分析。为了避免未知理想约束力的出现，分析力学的一种方法是在理想约束力与约束方程间建立起一种直接的关系，导出了比矢量力学一般方法程式化更为明显的动力学方程拉格朗日第一类方程。分析力学的另一种方法是从独立坐标出发，利用纯数学分析方法，将用独立坐标描述的动力学方程用统一的原理与公式进行表达，克服了在矢量动力学中建立这种方程依赖技巧的缺点。这种统一的方程即拉格朗日第二类方程。上述工作均由拉格朗日(j.l.lagrange)于1788年奠定的。以拉格朗日方程为基础的分析力学，称为拉格朗日力学。1834年哈密顿(hamilton)将拉格朗日第二类方程变换成一种正则形式，将动力学基本原理归纳为变分形式的哈密顿原理，从而建立了哈密顿力学。 对于一个动力学系统，尽管建立该系统的拉格朗日第二类方程或哈密顿正则方程不依赖于技巧，但它的数学推导过程相当繁琐，因此用来建立自由度比较多的系统动力学方程相当困难，并且容易出错。利用拉格朗日第一类方程解决系统的动力学问题，与矢量动力学的一般方法一样，尽管建立方程比较容易，但其求解规模很大。正是由于这个原因，在力学发展史上因拉格朗日第一类方程并不比矢量动力学一般方法优越，而被搁置一边。 随着近代计算技术的发展，解决具有程式化特征的数学问题，规模再大也能迎刃而解。故解决动力学问题的拉格朗日第一类方程又引起广泛的注意。可以这样说目前在解决复杂动力学问题成功的计算机辅助分析软件中，均采用拉格朗日第一类方程与加速度约束方程作为系统的动力学模型。 1788年拉格朗日出版的分析力学是世界上最早的一本分析力学的著作。分析力学是建立在虚功原理和达朗贝尔原理的基础上。两者结合，可得到动力学普遍方程，从而导出分析力学各种系统的动力方程。17601761年，拉格朗日用这两个原理和理想约束结合，得到了动力学的普遍方程，几乎所有的分析力学的动力学方程都是从这个方程直接或间接导出的。1834年，哈密顿推得用广义坐标和广义动量联合表示的动力学方程，称为正则方程。哈密顿体系在多维空间中，可用代表一个系统的点的路径积分的变分原理研究完整系统的力学问题。从1861年有人导出球在水平面上作无滑动的滚动方程开始，到1899年阿佩尔在理性力学中提出阿佩尔方程为止，基本上已完成了线性非完整约束的理论。20世纪分析力学对非线性、不定常、变质量等力学系统作了进一步研究，对于运动的稳定性问题作了广泛的研究6。2.2拉格朗日方程的基本形式及其各符号的物理意义由几个质点所形成的力学体系的动力学方程，根据牛顿运动定理的表达 (i=1,2,3,n)或 (i=1,2,3,n) （式2.1）这个方程和上式在数学上虽然只是移项手续的不同，但在物理意义上却很有意义式（式2.1）是一个力学体系的平衡方程，代表主动力，约束反力和质点因有加速度而产生的有效力（惯性力）平衡。通过这种办法就可把动力学问题转化为静力学问题来处理。(式2.1）反映的这种平衡关系，通常叫做达朗贝尔原理7。若用虚位移标乘式（式2.1），并对i求和，在理想约束的条件下，则 （式2.2）这个方程就是达朗贝尔原理和虚功原理的结合，有时又称为达朗贝尔拉格朗日方程。经过推到就可得到 （=1,2,s） (式2.3)这就是基本形式的拉格朗日方程。它们是广义坐标以时间t作自变量的s个二阶常微分方程，此组方程的好处是只要知道一力学体系用广义坐标，所表出的动能t，及作用在此力学体系上的力,.（也是用及t表出的）就可写出这力学体系的动力学方程。叫做广义动量，可为线动量亦可为角动量。叫做广义速度（线速度，角速度或其他）。因为动量对时间的微商等于力，故叫做广义力，的量纲跟功的量纲一样，故的量纲随的选择而定。可以是力，也可以是力矩或其他的物理量，如压强p，表面张力，电场强度e或磁场强度h等。广义力中一般不包含约束反作用力，所以利用基本形式的拉格朗日方程一边也不能直接求出约束反作用力8。对于保守系来讲，基本形式的拉格朗日方程还能再加化简，由已有的物理学知识了解，保守力系中并存在势能v，它是坐标的函数，且 (i=1,2,n) （式2.4）它和（式2.3）不同之处在于v是所有点坐标的函数，即， (i=1,2,n)的函数（有时，势能还是时间的显函数，即v中含t）。如果把（式2.1）代入，则v成为，；t的函数；于是（式2.5）这样一来，基本形式的拉格朗日方程（2.3）就可改写为 （=1,2，s） (式2.6)因为势能v中一般并不包含广义速度，故如令l=t-v （式2.7）代表体系的动能与势能之差，则，而基本形式的拉格朗日方程（式2.3）则变为 （式2.8）这就是保守力系的拉格朗日方程，因为用的较多，有时也直接把它叫做拉格朗日方程或拉式方程，简称拉式函数。拉式函数l等于力学体系动能和势能之差，他是力学体系的一个特性函数，表征着约束运动状态，相互作用等性质。2.3应用拉格朗日方程解题的一般方法和步骤2.3.1应用拉格朗日方程应该注意的问题为了正确应用（式2.3）式，应该注意以下的几个问题。既然一组广义坐标能确定系统的位置，那么如能求出就能求已知力求运动的问题，由于动能 （式2.9）而 = （，,， ）= (式2.10)它只包含广义坐标对的一次导数，仍只包含广义坐标对的一阶导数，就包含了广义坐标对的二次导数，由于广义坐标的数目和自由度s=3n-k相等，故拉格朗日方程（式2.3）式共有s个方程，s个未知函数满足s个方程，所以（式2.3）式是，对的二阶常微分线性方程组，如力已知，初始条件已知，就可以解出拉格朗日方程的基本形式里应该主义的问题有：这个方程成立的条件是完整约束。动能t必须是在惯性系中的动能。使用（式2.3）是要特别注意偏导数与全导数的区别，在求偏导数时，是把，和是当成同等地位的变量计算的的，而在求全导数时是把，都当成的函数来计算的。2.3.2使用拉格朗日方程的优越性拉格朗日方程是分析动力学的重要组成部分，它在解决质点系动力学中有有重要而广泛的应用。使用拉格朗日方程有许多的优越性具体有以下几点：对于任何满足完整约束的质点组，只要能写出对其惯性系的动能和广义力，拉格朗日方程都适用。从方程个数来说比应用牛顿力学要少。与质点组动力学所述的三个基本定理比较（式2.3）式并不像质点组三定理那样只有六个独立的方程，因此在解决质点组动力学问题有时还需要别的基本方程来补充9。对于自由质点（式2.3）式仍然适用。由于，即为作用在每个质点上的力在有一虚位移是所做的虚功，垂直约束面的约束反作用力所做的虚功为零，可以不管，对于系统的刚体部分的内力也可以不管，因此大大的简化了计算10。第3章 对电路系统的探讨3.1机械系统与电路系统从物理本质上看,机械系统与电路系统中的运动过程完全不同,它们分别用两类物理量描述,服从不同的物理定律。前者是以牛顿力学为基础建立起来的，而后者是利用欧姆定律，基尔霍夫定律等建立起来的。两者似乎毫无关联。但是,它们在此基础上所建立的运动微分方程的形式却是相同的11。这不由得让人们产生了好奇地心理，所以我们要对于这两个看起来毫不相关的系统进行一个比较。如果把描述这两种系统运动状态的物理量进行类比,我们就可以把研究力学系统运动的拉格朗日方程间接用来解决电路系统的运动问题12。3.2力-电比拟一维弹性振子在有阻尼力和谐迫力时的振动方程为: (式3.1)其中m是振子的质量,k是弹簧的弹性系数,b是阻尼因数,为谐迫力。由电感l,电阻r,电容c和电源e所组成的串联电路如图1所示, 图3.1 弹簧振子图3.2 交流振荡电路若某时刻电容器上的电荷为q,则电路的电流,电感上的电压降为,电阻上的电压降为,电容上的电压降为。又设电源电动势为,由基尔霍夫定律得电路的微分方程为 (式3.2)比较振动方程(式3.1)和电振荡方程(式3.2)可得如下的比拟:电荷位移,电感质量,电阻阻尼因数,电容的倒数弹簧的弹性系数,电动势机械力。耗散函数：首先我们需要认识耗散的概念：远离平衡态的开放系统，通过与外界交换物质和能量，可能在一定的条件下形成一种新的稳定的有序结构。而耗散函数就是表示耗散的函数。耗散结构的特征是：存在于开放系统中，靠与外界的能量和物质交换产生负熵流，使系统熵减少形成有序结构。耗散即强调这种交换。对于孤立系统，由热力学第二定律可知，其熵不减少，不可能从无序产生有序结构。保持远离平衡态。贝纳特流中液层上下达到一定温度差的条件就是确保远离平衡态。系统内部存在着非线性相互作用。在平衡态和近平衡态，涨落是一种破坏稳定有序的干扰，但在远离平衡态条件下，非线性作用使涨落放大，达到有序。设质点除受有势力和非有势力作用外，还受粘滞阻尼的作用，粘滞阻尼是作用在质点上的线性阻力。由于这种阻力使机械能耗散，所以又称它为耗散力。下面，我们先定义出耗散函数，再由耗散函数导出广义耗散力来。设作用在任意质点上的线性阻力为， （式3.3）其中是质点的运动速度，阻力系数为常数。作用在所有质点上的线性阻力在质点系的任意虚位移中所作虚功的和为 （式3.4）式中的： 将它代入（式3.3）得： （式3.5）令 （式3.6）即称为耗散函数利用同样的方法,可以找到很多相似的对应关系。如下表: 机械量电磁量直线运动定轴运动力 f质量 m位移 s速度 功率 p=fv动量 p=mv动能 弹簧系数 k弹性势能 阻力系数 耗散函数 力矩 m转动惯量 i角位移 角速度 功率 动量矩 iw转力动能 扭簧系数 k弹性势能 转功阻力数 电压 e电感 m电量 q电流 电功率 p=ei磁主链 磁场能 电容倒数 1/c电场能 电阻 r 牛顿第二定律动量矩定律法拉第定律表1 力-电比拟法中机械量与电磁量的对应关系表3.3电路中的拉格朗日方程我们通过以上的讨论得出了力学量与电学量磁学量的关系,了解了力学系统与电路系统也有一些内在的关系与联系。那么我们能不能将解决力学系统问题的经验应用到解决电学问题中来呢？这是一个很少有人去设计的问题。也许是这个问题太小的缘故。所以我们可以通过类比的方法得出电路形式的拉格朗日方程由于拉格朗日的方程是,由以上讨论，我们已经知道拉格朗日方程是：（=1,2,s）有第2章的知识我们已经知道上式及符号的物理意义。现在我们来讨论一下，在电路方程中有什么相似之处。由上表的对比已经知道t代表的是广义动能，与电学系统中的电感的磁场储能是相对应的，而v是广义势能，它与电容所储存的电场能量是相对应的。所以我们也很自然就可以列出拉格朗日函数。称为广义力，与电路中的电压相似。电路中的电流依靠电源电动势e来驱动，因此e可看作是电路体系的广义主动力,其量纲为伏特。由于电阻是电路系统中的耗散元件，当有电流流过它时，总要消耗电路体系中的能量，而的量纲也是伏特，因此，是电路体系中的广义耗散力简称广义阻力。 所以我们就能够得出电路中的拉格朗日方程： (式3.7) 上式中的t代表电感的储能，q是电荷数，q是电阻两端的电压值的负值,第4章 拉格朗日方程在电路中的应用4.1拉格朗日方程在电磁振荡的应用电磁振荡与力学振荡有许多相似之处，因此我们可以利用研究力学振荡的方法来研究电学的电磁振荡问题，已经有一些文章对一个只由电感l和电容c组成的闭合回路（如图4.1），当开关从1拨到2时,有如下的求解过程。图4.1振荡电路的两种情况设电容极板上的电量q为广义坐标，电路中的电流强度为为广义速度，则电感上的储能：对应用于广义动能，而电容中的储能：对应于广义势能，则系统的拉格朗日函数为：因为系统为保守系，将拉式函数l代入保守系的拉格朗日方程：得到电磁振荡的微分方程：其解为：式中的与由初始条件决定，而电磁振荡的固有频率： （式4.1）当开光滑向2是此电路系统是一个rlc电路，电阻消耗了能量相当于非保守系的拉格朗日方程。即拉格朗日的基本形式 （式4.2）而电路体系中的非保守广义力为： （式4.3）将（式4.3）代入（式4.2）的：至此我们就能够得出此电路系统的振荡频率为此结论与电学中的并联或串联电磁振荡求出的固有频率求出的是一样的13。但是现在电学中对这一类利用分析动力学的方法研究电路中常见问题的方法还没有得到国内外学者足够的重视。因此这是很有必要研究的。笔者用分析动力学矩阵法求解此问题，求出电磁振荡与力学振荡有相似的结论。此结果在电学中还没有的出现过。4.2 应用拉格朗日方程计算一般的电路问题要研究拉格朗日方程在一般电路中的应用首先要明确什么是保守的线性电路系统：所谓的保守的线性电路系统就是线性电路系统无耗能元件和外加激励，仅由储能元件构成的闭合系统。由于拉格朗日方程分为保守系和非保守系的拉格朗日方程，我们首先看一下保守系的拉格朗日方程。4.2.1保守线性电路系统电路系统中的储能元件分为电容和电感我们就先讨论电容元件的电路方程与拉格朗日方程的联系13。例1 以电容电荷q为广义坐标（为广义速度）的分析以图(4.2)说明图4.2 电容图该系统的三个电容。所以广义坐标为，则广义速度 ， 系统的广义势能是电容的储能为： 可见广义势能是广义坐标的函数系统的广义动能是电感的储能： 广义动能是广义速度的函数，保守系统的拉格朗日状态函数为： 保守系统拉格朗日方程式为： （k=1，2，3，） k=1时： 代入拉格朗日方程得： 即 （式4.4）式（式4.2）就是包含，的电压方程。当k=2，3时根据相同的办法可以得到 上面的两个式子分别是包含，的电压方程和，的电压方程。由此可知，以电荷为系统的广义坐标所得到的拉格朗日方程实质上就是kvl方程（即独立贿赂的电压方程），每一个回路方程只包含一个电容支路，即对应一个广义坐标，故方程个数等于广义坐标数，应该指出在列写拉格朗日方程过程中应用了kcl方程14。例2 以电感磁链为广义坐标(为广义速度 )的分析仍能说明上例如图(式4.3)该系统有两个电感,所以广义坐标为,则广义速度为: 系统的广义势能是电感的储能：其动能是广义坐标的函数。系统的广义动能为电容的储能图4.3 电感图拉格朗日状态函数为: 拉格朗日方程为: (k=1 , 2)当k=1时得： 代入拉格朗日方程得：即： 也就是： (式4.5)方程（式4.3）就是包含节点a的电流方程。当k=2时，同理得：即: （式4.6）方程（式4.4）就是包含节点b的电流方程。可见,以电感磁链作为系统广义坐标的拉格朗日方程也就是kcl方程(独立节点电流方程),每一节点方程包含一个电感支路,即对应一个广义坐标,故方程个数等于广义坐标数15。同时,在列写拉格朗日方程过程中应用了kvl方程。4.2.2非保守线性电路系统所谓非保守的电路系统.就是电路中除了储能元件外还含有耗能元件和外加激励16。例3 以电容电荷q为广义标的分析以图(式4.4)说明该电容电荷为广义坐标,则为广义速度，系统的广义势能为，广义动能为， 图4.4 电压源电路图则该系统的拉式状态函数为 系统广义损耗函数为： 系统局外广义力q为： 非保守系统拉格朗日方程为：（k=1） 即： （式4.7）方程(式4.5)是包含c回路的电压方程(拉格朗日方程对应kvl方程),由此可知,对非保守系统,拉格朗日状态函数仍是广义动能与广义势能之差,广义损耗函数f正比于广义速度的平方,在以电容电荷q为广义坐标时,其代表广义阻力(电阻上电压形式出现),局外广义力q也以外加电压源形式出现17。例4 以电感磁链冲为广义坐标的分析如下图(4.5)图4.5 电流源电路图设电感磁链为系统的广义坐标，则为广义速度，广义势能为，广义动能为，系统的拉式状态函数为： 系统广义损耗函数为：系统的局外广义力为：代入系统的拉格朗日方程: (式4.8)其中： 所以将上式代入（式4.8）并化简可得：即： （式4.9）方程(式4.9)式是包含l节点的电流方程(这里拉格朗日方程对应kcl方程)。可见,以电感磁链为广义坐标时,损耗函数仍和广义速度(电压)的平方成正比，而代表的广义阻力以电阻上流过的电流形式出现，局外广义力q则以外加电流源形式出现18。结论通过本论文，我们在大体上了解了分析动力学的发展史，能够比较具体的推导出了拉格朗日方程的基本形式与在保守力系中的拉式方程。再通过了力电比拟法大体上了解力学量与电学量，磁学量的区别与联系，之后本论文目的就是来探讨如何利用分析动力学的方法尤其是拉格朗日方程去更好地解决电路中的问题。利用分析动力学解决电路问题与传统的电路分析方法最大的不同就是不用去关心电路的具体连接方式，使电路分析有一种新的解题方法。其次我们还介绍了几种常见的电路模型的拉格朗日函数表示法。能够使分析力动力学的方法更好的为电路分析服务。致谢本课题的研究探讨以及论文撰写一直都是在张相武老师的细心指导下进行的，张老师为人随和热情，治学严谨细心。在闲聊中他总是能像知心朋友一样鼓励你，在论文的写