2011高考数学专题6：立体几何.doc

专题六 立体几何1、立几基本定理：（1）平面的三个公理是：公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。公理2：如果两平面有一个公共点，则它们必有无穷多个公共点，且所有公共点在一条直线上公理3：过三个不共线的点有且只有一个平面（2）、公理3的三个推论是：推论1：过直线和直线外一点有且只有一个平面推论2：过两条平行直线有且只有一个平面推论3：过两条相交直线有且只有一个平面（3）、空间位置关系：空间两直线的位置关系有异面、相交，平行; 空间直线与平面的位置关系有平行、相交，直线在平面内；空间平面与平面的位置关系有 平行、相交。（4）、公理4：空间中如果两条直线同时与第三条直线平行，则这两条直线平行（5）、等角定理：空间中两个角的两条边分别对应平行，则这两个角相等或互补（6）、异面直线的定义： 空间中不共面的两条直线；（7）、直线和平面平行的判定：定义：直线与平面无公共点判定定理：如果平面外一条直线平行于平面内一条直线，则这条直线与这个平面平行利用面面平行：如果两平面平行，则其中一个平面内任一直线与另一个平面平行（8）、两个平面平行判定（1）定义： 空间中两个平面无公共点（2）判定定理：空间中一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面，则这两个平面平行（3）推论：空间中一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条相交直线，则这两个平面平行(9)、两个平面平行的性质定理：两平行平面与第三个平面同时相交，则它们的两条交线平行(10)、直线与平面垂直的判定定理：一条直线垂直一个平面内的两条相交直线，则这条直线与这个平面垂直（11）直线与平面垂直的性质定理：如果直线与平面垂直，则这条直线与平面内任意直线垂直（12）三垂线定理及其逆定理三垂线定理：如果平面内一条直线垂直于平面的斜线，则此直线垂直于该斜线在平面内的射影；三垂线逆定理：如果平面内一条直线垂直平面的斜线的射影，则它垂直于该斜线。（13）二面角的平面角的定义：过二面角棱上一点在两个半平面内分别做棱的垂线，则两垂线所成的角叫此二面角的平面角（14）两平面垂直的判定定理：如果一平面内一条直线垂直于另一个平面内的两条相交直线，则两平面垂直两平面垂直的性质定理：如果两平面垂直，且一个平面内一条直线垂直它们的交线，则这条直线垂直于另一个平面（15）空间角：异面直线所成的角的定义：在空间任取一点，过作两异面直线，,的平行线，则此两直线的夹角为两异面直线所成的角。直线与平面所成的角是指：平面的斜线与平面成的角指此直线与它在平面的射影的夹角；当直线与平面平行时，它们成的角为0度 ，当它们垂直时，它们成的角为90度 。求二面角的平面角的方法：定义法：在二面角的棱上取一点o，过o在两个半平面内分别作与棱垂直的射线oa、ob，则为平面角三垂线法：指由三垂线定理（逆定理）作二面角，即先过一个面内某一点p作另一个平面的一条垂线ph，再过垂足h作二面角的棱的垂线ho，垂足为o，则为所求二面角的平面角射影法：若二面角中一个面内的某三角形面积为s，此三角形在另一个面内的射影三角形的面积为s，二面角（或其补角）为，则有向量法：先分别求出两平面的法向量，则两法向量所成的角为此二面角的平面角或其补角。异面直线所成的角的范围： ，直线与平面所成的角的范围：，二面角的范围：二面角的射影公式： ，其中各个符号的含义是：是二面角的一个面内图形f的面积，是图形f在二面角的另一个面内的射影，是二面角的大小。若直线在平面内的射影是直线，直线m是平面内经过的斜足的一条直线，与所成的角为，与m所成的角为, 与m所成的角为，则这三个角之间的关系是 。3、几个基本公式：（1）柱体体积：， 锥体体积：， 球体体积：，球的表面积：，（2）弧长公式：（是圆心角的弧度数，0），扇形面积公式：；（3）平面的法向量的计算方法：先在平面内写两个不平行向量，设法向量坐标为（x,y,z）利用法向量与平面的这两个向量垂直列等式计算出x,y,z之间的比例关系 ，再设其中一个值为1（或其它利于表达的数）从而得出法向量（4）球面距离=“球心角”球半径4、用向量法（坐标法）解决常见立体几何问题的基本思路（1）向量在向量方向上的射影公式：（2）求直线与平面所成的角：直线上任一非零向量与平面法向量所成的锐（直）角的余角（3）求二面角：先分别求出两平面的法向量，则两法向量所成的角为此二面角的平面角或其补角。（4）求点到平面的距离（与平面平行的直线到平面的距离及两平行平面间的距离可转化为点面距离）：该点与平面内任一点连成的向量在法向量上的射影长。（5）证明线面平行：证明直线上任一向量与平面的法向量垂直（6）证明面面平行：证明两平面的法向量平行（7）证明线面垂直：证明直线上任一向量与平面的法向量平行（8）证明面面垂直 证明两平面的法向量垂直5、二面角问题的常见方法（1）三垂线法：指由三垂线定理（逆定理）作二面角，即先过一个面内某一点p作另一个平面的一条垂线ph，再过垂足h作二面角的棱的垂线ho，垂足为o，则为所求二面角的平面角（2）坐标法：先分别求出两平面的法向量，则两法向量所成的角为此二面角的平面角或其补角。（3）射影公式法：6、点到平面的距离：（1）直接法：作出点到平面的垂线段后计算其长度（2）体积法：利用点到平面的距离即为棱锥的高，特别是三棱锥换底后用体积计算（3）坐标法：该点与平面内任一点连成的向量在法向量上的射影长。7、向量法一、利用法向量解决角的问题、（，都是非零向量）、异面直线（或相交直线）所成的角 其中，是可求的，或是可以用加减法转化为可求的.、直线与平面垂直（即法向量问题）设平面上有两个不共线的向量，而，那么 若，那么，三个变量受一个参数的制约.一个法向量的方向已经确定，但大小是不确定的. 、斜线和平面所成的角设平面的法向量是，平面的斜线段,有=、二面角如果