数学与应用数学毕业论文-对近几年高考数学压轴题的探究.doc

曲靖师范学院本科生毕业论文论文题目：对近几年高考数学压轴题的探究 作者、学号：学院、年级：数学与信息科学学院 2006级学科、专业：数学 数学与应用数学指 导 教 师： 完 成 日 期：2010年5月26日曲靖师范学院教务处 曲靖师范学院 本论文（设计）经答辩小组全体成员审查，确认符合曲靖师范学院本科(学士学位)毕业论文（设计）质量要求。 答辩小组签名主席 姓 名工 作 单 位 职 称 曲靖师范学院数学与信息科学学院副教授成员曲靖师范学院数学与信息科学学院教授曲靖师范学院数学与信息科学学院副教授曲靖师范学院数学与信息科学学院讲 师曲靖师范学院数学与信息科学学院助 教 答辩日期：2010年5月26日原创性声明本人声明：所呈交的论文（设计）是本人在指导教师指导下进行的研究工作成果。除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文（设计）中不包含其他人已发表或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所作的任何贡献已在论文（设计）中作了明确的说明并表示了谢意。签名： 日期： 2010年5月26日 。论文（设计）使用授权说明本论文（设计）作者完全了解曲靖师范学院有关保留、使用毕业(学位)论文（设计）的规定，即学校有权保留论文（设计）及送交论文（设计）复印件，允许论文（设计）被查阅和借阅；学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容。签名： 指导教师签名： 日期： 2010年5月26日。对近几年高考数学压轴题的探究摘 要 高考数学压轴题一般是指高考数学试卷中的最后一道题，是高考数学卷中综合性和探索性最强，难度最大，具有深刻的高等数学（甚至现代数学）背景的题. 高考数学压轴题入口宽，深入难，要想突破它并拿到一定的分数绝不是一件容易的事.每年都有不少学生对高考数学压轴题产生恐惧感，而且得分率都较低甚至多数为零分.要想顺利解答高考数学压轴题，除有扎实的基础知识，灵活应用知识的能力外，还需紧扣“双基”，对压轴题作一定的反思、回味、 总结. 因此，本毕业论文对近几年高考数学压轴题的类型、背景、设问方式、解答策略进行了一定的探究，希望帮助师生做好压轴题的复习，使考生从一个全新的角度去思索高考题，以使尽可能多的学生经阅读、训练后在高考场上解答压轴题时能发挥自如，获得高分. 关键词: 高考数学压轴题; 类型; 背景;设问方式; 解答策略 the exploration of mathematical finale problems of collegeentrance in recent yearsabstract:mathematical finale problems of college entrance examination generally refers to the last one problem on the mathematical paper , which is the most comprehensive, exploratory and difficult one .and the problems have profound advanced mathematics ( even modern mathematics) background.whats more, the problems cover a lot of knowledge and are difficult to find the answer to them in deep . therefore ,it is not easy for the candidates to get a certain score .every year , many students are afraid of them, and get a low score even zero.if one wants to find the answer to the problems easily, one would master “basic knowledge and skills ”, and rethink them again and again except for having solid basic knowledge. this thesis is aim at exploring the problemstype, background, way of question and solution strategy in recent years in hope that this paper can help students and teachers review this kind of problem effectiuely, and can make the candidates think about the problem from a new perspective. in this case, the candidates can easily find the answer to the problems and get a high scores through doing some exercises.keywords:mathematical finale problems of college entrance; type; backgrounds; way of question ; solution strategy目 录1 引言12 文献综述12.1 国内外研究现状12.2 国内外研究现状评价22.3 提出问题23 高考数学压轴题的类型探究23.1 代数型压轴题23.2 几何型压轴题64 高考数学压轴题的背景分析85 高考数学压轴题的设问方式探究96 解答高考数学压轴题的策略探究106.1 过好心理素质关116.2 牢固掌握数学基础知识116.3 形成系统的数学知识结构126.4 加强能力培养126.5 加强解题策略指导136.6 加强学生思维独创性的培养146.7 强化练习167 高考数学压轴题回顾与展望168 结论178.1 主要发现178.2 启示178.3 局限性188.4 努力方向18参考文献191 引言高考数学压轴题一般是指高考数学试卷中的最后一道题.高考数学压轴题是高考数学卷中综合性和探索性最强，难度最大，具有深刻的高等数学（甚至现代数学）背景的题，其情景新颖，寓创新意识于其中，关注试题由知识型向能力型的转化，具有探索性和创新性.高考数学压轴题是学生考试过程中最后要冲刺的“坡顶”，是试卷命题者为提高试卷区分度而设计的一道题.由于高考数学压轴题难度高，有较好的区分度，有知识和能力考查的综合性，成为命题者和师生高度关注的对象.同时也由于每年都有不少学生对高考数学压轴题产生恐惧感，得分率都较低甚至多数为零分，使其具有珍贵的教学价值.因此，本毕业论文从高考数学压轴题的类型、背景、一般设问方式、解答策略几个方向来探究高考数学压轴题，希望帮助师生做好压轴题的复习，使考生从一个全新的角度去思索高考题，找到更多的解题灵感，解除思维困境，减少时间失分，增强对思维方向的信心.也希望对改进教学方法，提高教学效果，培养学生的独创性思维作一点贡献.2 文献综述2.1国内外研究现状从迄今所参阅到的文献资料123中所了解的信息来看， 高考数学压轴题综合性、灵活性、探索性都很强，考查的知识跨度比较大，涉及的数学思想方法多，对学生的能力要求高，因而许多研究者从不同角度、方向对它进行了一些研究.如在新课程背景下高考数学试题研究一文中刘得柱从高考改革的国家政策，高考试题的研究现状，高考数学试题的变化及新趋势做了详述；在一道高观点下的数学高考压轴题一文中李兴无认真分析了一道具有高等数学知识背景的试题并作出两个推广；在高考压轴题解法探究一文中柳书春结合数列本身的结构特点及近几年的一些高考试题详述了几种数列不等式的证明方法；在江西高考数学压轴题新解及对证明数列不等式的启示一文中曾建强对2006年江西高考理科数学压轴题给出两种新的证明方法及两点证明过程中的启示；在怎样做才叫“拔高”课本2005年两道高考压轴题与课本上一道例题的对比一文中权宽一通过压轴题与例题的对比阐述了高三数学复习必须以课本为主，同时应对课本上的知识和方法加以“拔高”，使知识在“拔高” 中得到“升华”，从而使知识融会贯通；在上通现代数学，下达中学课堂一文中何龙泉通过对近几年来全国和部分省市高考数学题中一些典型试题进行深入分析并阐述了高考数学题特别是所谓的压轴题都有深刻的高等数学（甚至现代数学）；在由一道2007年高考数学压轴题引发的思考一文中余锦银通过分析每年高考的数学试题以及2007年的高考试题阐述了多数考生不能将数学试卷做完的原因是多方面的，但其中原因之一是不能自觉根据高考试题的一般设问方式灵活使用“跳步作答”和“借步作答”等技巧；在高等数学背景下的高考数学命题探析一文中懂裕华通过探析高考命题中以高等数学为背景的试题阐述了尽管有些高考试题的设计来源于高等数学，但解决方法最终还是中学所学的内容，而且高考中这部分问题的占分比例也不大，因此，没必要将高等数学的知识引进到高中数学中，等等.2.2国内外研究现状评价综上所述，迄今国内外对高考数学压轴题的研究是多种多样的，就所参阅到的多数研究者的研究来看，许多研究者对高考数学压轴题的研究或是对某一年的压轴题进行探析，或是就某一道题进行推广，或是就某一个方面做阐述，同时一些高考压轴题解答过程的给出灵活性、技巧性、创新性太强，普遍性、系统性不足，对指导一般的学生掌握、突破压轴题并拿到一定的分数是很困难的. 2.3提出问题 针对国内外的研究现状，我们需要找出一些对于大多数学生都能够理解掌握的做数学压轴题的更普遍，更通用，更全面，更有效的技巧、方式方法，使大多数学生或是初学者产生更多灵感，找到解决压轴题的关键点.因此，本毕业论文从相对较普遍的归类，分析背景、设问方式，总结解题策略几个方面对高考数学压轴题进行了一定探究.3 高考数学压轴题的类型探究纵观近几年的高考数学题，发现高考的数学压轴题一般分为两大类:代数型压轴题和几何型压轴题.3.1代数型压轴题代数型压轴题重点表现为函数形式的综合题和数列形式的综合题，并且它们之间有着密切的联系.函数思想的实质是用联系、变化的观点提出数学对象，建立函数关系，使问题得到解决. 数、式、方程、不等式、数列及极限、三角函数、导数等都是以函数为中心的.函数形式的综合题在高考数学压轴题中主要有以下几种形式： 、函数内容本身的综合，如函数概念、图像、最值等方面的综合； 、函数与其它数学知识的综合，如方程、不等式、数列、解析几何、极限和导数等内容与函数的综合，这里主要体现函数思想的运用； 与实际问题的综合，主要体现在数学模型的构造和函数关系的建立，这类问题一般要经过变形转化，归结为二次函数、均值不等式、数列或导数的问题解决.例 1（2007年江苏）:已知是不全为零的实数，函数,方程有实数根且的实数根都是的根；反之的实数根都是的根.（）求的值.（）若求的取值范围.（）若求的取值范围.解: 由于第（）问、第（）问容易求解，下面仅对第（）问进行解答.由题设且由第（）问知，可得所以.于是可化为. 当得,所以,所以可化为 (1).显然方程的根都是方程的根,由题意知方程（1）的根也应是方程的根.因此要求方程 （2）无实数根.记，则方程（2）无实数便等价于函数的图像与轴无交点.于是考虑,令,得.当时：x -0 + 为减函数 极小值 为增函数所以当时，.函数的图像与轴无交点 当时：x +0 - 为增函数 极大值 为减函数所以当时,.函数的图像与轴无交点.显然不存在这样的点. 当时：函数的图像与轴无交点，满足题意.综上所述知：所求的取值范围是.评注：此例是一道典型的函数形式综合题，运用导数研究函数的性质（单调性、极值、最值）是高考数学压轴题的一种比较常见的形式.利用导数知识对此例进行解答是一种巧妙的方法，但也可应用初等方法进行解答.数列是高中代数的重点内容之一,也是与大学数学有衔接的内容，由于在测试学生的逻辑推理能力和理性思维水平及考查学生创新意识和创新能力等方面有不可替代的作用，因此,在近几年高考中有着重要的地位.数列形式的综合题不仅考查数列、等差数列和等比数列、数列极限及数学归纳法等基本知识、基本技能，并且常与函数、方程、解析几何、不等式等知识相结合，同时考查学生在数学学习和研究过程中知识的迁移、组合、融会，进而考查学生的数学素养和学习潜能，为学生展现其创新意识和发挥创造能力提供广阔空间.例2（2009年江西理科第22题）:每项都为正数的数列，且对满足 的正数都有.(1)当，时，求通项.(2)证明：对任意,存在与有关的常数，使得对于各个正整数，有.解：（1）由题意，可得,再由，得 整理得,又因为，整理得,从而得到且满足题设的所有条件.所以当，时，所求通项为.证明:（2）因为题设中的值仅与有关,所以将其记作.则, 而函数在定义域上有 ； 因此对，都恒成立. 又因为,得取,即有,即命题（2）得证.评注：数列形式的综合题是高考数学压轴题的热点题型，此例是考查特殊与一般思想、函数与方程思想、等价转化思想方面的一道好题.3.2 几何型压轴题几何型压轴题主要是以直线和圆锥曲线的关系来命题的，题目的特点是： 、基础知识要非常扎实，并能灵活应用;、 综合性较强，在解题中几乎处处涉及函数方程、向量、不等式、直线等内容，同时体现各种能力的综合; 、计算量大，要求具有较高的运算能力和较强的逻辑推理能力.例3（2009年山东卷）：设椭圆过,两点,为坐标原点.（）求椭圆的方程；（）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且？若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围，若不存在，说明理由.简解：由于第（）问容易求解,并求得,下面仅对第（）问进行解答.设,则 ,. 因，为椭圆上的两个动点，于是可得,即 ,.于是可得,即.设坐标原点到直线的距离为,因为，所以 因此存在圆心在原点的圆使之该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且, 又因 ，且,.所以, 所以. 又因为，即,所以. 因此 . 故此的取值范围为 .评注：此例是一道以椭圆几何性质为素材的解析几何试题，旨在考查学生分析问题的能力.总之，近几年的高考试题中，以“数列”、“函数”、“圆锥曲线”为主要知识的压轴题是高考数学压轴题的热点题型，主要考查学生等价转化能力、数形结合能力、分析问题和解决问题的能力、推理和运算能力、较强的思辩能力、信息迁移能力、创新意识和创新能力等,同时还具有较强的区分度，有利于高校选拔优秀人才.4 高考数学压轴题的背景分析数学教育家李彝先生认为数学教育要“上通数学”.通过对近几年来全国和部分省市数学高考题中若干典型试题的探研发现从表面上看压轴题与其它解答题没什么异同，解题的方法也是初等，但对其深入剖析可知有些试题本身就是一道高等数学题，有些是现代数学家们正在研究的一些前沿问题的一个特例；有些是某个现代数学概念以一种学生能够接受的方式给出的，之后以此作为出发点通过逻辑推理得出一些“好”的结论.也即很多数学高考压轴题有着深刻的高等数学（甚至现代数学）背景，充分体现了中学数学“上通数学”.例4（2005年全国高考数学全国卷理22题）:（）设函数,求的最小值；（）设正数，满足，证明：对第（）小题作进一步分析:要证,只需证,即 ,上式的左边为一乘积且不等号是“”，自然会想到均值不等式 ,此式的左边为正数的几何平均数，右边是调和平均数，为了弄清它和式的关系，把此式变形为：.再将上式推广，得到：若且， 则 .式表示的仍是的几何平均数和调和平均数之间的关系，只是这里的平均数是加权平均数，再把式推广到个正数的均值不等式.命题：设，且 ，则 .由式容易得到.所以成立，因而原命题成立.综上所述，可知，此题是一道个正数的加权平均数问题，其背景是均值不等式.掌握了这一点，便可更一般地考察这个问题，如原题中对数的底数是2，但可以改为3，因此下面一命题成立.命题：设正数满足则.从此例可看到，尽管其内容设计来源于高等数学，但解决的方法最终还是中学所学的内容,同时也能考查学生的数学素养和数学潜能，因此这类试题常常会被选作为考题.高考数学压轴题中具有现代数学知识背景的题是时常出现的，若能对这类试题进行深入挖掘、认真思考，对其背景进行细致的探析，这对高考复习将会提供极大的帮助.5 高考数学压轴题的设问方式探究高考数学压轴题通常以“分步设问，分散难点，渐次递进”的方式设多个问题，若从几个设问之间的层次关系角度来分类，可分为“递进式”设问方式；“并列式” 设问方式；“类比式” 设问方式.（1）、“递进式”设问方式.“递进式”设问方式是指题目中有两个或两个以上的小问题，并且问题的内容是依次深入，其难度逐渐增加，前一问与后一问之间彼此相关联层层递进的一种设问方式.对于采取递进式设问方式设置的问题，因为前一问通常是后一问的铺垫，所以后一问也通常需要应用前一问得出的正确结论进行解答,即借步作答.近几年高考解析压轴题通常采用这种设问方式，特别涉及数列不等式的压轴题一般采用这种设问方式.（2）、“并列式” 设问方式.“并列式” 设问方式是指题目中设置的每个小问题的解答彼此独立，相互并列且互不包含，各不影响，前一问做对与否对后一问的正确作答没有任何影响的一种设问方式.近几年高考压轴题中，只有是对数学对象进行某方面深挖掘的特难问题，高考命题专家才将其分解为几个难度稍低的问题.（3）、“类比式” 设问方式.“类比式” 设问方式是指问题中明确了某个数学对象的某一属性，且还需明确同类事物中另一对象是否也具有相同或相似的属性的设问方式此类问题常常根据两个对象各自之间的属性所可能具有的相同或相似的因果关系来以一事物的正确与否去证明另一事物的正确与否.这类问题的原型一般是考生很熟悉的性质和结论.但经过类比得到新情景则是考生不太熟悉的解答，此类问题关键在于认真读题和分析题目中原情景的关系特征，之后在新情景中进行合理的类比或是关系借鉴，探析出类似的结论再进行验证.而据统计，此类问题在高考数学压轴题中较少见. 总之，数学压轴题一般都要求考生具有能从多个角度，多个方面去探索，去发现，去创新的能力，若知其高考压轴题的设问方式及应答策略，则可以从一个全新的角度去思考高考压轴题，间接地找到更多的解题灵感，解除思维困境，减少时间失分，增强其思维方向的信心.6 解答高考数学压轴题的策略探究高考数学压轴题每年都有所创新，具有较高的能力要求和良好的区分度.高考数学压轴题本身及解答过程都涉及很多个知识点和多种数学思想方法，同时在突出“三基”考查时，增大了思考量和计算量，能较好的考查考生的思维品质，创新能力和学习潜能，及由感性思维到理性思维的飞跃，使高考与素质教育形成良性互动，怎样才能顺利解答高考数学压轴题呢？以下从几个方面探究顺利解答高考数学压轴题的策略.6.1过好心理素质关由于高考数学压轴题具有较强的综合性，创新性，较高的区分度，使得很多平时学习成绩一般的学生在未高考之前就打算将压轴题放弃， 一些平时中上成绩的学生会对其产生恐惧感，在解压轴题时 ，发现自己或教师总结出来的套路都用不上.高考是一种选拔性考试，其压轴题的命题材料、方式都有所不同，但其目的主要是培养学生用数学的方法，思维方式去处理其它问题.其次，在平常的测试中就有不少学生根本没有时间做这题，即使有时间也会看一眼就害怕，尝试着做一下之后也很少能做出，久而久之，将会在心理产生一种想法，这种题不是出给我做的，是为高智商的人所设置的.由此可见，高考压轴题入口宽，深入难.一般而言第一问不会很难.其实3到5分是很容易得到的，只要能调整好心理状态，沉着冷静地逐步深入，就可能柳暗花明.最后，有些教师的不正确舆论导向，过高的评价高考数学压轴题的难度，有时甚至告诉学生高考时放弃压轴题的解答，至此也使很多学生产生不良的心理反应.良好的心理状态能增强解决问题的自信心，会有一种积极主动的探索思想，至之过程.然而若总是受情感的支配，不试一试，做一做，遇到难题就退缩，长久以后，将难以克服由于某种干扰作用的心向而引起的负迁移作用.因此，解答高考数学压轴题时一定要心平气和，不要急于求成，考场上要学会调整自己的心理平衡，增强自我的思维自信心，充满自信的审视压轴题，激发灵感，寻找问题的突破口.6.2 牢固掌握数学基础知识高考数学压轴题以数学知识为根本，从问题入手，把握数学学科的整体意义.用统一的观点组织材料，主要体现对知识的理解和综合知识的灵活应用，据此来考查考生把知识迁移到不同情境中的能力，进一步考查考生理性思维的广度和深度及后续的学习潜能，然而能力是建立在扎实的基础知识之上的，高考说明指出，高中数学的基础知识包括数学概念、法则、定理、定律、公式及其隐含的数学思想方法.由此可知，只有牢固地掌握数学基础知识，才有可能顺利解答高考数学压轴题.例5（2008山东，理卷第22题）:设抛物线方程为，为直线上任意一点，过引抛物线的切线，切点分别为.()求证：三点的横坐标成等差数列.()已知：当点的坐标为时，求此时抛物线的方程.()是否存在点，使得点关于直线的对称点在抛物线上，其中，点满足(为坐标原点），若存在，求出所有适合题意的点的坐标，若不存在，请说明理由.此题是解析几何与数列、向量的综合，主要考查考生的分析问题以及解析几何的运算能力，抽象逻辑思维能力，该题的关键是点设法及弦长公式等数学常识和迁移相关知识的能力.主要涉及到抛物线方程及其导数、切线、向量、轴对称、等差数列等基础知识和数形结合、整体处理问题的思想及解决探索性问题的常用方法.该题的背景知识较丰富，解答时需具备较强的运算求解能力，分析问题、语言转换的能力，挖掘问题内部所隐含的知识等能力，由此可知若没有扎实的基础知识，将会寸步难行.6.3 形成系统的数学知识结构 高考数学压轴题是高中数学知识的交汇点，以及多方面的数学知识或分支和多种思想方法融合各类知识形成一个有机的整体. 高考数学压轴题的解题方法比较复杂或呈交叉状，解题途径呈连环状,同时，考试说明也指出要从学科的整体高度和思维价值的高度思考问题，在知识网络交汇处设计试题，使对数学基础知识的考查达到一定的深度，考查时从学科整体意义和思想价值立意.因此，解答高考数学压轴题须具有良好的数学知识结构.数学知识结构是学生个体头脑里的数学知识按照个人的理解层次、水平结合自己的感知觉，思维记忆、联想类比迁移、推广等组成具有内部规律的整体结构.学生头脑里获得的数学知识结构其实就是数学认知结构，它是数学知识结构与学生心理结构相互作用的产物，体现了学生在头脑里对知识内容的接收、编码、储存、提取等一系列活动的组织方式.6.4 加强能力培养高考数学压轴题强调以“能力立意”，其能力指运算求解能力、数据处理能力、推理论证能力、想象能力、抽象概括能力及应用和创新能力，而应用和创新能力却是理性思维的高层次体现.在数学的学习和研究过程中对知识的组合、融合、迁移程度越高，体现能力的范围就越广，其创新意识也越强.高考数学压轴题就是考查学生数学能力，数学素养，多种能力协调共进，相互为用的一个好平台.例6（2008年江苏，理卷第20题）：已知函数，.函数定义为：对每个给定的实数,若则；若则. （1）求对所有实数成立的充分必要条件（用表示）；（2）设是两个实数，满足,且，若,求证：函数在区间 上的单调增区间的长度之和为(在闭区间的长度定义为).本题情景独特,寓创新意识，富有时代气息.主要考查了充要条件的探求，含绝对值函数，指数函数，不等式的综合应用，充分展现了在知识交汇处设置试题的命题特点.同时涉及到函数和方程的数学思想，分类讨论、数形结合、化归等数学思想充分突现出数学阅读理解能力，函数、不等式简易逻辑综合应用的逻辑推理能力等. 6.5 加强解题策略训练解题需讲究一定的策略，因为它可以增强效果，提高效率，同时也是一种做题机智，其具体操作如下：在读题解答思索中，应抓住“三性”，“三化”，“三转”，“三思”.“三性”即（1）目的性：明确解题的最终目标和每一步所要求的目标.（2）准确性：增强概念，运算的准确性.（3）隐含性：认真审题挖掘出题目中所隐含的相关知识，进一步找到解题灵感及合理的解题方向.“三化”即（1）问题具体化：把题中所涉及的各种概念，数学知识之间的关系更具体明了.有必要时数形结合画出表格或图形，这样便于将一般原理，一般规律应用到具体的解题过程中去.（2）问题简单化：任何一道数学难题剖析开来都是由基础题再加深一层组成的，所以将综合问题分解为与各相关知识相联的简单问题，更易得出解题的“路标”.（3）问题和谐化：注意转换问题的条件或结论，使其表现形式符合数或形内部固有的和谐统一的特点.“三转”即（1）概念转换能力：高考数学压轴题的转译通常都需要很强的数学概念的转化能力.（2）语言转换能力：压轴题一般都是由通用的文字语言，符号语言、图形语言所构成.解答压轴题需具有较强的语言转换能力，有时也需将普通语言转换成数学语言.（3）数形转换能力：其解题中的数形结合是指即分析题目的条件和结论的代数含义又分析其几何意义，试图在代数与几何的结合中能找出解题思路.但若应用数形结合时不注意其特殊性，则容易漏解.“三思”即（1）思路：因为压轴题一般都是综合多种知识，多种解题方法，以解答一种方法行不通就赶快尝试另外的解题思路.（2）思想：因高考压轴题的命置一般会充分体现考查其数学思想方法，所以解答时应着重注意使用数学思想方法.（3）思辩：即解题应注意思路、方法的选择.6.6加强学生思维独创性的培养平时注意培养学生思维的独创性可间接的提高高考数学压轴题的得分率.其独创性是指独树一帜从一般人都想不到的角度去思索问题，能大胆质疑创新，善于深思、反思问题，经过应用题教学一题多问，一题多解，一题多变，再经过合理的练习进一步培养学生解压轴题的能力.其“一题多问”即培养学生对同一问题从不同的方面提出问题让学生自己思考解答.其“一题多解”即培养学生对同一问题从不同的方向进行思索，分析提出多种异样解法.通过这种训练可以拓宽学生的解题思路,锻炼思维的灵活性，融会贯通知识间的内在联系.其“一题多变”即培养学生对同一道应用题，用多种不同方法叙述，但其本质不变，所反映的深浅程度也不同，如可隐蔽一些条件或条件结论互换，使学生能够在练习中发现问题，在实践中创造性地解决问题.下面来看一个“一题多解”的例子.例7（2007年高考重庆卷）:已知各项均为正数的数列的前项和满足,且，（）求通项公式.（）设数列满足并记为的前项和，求证：.此题的第（）问可如下证明.证法1：利用函数性质证明.由题设中可得, 于是有,又,令.则有.又因为.又因为，于是.即，亦即命题得证.评注：应用函数性质证明数列不等式一般都要先结合结论构造函数，再利用其单调性、奇偶性、周期性等性质来证明.其中函数的单调性应用较多还常常用到导数法，比较法等来判断其单调性.证法2：利用放缩法证明.由二项式定理知，当时，不等式成立，故证毕.评注：放缩法是证明不等式中一种常用的很重要的方法，而且若在证明过程中适当放缩可事半功倍.但必须要牢牢抓注放缩的结论，并充分用数列通项本身的条件，经不断尝试便可得解.证法3: 用数学归纳法证明. 当时, ,，于是显然成立. 假设当时结论成立,有 下证当时,而所以,于是 . 即当时，结论成立.所以对于一切结论都成立.评注：利用数学归纳法证明与自然数密切相关的数列问题是一种基本方法，但需注意在证明过程中要充分利用假设，因为构造和利用假设一般是关键. 6.7强化练习平时应系统地有针对性地去研究最近几年的本省的高考题，同时结合考试说明及每年的试卷评析，进而搞清命题趋势、意图.其次再选择做一些著名中学的模拟试卷，但一定要定量、定期、定时的做，做完之后自己认真批改，并深入思考、总结、反思写心得体会及从解题中找到的规律，经过大量练习、反思总结，高考中解答压轴题时才可能得心应手.总之，如果学生在平时的学习过程中能有意识地进行上述七个方面的训练，将更有助于高考数学压轴题的解答.7 高考数学压轴题回顾与展望纵观近几年的高考数学压轴题，有的题目出得独具匠心，构思巧妙，令人赏心悦目,但其综合性、探索性、难度、区分度都很强.为了帮助学生在做压轴题时能更上一层台阶，下面对2009年高考数学压轴题作一个简要的回顾，对2010年高考数学压轴题作以预测. (1)、考题统计.据对2009年高考数学的19套理科试卷中压轴题的统计不难得出：压轴题的平均分值为13分.代数型压轴题共26题，其中涉及函数知识的共有10题，涉及数列知识的共有11题，涉及不等式知识的共有2题，涉及导数知识的有1题，涉及高等数学知识的选答题有2题，几何型压轴题共12题主要是以直线和圆锥曲线来命题.从压轴题设问的数量上看，设计2问的共有25题，设计3问的共有13题.从压轴题设问的方式上看，设问为递进方式的共有19题，设问为并列方式的共有12题，设问为类比方式的共有5题，其它设问方式的共有2题.(2)、考题预测.分析2009年高考数学压轴题的命题方向及高考大纲，看出2010年高考数学压轴题的一般命题趋势.由于数学学科的主干知识能突现其整体高度和思维价值，而且综合性较强，其次一些重要的数学思想是对是数学知识在更高层次上的抽象和概括,同时也是反映考生对数学思想方法的掌握程度.因此主干知识、数学思想方法仍是考查的重点，探索性，灵活性，新颖别致仍是考查点，近年来压轴题多以综合问题等出现,因为它能较好地考查考生的思维品质，创新能力和学习潜能.(3)、一点建议.每年的高考数学压轴题虽然都会有创新，但是都有一定的来源，建议多关注学术性论文研究成果.据了解，曾有高考题来自于论文研究成果，但同时也要熟悉高等数学背景，其次是应重视归纳课本上的思想方法的基础上“拔高“课本使课本上的思想方法得到”升华“,最后教师要注意每位学生综合能力的考察是否具备认知问题的公平性,这样可避免一些学生考试时一些不必要的心理问题.8结论8.1主要发现高考数学压轴题是富有时代气息的试题，使高考与素质教育形成