数学论文-三级方阵的平方根问题.doc

三级方阵的平方根问题 (孝感学院数学系021114121,湖北 孝感432100)摘要：本文研究了三级方阵的平方根问题，指出了并修正了现行一些文献中的错误，寻求一种新的研究方法，本方法对一般的级方阵的平方根研究有着某些启发作用。关键词：矩阵；平方根；jordan标准形three grade matrix of the square root problemliu juan(department mathematics of xiaogan university 021114121, xiaogan hubei 432100 china)abstract: this article researches the square root of three grade matrix, and points out that some of the existing literature mistakes and seek a new research method, the general method for the square root level phalanx some research has inspired.keywords: matrix; square root ;jordan- standards .引言及定义矩阵方程是矩阵研究领域的一个重要方向。一些研究者研究了矩阵的开平方问题，如n.mackinnon给出了4种求可对角化矩阵平方根方法1，d.sullvan研究了22矩阵平方根的存在性问题及一般求法2，比较完整地解决了一般22矩阵的平方根问题，有关详细结果可参见文献2或其译文3；朱德高就含有1个和2个jordan块的jordan标准形矩阵的平方根问题进行了研究45；吴小明就一般情形下jordan标准形矩阵的平方根的某些问题进行了讨论6。定义14若，那么方阵就称为的平方根。一般而言，对任意级方阵的平方根的两个主要问题，即判断其存在性及如何求平方根问题，至今还未完全解决，许多文献仅就某些特殊情形如可逆阵，可对角化阵进行了讨论，文献4-6对jordan块，文献10对三角形托普勒兹矩阵等类型方阵的平方根问题进行了研究。另外文献9讨论了三角平方根问题，得到了一个一般性结论，经过分析，我们发现其结论是错误的，实际上7、8等文献中的结论也是错误的，下文中我们将构造反例否定其结论。关于方阵的平方根问题，完全获得解决的是关于正定阵及半正定阵的平方根问题，一般方阵的平方根问题是现阶段矩阵论研究中为许多人比较关注的一个方向，至今未见比较好的结果。加强本问题的研究具有一定的理论意义及应用价值。本文将重点研究三级方阵的平方根问题，一种原因是现有的22矩阵平方根研究手段并不适合于三级方阵，需要寻求一种新的研究方法，而且该方法对一般的级方阵的平方根研究有着某些启发作用，另一原因是现行文献中的某些结论仅对二级方阵成立，但对三级及更高级方阵并不成立，通过对三级方阵的平方根问题的讨论，分析其错误原因，据此构造一些反例。2定理与证明下面引理将指出，对任一方阵的平方根的讨论都可以转化为jordan标准形的讨论。引理1设方阵的jordan标准形为diag，这里（）均为jordan块，则存在平方根的充分必要条件为diag存在平方根。证明设，若存在平方根，即，则反之，若diag有平方根，即则，从而得到引理得证。如何判断jordan块的平方根的存在性，以及在存在时求出其所有平方根，我们以下例说明本文所用的方法：例 证明（）存在平方根，并求出其所有的平方根。证明设，（），使得，记则， 于是，由，得，即得，比较两矩阵的对应元素，得 （）于是，故有 解之得：或代入（）式一定有平方根，且仅有两个平方根。引理24 设是一个特征值为的m阶jordan块，其中为复数，则能开平方的充要条件是，或当时，且有 i)当时，若，则之平方根矩阵恰有一个；若，时，则之平方根矩阵恰有两个，这里；ii)当时，若中，则的平方根矩阵恰有两个： 定理1 若级方阵可逆，则一定存在平方根。证明设方阵的jordan标准形为diag，由于可逆，所以，由引理2，得均有平方根，故diag有平方根，从而由引理1可得，一定存在平方根。定理28 若级方阵可以对角化，则一定存在平方根。证明 设可对角化，则存在可逆矩阵使得 令则，再令，从而，即有平方根。推论若级方阵有个不同的特征值，则一定存在平方根。证明因为级方阵有个不同的特征值，所以可以对角化，由定理2得，一定存在平方根。对一般的三级方阵，是否存在三级方阵，使得。由引理1知，对任一矩阵的平方根的讨论，可以转化为对所有三级jordan标准形的平方根的讨论，除上述几种存在平方根的情形外，其余三级jordan标准形的可能形式有（1） （2）（3） （） （4） （）下面我们分别讨论（1）（4）是否存在平方根：（1） 设若有 其中则 即即通过比较得 ，即 不存在平方根。（2）设，若有，其中，则，即 ，又由，则=，即有平方根，且为，其中。（3）用类似方法由 计算得 ，又，即 ，矛盾。即不存在平方根。（4）用前面的方法可求出此种情况有平方根，且有如下两个平方根：或者3 应用首先，我们利用以上结果或方法，指出现行文献中一些结论的错误，为方便起见，对原文献中相关结论以命题的形式给出：命题17 任何上（下）三角方阵存在上（下）三角方阵的平方根。（文献7中的定理2）此结论对二级矩阵成立，但对三级方阵结论不真，见如下反例：反例jordan块矩阵是一个上三角方阵，下面证明它没有平方根。证明设=，若有=，其中=，则 ，即 =即=，= ，=，=即得=因此，不存在平方根，即命题1不真.命题28 设，若且，则为的平方根。 （文献8中的定理）本命题也是一个错误结论，我们构造如下反例：反例设， 则，于是，且，即矩阵满足命题中的条件，但，而即结论不真。产生错误的主要原因在于，证明中由，得，然后推出这一步不能成立。文献10中讨论了三角形托普勒兹矩阵的平方根问题，证明了它一定存在平方根，证明较为烦琐。下面用我们的方法给出一种简单证明，并提供求这类矩阵的平方根的一种实用方法。 所谓上三角形托普勒兹矩阵，是指形如的上三角矩阵。由于上三角形托普勒兹矩阵的行列式为1，故矩阵可逆，由前面的定理1即得存在平方根。我们引入则任何上三角形托普勒兹矩阵可以表为形式：。由此可知上三角形托普勒兹矩阵之积还是上三角形托普勒兹矩阵，下面以例子的形式说明它有唯一的一个仍是托普勒兹矩阵的平方根及求法。例1 已知，求其上三角托普勒兹平方根.解 ，设，使得，即即=由于线性无关，因此，有方程组有唯一解为：，于是致谢：非常感谢我的指导老师胡付高老师，在我的论文选题、论文撰写整个过程中，胡老师都给予我极大帮助。在此我非常感谢胡老师给予的真诚关心与帮助!同时感谢在百忙中审稿和答辩的各位老师们！参考文献1 mackinnon n.four routes to matricj.math gaz,1989,73: 135-136.2 sullvan d.on square-rooting matrices of 22 matrices j.math gaz,1993,77: 42-43.3 刘汉忠. 22矩阵的平方根j. 数学通报,1996,4: 42-434 朱德高. 一个 jordan块的平方根矩阵j. 数学物理学报,1999,19(3): 318-327.5 朱德高.具有两个jordan块的jordan标准形的平方根矩阵j. 数学物理学报,2000,20(4):451-4606 吴小明. 关于一般情形的jordan标准形的平方根矩阵j. 中南大学学报(自然科学版)，2004,35 (2):345-3477 胡结梅. 二阶方阵的平方根和三角方阵的三角平方根j. 数学通报,1997,11: 35-368 侯识忠.一个方阵有平方根的充分条件j. 烟台师范学院学报 (自然科学版),1994,10