桥梁与隧道工程硕士论文-索力测试频率法的研究及其工程应用.pdf

长沙理工大学 硕士学位论文 索力测试频率法的研究及其工程应用 申请学位级别：硕士 专业：桥梁与隧道工程 20070401 摘要 索力测试频率法广泛应用于索结构的施工控制和健康监测中。国内外学者迄 今在这方面做了大量的研究工作由于索结构在实际工程应用中的多样性和复杂 性，频率法的研究明显滞后于工程实践。因此，对其进一步研究显得非常重要和 紧迫。 目前，索力测试频率法的研究大多忽略了拉索锚头部分抗弯刚度及其单位长 度质量与柔性索段的差异，这对于长索索力测试是能够满足工程精度要求的，但 若用于短索索力测试，则会引起较大的误差甚至错误。此外，减振架会对拉索的 自振频率造成较大影响，常用的频率法计算公式忽略了此项影响，用其计算带减 振架的拉索索力，精度较低，难以满足工程应用。 本文以佛山平胜大桥自锚式悬索桥的吊索索力测试为背景，对索力测试频率 法进行了研究，主要工作如下： ( 1 ) 对忽略抗弯刚度拉索的频率特性进行了分析，并推导了其频率方程。 ( 2 ) 建立了均匀拉索的振动微分方程，并进行了求解；分析了索的抗弯刚度、 附加质量、斜度、垂度对索力测试结果的影响。 ( 3 ) 考虑了拉索锚头部分的抗弯刚度及其单位长度质量与柔性索段的差异， 建立了三段均匀拉索的振动模型，运用h a m i l t 仰原理推导了其频率方程为便于 计算，将该模型简化为轴向受拉的两端弹性简支梁的振动模型，推导了基于此模 型的频率方程，并给出了迭代算法。 ( 4 ) 将带减振架的均匀长索简化为弹性支承的两跨连续长索，利用奇异函数 和k p l a c e 变换，推导并求解了其频率方程。 ( 5 ) 将本文提出的索力测试频率法用于平胜大桥自锚式悬索桥吊索索力测 试，并与相应的索力理论值进行对比，结果表明本文提出的索力测试方法具有较 高的精度，值得在工程实践中推广应用。 关键词：频率法；均匀拉索；三段均匀拉索；弹性支承；减振架 a b s t r a c t f r e q u e n c ym e a s u r c m e n to fc a b l c f o f c ci s w i d c l y u s e df o rc o n s t r u c t i o n c o n t r o l l i n ga n dh e a l t hm o n i t o r i n gi nc a b l cs t r u c t u f c t h o u g hag r e a td e a lo fw o r kh a v c b e e nd o n ei nh o m ca n da b r o a d ，t h e o r yr e s e a r c ho ff r c q u e n c ym e a s u r e m e n ts t i l ll a g b e h i n de n g i n e e r i n gp r a c t i c cd u ct ot h em u l t i p l i c i t ya n dc o m p l c x i t yo fc a b i cs t r u c t u r e a p p l i c a t i o n ，s oi ti sm c a n i n g f u la n du r g e n t t om a k cf u n h c fs t u d y o ni t 1 nm o s tc a s e s ，t h ed i f f e r c n c c so fs t i f f n c s sa n dw c i g h t0 fu n i tl c n g t ho fs t a yc a b l c a n c h o ff t o mt h a to fn c x i b l ec a b l ch a v cn o tb e e nc o n s i d e r e do nn l cr c s e a r c ho ff b r c e m c a s u r cu s i n gf t e q u e n c ym c t h o ds of a f a n ds a t i s f i c dr c s u l t sc a nb eo b t a i n e dw h c ni t i sa p p l i e dt of o r c em e a s u 他i nc a b l cb r i d g e h o w e v e r ，w h e ni ti sa p p l i e dt ot h es h o n s u s p e n d e r so fs u s p e n s i o nb r i d g c ，s u c hi g n o r a n c ew i l lc o m ei n t ou n a c c e p t a b l ce o r 町 e v e nw r o n gn s u l t w h a ti sm o r e ，t h es h o c k r e d u c c rw i l li n n u c n c et h cf r e q u e n c yo ft h c c a b l e ，b u tt h ef o 珊u l au s e dg e n e n l l yd 0n o tc o n s i d c rt h i sc a e c t ，a n dw i l l ”s u l ti n u n w a n t e de r r o fw h e ni tc o m e st ot h cc a b l ei nt h i sc a s e b a s e do nc a b l e f o r c cm e a s u r e0 f s u s p c n d e f i ns e l f a n c h o r e dc a b l c s u p p o n c d - b r i d g cw h i c hi su s e di np i n gs h e n g g r e a tb r i d g el o c a t e da tf 0 s h a n d t y ，f r e q u c n c ym c a s u r e m e n to fc a b l cf o r c ci ss t u d i e d i nt h i st h e s i s ，i n c l u d i n g ： ( 1 ) t h cf t e q u c n c yc h a r a c t c ro fc a b l ew i t h o u tc a p a b l co fa n t j n c xh a sb c e n a n a l y z e da n dt h cf t c q u e n c ye q u a t i o nh a sb e e nd e d u c c d ( 2 ) t h ed i f f e r c n t i a le q u a t i o no fu n i f b 珊c a b l ch a sb c c nd e v c l o p e da n dr e s o l v c d ， e r r o ra n a l y s i so ff r c q u e n c ym e a s u r e m e n ti sc a 玎i e do u t ，a n dt h ei n n u e n c e so fa n t i n c x s t i a n c s s ，a d d i t i v ew e i g h t ，e l a s t i cr e s t r i c t i o t oc a b l ef b r c ca r ca n a l y z c dt h r o u g h a n a l y t i c a lm e t h o d ( 3 ) c o n s i d c f i n gt h cd i f f b f e n c cb c t w e e na n t i - n e xs t i 伽e s so fa n c h o rs e c t i o n ， w c i g h to f u n i tl e n g t ha n dt h a to ff l e x i b l cc a b l e ，t h r c c - s e g m e n t a lu n i f o f mc a b l e v i b r a t i o nm o d e lh a sb e c ne s t a b l i s h e d ，a n dt h cf t e q u e n c ye q u a t i o nh a sb e e nd e d u c e d b a s e do nh a m i l t o np r i n c i p l c i no r d e rt oc a l c u l a t ec o n v e n i e n t l y ，t h em o d e lc a nb e s i m p l i f i e da st h a to fa nc l a s t j cb e a r i n gs i m p l yb e a mw h i c hi st e n s c ，t h ef r e q u c n c y c q u a t i o nh a sb e e nd e d u c e d ，a n dt h ei t e r a t i v ea l g o r i t h mw a sg i v e n ( 4 ) c a b l ew i t hs h o c km o u n ti ss i m p l i f i e da st w o - s p a nc o n t i n u o u sl o n gc a b l co f c l a s t i cb e a r i n g ，a n dw i t hs i n g u l a ff u n c t i o na n dl a p l a c et r a n s f o r m a t i o na p p l i e d ，t h c f t e q u e n c yc q u a l i o nh a sb e e nd e d u c c da n dr e s o l v e d ( 5 ) t h em e t h o do ff f e q u c n c ym e a s u r e m e n to fc a b l ef o r c ep u tf o r w a r di nt h i s t h e s i sh a sb e e na p p l i e dt oc a b l ef o r c em e a s u r ei np i n gs h e n gg r e j 町b r i d g b a n dt h er e s u l t sa r es a t i s f i e d i ti n d i c a t c st h a tt h em e t h o dc a nb cp r o m o t e di n e n g i n e e r i n gp r a c t i c e 1 【e yw o r d s ：f m q u e n c ym e a s u n m e n t ；u n i f o r mc a b l e ；伍r e e - s e g m e n t a - c a b l e ； e i a s t i cb e a r i n g ；s h o c km o u n t i 第一章绪论 1 1 拉索在桥梁工程中的应用 拉索作为一种高效的受拉构件，在桥梁工程中的使用具有悠久的历史，如： 中国古代的竹索桥、藤索桥、铁索桥，欧洲早期的铁链索桥等。随着材料科学的 发展( 出现了高强钢绞线、高强钢丝) 和计算分析手段的提高( 计算机数值模拟 技术应用于桥梁工程) ，拉索在桥梁工程中得到了广泛的应用，包括：斜拉桥的斜 拉索、悬索桥的主缆和吊索、斜拉一悬索组合体系桥梁的拉索、吊索及主缆、拱 桥的吊索、体外预应力桥梁的体外索、猫道承重索、转体施工中的拉索、扣索及 背索、无支架缆索吊装斜拉扣挂悬臂拼装系统中的扣索等。索是柔性构件，相比 刚性结构件，具有以下特点【1 i ： ( 1 ) 索没有抗压刚度，只能承受拉力，不能承受压力 ( 2 ) 索抗拉刚度的大小除与自身的截面特性有关外，还与其自重及外部作用 有关。 ( 3 ) 伴随着较小的应变和应力，索会产生很大的位移，表现出较强的非线性 特性。 ( 4 ) 索会产生松弛和应力损失。 由于索的这些特性，使得索结构具有完全不同于传统刚性结构的特点： ( 1 ) 索结构的外形很大程度上取决于索的张拉力和作用于其上的外荷载。 ( 2 ) 索结构在很小的外荷载增量作用下就具有不可忽略的几何非线性效应。 斜拉桥、自锚式悬索桥等索张拉结构在施工过程中，以索力为控制目标，通 过调整索力以实现目标索力和线形。因此必须准确测量索力，并对其进行严格控 制以保证工程安全和施工顺利进行。 由于腐蚀、振动等原因，拉索在使用过程中易受到损害而导致松弛。作为张 拉结构的主要受力构件，拉索的损害将给桥梁结构带来灾难性的后果。拉索受损 后，索力将发生变化。索力的变化会引起内力重分布和梁线形的变化，从而影响 桥梁结构的安全和使用寿命。因此索力可以作为桥梁结构健康状态评估的重要指 标。在斜拉桥、悬索桥、拱桥、体外预应力桥梁的施工和使用期限内，都必须准 确地了解索力的状况。 1 2 索力的测试方法及研究现状 1 2 1 索力测试方法 目前索力测试方法主要有以下几种： ( 1 ) 压力表测试法 目前，索结构通常使用液压千斤顶张拉。由于千斤顶的张拉力与油缸中的液 压有直接的关系，利用千斤顶油压面积一定时，油缸中的液压与千斤顶的张拉力 成比例这一原理，将油压表读数换算成千斤顶的张拉力。该方法比较直观，不需 另添仪器设备，事先经过标定的千斤顶测试索力有一定的精度，是旖工过程中最 常用的索力测试方法【2 3 i 。但它无法测试已张拉完毕的拉索。 ( 2 ) 压力传感器( 锚索计) 测试法 索结构张拉时，千斤顶的张拉力通过连接杆传递到拉索锚具上，在连接杆上 套一个穿心式压力传感器。张拉时处在千斤顶张拉活塞和连接杆螺母之河的传感 器，在受压后就输出电讯号，于是就可以在配套的二次仪表上读出千斤顶的张拉 力【”。如需长期测试索力，也可以将穿心式压力传感器放在锚具和索孔垫板之间， 进行长期监测。但压力传感器售价高，特别是大吨位的压力传感器就更贵，自身 重量也大，测试时不方便、费时且劳动强度大。 常用的压力传感器主要有振弦式压力传感器、电阻式压力传感器、压电式压 力传感器、光纤光栅式压力传感器1 3 l 四种。 ( 3 ) 频率法 利用附着在拉索上的精密传感器，采集拉索在环境激励或人工激励下的振动 信号，经过滤波、放大和频谱分析，再由频谱图确定拉索的自振频率，然后根据 自振频率与索力的关系确定索力【2 ，l 。用频率法测试索力，设备可重复使用。现 有的仪器及分析手段，测试频率的精度可以达到o 0 0 1 h z 只要准确建立索力和频率的对应关系，利用频率法测索力便可达到很高的精 度。该法测试索力具有操作简单、费用低和设备可重复利用的优点，特别适用于 对索力的复测和测试活载对索力的影响。 ( 4 ) 振动波法 两端固定的张紧索，如同张紧的弦，敲击后即产生振动，其振动波将沿着弦 线传播，碰到另一端的障碍便反射回来。只要测出振动波沿承载索的传播速度， 利用振动波在张紧弦上的传递速度与弦张力之间的对应关系，便可求得索的张拉力 l ”。该法较新颖，但不成熟，尚未在工程中广泛应用。 ( 5 ) 三点弯曲法 基于拉索受力和变形特点，考虑拉索抗弯刚度对测力信号的影响，利用“纵 横弯曲”原理建立索张力计算模式。张紧的柔性索，其横向刚度与索的张拉力之 2 间存在函数关系。通过测试元件测出索的横向刚度；便可求出索的张拉力【3 ，7 1 。该 法较新颖，但其测试仪器尚处于研发阶段。 ( 6 ) 弹性磁学( 磁通量) 法 弹性磁学法是利用小型电磁传感器，测试磁通量变化，再根据索力、温度与 磁通量变化的关系，推算索力。弹性磁学法所用的仪器是电磁传感器，这种传感 器由两层线圈组成，除磁化拉索外，它不会影响拉索的其它任何力学特性和物理 特性。铁磁材料的磁通量特性取决于其内部的应力状态，只要通过试验得出某种铁 磁材料的磁通量随应力、温度变化规律，就可使用弹性磁学法测试该种材料制造 的拉索索力【3 t l l 。该法现在还不成熟，尚未在工程中广泛应用。 ( 7 ) 其它测试方法 测试索力的方法还有电阻应变片测试法、拉索伸长量测试法、索拉力垂度测 试法。这三种方法仅在理论上可行，实际操作中存在困难，一般不予采用。 上述方法中，目前只有前三种在现场测试中得到广泛应用。其中压力表测试 法仅适用于正在张拉的拉索索力测试，很难对已经张拉到位的拉索索力进行复测。 压力表测试法测试精度较高，很适合对正在张拉的拉索索力测试。虽然该法也可 用于对已经张拉到位的拉索索力测试，但考虑到经济原因，一般不予采用( 若用 此法测量张拉到位的拉索索力，须在每根拉索的锚固端安装一个压力传感器，花 费很大) 。频率法不仅具有测试仪器日趋小型化、携带方便、容易安装、可以重复 使用的优点，而且其测试精度高，因此频率法成为目前索力测试的最佳选择1 2 ”。 1 2 2 频率法测试索力的研究现状 随着索结构的大量兴建，频率法在索力测试上的应用越来越广，国内学者在 索力测试频率法的研究方面也做了大量的工作。 方志、张智勇【l o l 在用频率法测试斜拉桥索力时，分析了索的刚度、垂度、边 界条件以及加装减振器等因素对频率法测试结果精度的影响。指出只要合理地确 定斜拉索的计算长度，利用弦的振动公式就可获得相当的精度。但是对于斜拉索 计算长度具体如何确定并未给出。 王卫锋、韩大建【i l j 基于两端受拉梁的拉索振动模型，分析了拉索的刚度、垂 度、边界条件对频率法测试精度的影响，并介绍了对拉索的单位长度质量和抗弯 刚度进行参数识别的方法。根据番禺大桥的实测数据得出基于两端受拉梁的振动 模型的索力计算方法在一般情况下具有较高的精度，可以满足斜拉桥施工控制的 需要。 侯俊明、彭晓彬、叶力才【1 2 1 研究了日照温度变化对索力值的影响规律，由在 某座独塔斜拉桥的实测数据得出索力受气温变化影响较敏感的结论。指出在测试 索力时消除或减小温度的影响对提高测试精度十分重要。 3 蔡敏、蔡键等【l ，j 提出温度、雨、雪以及风等环境因素对索的基频都有一定的 影响，通过对铜陵长江大桥跟踪检测资料的整理分析，总结出铜陵长江大桥斜拉 索频率受环境因素影响的变化幅度。 。魏建东【“1 5 l 利用非线性有限元法程序，对拉索频率和索力之间的关系进行了 参数分析，并比较了各种索力测试公式的计算精度，建议斜拉索索力测试时直接 采用基于两端固结轴向受拉的水平直梁振动模型进行计算。 张宏跃、田石柱【16 l 运用随机振动、风工程、非线性和误差分析理论，提出了 运用数理统计的方法来提高拉索索力估算精度。 段波、曾德荣、卢江【1 7 l 提出用循环迭代来消除刚度的影响。 宋一凡、贺拴海【1 l l 引入动力计算长度概念，将两端固结的拉索振动模型动力 等效成两端铰结的拉索振动模型。 邵旭东、李国蜂、李立峰【”j 利用能量法，引入固端梁在均布荷载下的挠度曲 线作为一阶振型，求得吊索的一阶频率与抗弯刚度、张力的近似关系，建立微分 方程，通过求解分别得到两端铰结吊索和弦的一阶频率与抗弯刚度、张力的精确 关系。比较两者的误差及收敛方向，获得由这两者组成的分段公式，从而得到频 率和张力的近似计算公式，该公式精度满足工程要求 彭泽友、桂学、严庆华1 2 0 】用能量法分别推导出索在两端铰结、一端铰结一端 固结与两端固结三种情况下计入自重影响的索力与频率的关系，由此公式可以通 过已知索力和频率值判断索两端的连接方式。 陈刚【2 ”利用能量法推导了索力测试频率法的实用公式。该实用公式适用于斜 拉索索力测试 ， 陈常松、陈政清、颜东煌1 2 2 1 研究了柔索索力测试中拉索自振频率阶次和支承 条件对索力测试误差的影响规律，利用动平衡法推导了考虑弯曲刚度的柔索振动 方程和自振频率公式，采用瑞利能量法分析了弹性支承条件和附加质量对拉索自 振频率的影响。 以上学者的研究基本上都是采用均匀拉索( 均匀拉索是指两锚固点之问索 段的横截面为等截面、材质均匀、材料的应力应变符合虎克定律的拉索) 的 振动模型，忽略了拉索锚头部分的刚度及其单位长度的质量与柔性索段的差异， 且没有考虑减振架对( 带减振架的) 拉索自振频率的影响。 在斜拉桥的索力测试中，由于斜拉索较长，忽略拉索锚头部分的刚度及其单 位长度质量与柔性索段的差异，不会对测试精度造成显著影响。但是，对于短索 ( 如：自锚式悬索桥的短吊索、体外预应力索) ，忽略此影响，会给测试结果造成 较大的误差甚至错误，无法满足工程需要。 此外，减振架会对拉索的自振频率造成较大影响，常用的频率法公式没有考 虑此影响。若用上述学者的公式计算带减振架的拉索索力，计算结果的精度较低。 4 1 3 本文的工程背景及研究意义 自锚式悬索桥具有造型美观，经济性能好，对地质状况适应性强等优点，越 来越受到工程界的青睐，已成为城市市区中、小跨径桥梁中具有很强竞争力的桥 型，目前国内外主要的已建和在建自锚式悬索桥【2 2 3 2 4 2 _ 2 。1 如表1 1 所示。 表1 1 国内外主要的自锚式悬索桥 桥名地点建成年代跨径( 单位：m )矢跨比加劲梁形式 科隆一迪兹桥 德国1 9 1 5 年9 2 3 + 1 8 4 5 + 9 2 3 1 ：8 6 钢梁 第七街桥美国1 9 2 6 年6 7 5 + 1 3 4 8 + 6 7 51 ：8 1钢梁 清洲桥日本1 9 2 8 年4 5 8 + 9 1 5 + 4 5 8 1 ：7 1 钢粱 科隆一米尔海姆桥德国1 9 2 9 年9 1 + 3 1 5 + 9 1 1 ：9 1 钢粱 此花桥日本1 9 9 0 年1 2 0 + 3 0 0 + 1 2 01 ：6 o钢粱 永宗桥 韩国1 9 9 9 年1 2 5 + 3 0 0 + 1 2 5 1 ：5 0 钢梁 常州广化桥 中国1 9 9 9 年1 7 5 + 5 4 o + 1 7 51 ：7 0钢一砼粱 桂林丽泽桥 中国2 0 0 1 年2 5 + 7 0 + 2 5l ：5 o钢粱 大连金石滩桥 中国2 0 0 2 年2 4 + 1 6 0 + 2 41 ：8 0混凝土粱 延吉市布尔哈通河 中国2 0 0 3 年7 1 5 + 1 6 0 0 1 7 1 51 ：7 0混凝土粱 局子街桥 苏州索山大桥 中国2 0 0 3 年3 3 + 9 0 + 3 31 ：8 o钢一砼粱 抚顺万新桥 中国2 0 0 4 年7 0 + 1 6 0 + 7 01 ：6 0混凝土粱 天津子牙河大桥 中国2 0 0 4 年4 8 0 5 + 1 1 5 + 4 8 0 5l ：6 0 5钢粱 浙江海盐塘大桥 中国2 0 0 4 年3 0 + 7 2 + 3 0l ：8 o混凝土粱 金华康济义乌江大桥 中国2 0 0 4 年3 6 + 1 0 0 + 3 6l ：7 5钢一砼粱 永康溪心大桥 中国2 0 0 5 年3 7 + 9 0 + 3 71 ：6 o混凝土梁 江山市北关大桥 中国2 0 0 5 年4 0 + 1 1 8 + 4 01 ：6 0混凝土粱 平项山市建设路立交桥 中国2 0 0 5 年3 5 + 7 2 + 3 5混凝土梁 吴淞江桥中国 2 0 0 5 年2 5 + 7 0 + 2 51 ：7 8混凝土粱 佛山平胜大桥中国 2 0 0 6 年2 x 3 0 + 3 5 0 + 3 0 + 6 4 01 ：1 2 5钢一砼梁 长沙三汉矶大桥中国2 0 0 6 年 7 0 + 1 3 2 + 3 2 8 + 1 3 2 + 7 01 ：5 0钢粱 绍兴市解放路3 号桥中国2 0 0 6 年 7 8 + 1 8 0 + 7 81 ：6 0混凝土梁 北京昌平大桥 、 中国2 0 0 7 年 7 0 + 1 7 5 + 7 01 ：5 0钢粱 绍兴滨海大桥 中国 建设中 7 7 8 + 1 8 8 o + 7 8 81 ：5 0钢粱 宁波庆丰大桥中国建设中 1 2 4 + 2 8 0 + 1 7 21 ：8 0钢粱 5 续表1 1 桥名地点建成年代跨径( 单位：m ) 矢跨比加劲梁形式 兰旗松花江大桥中国建设中 9 0 + 2 4 0 + 9 01 ：7 0 混凝土粱 广州猎德大桥 中国建设中1 6 7 + 2 1 91 ：1 2 5 钢一砼粱 奥克兰海湾新桥美国建设中 1 8 0 + 3 8 5 钢箱粱 钱塘九桥中国建设中 8 3 + 2 6 0 + 8 3l ：4 o 钢粱 s o f o k 岛桥韩国建设中 1 1 0 + 2 5 0 + 1 1 0 1 ：5 o钢粱 m u h u 岛桥爱沙尼亚方案2 0 0 + 4 8 0 + 2 0 0l ：8 o钢粱 平胜大桥1 2 3 j 是位于佛山市和顺至北活公路主干线上的一座特大型独塔四索 面自锚式悬索桥，如图1 1 所示。主塔采用横向三柱门式钢筋混凝土独塔，桥梁 为分离式双幅共主塔，四根主缆，主跨为3 5 0 m ，边跨为2 2 4 m 。每幅桥有2 7 对吊 索，其中2 5 对柔性双吊索，2 对刚性单吊杆。柔性吊索中最长的长1 0 7 6 9 7 m ， 最短的长4 4 6 7 m 。 图1 1 平胜大桥自锚式悬索桥 自锚式悬索桥的主缆直接锚固在加劲粱上，加劲梁承受巨大的轴向压力御j 。 这样的受力特点使得自锚式悬索桥的施工顺序为：先架设主梁，再架设主缆；然 后通过张拉吊索，实现体系转换，将多点刚性支承的连续梁体系转换为多点弹性 支承的悬吊体系。 自锚式悬索桥的受力特点和施工顺序决定了其体系转换过程中的控制原则与 斜拉桥、地锚式悬索桥的施工控制原则都不同。斜拉桥的施工控制原则是索力控 制，地锚式悬索桥施工控制原则是无应力索长控制，而自锚式悬索桥则需采用无 应力索长控制和索力控制的“双控”原则。索力的测试精度直接关系到体系转换 能否顺利完成、主梁和主缆能否实现目标线形，因此在自锚式悬索桥吊索张拉过 程中，必须准确测量吊索索力。 6 自锚式悬索桥的吊索长度变化很大，部分吊索很短，且为了防止振动过 大，较长的吊索上通常设有减振架。如上节所述，现有索力测试频率法的计 算公式忽略了拉索锚头部分的刚度及其单位长度质量与柔性索段的差异，不 能很好地用于自锚式悬索桥短吊索的索力测试。此外，现有的频率法计算公 式没有考虑减振架的影响，若用于计算带减振架的吊索，则精度较低，难以满足 工程应用。考虑拉索抗弯刚度及其单位长度质量与柔性索段的差异，建立适合 短吊索索力测试的索力、频率之间的精确对应关系，以及研究适合带减振架的拉 索频率法具有重要的工程现实意义。 1 4 本文主要研究内容及创新点 本文以佛山平胜大桥自锚式悬索桥的吊索索力测试为背景，对索力测试频率 法进行了研究，主要工作如下： ( 1 ) 对忽略抗弯刚度拉索的频率特性进行了分析，并推导了其频率方程。 ( 2 ) 建立了均匀拉索的振动微分方程，并进行了求解；分析了索的抗弯刚度、 附加质量、斜度、垂度对索力测试结果的影响。 ( 3 ) 考虑了拉索锚头部分的抗弯刚度及其单位长度质量与柔性索段的差异， 建立了三段均匀拉索( 三段均匀拉索是指将拉索按单位长度质量的不同分为锚头、 柔性索段、锚头三段，三段之间铰接：各段的横截面积相等、材质均匀尊材料的 应力应变关系符合虎克定律的拉索) 的振动模型，运用h a m i l t o n 原理推导了其频 率方程。为便于计算，将该模型简化为轴向受拉的两端弹性简支梁的振动模型， 推导了基于此模型的频率方程，并给出了迭代算法。 黟 ( 4 ) 将带减振架的均匀长索简化为弹性支承的两跨连续长索，利用奇异函数 和l a p l a c c 变换，推导并求解了其频率方程。 ( 5 ) 将本文提出的索力测试频率法用于平胜大桥自锚式悬索桥吊索索力测 试，并与相应的索力理论值进行对比，结果表明本文提出的索力测试方法具有较 高的精度，值得在工程实践中推广应用。 本文的主要创新点如下： ( 1 ) 考虑短索锚头部分的刚度和单位长度质量与柔性索段的差异，建立三段 均匀拉索振动模型，推导适合短索索力测试的拉索自振频率与索力之间的函数表 达式： ( 2 ) 考虑减振架对拉索自振频率的影响，建立带减振架的均匀拉索的振动模 型，推导适合带减振架的长索索力测试的拉索自振频率与索力之间的函数表达式。 7 第二章拉索线性振动的频率特性 2 1 拉索线性理论综述 从表面上看，拉索的静、动力问题似乎很简单当今强大的数值模拟技术完 全可以解决拉索的线性和非线性问题，但是从十八世纪中期开始，人们就己认识 到只有通过解析法才能得到拉索的基本特性。 静力方面【2 1 搿l ，1 6 3 8 年，g a l i l e o 在研究两端固定的索在自重作用下的线形时， 意识到这种曲线类似于抛物线。1 6 9 1 年，j a m c sb e r n o u l i 等人发表论文指出这种 曲线就是悬链线。1 7 9 4 年，f u s s 在设计一座悬索桥时发现，如果假定索的重量沿 跨长而不是沿索的本身均匀分布，则索的线形为抛物线。自此，拉索的抛物线线 形才开始被关注。在很多情况下，索结构受到的荷载是沿跨度均匀分布的，如： 悬索桥的主缆所承受的大部分荷载即如此。 动力方面【2 1 ，“，1 8 世纪上叶，b r 0 0 kt a y l o r ，d a l e m b c r t ，e u l e r 和d a n i e l b e r n o u l i 提出了张紧弦的振动理论1 7 3 2 年，d a n i e lb e m o u l i 研究了索的横向振 动问题。1 7 8 1 年，d a n i e lb e f n o u l i 和e u l c r 用无穷级数的形式给出了索自振频率 的解，此级数现在被公认为零阶第一类贝赛尔函数。1 8 2 0 年，p o s s i o n 给出了索 在任意力作用下的一般偏微分方程。至此，悬链线索的线性自由振动解已经给出， 但是所有这些解都没有考虑垂度。 1 8 5 1 年，r o h r s 与s t o k e s 合作，得到了小垂跨比均质悬索的对称横向振动的 近似解。1 8 6 8 年，r o u t h 假设索的线形为圆滚线，得到了索的横向振动的精确解， 他的结论在小垂跨比情况下就是r o h r s 的结果，他们都作了索是不可伸长的假设。 此后，这个课题的研究似乎停滞了。直到1 9 4 1 年，r a n i c 和v o nk 6 r m d n 才 各自独立求得不可伸长的三跨索的横向振动的解析解。1 9 4 5 年，v i n c e n t 在计算 三跨索的对称横向振动时考虑了索的弹性。1 9 4 9 年，p u g s l e y 给出了均质悬索前 三阶面内振动的自振频率的半经验解，并以实验进行验证。他们的研究仍然假设 索是无弹性的、不可伸长的。 根据索不可伸长且为小垂跨比这一假设，若令垂跨比为零，则此时的索就是 一根张紧的弦。然而，小垂度理论的解却与用张紧弦的公式得到的解并不吻合。 事实上，索是有弹性的，振动时必然会拉伸，一般的分析通常忽略了这一点。 1 9 7 4 年，i r v i n e 抛弃了不可伸长的假设，系统地考察了索的弹性效应，发现 了模态超越( m o d a lc r o s s o v e r ) 现象【2 9 j 。至此，小垂度水平索的线性动力特性问 题得以解决。1 9 8 1 年，l r v i n e 将他的解推广到斜拉索【3 0 l 。 8 1 9 8 4 年，t r i a n t a f y l l o u 对斜拉索进行了深入的研究，得到了小垂度斜拉索的 近似解。他发现，对于斜拉索，由于是不对称的，会发生反交叉( a v o i d e dc r o s s i n g ) 现象。如果索的任何一个参数不对称，则将发生反交叉( a v o i d e dc r o s s i n g ) 现象。 1 9 9 7 年，r u s s e l l 和l a r d n e r 通过实验验证这个现象【3 ”。人们对拉索的线性动力特 性的认识由此得到了进一步深化。 ， 电子计算机出现后，学者们开始寻求拉索振动问题的数值解【，”，研究索的动 力刚度。近年来有限元法得到了广泛的应用【1 ，“。1 9 5 2 年，p u g s l e y 首次将整根缆 索用分段的铰接直杆离散，缆索的白重作用在节点，杆的轴向刚度考虑了重力刚 度1 3 3 】1 9 6 4 年，t e r e n c c 提出分段悬链线单元的计算方法，1 9 6 7 年，他研究了三 维索问题【“1 。1 9 7 6 年，h e n g h o l d 建立了非线性索单元的构造方法，推导出弹性刚 度矩阵及切线刚度矩阵【3 5 j 拉索线性振动的频率特性是索力测试频率法的理论基础，本章将对不考虑抗 弯刚度拉索的频率特性进行分析，推导了其振动的频率方程 2 2 水平拉索线性振动的频率特性 水平拉索线性振动的频率特性分析基于以下基本假定： ( 1 ) 拉索水平( 拉索两端等高) ： ( 2 ) 拉索的垂跨比小( 垂跨比小于1 ：8 ) ； ( 3 ) 拉索的截面为等截面，材质均质，材料的应力应变关系符合虎克定律； ( 4 ) 拉索没有抗弯刚度和抗压刚度，只能受拉，不能受弯和受压： ( 5 ) 拉索变形时横截面面积保持不变； ( 6 ) 拉索在平衡位置作微幅自由振动； ( 7 ) 拉索振动时不计阻尼的影响。 2 2 1 传统抛物线理论的基本方程 如图2 1 所不，水半拉索跨长为f ， 拉力为r 考虑微元体的平衡可得： 罗x 。o ：要仃刍。o 厶 出、出7 罗y ，o ：要仃刍咄 厶 凼、如7 。 其中：g 为重力加速度。 由式( 2 】) 可知： 单位长度质量( 线密度) 为坍，索承受的 9 ( 2 1 ) ( 2 2 ) o 图2 1 水平拉索及其微元示意图 r 生- r s 口_ c o n s t 聪t 出 由式( 2 3 ) 可知拉力的水平分力处处相等， r 日查 d x 将式( 2 4 ) 代入式( 2 2 ) 可得： 要饵为哪 出甜 由式( 2 5 ) 可得： ( 2 3 ) 设其为日，则由式( 2 3 ) 可得： 日参一哪塞一嗍 1 + ( 罢) 丫 因为索的垂跨比很小，所以凼一出。由式( 2 6 ) 可得： 参一哪 ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) 由式( 2 7 ) 及边界条件： ；：二：二二：) ，可得水平拉索的抛物线公式为： i ) ，i “一o ，工一 y 一一筹哼一中2 ， c 2 1 0 2 2 2 水平拉索线性振动的频率特- 陛 y 0 图2 2 水平拉索的振动示意图 如图2 2 所示，水平拉索在平衡位置附近作微幅振动，可由牛顿第二定律建 立拉索微元运动方程如下： 神州( 罢+ 罢) 卜害 汜9 ， 神州( 罢+ 讣愕。肌窘 眨 钟州斗小害 ( 2 1 1 ) 其中：口为拉索振动时，索体沿z 方向的位移； v 为拉索振动时，索体沿y 方向的位移： w 为拉索振动时，索体沿z 方向的位移； ，f 为由拉索运动而引起的索力增量； 、 其它符号意义同上。 因为拉索的垂跨比很小，故出一凼：忽略二阶项，且由于纵向分量h 不重要， 不予考虑。由式( 2 2 ) 、( 2 4 ) 、( 2 1 0 ) 、( 2 1 1 ) 可得： 喀+ 唾芋一肼害 c 2 胞， 日窑m 粤 ( 2 1 3 ) 缸2m 2 其中：| i l 为拉索张力的水平分量的动力增量，即： 。f 生( 2 1 4 ) j i 是由索体的振动引起的，只是时间的函数。由式( 2 1 2 ) 及式( 2 1 3 ) 可知， 索的面内振动与面外振动不耦联。 使用k g f a n g e 应变描述索体在初平衡位置附近振动引起的应交增量为： e 一塞尝+ 芸詈+ 三( 詈) 2 + 丢( 詈) 2 l + 一+ 一l l + 一l l 凼泌凼鼬2 i 缸j2 i 拈j 式( 2 1 5 ) 忽略二次项可得： 出抛咖却 i 一+ 一 凼曲出鼬 物理方程为： 以 其中：e 为拉索的弹性模量； 一为拉索的横截面积。 又由式( 2 1 4 ) 、( 2 1 6 ) 、( 2 1 7 ) 可得： 盟a 生竺 ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 方程( 2 1 2 ) 、( 2 1 3 ) ，( 2 1 8 ) 构成了拉索的线性振动问题的控制方程组【2 u 。 2 2 2 1 水平拉索面外振动的自振频率及振型 拉索面外振动比较简单，设w - 讯) 口御，将其代入式( 2 1 3 ) ，并利用边界 条件：j 引一2 0 ，x _ o 可解得拉索面外振动的自振频率和振型函数分别为： 1 w i ，- ，_ o ，工一f q 。竽辱 脚幺3 ，汜 茹呻；n ( 孚) 辟= 1 ，2 ，3 ，( 2 2 0 ) 其中：n 为拉索的振动主频阶次； 鸭为拉索第n 阶振动的圆频率； 品为拉索面外振动的振型函数； 其它符号意义同上。 2 2 2 2 水平拉索面内振动的自振频率及振型 ( 1 ) 面内反对称振动 面内反对称振动时，索力增量为o ，则有 一o ，设y 一；0 ) p w ，将其代入式 ( 2 1 2 ) ，并利用边界条件：j ：? - o 。o ，工- o ，可解得拉索面内反对称振动的自振 i v i ，一o ，x i 7 频率及振型为： q - 孚层 稍怎3 汜2 ， “铷( 竽) 抖= 1 ，2 ，3 ，( 2 2 2 ) 其中；v 为拉索的面内振动的振型函数； 其它符号意义同上。 ( 2 ) 面内对称振动 拉索面内对称振动时，设 一五e 廊，v - ；o ) p 脚，将其代入式( 2 1 2 ) 可 得： 曰雾+ 历；- 石窘 c 2 ， 其中：j ；o ) 为拉索的张力水平分量动力增量的幅值； 其它符号意义同上。 将式( 2 8 ) 代入式( 2 2 3 ) 可得： 垡+ 肼篮；。坚石( 2 “) 由式( 2 2 4 ) 可得： 瞄器 1 一螂小t a n 够s 郴工) q 筋， 其中：肛警 ( 2 2 6 ) 式( 2 1 8 ) 分离变量后积分得： 告一烈； 皿 ( 2 2 7 ) 肌t - 瞎训 l + ( 警) 2 他2 8 ， 将式( 2 2 5 ) 代入式( 2 2 7 ) 可得： 缶一蟹2 南 ，。吉s 喇，一砉t 肛础，) 汜2 9 ， 由式( 2 2 9 ) 可得： t a n ( 争- 睁辛争 眩3 0 ， 瓤n 擎 3 ， 方程( 2 3 0 ) 是由i i n c 给出的，在弦( 不考虑抗弯刚度的拉索) 的线性振 动理论中有基本的重要性( f u n d a m e n t a l i m p o r t a n c e ) 1 2 9 】。参数旯2 也是由i r v i n e 定 义的，它表示索的几何效应与弹性效应之比，反映了索的松紧程度。a 2 越小，表 明索张拉越紧。a 2 很大的情况对应的是无弹性索。一般情况下【2 ”，悬索桥主缆的 五2 值在3 0 0 左右，而斜拉索、吊索的a 2 值小于2 。方程( 2 3 0 ) 代表的特征值问 题关于参数a 2 呈现出强烈的非线性1 2 ”。 a 2 非常大时，索可视为无弹性的、不可伸长的。此时方程( 2 3 0 ) 可化为； t a n 肖为 ( 2 3 2 ) 式( 2 3 2 ) 的前两个根为； ( 声f ) 。_ 2 8 6 石，( 卢z ) 2 _ 4 9 2 石 ( 2 3 3 ) 式( 2 3 2 ) 的高阶根可以相当准确的给出： ( ) - ( 2 ，l + 1 弦 以= 3 ，4 ，5 ，( 2 3 4 ) 其中：( 芦f ) 包含着不可伸长索的第甩阶面内对称振动的频率。 当索的垂跨比非常小时，索趋近于张紧的弦，此时a 2 非常小，式( 2 3 0 ) 可 化为： t a n ( 譬) 。一 ( 2 3 5 ) 方程的根与张紧弦的对称振动对应，即： ( k 一( 2 ，l 一咖 栉= 1 ，2 ，3 ( 2 3 6 ) 对比式( 2 3 4 ) 、( 2 3 6 ) 可以看出，式( 2 3 0 ) 的根，在索不可伸长的情况下与张 紧的弦情况下相比，相差2 7 r 。 因此，对于一般的抛物线索，其一阶对称振动频率包含在方程( 2 3 0 ) 的第 一个非零根之中，这个根存在于下式之中： 石( 芦f ) l 2 8 曲 ( 2 3 7 ) 二阶对称振动频率包含于第二个非零根之中，这个根存在于下式之中： 劬( 芦f ) 2 4 9 幼 ( 2 3 8 ) 实际根的值取决于a 2 的值。 ( 3 ) 水平拉索面内振动的动力特性 1 4 考虑三种重要情况【3 6 l ： ( 1 ) 如果a 2 t 锄2 ，则一阶面内对称振动的频率低于一阶面内反对称振动的 频率 ( 2 ) 如果a 2 一船2 ，则一阶面内对称振动的频率等于一阶面内反对称振动的 频率a 2 锄2 给出了第一个模态超越点。 ( 3 ) 如果 2 ，轨2 ，则一阶面内对称振动的频率高于一阶面内反对称振的动 频率。 对于第二阶对称和反对称振型有相类似的特性。但对这些振型的相交点，位 于a 2 1 6 石2 处。 2 3 斜拉索线性振动的频率特性 对于斜拉索，考虑斜度的影响，在微幅振动下，面外振动与面内振动仍非耦 联，且同样认为弦向振动分量不如横向振动( 垂直于弦向的振动) 重要。可利用 坐标变换，将水平拉索的结论推广到斜拉索( i r v i n e ) 。 斜拉索线性振动的频率特性分析基于以下基本假定： ( 1