硕士学位论文-若干力学系统的数学建模与稳定性研究.pdf

：y 7 3 8 1 7 9 2 0 0 5 年2 月2 8 号 m a s t e rt h e s i so fz h e j i a n gu n i v e r s i t y 中文摘要 本文研究几类经典力学系统的数学建模和时滞后力学系统的稳定性理论 在第一章，讨论了经典力学系统中拉格朗日方程的黎曼几何表示( 黎曼流形上 的牛顿力学) 和力学系统拓扑图表示之间的关系，作为应用，讨论了机器人系统的拓 扑图表示和动力学模型计算等，与已有的机器人动力学分析办法相比，基于黎曼几何 和拓扑图表示方法的动力学分析更加简便，更加适合机器人动力学机械化( 自动) 建 模。 在第二章，讨论弹性倒立摆的数学建模问题。倒立摆模型是控制理论和工程中 重要的研究和实验对象，已有的研究主要针对刚性的集中参数模型( 用常微分方程描 述) ，完全刚性的集中参数模型是实际模型的近似处理实际复杂工程中需要考虑系 统的弹性来分析系统动力学性能和设计高糖度控制器，本章考虑一种新型的倒立摆模 型一弹性倒立摆，该模型中考虑了弹性的影响，可以描述为分布参数模型( 用偏微分 方程描述) ，根据h a m i l t o n 原理和变分法推导数学模型，该模型是偏微分方程和常 微分方程的耦合形式，相对刚性倒立摆而言，弹性倒立摆系统模型具有无限多自由 度，系统分析和控制要复杂得多。 在第三章，讨论了具有状态时间滞后的动力系统的鲁棒稳定性问题给出了时 滞系统鲁棒稳定性的一个代数判据。 i i i m a s t e rt h e s i so fz h e j i a n gu n i v e r s i t y a b s t r a c t m a t h e m a t i c a lm o d e l l i n gf o rs e v e r a lc l a s s i cm e c h a n i c a ls y s t e m sa n ds t a b i l i t yt h e - o r yf o rt i m e - d e l a ym e c h a n i c a ls y s t e m sa r ec o n s i d e r e di nt h i st h e w s i nc h a p t e r1 ，t h em a t h e m a t i c a lm o d e l l i n gf o rt h er o b o tm e c h a n i s m si sc o n - s i d e r e dh e r ew i t ht h ea p p r o a c h e so fr i e m a n n i a ng e o m e t r ya n dt h er e p r e s e n t a t i o n o ft o p o l o g yg r a p h t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h ep a e m a n n i a ng e o m e t r i cf r a m e w o r k o fl a g r a n g ee q u a t i o na n dt h et o p o l o g yg r a p hr e p r e s e n t a t i o no fc l a s s i cm e c h a n i c a l s y s t e m si sd i s c u s s e d a st h ee x a m p l e ，r o b o tm e c h a n i s mi sc o n s i d e r e d ，i n c l u d i n gt h e t o p o l o g yg r a p hr e p r e s e n t a t i o n ，c o m p u t a t i o no f t h em a t h e m a t i c a lm o d e l t h i sm e t h o d b a s e do nr i e m a n n i a ng e o m e t r yw i t hs i m p l e rf o r m u l a t i o n ，a n di t i sm o r es u i t a b l et o r e a l i z ec o m p u t e r - a i d e dm o d e l l i n ga n dd y n a m i ca n a l y s i s i nc h a p t e r2 i n v e r t e dp e n d u l u m sa r ei m p o r t a n to b j e c t sf o rt h e o r e t i c a li n v e s t i g a t i o na n de x p e r i m e n ti n c o n t r o lt h e o r ya n de n g i n e e r i n g r e s e a r c h e se x i s t e d c o n c e n t r a t eo nt h er i g i df i n i t em o d e l sw h i c ha r ed e s c r i b e db yo d ec o m p l e t er i g i d i t y i st h ea p p r o x i m a t i o no fp r a c t i c a lm o d e l s ；e l a s t i c i t ys h o u l db ei n t r o d u c e di n t om a t h e m a t i c a lm o d e l si nt h ea n a l y s i so fs y s t e md y n a m i c sa n di n t e g r a t i o no fh i g h l yp r e c i s e c o n t r o l l e r an e wk i n do fi n v e r t e dp e n d u l u m ，e l a s t i ci n v e r t e dp e n d u l u mw a sp r o - p o s e di nt h i sc h a p t e r ，i nw h i c he l a s t i c i t yw a sc o n s i d e r e d m a t h e m a t i c a lm o d e lw a s d e r i v e df r o mh a m i l t o n i a np r i n c i p l ea n dv a r a t i o n a lm e t h o d s ，w h i c hw a sf o r m u l a t e d b yt h ec o u p l i n go fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( p d e ) a n do d e d u et oi n f i n i t ed i m e n s i o n a l ，s y s t e ma n a l y s i sa n dc o n t r o lo fe l a s t i ci n v e x t e dp e n d u l u mi sm o r ec o m p l e x t h a nar i g i do n e i nc h a p t e r3 ，w ec o n s i d e rt h er o b u s ts t a b i l i t yo ft i m e - d e l a ys y s t e m sw h i c h c o m m o n l ye x i s ti nc l a s s i cm e c h a n i c a ls y s t e m sb e c a u s eo ft h ei n f o r m a t i o nt r a n s m i s - s i o n ，r e s p o n s et i m e ，d e a d - z o n ea n ds oo n a tt h es a m et i m ew ei n e v i t a b l yc o n s i d e r t h eu n c e r t a i n t yo ft h es y s t e m sd u et ot h ep a r a m e t e rp e r t u r b a t i o no fs u c hs y s t e m s t h e r e f o r e ，h e r ew eo b t a i nt h ek h a r i t o n o v - t y p e dt h e o r e mi nc o m p a r i s o nt ot h ef a m o u s i a b s t r a c t k h a r i t o n o v st h e o r e mf o rt h el i n e a rs y s t e m sw i t h o u tt i m e - d e l a y i i m a s t e rt h e s i so fz h e j i a n gu n i v e r s i t y c h a p t e r0 i n t r o d u c t i o n 0 1b a c k g r o u n da n dh i s t o r i c a lr e v i e w c l a s s i c a lm e c h a n i c sd e a l sw i t ht h ed y n a m i c so fp a r t i c l e s ，r i n db o d i e s ，c o n t i n u o u s m e d i aa n df i e l d s ，i n c l u d i n gf l u i d ，p l a s m a ，s o l i dm e c h a n i c s ，e l e c t r o m a g n e t i s m ，g r a y 。 i t y , e t c ，a n di tp l a y si m p o r t a n tr o l e si nt h ed e v e l o p m e n to ft h eh u m a nc i v i l i z a t i o n c l a s s i cm e c h a n i c sh a st w ob r a n c h e s ? n a m e l y ，h 8 m i i 幻n i a a n dl a g r a n g i a nm e c h a a - i c s t h e ya r em a t h e m a t i c a l l ye q u i v a l e n t ，a n dt h el e g e n d r et r a n s f o r m a t i o ng i v e st h e r e l a t i o nb e t w e e nt h ev a r i a t i o n a l ( e u l e r - l a g r a n g e 】a n ds y m p l e c t i c ( h a m i l t o n j a c o b i ) f o r m u l a t i o n so ft h ee q u a t i o n so fm o t i o n c l a s s i c a lm e c h a n i c sh a se x t e n s i v ea n dp r o f o u n dr e l a t i o n s h i p sw i t hd i f f e r e n t i a l g e o m e t r y , t os o m ee x t e n t m e c h a n i c si sg e o m e t r ye v e nm a t h e m a t i c s s t a r t i n gw i t h t h ec r e a t i o no fc “c l l l ms t i m u l a t e db yn e w t o n sm e c h a n i c s ，m e c h a n i c sh a sp l a y e d ag r e a tr o l ei nt h ed e v e l o p m e n to fm a t h e m a t i c ss u c ha sd i f f e r e n t i a lg e o m e t r ya n d t o p o l o g y ；t h e s em a t h e m a t i c a lr e s u l t s i nt u r ns t i m u l a t e st h ed e v e l o p m e n t si np h y s i c s a n de n 舀n e s r i n ge v e nh u m a nb i o m e c h a n i c s ( s e sf 2 8 ，【3 1 】，【1 5 ) a n dr e f e r e n c e st h e r e i n ) d i f f e r e n t i a lg e o m e t r yi st h er i g h tp i c t o r i a ll a n g u a g et h a th e l p su su n d e r s t a n da n d e n j o yt h eb e a u t yo fm e c h a n i c sm o r ed e e p l y i nf a c t ，t h e r ei sh a r d l ya n y o t h e rb r a n c h o f t h em a t h e m a t i c a ls c i e n c e si nw h i c ha b s t r a c tm a t h e m a t i c a ls p e c u l a t i o na n dc o n c r e t e p h y s m a le v i d e n c eg os ob e a u t i f u l l yt o g e t h e ra n dc o m p l e m e n te a c ho t h e rs op e r f e c t l y f a r t h e ri n f o r m a t i o nc a nb ef o u n di n ( 1 l ，1 2 1 ，【2 8 】a n dr e f e r e n c e st h e r e i n ) s t a b i l i t yt h e o r yi sa ni m p o r t a n ta s p e c to fd y n a m i cs y s t e m s ，a n ds t a b i l i z a t i o ni s t 。m a k eu n s t a b l es y s t e m ss t a b l ew i t hs o m ea p p r o a c h e ss u c h f e e d b a c k - a n ye f f e c - t i v ep h y s i c a ls y s t e m ss h o u l db es t a b l ea tf i r s t t h eg e n e r a lt h e o r ya b o u ts t a b i l i t yc 1 c h a p t e r0 i n t r o d u c t i o n b et r a c e db a c kt ot h ed o c t o r a ld i s s e r t a t i o no fa m l y a p u n o vi n1 8 9 2 i th a sb e e n a p p h e di n t os c i e n c ea n de n g i n e e r i n gv e r yw i d e l yi nt h ep a s t1 0 0y e a r so rs o ，i n c l u d i n gm e c h a n i c sa n ds y s t e ms c i e n c e l a g r a n g e - d i r i c h l e tc r i t e r i o na n de n e r g y - c a s i m i r m e t h o d ( o ra r n o l dm e t h o d ) a r et h ep a r t i c u l a rm e t h o d sf o rt h es t a b i l i t yo fm e c h a n i c s ， a n dt h e r ea r es t i l ls o m eo p e np r o b l e m sa n dc o n j e c t u r e si nt h es t a b i l i t yo fe q u i l i b r i u m s ， i n 【3 3 j ，p a l a m o d o vc o n s t r u c t i v e l yi n v e s t i g a t e dt h em o t i o nn e a ra ne q u i l i b r i u mp o i n t b a s e do na na p p l i c a t i o no fa l g e b r a i cg e o m e t r y , e n e r g ym e t h o d ，a l s ok n o w na sm u l t i p l i e rm e t h o di nt h es t a b i l i t yo fe l a s t i cv i b r a t i o n s ，h a sb e e nu s e dt oi n v e s t i g a t et h e s t a b i l i t ya n df e e d b a c ks t a b i l i z a t i o no fv a r i o u sb e a m s ( s u c ha se u l e r - b e r n o u l l i ，t i m o - s h e n k oa n dr a y l e i g ht y p e s ) r e c e n t l y , y a o 【3 6 jh a sg e n e r a l i z e dt h em u l t i p l i e rm e t h o d t oh i g h e ro r d e rs i t u a t i o nb yi n t r o d u c i n gg l o b a ld i f f e r e n t i a lg e o m e t r yi n t ot h eh i l b e r t u n i q u e n e s sm e t h o d ( h u m ) t os t u d yt h es t a b i l i t ya n dc o n t r o lt h e o r yf o rs h e l l s ；w h i c h i sc o n s i d e r e dt h eg e o m e t r i c a lv e r s i o no fh u m r e c e n t l ym a c c h e l l i 3 2 11 i i s c u s s e dt h e s t a b i l i z a t i o nu n d e rt h eh a m i l t o n i a ns t r u c t u r e s ，f o rc o n t r o lp r o b l e m so fb o t hf i n i t ea n d i n f i n i t ed i m e n s i o n a lh a m i l t o n i a ns y s t e m se x c e p tl o wo r d e re l a s t i cs y s t e m s ，t h e r ea r e n op e r f e c ta n du n i f i e dm e t h o d so fs t a b i l i t yf o ro t h e rc l a s s i cm e c h a n i c a ls y s t e m ss u c h a sf l u i da n de l e c t r o m a g n e t i cd y n a m i c s b e c a u s et h em e a s u r e m e n te r r o r - o fk i n d so fi n s t r u m e n t s ，w ec a n n o ts e tu pm a t h - e m a t i c a lm o d e l sw i t hp r e c i s ep a r a m e t e r s t h e r e f o r e ，i ti si m p o r t a n tt os t u d yt h e s t a b i l i t yw i t hr e s p e c tt ot h ep a r a m e t e rp e r t u r b a t i o n s n o t i c e a b l y , i ti sv e r yi n t e r - e a t i n gt oi n v e s t i g a t et h es t a b i l i t yo fi n t e r v a ls y s t e m sw h i c ha r ec o m m o n l ye x i s t e di n m a n yp h y s i e a is y s t e m s ，i n c l u d i n gm a n ym e c h a n i c a ls y s t e m s e s p e c i a l l y , w ea r ei n - t e r e s t e di nt h ea s p e c t so ff r e q u e n c yt h e o r yf o rt h eg e n e r a ll i n e a ri n t e r v a ls y s t e m s i n t h e1 9 7 0 s ，8f a m o u st h e o r e mn a m e da f t e rk h a r i t o n o v1 1 8 w a sf o u n d e df o rt h ei n t e r - v a lp o l y n o m i a l so ft h eg e n e r a ll i n e a rs y s t e m st h e o r i e sw i t hc o e f f i c i e n tp e r t u r b a t i o n s u n f o r t u n a t e l y , t h e r ea r ef e wk h a r i t o n o v - t y p e dt h e o r i e sf o rt h el i n e a rs y s t e mw i t h t i m e - d e l a y ；p e r t i n e n tr e f e r e n c e sr e f e rt o 【1 3 】a n dr e f r e n c e st h e r e i n 2 m a s t e rt h e s i so fz h e j i a n gu n i v e r s i t y a st ot h es y s t e mc o n t r o l l a b i l i t “l e w i sa n dm u r r a yh a v es e tu pt h ec o n t r o l l a b i l - i t yc o n d i t i o n sf 2 4 1f o rt h es i m p l em e c h a n i c a ls y s t e m st h r o u g ht h ea f f i n ec o n n e c t i o n f o r m a l i s m t h ec o n t r o l l a b i l i t yo ft h en o n h o l o n o m i cm e c h a n i c a ls y s t e m sh a sb e e nd i s - c u s s e di n 【9 】b yi n t r o d u c i n gs y m m e t r i cp r o d u c t ，w h i c ha r em o r ec o m p l i c a t e dt h a nt h e s i m p l em e c h a n i c a ls y s t e m s h o w e v e r ，t h e r ea r ef e wr e s u l t so nt h ec o n t r o l l a b i l i t yf o r t h ei n f i n i t e - d i m e n s i o n a ls y s t e m si nt h ef r a m e w o r ko fd i f f e r e n t i a lg e o m e t r y a l t h o u g hg r e a ta c h i e v e m e n t sh a v eb e e nm a d eb yi n t r o d u c i n gr i e m a n n i a ng e - o m e t r yi n t om e c h a n i c s i ti sn o ta l w a y ss u i t a b l ef o ra n ym e c h a n i c a ls y s t e m sf o r e x a m p l e ，t h er i e m a n n i a ng e o m e t r yi sn ol o n g e rr e t a i n e df o rt h et i m e - d e p e n d e n tm e - c h a n i c s , h o w e v e r i tc a nb ed e p i c t e dv e r yw d lw i t hf i n s l e rg e o m e t r yw h i c hi sa n o t h e r g e o m e t r i cl a n g u a g e ，m o r ee x t e n s i v et h a np d e m a n n i a ng e o m e t r y 【3 0 i na d d i t i o n ， f i n s l e rg e o m e t r yn o wi sa ni m p o r t a n tf i e l di nm o d e r nd i f f e r e n t i a lg e o m e t r ya n dm a n y p r o b l e m ss t i l lr e m a i nu n k n o w ni nc o m p a r i s o nt ot i m e - i n d e p e n d e n tm e c h a n i c s ti ti s s u p p o s e d l yi m p o r t a n tt od e v e l o pt h ec o r r e s p o n d i n gt h e o r i e sf o rt h et i m e - d e p e n d e n t c l a s s i cm e c h a n i c a ls y s t e m s ，s u c ha ss t a b i l i t y ，c o n t r o l l a b i l i t ya n do p t i m a lc o n t r 0 1 i ns u m ，m e c h a n i c si sv e r yi m p o r t a n ta n de x t e n s i v e ，w h i c hp l a y sr o l e si nt h e d e v e l o p m e n to fm a t h e m a t i c sa n do t h e rs u b j e c t si ns c i e n c ea n de n g i n e e r i n g a st h e t i n yp a r to ft h i sg r e a tt a s kw em a i n l yd i s c u s st h em a t h e m a t i c a lm o d e l l i n go fs e v e r a l m e c h a n i c a ls y s t e m sa n dc o r r e s p o n d i n gs t a b i l i t y w h a t sm o r e ，s t a b i l i t yt h e o r yf o rt h e m e c h a n i c a ls y s t e m sw i t ht i m e - d e l a yi ns t a t e sw i l lb ed i s c u s s e di nt h ef o l l o w i n gw o r k s 0 2 m o t i v a t i o n t h ep u r p o s eo ft h i st h e s i sm a i n l yf i x e su p o nt h r e ep r o b l e m si nt h ef i e l do fm a t h e m a t - i c a lm o d e l l i n ga n ds t a b i l i t yo fs e v e r a ls y s t e m si nm e c h a n i c a le n g i n e e r i n g 1 “h e 。n t 。p ”8 。舻6 “s t 血山。e d ”。1 8 。0 b 。8 。“6 。f o “88 7 ”y ”h e ”_ 1 “h e l a b o r a t o r yw eh a v et of o r m u l a t et h ed y n a m i c so ft h e s er o b o ts y s t e m s h o w e v e r ，c a n w ep r e s e n tap r o b l e mh e r et h a ti sw h e t h e rw ec a ns e tu p8u n i t ef r a m e w o r kt om o d e l 3 c h a p t e r0 i n t r o d u c t i o n a l lo ra l m o s ta l lk i n d so fr o b o td y n a m i e s ? t h a ti st os a y , w et e n dt om o d e lr o b o t s y s t e m sw i t ht h ea i do fc o m p u t e r i nm a t h e m a t i c a lf i e l de x i s t san e wf i e l dw h i c hi s n a m e dm a t h e m a t i c s m e c h a n i z a t i o n t h e r e f o r e ，w ei n t e n dt os e tu pap r o g r a mf o r c o m p u t e r a i d e dm o d e l l i n g i ti sw e l lk n o w nt h a tt h ei n v e r t e dp e n d u l u ms y s t e m ，ag e n e r a lm o d e l ，e x i s t s i nm a n yf i e l d so fe n g i n e e r i n g ，a e r o n a u t i c s ，r o b o t ，a n ds oo n a c t u a l l y , y o uc a na l s o f i n dt h eo r i g i ni nt h ec h i n e s ea c r o b a t i c s a l t h o u g ht h ei n v e r t e dp e n d u l u m sh a v el o n g h i s t o r ya n dw i d eb a c k g r o u n d ，y o uc a ne a s i l yf i n dt h a ta l lm o s to ft h er e s e a r c h e sa n d e x p e r i m e n t sc o n c e n t r a t eo na na p p r o x i m a t eo n e t h ee l a s t i c i t yi su s u a l l yn e g l e c t e d f o rs i m p l i c i t y h o w e v e r ，i nt h es t a b i l i z a t i o no fp r a c t i c a ls y s t e m ，s u c hm o d e ld e d u c t i o n i n e v i t a b l yb r i n g su pap r o b l e m ，s p i l l - o v e ra n di th a sl e dt os o m es e r i o u sp r o b l e m si n p r a c t i c e ss o ，i tm o t i v a t e su st oi n v e s t i g a t et h em o d e l l i n gb yi n t r o d u c i n gt h ee l a s t i c i t y r o b u s t n e s s ，a san e wt h i n gi nc o n t r o ls c i e n c e ，h a sn e a r l y4 0y e a r s ：d u r i n gt h e c o u r s eo ft h ed e v e l o p m e n to fr o b u s tc o n t r o l ，at h e o r e mn a m e da f t e rk h a r i t o n o vp l a y e d i m p o r t a n tr o l e s i nt h es e n s eo fm a t h e m a t i c s ，i ti sv e r yb e a u t i f u la n di tf r e e su sf r o m c h e c k i n gt h es t a b i l i t yo fi n n u m e r a b l ep o l y n o m i a l s h o w e v e r ，i td e a l sw i t ht h ec a s eo f i n d e p e n d e n tc o e f f i c i e n t s i nf a c t ，a l m o s tt h ec h a r a c t e rp o l y n o m i a l so fl i n e a rs y s t e m s h a v ed e p e n d e n tc o e f f i c i e n t s i ti s b i gp r o b l e m h e r ew ew i l lc o n v e r tt oa n o t h e r p e r t i n e n tp r o b l e m t h er o b u s ts t a b i l i t yo ft i m e - d e l a ys y s t e m w ed ow a n tt ou n v e i l t h em y s t e r yo ft h es t a b i l i t yo fs u c hs y s t e m sw i t hf r e q u e n c yd e s c r i p t i o n t h e s ea r e j u s tt h em o t i v a t i o n st oe n c o u r a g em et od os u c ht h i n g s 0 3 s k e t c ho ft h et h e s i s t h em a i nw o r kd o n ei nt h i st h e s i si so r g a n i z e d f o l l o w s ： c h a p t e r0i st h eo v e r a l li n t r o d u c t i o nt ot h et h e s i sa n dm o t i v a t i o n i nc h a p t e r1 w ec o n s i d e rt h et o p o l o g yg r a p hr e p r e s e n t a t i o na n dt h er e l a t i o n - s h i pb e t w e e nt h eg e o d e s i c so f t h ec o n f i g u r a t i o nm a n i f o l da n dt h eg r a p ho f r o b o tm e c h - 4 a l i s m sf o rag i v e nr o b o tm e c h a n i s mg ，w ee s t a b l i s ht h et o p o g r a p hr e p r e s e n t a t i o n d e f i n i t i o n0 1 ：l e t9d e n o t edm e c h a n i s ma n dt h es e t s0 1i t se l e m e n t sa n d 叻c s a r eva n d ，r e s p e c t i v e l y t h ew e 缸 t e dg r a p h0 ( v ，) t 3d e i g n e d t h et o p o l o g i c a l g r a p he x p r e s s i o n 。，t h em e c h a n i s mg t h ew e i g h t so ne a c he d g e 口他( 0 e e e ，只) e 0 ，1 ) 1 ，2 ，5 ) w h i c hd 旬舡rd i f f e r e n tc a t e g o r i e so f j o i n t s ，w h e r eq c e ，1 ) d e n o t et h a tt h ej o i n ti sl i n e a rm o t i o no rr o t a t i o no n e ；p c 芒 1 ，2 ，5 ) d e n o t e s t h ed e g r e eo sf r e e d o mo fe a c hk i n do f j o i n t sn o wf o ec mc o n s i d e rt h em e c h a n i s ma n d d e f i n i t i o no 2 ：at o p o l o g yg r a p h 蛋( v ，) i sar e p r e s e n t a t i o no f 口s i m p l er o b o t 玎 h o l d st h ef o l l o w i n g ，w h e r evh a s ( m 一1 ) e l e m e n t sa n d h a s ( m 一1 ) e l e m e n t s ， 铲l 2 t h ea d j o i n i n gm a t r i xd = ( 奶) m ms u b j e c t st o ， 也，= 白，= 萝i 乏一一圳= ，。玎e to ，- ，et ，。，- - 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