《氢原子的量子理论》PPT课件.ppt

角动量算符 哈密顿算符 1 可求出 比较； （处理H 原子时用） 2 角动量各分量之间的对易关系 ： 角动量平方算符（角动量大小）与角动量的任一分量 是对易的： 3 26.1 径向薛定谔方程 一 氢原子的薛定谔方程 在氢原子中，电子的势能函数为： 考虑到势能是 r 的函数，采用球极坐 标系 ( r, , )代替直角坐标 (x, y, z) y x z O P z y x r 第26章 氢原子的量子理论 4 两边对x求偏导 两边对x求偏导 5 6 通常采用分离变量法求解，即设 由此可得球坐标中的定态薛定谔方程为： 式中 拉普拉斯算符 7 解此三个方程，并考虑到波函数应满足的 标准化条件，即可得到波函数 (1) (2) (3) 能量量子化角动量量子化角动量空间量子化并且可得到： 其中 和 l 是引入的常数。 8 如何用分离变量法求解氢原子的薛定谔方程？ 代入上式 同乘 r 2/RY,并且移项 9 分 别 得 (3) 代入上式 同乘 10 分别得 (1) (2) (3) 前面已经得到 11 由自然周期条件 例： (1 ) 12 对方程 (1)求解，而又使()能满足标准化条件，就自然 得出 ml 只能取 0，1，2，3 等整数值。 (1) (2) 把一定的 ml 值代入方程 (2)求解，又使 ()能满足标准 化条件，就得出 l 只能取 0，1，2，3 等正整数值。 对于一定的 m l，必定有 l ml . 对于一定的 l , ml 的最大值只能取到 l ,即 13 把一定的 l 值代入方程 (3)对 R(r)求解，分为两种情况： 式中 n 称为主量子数，且只能取 n l+1的正整数， 对于一定的 n, (3) (a) E0，电子已不再受氢核的束缚，E可取连续值。 (b) E 0，求解方程 （3），并使 R ( r ) 满足标准化条件， 求得 E必等于 氢原子处于电离状态。自由电子。 l 只能取 0，1，2 (n-1)共n个整数值。14 例 15 选用能量、角动量的平方、角动量沿Z方向的分量 为体系守恒量完全集 通常,一个力学量A对应多个本征波函数(简并),所以一个力学量不 能完全确定体系状态。完全集的力学量数等于体系的自由度数。 （它们有共同的本征波函数，且同时有确定值） 在有心力场中运动 的 粒子，角动量守恒，能量守恒。 在有心力场中运动 的 粒子有三个自由度，应该有三个力学量来 描述其状态 由不确定关系发现：粒子的能量、角动量的平方、角动量沿Z方向的 分量可以同时精确测定。 角动量的三个分量中的任意两个都不能同时 精确测定。 能量与r，有关 角动量的平方和角动量沿Z方向的分量与，有关 角动量大小,角动量在任何方向的投影,能量可以完全描述体系状态。 16 二 .量子化条件和量子数 1.能量量子化和主量子数 式中 n 称为主量子数. 求解方程 ，并使 R ( r ) 满足标准化条件，求得 E必等于 能量是量子化的。 n =1时得氢原子的基态能量 E1=-13.6eV 2.角动量量子化和角量子数 求解方程 时，要使方程有确定的解，电子绕核运动的角动量 必须满足量子化条件， 式中 l 称为角量子数或副量子数. n =2，3，4， 时，得氢原子的其它激发态能量 17 3.角动量空间量子化和磁量子数 电子绕核运动的角动量的方向在空间的取向只能取一些特定的 方向，即角动量在外磁场方向的投影必须满足量子化条件： 式中 ml 称为磁量子数 角动量在空间的取向只有 (2l+1) 种可能 l =1 O B(z) l =2 O B(z) 18 按光谱习惯, 把 l =0，1，2，3，4，5，6， 总之，稳定氢原子中电子的状态用一组量子数 n, l, ml 来描述 各态记作 s，p，d，f，g，h，i， l=0 s l=1 p l=2 d l=3 f l=4 g l=5 h n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 1s 2s 3s 4s 5s 6s 2p 3p 4p 5p 6p 3d 4d 5d 6d 4f 5f 6f 5g 6g6h 氢原子内电子的状态 19 n= n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 赖曼系 巴尔末系 帕邢系 布喇开系 3000200 2000 100 三 氢原子能级与光谱 (1) En随 n 的增加而增高; (2) 能级间距随 n 增加而减小; (3) 当 开始电离，基态电子能量 其绝对值等于氢原子电离能 I (4) 电子跃迁时辐射光频率 20 1) 例如 3s 曲线有两个节点 径向函数的节点数 nr为 0（ l =n-1）的态 称为圆轨道：1s，2p，3d 曲线 - 最概然半径 如基态 1s 态有 四. 电子概率分布 定义径向概率密度为P(r)，则 例 电子径向概率分 布 2p态有3d态有 21 3) n不同但 l 相同, 其主峰 按 n 增加顺序向离核远 的方向依次排列 2）径向位置概率分布曲线 有 个极大 值峰， n 给定， l 愈小，主峰位 置离核越远, 但峰数增多, 最内层的峰离核越近。 电子径向概率分布 22 4）概率密度分布随角度的变化 电子概率密度角分布 23 24 25 26.3 电子自旋 一. 电子自旋的假设 1.正常塞曼效应 强磁场中的原子所发出的每条光谱线都分裂为三条 2.电子自旋假设提出 (1) 光谱的精细结构 如: 钠 D1 线: 589.0nm，D2 线: 589.6nm (2) 反常塞曼效应：弱磁场中，谱线分裂为偶数 条 如: 钠D1 线 分裂为 4条，D2分裂为 6条 - 不可能由轨道运动状态引 起的 (3) 乌伦贝克和高斯密特假设 - 电子自旋假设 26 27 每个电子都有自旋角动量 自旋磁矩: 它在空间任意方向投影 Sz 只能取两个值, 即： 1925年乌伦贝克(G.E.Uhlenbeck)和古兹米特(S. Goudsmit)为 了解释原子光谱的精细结构(光谱双线) 提出了大胆的假设： 考虑质量为M，处于s 态的银原子以速度 v 经过狭缝后 进入 z方向的磁场， 磁矩与磁场的作用能磁矩与磁场的作用能： 作用力：作用力： 加速度：加速度： 原子分裂为两束原子分裂为两束 27 3. 施特恩盖拉赫实验 1927年，基态100态氢原子, 只有一个 ls 态电子, 其轨道磁矩为 0， 实验观测到氢原子束被不均匀磁场分裂成两束 28 二 自旋磁量子数 电子自旋具有角动量的一切性质 自旋角动量平方的本征值是 令 的本征值都是则 与比较 s与l相当s 称为自旋量子数 自旋磁量子数ms 类比轨道角动量 与自旋角动量 每个有个取向而每个只有个取向 所以 自旋角动量大小 29 玻色子: 全同粒子的波函数对两个粒子的交换总是对称的 如: 介子( s =0), 光子(s =1)等 自旋为的整数倍, 遵守玻色统计 费米子: 全同粒子的波函数对两个粒子的交换总是反对称的 如电子, 质子, 中子等 自旋为 的半奇数倍(s =1/2, 3/2.), 遵守费米统计 全同粒子系的基本特征 全同粒子: 静质量，电荷，自旋等内禀属性完全相同的同类微观 粒子 全同粒子系: 由同类粒子组成的多粒子系 26.5 多电子原子泡利不相容原理 30 或:不可能有两个或两个以上的电子处于同一个量子态 1.泡利不相容原理 -泡利不相容原理 （1925年） 一个原子内不可能有两个或两个以上 电子具有完全相同的状态 或:一个原子内不可能有两个或两个以上的电子其四个量 子数完全相同 （1945年 Nobel Prize ） 总结:泡利原理 2.全同粒子: 静质量，电荷，自旋等内禀属性完全相同的同类 微观粒子 Anyone who has not been shocked by quantum physics has not understood it。 Niels Bohr 31 . 26.5.2 原子的壳层结构-原子核外电子的排布 一个电子有4个自由度，其运动状态 由四个量子数 n, l, ml, ms决定 主量子数n主要决定电子能量 角量子数l主要决定电子云（轨道）形状 （当n 相同 l 不相同时，能量稍有不同） 轨道磁量子数ml决定电子云（轨道）空间取向 角动量大小 （与玻尔量子化假设 不同） 自旋磁量子数ms决定电子自旋角动量空间取向 在外磁场方向投影 在外磁场方向投影 1. 四个量子数 32 2 原子的电子壳层结构 一个电子的运动状态 四个量子数 1) 都确定以后, 具有这些量子数的电子不多于一 个 2). 相同, 最多只有两个, 分别为1/2和-1/2. 4. 具有相同量子数 n 的电子最多只有 2n2 个 n 确定后, 取值( = 0,1,n -1) n 个， 而对于每个 最多只能取 2(2l+1)个电子 3). 相同, 最多只有 个 对同一个 取(2 +1)个; 而对每个 可取两个不同 值， 33 s , p , d , f , g . 把原子中具有相同主量子数 n 的电子称为同一壳层电子. 最大电子数 2 , 8 , 18, 32, 50 . ( 2n2 ) 主量子数 n = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 . 壳层 K , L , M , N , O . = 0, 1, 2, 3, 4, . 在每一壳中具有相同量子数 的电子组成支壳层. 最大电子数 2 , 6 , 10, 14, . 2(2 +1) 电子态表示如 n=2, =1 态用 2p表示 n=2, =0 态用 2s 表示 34 结论: 在泡利不相容原理和能量取最小值原理的两种限制下， 电子的分布的确具有周期性结构. 1) 在电子数目Z不太大时, 电子总是在泡利不相容原理 限制下， 由低能级 n=1 的 k 壳层开始填起， 一个壳层填完以后再填另一个 钾: 2) 在电子数目较多时, 电子间相互作用不能忽略， 电子能级与 n, l 有关, 能级交叉 按能量最低原理填充 铜: 35 3.外层电子的能级顺序 原子中外层电子能级的高低 以(n+0.7l )的值来确定，电子优 先占据(n+0.7l )值小的状态。 K19 ： 1s1s 2s2s 2p2p2p2p2p2p 4s 1s 2s 2p 3s 3p 3d 4s 4p 4d 4f 5s 5p 5d 5f 5g 6s 6p 6d 6f 6g 6f 7s 7p 7d K19 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s1 Ar18 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 Ca20 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 Sc21 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d1 4s2 Zn30 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d10 4s2 Rb37 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d10 4s24p65s1 3s3s 3p3p3p3p3p3p 4s K19 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s1 n+0.7l = 4 n+0.7l = 4.4 1956年，徐光宪 对外层电子，n确定时, l 越小，能量越低 3d 36 例 1. 原子内的量子态由n, l, ml, 及 ms 四个量 子数表征。 当 n, l, ml 一定时，不同的量子态数目为 ； 当 n, l, 一定时，不同的量子态数目为 ； 当 n 一定时，不同的量子态数目为 。 2 2 ( 2l+1 ) 37 例 2. 多电子原子中， 电子的排列遵循 原理和原理。 泡利不相容 能量最小 例 3 在氢原子的 L 壳层中， 电子可能具有的量子 数 （n , l ,ml , ms ） 是 答案： L 壳层 n=2 , （B） 例 4 . 氩原子 （ z=18） 原子基态的电子组态是 答案 ： (C) 38 例 5. 一价金属钠原子，核外共有11个电子，当 钠原子处于基态时，根据泡利不相容原理，其价电 子可能取的量子态数为 答案： 钠原子的价电子处在 n=3 的主壳层上，故可 能的量子态数为 2n2=18 , (D) 39 例6.下列各量子数中，哪一组可以描述原子中电子 的状态？ (A).n =2, l =2, ml =0, ms=1/2 (B). n =3, l =1, ml = 1, ms= 1/2 (C). n =1, l =2, ml =1, ms=1/2 (D). n=1, l =0, ml =1, ms= 1/2 （B） 例. 原子内电子的量子态由n,l,ml及ms四个量子数表 征。 当n,l,ml一定时，不同的量子态数目为（ ）， 当n,l,一定时，不同的量子态数目为（ ）， 当n一定时，不同的量子态数目为（ ）. 2 4l+2 2n2 40 例8.锂 (Z=3) 原子中含有三个电子，电子的量子态可用 （n, l , ml , ms ）四个量子数来描述，若已知其中一 个的量子态为 （1， 0， 0， 1/2 ），则其余两个电 子的量子态分别为 和 (1, 0, 0, -1/2) 第一个电子在 s 支壳层，故第二个电子应填满 s 层，量子 数为（1， 0， 0， -1/2 ）。 第三个电子在 n=2 的 s 支壳层，即取 l =0 ，因此有 ml =0, ms=1/2. 故第三个电子的量子数为 （2， 0， 0， 1/2 ） 或 （2， 0， 0， -1/2 ）。 (2, 0, 0, 1/2)。 41 一 黑体辐射的实验定律 2)维恩位移律 1)斯特藩-玻耳兹曼定律 M(T )=T 4 = 5.6710-8 W/m2K4 M 0(T) 2200K 2000K 1800K 1600K m 量子物理 二 普朗克量子假说 (1)黑体带电线性谐振子 (2)能量不连续， (3)能量子 42 三 光电效应 1 爱因斯坦光电效应方程 2 光的“波粒二象性” 四 康普顿效应 五 玻尔氢原子量子论 (1)定态假设 (2)频率条件 (3)轨道量子化 氢原子轨道半径 能级43 六 德布罗意波 波函数及其统计解释 波函数的标准条件单值、有限、连续、归一 七 不确定性关系 44 八 薛定谔方程 定态薛定谔方程 一维无限深方势阱 线性谐振子 一维方势垒 45 九 量子力学中的氢原子问题 1.主量子数 n = 1, 2, 3, 决定能量的主要因素 2.角量子数 l = 0, 1, 2, , n-1 副量子数轨道量子数 l 有 n 种取值 3.磁量子数 决定电子角动量z分量Lz的大小，空间量子化 4.自旋磁量子数只有 2 种取值 有 2l +1 种取值 决定电子自旋角动量的z分量Sz的大小 46 原子的磁矩 电子的自旋(1)电子具有自旋角动量 ,它在任 意方向上的投影只能取 。 (2)电子具有与自旋角动量相关的磁矩， 自旋磁矩 , 十 电子自旋 泡利原理 一个原子内不可能有两个或两个以上的 电子具有完全相同的状态。 全同性原理全同粒子所组组成的体系中，二全同