勒贝格积分和黎曼积分的联系与区别

1 勒 贝 格 积 分 和 黎 曼 积 分 的 联 系 与 区 别 摘 要 本 文 讨 论 勒 贝 格 积 分 是 与 黎 曼 积 分 的 联 系 与 区 别 勒 贝 格 积 分 和 黎 曼 积 分 积 分 之 间有 一 种 相 依 赖 、 相 互 补 充 、 相 互 帮 助 及 在 特 定 条 件 下 相 互 转 化 的 关 系 勒 贝 格 积 分 在 积分 与 极 限 换 序 的 条 件 要 求 上 有 比 黎 曼 积 分 优 越 的 好 处 。 在 实 变 函 数 里 引 入 勒 贝 格 积 分 是为 了 弥 补 黎 曼 积 分 的 不 足 可 以 扩 大 可 积 函 数 类 降 低 逐 项 积 分 与 交 换 积 分 顺 序 的 条 件 。勒 贝 格 积 分 拓 广 了 黎 曼 积 分 的 定 义, 使 得 可 积 性 的 条 件 要 求 减 弱 了 。它 断 言 可 测 集 上 的 有界 可 测 函 数 和 单 调 函 数 必 勒 贝 格 可 积, 这 比 黎 曼 积 分 中 要 求 连 续 函 数 、单 调 函 数 的 条 件 放松 多 了 。 它 放 松 了 黎 曼 积 分 要 求 函 数 序 列 的 一 致 收 敛 的 过 强 的 要 求 。 关 键 词 勒 贝 格 可 黎 曼 可 积 勒 贝 格 积 分 黎 曼 积 分 2 1 、 定 义 1 . 1 黎 曼 积 分 定 义 设 )( 上 有 定 义 1 分 割 分 划 将 添 加 n - 1 个 分 点 T nn 1210 将 分 成 区 间 nn , 12110 1x 2x 2 取 近 似 .,1 3 1 4 取 极 限 令 ma x T 的 细 度 若 iT 10l i m 存 在 ni 0l i m 1 . 2 勒 贝 格 积 分 定 义 设 有 限 可 测 集 E 上 有 界 1 21 为 E 的 n 个 互 相 不 相 交 的 可 测 子 集 且 ni 称 21 为 E 的 一个 L - 分 划 2 设 21 21D 均 为 E 的 一 个 L - 分 划 若 对 存 在 . 称 细 的 加 细 3 设 21 为 E 的 一 个 L - 分 划 s u pi n f , 称 i 1 , 在 划 分 D 下 小 和 ni ii D,S 在 划 分 D 下 大 和 3 2 黎 曼 积 分 和 勒 贝 格 积 分 的 联 系 对 于 定 义 在 上 的 函 数 f 如 果 它 是 黎 曼 可 积 的 则 它 勒 贝 格 可 积 的 而 且 有 相同 的 积 分 值 故 我 们 平 时 解 题 算 勒 贝 格 积 分 时 一 般 先 考 虑 该 函 数 是 否 黎 曼 可 积 如 果可 以 那 么 就 先 化 为 黎 曼 积 分 求 解 因 为 我 们 在 学 数 分 时 已 经 熟 悉 了 黎 曼 积 分 。 对 于无 界 函 数 的 积 分 或 函 数 在 无 穷 区 间 上 的 积 分 黎 曼 积 分 是 作 为 广 义 积 分 来 定 义 的 这 时要 求 单 调 增 加 的 可 测 集 合 列 其 并 为 E 若 极 限 d l i m 存 在 则 f 在 贝 格 可 积 且 有 d = d l i m 当 矩 体 每 个 都 是 有 界 连 续 函 数 同 时 满 足 d l i m 时 可 以 通 过 计 算 黎 曼 积 分 d 而 得 到 勒 贝 格 积 分 d = d l i m 而 且 计 算 方 法 与 选 择 没 有 关 系 只 需 保 证 调 增 加 到 并 集 E 。 例 1 设 f 是 区 间 上 的 有 界 单 调 函 数 f 的 不 连 续 点 至 多 是 可 列 集 因 此 f 在 上 是 几 乎 处 处 连 续 的 又 因 为 f 在 上 是 有 界 的 f 在 上 是 黎 曼 可 积 的 所 以 也是 勒 贝 格 可 积 。 但 是 必 须 指 出 具 有 广 义 黎 曼 积 分 的 函 数 并 不 一 定 勒 贝 格 可 积 。 例 2 设 x xs i n 在 数 分 中 f 在 ,0 上 的 广 义 黎 曼 积 分 收 敛 的 但 不 是 绝 对 收 敛的 而 f 在 ,0 上 不 是 勒 贝 格 可 积 的 平 时 我 们 在 解 勒 贝 格 积 分 时 有 很 多 可 以 先 化 为 求 黎 曼 积 分 下 面 我 们 看 看 几 个 例子 。 例 3 计 算 3 11x 在 2,1 上 的 积 分 解 用 截 断 函 数 求 解 2,1 上 的 非 负 函 数 作 截 函 数 21111111333n 4 显 然 对 每 个 黎 曼 可 积 故 也 勒 贝 格 可 积 2 11 311121 331= 23 2 32311 = 22 123 n 于 是 d 2,1 = d 2,1l i m = 22 323l i m = 23例 4 设 0E E 上 函 数 1 ,11,0(221求 d 解 作 截 断 函 数 212取 12 ,2,1n 由 于 黎 曼 可 积 故 d n = d 1 211 212 5 = 2 1111221 = 3 - E d d nl i m = 3l i m = 3 勒 贝 格 积 分 是 黎 曼 积 分 的 推 广 与 发 展, 是 一 种 新 型 积 分 理 论 。 相 对 于 黎 曼 积 分 而 言,勒 贝 格 积 分 处 理 一 些 问 题 是 相 当 灵 活 与 自 然 的 上 面 的 例 题 就 充 分 的 说 明 了 这 点 。 3 勒 贝 格 积 分 与 黎 曼 积 分 的 区 别 黎 曼 积 分 相 对 勒 贝 格 积 分 有 明 显 的 局 限 性 。 勒 贝 格 积 分 比 黎 曼 积 分 有 明 显 的 优 势 它 将 可 积 函 数 类 拓 广 为 有 界 可 测 函 数 。 勒 贝 格 积 分 的 可 积 范 围 比 黎 曼 积 分 广 泛 比 如 上 的 连 续 函 数 黎 曼 可 积 也 勒 贝 格 可 积 此 外 还 有 非 黎 曼 可 积 但 勒 贝 格 可 积 的例 子 有 很 多 如 10 上 的 狄 立 克 莱 函 数 2 是 有 理 数 时当 是 无 理 数 时当0 就 是 黎 曼 不 可 积 但 是 勒 贝 格 可 积 。 勒 贝 格 积 分 包 含 了 黎 曼 积 分 这 样 的 结 论 上 黎 曼 可 积 则 有 勒 贝 格 可 积 且 积 分 值 相 同 。 在 数 分 中, 经 常 遇 到 的 一 个 重 要 问 题 是 两 种 极 限 过 程 的 交 换 次 序 问 题, 尤 其 是 积 分 与函 数 列 的 极 限 的 交 换 问 题 在 那 里 一 般 都 是 用 函 数 列 一 致 收 敛 的 条 件 来 保 证 极 限 运 算 与积 分 运 算 的 次 序 可 以 交 换 但 是 “ 一 致 收 敛 ” 这 个 条 件 是 过 于 苛 刻 了, 这 也 暴 露 出 黎 曼 积分 定 义 的 缺 陷 。 其 实 黎 曼 积 分 与 勒 贝 格 积 分 大 体 上 是 相 似 的 仅 从 分 割 函 数 的 定 义 域 的 角 度 来 说 其 区 别 在 于 黎 曼 积 分 所 考 虑 的 分 划 如 定 义 只 是 把 原 来 的 区 间 分 解 成 有 限 多 个 小 区 间 而 勒 贝 格 积 分 的 分 划 则 是 把 分 成 有 限 多 个 互 不 相 交 的 可 测 子 集 由 定 义 对 比 可 知 前 者 的 分 划 必 是 后 者 的 分 划 所 以 黎 曼 意 义 下 的 大 、 小 和 必 是 勒 贝 格 意 义 下 的 大 、 小 和 故 得 到 相 同 的 积 分 值 。 因 为 勒 贝 格 积 分 相 对 黎 曼 积 分 的 优 越 性 所 以 平 时 我 们 运 用 勒 贝 格 积 分 解 决 黎 曼 积分 中 较 难 的 问 题 。 6 例 5 计 算 10 黎 曼 函 数 是 无 理 数 时当为 互 质 正 整 数当1的 积 分 d 10 3 。 这 个 函 数 在 所 有 无 理 点 处 事 连 续 的 在 有 理 点 是 不 连 续 的 虽 然 在 10 中 有 无 穷 多 个 有理 点 即 黎 曼 函 数 在 10 上 的 不 连 续 点 有 无 穷 多 个 但 这 个 函 数 在 10 仍 然 是 黎 曼 可 积的 且 有 0)(10 d 但 是 用 黎 曼 积 分 方 法 来 求 其 积 分 值 比 较 复 杂 然 而 用 勒 贝 格 积分 的 方 法 来 求 积 分 值 就 显 然 十 分 简 单 了 。 解 由 黎 曼 可 积 乎 处 处 连 续 所 以 令 中 的 有 理 数为 10 1,0 则 d 1,010 = BA d = 0 + B d = B d = 0 例 6 已 知 有 理 点小 于 无 理 点无 理 点大 于1,001,0 311,032求 d 10 解 令 31,01,3132 a . e . 于 1,0 d 1,0 = d 1,0 = d 10 7 = d 131 2310 3 =3113031434 = 3 2 41 0 3 利 用 勒 贝 格 积 分 可 得 出 较 黎 曼 积 分 比 较 深 刻 的 结 论, 其 中 之 一 就 是 函 数 黎 曼 可 积 条件 的 推 广 。 利 用 勒 贝 格 积 分 理 论 中 的 积 分 极 限 定 理, 可 以 证 明 4 : 上 的 有 界 函 数 黎 曼 可 积 的 充 分 必 要 条 件 是 上 几 乎 处 处 连 续 即 不 连 续 点 的 测 度 长 度 为0 , 这 是 黎 曼 积 分 的 本 质 特 性, 从 黎 曼 积 分 的 自 身 理 论 是 推 不 出 来 的 , 必 须 借 助 勒 贝 格 积分 理 论 才 能 得 到 。 但 是 黎 曼 积 分 也 有 它 的 优 势 比 如 在 非 均 匀 分 布 时 “ 直 线 段 ” 质 量 、平 面 薄 板 质 量 等 等 的 问 题 上 用 黎 曼 积 分 比 较 简 捷 方 便 。 总 结 1 、 勒 贝 格 积 分 和 黎 曼 积 分 积 分 之 间 有 一 种 相 依 赖 、 相 互 补 充 、 相 互 帮 助 及 在 特 定 条件 下 相 互 转 化 的 关 系, 它 从 数 学 侧 面 验 证 了 科 学 哲 学 思 想 中 的 对 应 原 理 。 2 、 勒 贝 格 积 分 拓 广 了 黎 曼 积 分 的 定 义, 使 得 可 积 性 的 条 件 要 求 减 弱 了 。 它 断 言 可 测集 上 的 有 界 可 测 函 数 和 单 调 函 数 必 勒 贝 格 可 积, 这 比 黎 曼 积 分 中 要 求 连 续 函 数 、单 调 函 数的 条 件 放 松 多 了 。 3 、勒 贝 格 积 分 在 积 分 与 极 限 换 序 的 条 件 要 求 上 有 比 黎 曼 积 分 优 越 的 好 处 。它 放 松 了黎 曼 积 分 要 求 函 数 序 列 的 一 致 收 敛 的 过 强 的 要 求 。由 勒 贝 格 控 制 收 敛 定 理 可 知, 只 要 所 给函 数 列 可 测 、 有 界 、 收 敛, 积 分 与 极 限 就 可 换 序, 这 一 点 在 三 角 级 数 、 热 学 研 究 中 非 常 重要 。 4 、 勒 贝 格 积 分 并 没 有 完 全 否 定 和 抛 弃 黎 曼 积 分, 它 把 黎 曼 积 分 作 为 一 种 特 例 加 以 概括, 并 且 在 一 定 条 件 下 勒 贝 格 积 分 可 以 转 化 为 黎 曼 积 分 。 由 此 可 见, 勒 贝 格 积 分 和 黎 曼 积分 各 有 自 己 的 优 势 和 价 值 。 在 计 算 连 续 函 数 的 积 分 时, 黎 曼 积 分 要 比 勒 贝 格 积 分 简 便 、优 越 。但 勒 贝 格 积 分 是 积 分 发 展 史 上 的 一 次 革 命, 它 使 得 积 分 论 在 集 合 论 、测 度 论 的 基 础上 走 向 现 代 化, 从 而 有 可 能 在 现 代 水 平 的 层 次 上 向 其 它 现 代 数 学 分 支 渗 透, 促 进 了 其 它 学科 的 发 展, 特 别 是 三 角 级 数 和 函 数 序 列 方 面 。 概 率 论, 泛 函 分 析 等 学 科 也 受 到 勒 贝 格 积 分的 积 极 影 响 。 此 外, 勒 贝 格 积 分 作 为 纯 粹 数 学 研 究 的 产 物, 后 来 在 热 学, 统 计 力 学, 控 制 论 等 自 然