测量误差及数据处理的基本知识.ppt

7 测量误差及 数据处理的基本知识 【本章知识要点】 观测条件；等精度观测；非等精度观测；粗差； 系统误差；偶然误差及其特性；多余观测；标准 差；中误差；极限误差；容许误差；相对误差； 误差传播定律；最或是值；改正数；等精度观测 值中误差；算术平均值中误差；权；定权方法； 非等精度观测值精度评定；单位权中误差计算。 7.1 测量误差概述 7.1.1. 误差来源 （仪器、人、环境） 测量中的被观测量客观上多存在一个真实值或理论值， 对该量进行观测得到观测值，观测值 Li与真实值X （或理论值） 之差称为真误差 ，即： i = LiX 7.1.2. 误差分类： (1)系统误差 （积聚性、可预知性） (2)偶然误差 （抵偿性、不可预知性） * 系统误差 误差大小、符号按一定规律变化或保持 常数 具有累计性 偶然误差 误差大小、符号无规律变化 抵消性 粗 差 由于粗心和干扰产生大于限差的误差 * 7.1.3. 多余观测 必要观测 距离往返测 水准红黑面读数 角度多测回 多余观测差值评定精度 * 7.1.4 偶然误差的统计规律 真误差 定义式： i = LiX （X真值；L观测值） * * 误差区间 正 误 差负 误 差合 计 个数k频率k/n个数k频率k/n个数k频率k/n 0.00.2450.126460.128910.254 0.20.4400.112410.115810.226 0.40.6330.092330.092660.184 0.60.8230.064210.059440.123 0.81.0170.047160.045330.092 1.01.2130.036130.036260.073 1.21.460.01750.014110.031 1.41.640.01120.00660.017 1.6以上000000 总和1810.5051770.4953581.000 * (1)有界性 在一定的观测条件下，偶然误差不会超过某一定值 (2)单峰性 绝对值 小的误差比绝对值 大的误差出现的可能性大 (3)对称性 绝对值 相等的正、负误差出现的可能性相等 (4)抵偿性 当观测次数无限增加，偶然误差的算术平均值趋向零 误差分布-正态分布 标准差 * 正态分布曲线的数学方程式正态分布曲线的数学方程式 * =3.1416 e=2.7183 为标准差 2 为标准差的平方，称为方差。 * 甲 系统误差 * 乙 偶然误差 * 丙 偶然误差 * 测量精度 * 7.2 评定精度的标准 7.2.1 标准差与中误差 (1)定义式 * 按观测值的真误差计算中误差 序号 第一组观测第二组观测 观测值真误差2观测值真误差2 11795959-111800008+864 21795958-241795954-636 31800002+241800003+39 41795957-39180000000 51800003+391795953-749 61800000001795951-981 71795956-4161800008+864 81800003+391800007+749 91795958-241795954-636 101800002+241800004+416 +260 +2404 中误差 【】=60 n=10【】=404 n=10 m1=2.5m2 = 6.4 * (2)概率意义 * 7.2.2. 极限误差 P(|1 m)=0.683=68.3% P(|2 m)=0.954=95.4% P(|3 m)=0.997=99.7% 所以，一般容许或极限误差取： * 7.2.3. 相对误差 K (1) 定义 (2) 适用情况 例：丈量200m和80m的中误差都是20mm，精度 怎样描述？ * 中误差 m 极限误差 允= 2 m 相对中误差 绝对误 差 平均误差 或然误差 * 则函数的中误差与观测值中误差之间的关系式 7.3误差传播定律 设有一般函数： 误差传播定律描述观测值 的中误 差与观测值 函数的中误差之间的关系 (5-27) * 1、按问题要求写出函数式 2、对函数式全微分 3、写出函数的中误差与观测值中误差之间的关系式 1）函数中误差的计算方法 ： * 例 S = a b a b bma amb ma mb * 2）特殊函数中误差的计算方法 ： （1）、倍函数中误差 （2）、和或差函数中误差 （3）、线性函数 * （1）、倍函数中误差 设有函数： z = k x 式中k为常数；x为观测值，其中误差为 mx；则函数Z的中误差为mz mz= k mx 即观测值与某一常数乘积的中误差，等 于观测值中误差乘该常数 * z = k x ZI = k xI (ZI ) 2= (k xI ) 2 mz2= k2 mx2 mz = k mx * 例 在1：500地形图上，量得某线段的平距为 dAB=51.2mm0.2mm，求AB的实地平距 DAB及其中误差mD。 解：函数关系为 DAB = 500 dAB=25600 mm 中误差式为 m DAB =500 m dAB=100 mm DAB = 25.600 0.1 m * （2）、和或差函数中误误差 设有函数： z = x y x、y为观测值，其中误差分别为mx、 my ； 则函数Z的中误差为mz mz2 = mx2 my2 即两观测值代数和的中误差平方，等于两观 测值中误差平方之和。 * 原 理 H HB B = H= HA A + ( a + ( a b ) b ) * 例 水准测量测站高差计算公式为h=a-b。已知后视 读数的中误差为ma1mm，前视读数的中误差 为mb1mm，求每测站高差的中误差m h。 解：函数关系为 h= a b 中误差式为 m h=1.41mm * 推广式 设有函数： z = x1 x2 xn x、y为观测值，其中误差分别为mxi、 ；则函数 Z的中误差为mz mz2= m12 m22 mn2 即n个观测值代数和的中误差平方，等于n观测 值中误差平方之和。 当m1= m2 = = mn =m时；则有 mz2= m2 m2 m2 mz2 = n m2 mz = n m * （3）、线线性函数 设有函数： z = k1 x1 k2x2 knxn 式中ki 为常系数；xi为独立观测值，其 中误差分别为mxi、 ；则函数Z的中误差为 mz mz2= k12 m12 k22 m22 kn2 mn2 即一组常数与一组独立观测值乘积代数 和的中误差平方，等于各常数与相应观 测值中误差乘积的平方之和。 * 例 对某段距离测量了n次，观测值为l1, l2,ln,观测 值为相互独立的等精度观测，观测值的中误差 为m，求算术平均值的中误差mx。 函数关系为 全微分式 中误差式为 * 例 光电测距三角高程公式为 h=Dtan+ i v， 已知D=192.263m0.006m， =89166， i = 1.515m0.002m v = 1.627m0.002m 求高差h的中误差mh 。 * 函数关系为 h=Dtan+ i v， 其全微分式为 中误差式为 Mh=7mm h=27.437=0.007m * 计算实例 1. 【例7-2】 课本P124，任意函数 2. 【例7-3】 课本P125，倍函数 3. 【例7-4】 课本P125，和差函数 4. 【例7-5】 课本P125，线性函数 * 中误差的计算 注意： （1）如果是距离D，则需要计算相对误差K； （2）如果是角度，则不要计算相对误差K。 * 7.3.2误差传播定律的应用 n1）钢尺分段量距的精度 n2）一般水准测量的精度 n（1）水准尺读数中误差 n（2）一测站的高差中误差 n（3）依据测站数计算高差中误差 n（4）依据线路长度计算高差中误差 （5）往返测所得高差闭合差的容许值 3）经纬仪测量水平角的精度 n（1）半测回方向值中误差 n（2）半测回角值中误差 n（3）上、下半测回角值之差的中误差 n（4）一测回角值中误差 7.4 等精度观测值的精度评定 7.4.1 算术平均值 证明：算术平均值 = 最可靠值 7.4.2 改正数 v = xL 特点： (1) v= 0（可证明） (2) vv= min（可证明） * V1 = x - l1 V2 = x l2 。 Vn = x ln v =n x - l v =0 * vvmin = (x -l1)2+ (x -l2)2 + + (x -ln)2 d vv/d x =2 (x l ) = 0 n x l = 0 x = l / n 等精度观测值的算术平均值x即为 ：最可靠值 * 7.4.3 等精度观测值的中误差 因为 在大多数情况下为未知 V1 = x l1 V2 = x l2 。 Vn = x ln 1 X l1 2 X l2 。 n = X ln 只能通过上面两关系式找出 m 与 v 之间的关系 * 观测值中误差： * 7.4.4算术平均值中误差 用改正数(v)计算最或是值中误差： 表7-2 算术平均值： 观测值 中误差： 算术平均值中误差： 序 号 L（m）V（cm）VV 精 度 评 定 1251.52-39 最后结果可写成 x=251.490.01（m） 2251.46+39 3251.4900 4251.48-11 5251.50+11 V=0VV=20 算术平均值相对中误差 ： 7.5 非等精度观测值的精度评定 （1）不等精度观测 不同观测条件 （2）不等精度观测权 权大，精度高，观测值可靠性强 权小，精度低，观测值可靠性差 问题:怎样求P点的高程 A C B P N3=35站 N2=20站 N1=15站 S1=2km S3=4km S2=3kmh1 h2 h3 HP=HA+h1 HP=HB+h2 HP=HC+h3 * n第一组观测了四次, l1 , l2 , l3 , l4 n第二组观测了两次, l1 , l2 例 对某一观测量进行了两组观测: * x1= ( l1+ l2+ l3+ l4 ) / 4 x2=(l1+ l2) / 2 l1 l2 l3 l4 l1 l2的精度是相同的， x1与x2的精度是不同的! X = (l1+ l2+ l3+ l4 + l1+ l2) / 6 =( 4 x1 + 2 x2 ) / ( 4 + 2 ) * 单位权 等于1的权 单位权观测值 P=1的观测值 单位权中误差 单位权观测值的中误差 权的概念 中误差小，精度高，观测值可靠性大，权大 中误差大，精度低，观测值可靠性差，权小 * 权与中误差关系 l1 l2 l3 l4 l1 l2的精度是相同的，设其中 误差皆为m，则x1与x2的中误差分别为 * 上式可以说明可以任意选择 的值，但 并不改变观测值之间的权的比 。 距离、高差、角度观测值的定权方法 同精度丈量时，边长的权与边长成反比 Pi = c / si 当每公里水准测量精度相同时，水准路线观 测高差的 权与路线长度成反比 Pi = c / si 由角度观测值求算术平均值时，其权与观测 值个数（测回数）成正比 Pi = ni / c * 例 设对某量进行了n次等精度观测，求算术平均值 的权。 解：设一测回角度观测值中误差为m 则算术平均值的中误差为 令= m 一测回角度观测值权为p=2 / m2 = 1 算术平均值的权为 p=2 / m x2 = n * 7.5.2 权及中误差 加权算术平均值： * 加权平均值的中误差 怎么求？ * 7.5.3 单位权中误差的计算 （怎么求？） n因为可以用i代替mi， nn2 = pm2 = p n2 = p / n n实际应用时，v = x l * 单位权中误差 2= pvv / (n-1) 加权平均值中误差加权平均值中误差 mx= / p * 例7-8 算例7-9 序号测回数观测值 权pivipi vi2备注 1240 20 142+432 2440 20 174+14 3640 2