2013经济数学基础考试电大小抄(微分完整版)【电大专科考试小抄】 .doc

经济数学基础微分函数一、单项选择题1函数的定义域是（d ） ab cd 且2若函数的定义域是0，1，则函数的定义域是(c)a b c d3下列各函数对中，（d）中的两个函数相等 a， b，+ 1 c， d，4设，则=（ a） a b c d 5下列函数中为奇函数的是（c）a b c d 6下列函数中，（c）不是基本初等函数 a b c d7下列结论中，（c）是正确的 a基本初等函数都是单调函数 b偶函数的图形关于坐标原点对称 c奇函数的图形关于坐标原点对称 d周期函数都是有界函数 8. 当时，下列变量中（b ）是无穷大量a. b. c. d. 9. 已知，当（a ）时，为无穷小量.a. b. c. d. 10函数 在x = 0处连续，则k = (a)a-2 b-1 c1 d2 11. 函数 在x = 0处（b ）a. 左连续 b. 右连续 c. 连续 d. 左右皆不连续 12曲线在点（0, 1）处的切线斜率为（ a ） a b c d 13. 曲线在点(0, 0)处的切线方程为（a ）a. y = x b. y = 2x c. y = x d. y = -x 14若函数，则=（ b ） a b- c d- 15若，则（ d ） a b c d 16下列函数在指定区间上单调增加的是（ b ） asinx be x cx 2 d3 - x 17下列结论正确的有（ a ） ax0是f (x)的极值点，且(x0)存在，则必有(x0) = 0 bx0是f (x)的极值点，则x0必是f (x)的驻点 c若(x0) = 0，则x0必是f (x)的极值点 d使不存在的点x0，一定是f (x)的极值点 18. 设需求量q对价格p的函数为，则需求弹性为ep=（ b ）a b c d 19函数的定义域是（d） a b c d 且20函数的定义域是（ c ）。a b c d21下列各函数对中，（d）中的两个函数相等a， b，+ 1c， d，22设，则=（c）a b c d23下列函数中为奇函数的是（c）a b c d24下列函数中为偶函数的是（d）a b c d25. 已知，当（a ）时，为无穷小量.a. b. c. d. 26函数 在x = 0处连续，则k = (a)a-2 b-1 c1 d2 27. 函数 在x = 0处连续，则（a ）a. 1 b. 0 c.2 d. 28曲线在点（0, 1）处的切线斜率为（ a ）a b c d 29. 曲线在点(1, 2)处的切线方程为（b ）a. b. c. d. 30若函数，则=（ b ） a b- c d-31下列函数在指定区间上单调减少的是（ d ）asinx be x cx 2 d3 x 32下列结论正确的有（ a ） ax0是f (x)的极值点，且(x0)存在，则必有(x0) = 0 bx0是f (x)的极值点，则x0必是f (x)的驻点 c若(x0) = 0，则x0必是f (x)的极值点d使不存在的点x0，一定是f (x)的极值点 33. 设需求量q对价格p的函数为，则需求弹性为ep=（ b ）a b c d二、填空题1函数的定义域是 -5，2 2函数的定义域是 (-5, 2 ) 3若函数，则 4设函数，则5设，则函数的图形关于y轴 对称6已知生产某种产品的成本函数为c(q) = 80 + 2q，则当产量q = 50时，该产品的平均成本为3.67已知某商品的需求函数为q = 180 4p，其中p为该商品的价格，则该商品的收入函数r(q) = 45q 0.25q 28. 1.9已知，当时，为无穷小量10. 已知，若在内连续，则2 .11. 函数的间断点是12函数的连续区间是，13曲线在点处的切线斜率是14函数y = x 2 + 1的单调增加区间为(0, +)15已知，则= 016函数的驻点是 17需求量q对价格的函数为，则需求弹性为 18已知需求函数为，其中p为价格，则需求弹性ep = 19函数的定义域是答案：(-5, 2 )20若函数，则答案：21设，则函数的图形关于对称答案：y轴22已知，当 时，为无穷小量答案：23已知，若在内连续则 . 答案224函数的间断点是答案：25. 函数的连续区间是答案：26曲线在点处的切线斜率是答案： 27. 已知，则= 答案：028函数的单调增加区间为答案：（29. 函数的驻点是 . 答案：30需求量q对价格的函数为，则需求弹性为。答案：三、计算题1 1解 = = = 22解：= =3 3解 = =22 = 4 44解 = = = 2 5 5解 66解 = =7已知，求 7解：(x)= =8已知，求 8解 9已知，求；9解 因为 所以 10已知y =，求 10解 因为 所以 11设，求11解 因为 所以 12设，求12解 因为 所以 13已知，求 13解 14已知，求 14解： 15由方程确定是的隐函数，求 15解 在方程等号两边对x求导，得 故 16由方程确定是的隐函数，求.16解 对方程两边同时求导，得 =.17设函数由方程确定，求17解：方程两边对x求导，得 当时， 所以，18由方程确定是的隐函数，求18解 在方程等号两边对x求导，得 故 19已知，求 解： 20已知，求 解： 21已知，求；解：22已知，求dy 解： dy=23设 y，求dy解：24设，求 解：四、应用题 1设生产某种产品个单位时的成本函数为：（万元）,求：（1）当时的总成本、平均成本和边际成本； （2）当产量为多少时，平均成本最小？ 1解（1）因为总成本、平均成本和边际成本分别为：， 所以， ， （2）令 ，得（舍去）因为 是其在定义域内唯一驻点，且该问题确实存在最小值，所以当20时，平均成本最小. 2某厂生产一批产品，其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为60元，对这种产品的市场需求规律为（为需求量，为价格）试求：（1）成本函数，收入函数； （2）产量为多少吨时利润最大？2解 （1）成本函数= 60+2000 因为 ，即， 所以 收入函数=()= （2）因为利润函数=- =-(60+2000) = 40-2000 且 =(40-2000=40- 0.2令= 0，即40- 0.2= 0，得= 200，它是在其定义域内的唯一驻点 所以，= 200是利润函数的最大值点，即当产量为200吨时利润最大3设某工厂生产某产品的固定成本为50000元，每生产一个单位产品，成本增加100元又已知需求函数，其中为价格，为产量，这种产品在市场上是畅销的，试求：（1）价格为多少时利润最大？（2）最大利润是多少？3解 （1）c(p) = 50000+100q = 50000+100(2000-4p) =250000-400p r(p) =pq = p(2000-4p)= 2000p-4p 2 利润函数l(p) = r(p) - c(p) =2400p-4p 2 -250000，且令 =2400 8p = 0得p =300，该问题确实存在最大值. 所以，当价格为p =300元时，利润最大. （2）最大利润 （元）4某厂生产某种产品q件时的总成本函数为c(q) = 20+4q+0.01q2（元），单位销售价格为p = 14-0.01q（元/件），试求：（1）产量为多少时可使利润达到最大？（2）最大利润是多少？ 4解 （1）由已知利润函数则，令，解出唯一驻点.因为利润函数存在着最大值，所以当产量为250件时可使利润达到最大， （2）最大利润为 （元 5某厂每天生产某种产品件的成本函数为（元）.为使平均成本最低，每天产量应为多少？此时，每件产品平均成本为多少？ 5. 解 因为 = （） = 令=0，即=0，得=140，= -140（舍去）.=140是在其定义域内的唯一驻点，且该问题确实存在最小值. 所以=140是平均成本函数的最小值点，即为使平均成本最低，每天产量应为140件. 此时的平均成本为 =176 （元/件） 6已知某厂生产件产品的成本为（万元）问：要使平均成本最少，应生产多少件产品？ 6解 （1） 因为 = = 令=0，即，得=50，=-50（舍去）， =50是在其定义域内的唯一驻点 所以，=50是的最小值点，即要使平均成本最少，应生产50件产品7设生产某种产品个单位时的成本函数为：（万元）,求：（1）当时的总成本、平均成本和边际成本； （2）当产量为多少时，平均成本最小？解（1）因为总成本、平均成本和边际成本分别为：， 所以， ， （2）令 ，得（舍去） 因为是其在定义域内唯一驻点，且该问题确实存在最小值，所以当20时，平均成本最小. 8某厂生产某种产品q件时的总成本函数为c(q) = 20+4q+0.01q2（元），单位销售价格为p = 14-0.01q（元/件），问产量为多少时可使利润达到最大？最大利润是多少.解 由已知利润函数 则，令，解出唯一驻点.因为利润函数存在着最大值，所以当产量为250件时可使利润达到最大， 且最大利润为 （元） 9某厂每天生产某种产品件的成本函数为（元）.为使平均成本最低，每天产量应为多少？此时，每件产品平均成本为多少？ 解 因为 = （） = 令=0，即=0，得=140，= -140（舍去）.=140是在其定义域内的唯一驻点，且该问题确实存在最小值. 所以=140是平均成本函数的最小值点，即为使平均成本最低，每天产量应为140件. 此时的平均成本为 =176 （元/件） 10某厂生产一批产品，其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为60元，对这种产品的市场需求规律为（为需求量，为价格）试求： （1）成本函数，收入函数； （2）产量为多少吨时利润最大？解 （1）成本函数= 60+2000 因为 ，即， 所以 收入函数=()= （2）因为利润函数=- =-(60+2000) = 40-2000 且 =(40-2000=40- 0.2令= 0，即40- 0.2= 0，得= 200，它是在其定义域内的唯一驻点 所以，= 200是利润函数的最大值点，即当产量为200吨时利润最大经济数学基础线性代数一、单项选择题1设a为矩阵，b为矩阵，则下列运算中（ a ）可以进行. aab babt ca+b dbat 2设为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ b ）a. b. c. d. 3设为同阶可逆方阵，则下列说法正确的是（d ）a. 若ab = i，则必有a = i或b = i b.c. 秩秩秩 d. 4设均为n阶方阵，在下列情况下能推出a是单位矩阵的是（ d ） a b c d5设是可逆矩阵，且，则（c ）.a. b. c. d. 6设，是单位矩阵，则 （ d ） a b c d7设下面矩阵a, b, c能进行乘法运算，那么（ b ）成立.aab = ac，a 0，则b = c bab = ac，a可逆，则b = c ca可逆，则ab = ba dab = 0，则有a = 0，或b = 08设是阶可逆矩阵，是不为0的常数，则（ c ） a. b. c. d. 9设，则r(a) =（ d ） a4 b3 c2 d1 10设线性方程组的增广矩阵通过初等行变换化为，则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为（ a ） a1 b2 c3 d4 11线性方程组 解的情况是（ a ）a. 无解 b. 只有0解 c. 有唯一解 d. 有无穷多解 12若线性方程组的增广矩阵为，则当（a）时线性方程组无解a b0 c1 d213 线性方程组只有零解，则（ b ）.a. 有唯一解 b. 可能无解 c. 有无穷多解 d. 无解14设线性方程组ax=b中，若r(a, b) = 4，r(a) = 3，则该线性方程组（ b ） a有唯一解 b无解 c有非零解 d有无穷多解15设线性方程组有唯一解，则相应的齐次方程组（ c ） a无解 b有非零解 c只有零解 d解不能确定16设a为矩阵，b为矩阵，则下列运算中（ a ）可以进行.aab babt ca+b dbat17设为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ b ）a. b. c. d. 18设为同阶可逆方阵，则下列说法正确的是（d ）a. 若ab = i，则必有a = i或b = i b.c. 秩秩秩 d. 19设均为n阶方阵，在下列情况下能推出a是单位矩阵的是（ d ）a b c d20设是可逆矩阵，且，则（c ）.a. b. c. d. 21设，是单位矩阵，则 （ d ）a b c d22设下面矩阵a, b, c能进行乘法运算，那么（ b ）成立.aab = ac，a 0，则b = c bab = ac，a可逆，则b = cca可逆，则ab = ba dab = 0，则有a = 0，或b = 023若线性方程组的增广矩阵为，则当（d）时线性方程组有无穷多解a1 b c2 d 24 若非齐次线性方程组amn x = b的( c )，那么该方程组无解a秩(a) n b秩(a)m c秩(a） 秩 () d秩(a）= 秩()25线性方程组 解的情况是（ a ）a. 无解 b. 只有0解 c. 有唯一解 d. 有无穷多解26 线性方程组只有零解，则（b ）.a. 有唯一解 b. 可能无解 c. 有无穷多解 d. 无解27设线性方程组ax=b中，若r(a, b) = 4，r(a) = 3，则该线性方程组（ b ）a有唯一解 b无解 c有非零解 d有无穷多解28设线性方程组有唯一解，则相应的齐次方程组（ c ）a无解 b有非零解 c只有零解 d解不能确定30. 设a, b均为同阶可逆矩阵, 则下列等式成立的是( b ). a. (ab)t = atbt b. (ab)t = btat c. (ab t)-1 = a-1(bt)1 d. (ab t)-1 = a-1(b1) t 解析：(ab )-1b-1 a-1(ab)t = btat故答案是b31. 设a= (1 2), b= (-1 3), e是单位矩阵, 则atb e ( a ). a. b. c. d. 解析：atb e32. 设线性方程组ax = b的增广矩阵为, 则此线性方程组一般解中自由未知量的个数为( a ). a. 1 b. 2 c. 3 d. 4解析：33. 若线性方程组的增广矩阵为(a, b)=, 则当(d)时线性方程组有无穷多解. a. 1 b. 4 c. 2 d. 解析： 34. 线性方程组 解的情况是( a ). a. 无解b. 只有零解 c. 有惟一解 d. 有无穷多解解析：35. 以下结论或等式正确的是（ c ） a若均为零矩阵，则有b若，且，则 c对角矩阵是对称矩阵 d若，则 36. 设为矩阵，为矩阵，且乘积矩阵有意义，则为（ a ）矩阵 a b c d 37. 设均为阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（c ） a， b c d 38. 下列矩阵可逆的是（ a ） a b c d 39. 矩阵的秩是（ b ） a0 b1 c2 d3 二、填空题1两个矩阵既可相加又可相乘的充分必要条件是 与是同阶矩阵2计算矩阵乘积=43若矩阵a = ，b = ，则atb=4设为矩阵，为矩阵，若ab与ba都可进行运算，则有关系式 5设，当 0 时，是对称矩阵.6当 时，矩阵可逆.7设为两个已知矩阵，且可逆，则方程的解 8设为阶可逆矩阵，则(a)= n 9若矩阵a =，则r(a) = 2 10若r(a, b) = 4，r(a) = 3，则线性方程组ax = b无解11若线性方程组有非零解，则-112设齐次线性方程组，且秩(a) = r n，则其一般解中的自由未知量的个数等于 n-r 13齐次线性方程组的系数矩阵为则此方程组的一般解为 (其中是自由未知量) 14线性方程组的增广矩阵化成阶梯形矩阵后为则当 =-1 时，方程组有无穷多解.15若线性方程组有唯一解，则只有0解 . 16两个矩阵既可相加又可相乘的充分必要条件是 . 答案：同阶矩阵17若矩阵a = ，b = ，则atb=答案18设，当 时，是对称矩阵. 答案：19当 时，矩阵可逆. 答案：20设为两个已知矩阵，且可逆，则方程的解答案：21设为阶可逆矩阵，则(a)= 答案：22若矩阵a =，则r(a) = 答案：223若r(a, b) = 4，r(a) = 3，则线性方程组ax = b答案：无解24若线性方程组有非零解，则答案：25设齐次线性方程组，且秩(a) = r n，则其一般解中的自由未知量的个数等于答案：26齐次线性方程组的系数矩阵为则此方程组的一般解为 .答案： (其中是自由未知量)27线性方程组的增广矩阵化成阶梯形矩阵后为则当 时，方程组有无穷多解. 答案：28. 计算矩阵乘积= 4 . 29. 设a为阶可逆矩阵, 则(a)= n . 30. 设矩阵a =, e为单位矩阵, 则(e a) t= 31. 若线性方程组有非零解, 则 1 . 32. 若线性方程组ax=b(b o)有惟一解, 则ax=o无非零解 .33.设矩阵，则的元素.答案：334.设均为3阶矩阵，且，则=. 答案：35. 设均为阶矩阵，则等式成立的充分必要条件是 .答案：36. 设均为阶矩阵，可逆，则矩阵的解.答案：37. 设矩阵，则.答案：三、计算题 1设矩阵，求1解 因为 = =所以 = 2设矩阵 ，计算 2解：= = = 3设矩阵a =，求 3解 因为 (a i )= 所以 a-1 = 4设矩阵a =，求逆矩阵 4解 因为(a i ) = 所以 a-1= 5设矩阵 a =，b =，计算(ab)-1 5解 因为ab = (ab i ) = 所以 (ab)-1= 6设矩阵 a =，b =，计算(ba)-1 6解 因为ba= (ba i )= 所以 (ba)-1= 7解矩阵方程7解 因为 即 所以，x = 8解矩阵方程. 8解：因为 即 所以，x = 9设线性方程组 讨论当a，b为何值时，方程组无解，有唯一解，有无穷多解. 9解 因为 所以当且时，方程组无解； 当时，方程组有唯一解； 当且时，方程组有无穷多解. 10设线性方程组 ，求其系数矩阵和增广矩阵的秩，并判断其解的情况. 10解 因为 所以 r(a) = 2，r() = 3. 又因为r(a) r()，所以方程组无解. 11求下列线性方程组的一般解： 11解 因为系数矩阵 所以一般解为 （其中，是自由未知量） 12求下列线性方程组的一般解： 12解 因为增广矩阵 所以一般解为 （其中是自由未知量） 13设齐次线性方程组问l取何值时方程组有非零解，并求一般解. 13解 因为系数矩阵 a = 所以当l = 5时，方程组有非零解. 且一般解为 （其中是自由未知量） 14当取何值时，线性方程组 有解？并求一般解.14解 因为增广矩阵 所以当=0时，线性方程组有无穷多解，且一般解为： 是自由未知量15已知线性方程组的增广矩阵经初等行变换化为问取何值时，方程组有解？当方程组有解时，求方程组的一般解.15解：当=3时，方程组有解. 当=3时， 一般解为， 其中, 为自由未知量.16设矩阵 a =，b =，计算(ba)-1解 因为ba= (ba i )= 17设矩阵，是3阶单位矩阵，求解：由矩阵减法运算得 利用初等行变换得即 18设矩阵，求解：利用初等行变换得即 由矩阵乘法得 19求解线性方程组的一般解 解：将方程组的系数矩阵化为阶梯形一般解为 (是自由未知量) 20求当取何值时，线性方程组有解，在有解的情况下求方程组的一般解解 将方程组的增广矩阵化为阶梯形所以，当时，方程组有解，且有无穷多解，答案：其中是自由未知量 21求当取何值时，线性方程组解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形 当时，方程组有解，且方程组的一般解为 其中为自由未知量 22计算解 =23设矩阵，求。解 因为所以（注意：因为符号输入方面的原因，在题4题7的矩阵初等行变换中，书写时应把（1）写成；（2）写成；（3）写成；）24设矩阵，确定的值，使最小。解：当时，达到最小值。25求矩阵的秩。解： 。26求下列矩阵的逆矩阵：（1）解： （2）a =解：a-1 = 27设矩阵，求解矩阵方程解： = 四、证明题1试证：设a，b，ab均为n阶对称矩阵，则ab =ba1证 因为at = a，bt = b，(ab)t = ab 所以 ab = (ab)t = bt at = ba 2试证：设是n阶矩阵，若= 0，则2证 因为 = = 所以 3已知矩阵 ，且，试证是可逆矩阵，并求. 3. 证 因为，且，即，得，所以是可逆矩阵，且. 4. 设阶矩阵满足，证明是对称矩阵.4. 证 因为 =所以是对称矩阵.5设a，b均为n阶对称矩阵，则abba也是对称矩阵 5证 因为 ，且 所以 abba是对称矩阵 6、试证：若都与可交换，则，也与可交换。证：， 即 也与可交换。 即 也与可交换. 7试证：对于任意方阵，是对称矩阵。证： 是对称矩阵。= 是对称矩阵。是对称矩阵. 8设均为阶对称矩阵，则对称的充分必要条件是：。证： 必要性： ， 若是对称矩阵，即而 因此充分性： 若，则是对称矩阵. 9设为阶对称矩阵，为阶可逆矩阵，且，证明是对称矩阵。 证： 是对称矩阵. 证毕. 经济数学基础积分学一、单项选择题1在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（ a ） ay = x2 + 3 by = x2 + 4 cy = 2x + 2 dy = 4x 2. 若= 2，则k =（ a ） a1 b-1 c0 d 3下列等式不成立的是（ d ） a b c d 4若，则=（d ）.a. b. c. d. 5. （ b ） a b c d 6. 若，则f (x) =（ c ） a b- c d- 7. 若是的一个原函数，则下列等式成立的是( b ) a bc d 8下列定积分中积分值为0的是（ a ） a b c d 9下列无穷积分中收敛的是（ c ） a b c d10设(q)=100-4q ，若销售量由10单位减少到5单位，则收入r的改变量是（ b ） a-550 b-350 c350 d以上都不对 11下列微分方程中，（ d ）是线性微分方程 a b c d 12微分方程的阶是（c ）.a. 4 b. 3 c. 2 d. 113在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点（1, 3）的曲线为（ c ）a b c d 14下列函数中，（ c ）是的原函数a- b c d 15下列等式不成立的是（ d ） a b c d 16若，则=（d ）.a. b. c. d. 17. （ b ） ab c d 18. 若，则f (x) =（ c ）a b- c d- 19. 若是的一个原函数，则下列等式成立的是( b ) a bc d 20下列定积分中积分值为0的是（ a ） a b c d 21下列无穷积分中收敛的是（ c ） a b c d 22下列微分方程中，（ d ）是线性微分方程 a b c d 23微分方程的阶是（c ）.a. 4 b. 3 c. 2 d. 124.设函数，则该函数是（ a ）.a. 奇函数 b.偶函数 c.非奇非偶函数 d.既奇又偶函数25. 若，则( a )a. b. c. d. 26. 曲线在处的切线方程为( a ). a b c d 27. 若的一个原函数是, 则=（d） ab c d 28. 若, 则（ c ）. a. b. c. d. 二、填空题1 2函数的原函数是-cos2x + c (c 是任意常数) 3若，则.4若，则= .50. 607无穷积分是收敛的（判别其敛散性）8设边际收入函数为(q) = 2 + 3q，且r (0) = 0，则平均收入函数为2 + 9. 是 2 阶微分方程. 10微分方程的通解是1112。答案：13函数f (x) = sin2x的原函数是14若，则. 答案：15若，则= . 答案：16. 答案：017答案：018无穷积分是答案：1 19. 是 阶微分方程. 答案：二阶20微分方程的通解是答案： 21. 函数的定义域是(-2,-1)u(-1,222. 若，则4 23. 已知，则=27+27 ln324. 若函数在的邻域内有定义，且则1.25. 若, 则-1/2 (三) 判断题11. . ( )12. 若函数在点连续，则一定在点处可微. ( ) 13. 已知，则= （ ）14. . （ ）. 15. 无穷限积分是发散的. ( 三、计算题 解 2 2解 3 3解 4 4解 = =5 5解 = = 6 6解 7 7解 = 88解 =-=9 9解法一 = =1 解法二 令，则 =10求微分方程满足初始条件的特解10解 因为 ， 用公式 由 ， 得 所以，特解为 11求微分方程满足初始条件的特解11解 将方程分离变量： 等式两端积分得 将初始条件代入，得 ，c = 所以，特解为： 12求微分方程满足 的特解. 12解：方程两端乘以，得 即 两边求积分，得 通解为： 由，得 所以，满足初始条件的特解为： 13求微分方程 的通解13解 将原方程分离变量 两端积分得 lnlny = lnc sinx 通解为 y = ec sinx 14求微分方程的通解.14. 解 将原方程化为：，它是一阶线性微分方程， ，用公式 15求微分方程的通解 15解 在微分方程中，由通解公式 16求微分方程的通解 16解：因为，由通解公式得 = = = 17 解 = = 18 解： 19解：= 20 解： =（答案： 21 解： 22 解 =23