函数法证明不 等式(精选多篇)

-精选财经经济类资料- 函数法证明不等式(精选多篇) 函数法证明不等式已知函数f=x-sinx,数列an满足0证明0证明an+1它提示是构造一个函数然后做差求导，确定单调性。可是还是一点思路都没有，各位能不能给出具体一点的解答过程啊?f=x-sinx,f=1-cosx00,f是增函数,f因为0且an+1=an-sinan求证不等式即an-an+1=an-an+sinan0构造函数g=x-x+sinx=x-sinx,由知g0,所以g单增,gg=0所以g单增且gg=0,故不等式成立因此an+1证毕!构造分式函数，利用分式函数的单调性证明不等式证明不等式：证明：构造函数f=则f=1-在上单调递增f=f=且|a|+|b|a+b|ff即所证不等式正确。点评：本题还可以继续推广。如：求证：。利用分式函数的单调性可以证明的教材中的习题还有很多，如：p14第14题：已知cab0,求证:p19第9题:已知三角形三边的长是a，b，c，且m是正数，求证：p12例题2:已知a，b，m，都是正数，且a二、利用分式函数的奇偶性证明不等式证明不等式：证明：构造函数f=f=ff是偶函数，其图像关于y轴对称。当x0时，当x0,故f=f三、构造一次函数，利用一次函数的单调性证明不等式已知|a|a|-10f的上是增函数f=1-ab+a+b-2=a+bab-1=a-=fa+b+c。构造函数法证明不等式河北省 赵春祥不等式证明是中学数学的重要内容之一由于证明不等式没有固定的模式，证法灵活多样，技巧性强，使其成为各种考试命题的热点问题，函数法证明不等式就是其常见题型即有些不等式可以和函数建立直接联系，通过构造函数式，利用函数的有关特性，完成不等式的证明一、构造一元一次函数证明不等式例1设0x1，0y1，0z1，求证：xyz1证明：构造一次函数f= xyz，整理，得f= x 其中0x1，0x1，0y1，0z1，11yz1当01yz1时，f在上是增函数，于是ff=1yz1；当11yz0时，f在上是减函数，于是ff= yzyz = 11；当1yz = 0，即yz = 1时，f= yzyz = 1yz1综上，原不等式成立例2已知 | a |1 ，| b |1，| c |1，求证：abc2abc证明：构造一次函数f= x2bc，这里， | b |1，| c |1，| x |1，则bc 1 f= 1bc2bc = 0，f= bc12bc =0，1x1，一次函数f= x2bc的图象在x轴上方，这就是说，当| a |1 ，| b |1，| c |1时，有a2bc0，即abc2abc二、构造一元二次函数证明不等式例3若 a、b、cr+ ，求证：a2b2c2abbcca 证明构造函数f= x2xb2c2bc 因为 = 24 =320 ，又因为二次项的系数为正数，所以x2xb2c2bc0对任意实数恒成立 以a 替换 x 得：a2ab2c2bc0， 即 a2b2c2abbc ca例4已知a、b、c、d、e是满足abcde= 8，a2b2c2d2e2= 16的实数，求证：0e165证明：构造一元二次函数f= 4x2a2b2c2d2= 22220，又二次项系数为正数，= 4216 = 42160， 解之得0e165故不等式成立三、构造单调函数证明不等式 例5已知 a0，b0，求证 ：证明： 构造函数f=x1?xa1?ab1?bxa?b1?a?b，易证f=1?x= 11?x当x0 时单调递增 ababab0 ， ff 故a1?ab1?b=a?b?2aba?b?ab1?a?b?ab)14=ff =13n?213n?1a?b1?a?b例6对任意自然数n 求证： 3n?1证明：构造函数f= f33n?1=3n?4=1，f0，ff，即f是自然数集n上的单调递增函数，33n?1龙源期刊网 http:/.cn对构造函数法证明不等式的再研究作者：时英雄来源：理科考试研究高中2014年第10期某刊一文阐述了构造法证明不等式的九个模型，笔者深受启发，对其中作者介绍的构造函数模型进行了挖掘，着重对构造函数模型，利用函数的有关性质解决不等式问题进行了再研究，以供大家参考。构造函数法证明不等式一、构造分式函数，利用分式函数的单调性证明不等式证明不等式：|a|?|b|a?b|1?|a|?|b|1?|a?b|证明：构造函数f=x1?x 则f=x1?x=1-11?x在?0，?上单调递增f=|a|?|b|1?|a|?|b|f=|a?b|1?|a?b|且|a| + |b|a + b|ff即所证不等式正确。二、利用分式函数的奇偶性证明不等式证明不等式：x1?2xx2 证明：构造函数f=x1?2x?x2f=-xx-x?2x1-2-x?2?2x?1?x2?x1?2x?x2?x1?2x?x2=ff是偶函数，其图像关于y轴对称。当x0时，1?2x0，f0；当x0时，-x0,故f=f0 x1-2x?x20，即x1?2xx2三、构造一次函数，利用一次函数的单调性证明不等式已知|a|1，|b|1，|c|1，求证：a + b + cabc + 2。证明：构造函数f=c + a + b-2|a|1，|b|1-1ab1，1-ab0f的上是增函数f=1-ab + a + b -2=a + bab -1=a-=0 f0，即c + a + b-20 a + b + cabc + 2四、构造二次函数利用判别式法证明不等式已知a，b，cr，0，求证：24a。 证明：构造函数f=ax2 + x + 则f=a + b + c，f=2由0知：f?f0 f=0有两个不等的实数根。 0，即24a 当a=0时，显然成立。 24a已知实数a，b，c满足a + b + c = 5，a2 + b2 + c2= 9，求证a，b，c的值都不小于1，又都 不大于213。证明：构造函数f=2x2+ 2 x + a2 + b2=2 + 2 020=2-420=42-80 01c213同理可证：1a21，1b2133。已知a，b，cr，证明：a2 + ac + c2 + 3b0，并指出等号何时成立？证明：令f= a2 + a + c2 + 3b2+ 3bc=2-4=-320 恒成立 二次项系数10f0，即 a2 + ac + c2 + 3b0又当=0，即b + c = 0时f=2= 0 当且仅当a=-b=c时才能取等号。第 1 页 共 2 页利用一元二次方程根的分布证明不等式设a + b + c=1，a2 + b2 + c2 =1，且abc，求证：-13c0证明：a + b + c=1a + b =1- c有a2 + b2 + 2ab=1 - 2c + c2a2 + b2 + c2 =1ab= c2 - ca，b是方程x2-x+c2-c=0的两个实数根abc，故方程有大于c的两个不等的实数根构造函数f= x2-x+c2-c，则有：?2?40?1?cc?2?f0-13c0综合运用判别式法、一元二次方程根的分布证明不等式设a，b是两个不等于0的实数，求证：下列不等式中至少有一个成立。a?a2?2b22b1 ，aa2?2b22b1证明：设f=bx2?ax?b2=2-2b=a2+2b20抛物线与x轴必有两个交点，其横坐标为x=a?a2?2b22bf=b2?af= ?b2f= b2?a当b0时，f0若a0,则f0点a在x轴上方，点b在x轴下方抛物线与x轴在内必有一个交点，此时有aa2?2b22b1 若a0，则f0 点c)在x轴上方 抛物线与x轴在内必有一个交点，此时有 a?a2?2b22b1 当b0时，f0，此时点b在x轴下方，同理可证a点和c点至少有一点 在x轴上方。故两个不等式至少有一个成立。 构造函数法证明不等式，关键在于找到能够反映所要证不等式特征的合适的函数，从而就可以利用该函数的性质去证明不等式。第 2 页 共 2 页构造函数法证明不等式的八种方法1、利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。2、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。 以下介绍构造函数法证明不等式的八种方法：一、移项法构造函数 已知函数f?ln?x，求证：当x?1时，恒有1?1?ln?x x?1分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数1?1，从其导数入手即可证明。 x?11x?1?f?x?1x?1g?ln?当?1?x?0时，f?0，即f在x?上为增函数当x?0时，f?0，即f在x?上为减函数故函数f的单调递增区间为，单调递减区间于是函数f在上的最大值为fmax?f?0，因此，当x?1时，f?f?0，即ln?x?0ln?x ， 现证左面，令g?ln?111x?1， 则g? ?22x?1x?1当x?时,g?0;当x?时,g?0 ，即g在x?上为减函数，在x?上为增函数，故函数g在上的最小值为gmin?g?0，1?1?0 x?111?1?ln?xln?1?，综上可知，当x?1时,有x?1x?1如果f是函数f在区间上的最大值，则有f?f，那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过0就可得证 当x?1时，g?g?0，即ln?2、作差法构造函数证明已知函数f?1223x?lnx. 求证：在区间上，函数f的图象在函数g?x的23第 1 页 共 6 页 图象的下方；分析：函数f的图象在函数g的图象的下方?不等式f?g问题， 12212x?lnx?x3，只需证明在区间上，恒有x2?lnx?x3成立，设23231f?g?f，x?，考虑到f?0 6要证不等式转化变为：当x?1时，f?f，这只要证明： g在区间是增函数即可。2312设f?g?f，即f?x?x?lnx， 32即1则f?2x?x?= xx2当x?1时，f?= x从而f在上为增函数，f?f?当x?1时 g?f?0，即f?g，故在区间上，函数f的图象在函数g?1?0 623x的图象的下方。 3本题首先根据题意构造出一个函数，并利用导数判断所设函数的单调性，再根据函数单调性的定义，证明要证的不等式。读者也可以设f?f?g做一做，深刻体会其中的思想方法。3、换元法构造函数证明111?1)?2?3 都成立. nnn1分析：本题是山东卷的第问，从所证结构出发，只需令?x，则问题转化为：当x?0时，n证明：对任意的正整数n，不等式ln?x?x成立，现构造函数h?x?x?ln，求导即可达到证明。令h?x?x?ln， 32233213x3?2?则h?3x?2x?在x?上恒正， x?1x?12所以函数h在上单调递增，x?时，恒有h?h?0，即x?x?ln?0，ln?x?x对任意正整数n，取x?32231111?，则有ln?2?3 nnnn我们知道，当f在上单调递增，则x?a时，有f?f如果f?，要证明当x?a时，f?，那么，只要令ff?，就可以利用f的单调增性来推导也就是说，在f可导的前提下，只要证明f?即可4、从条件特征入手构造函数证明若函数y=f在r上可导且满足不等式xf?f恒成立，且常数a，b满足ab，求证：afbf由已知 xf?+f0 构造函数 f?xf，则f? xf?+f0， 从而f在r上为增函数。?a?b f?f 即 afbf由条件移项后xf?f，容易想到是一个积的导数，从而可以构造函数f?xf，求导即可完成证明。若题目中的条件改为xf?f，则移项后xf?f，要想到是一个商的导数的分子，平时解题多注意总结。5、主元法构造函数1?x)?x,g?xlnx 例已知函数f?ln 求函数f的最大值； 设0?a?b,证明 ：0?g?g?2g?ln2. 2分析：对于绝大部分的学生都会望而生畏.学生的盲点也主要就在对所给函数用不上.如果能挖掘一下所给函数与所证不等式间的联系，想一想大小关系又与函数的单调性密切相关，由此就可过渡到根据所要证的不等式构造恰当的函数，利用导数研究函数的单调性，借助单调性比较函数值的大小，以期达到证明不等式的目的.证明如下：证明：对g?xlnx求导,则g?lnx?1. 在g?g?2g中以b为主变元构造函数, 2a?xa?xa?x. )?lnx?ln),则f?g?2g?g?g?2g?0,因此f在内为减函数.当x?a时,f?0,因此f在上为增函数.从而当x?a时, f 有极小值f.因为f?0,b?a,所以f?0,即g?g?2g?f?ln2.则g?lnx?lna?b)?0. 2a?x?ln2?lnx?ln. 2当x?0时,g?0.因此g在上为减函数.因为g?0,b?a,所以g?0,即g?g?2g?ae?xa?b)?ln2. 212x 2若f在r上为增函数,求a的取值范围;若a=1,求证:x0时,f1+xx解：f ae，在上为增函数，f对恒成立，-即对恒成立-x记，则=e，当时，当时，知在上为增函数,在上为减函数,g在x=1时,取得最大值，即gmax=g=1/e, a1/e,即a的取值范围是1/e, + )记f=f =e?xx12x?1?x 2则f=e-1-x,xx令h= f=e-1-x,则h=e-1当x0时, h0, h在上为增函数,又h在x=0处连续, hh=0即f0 ,f 在上为增函数,又f在x=0处连续,ff=0,即f1+x小结：当函数取最大值时不等式都成立，可得该不等式恒成立，从而把不等式的恒成立问题可转化为求函数最值问题不等式恒成立问题，一般都会涉及到求参数范围，往往把变量分离后可以转化为m?f)恒成立，于是m大于f的最大值，从而把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题因此，利用导数求函数最值是解决不等式恒成立问题的一种重要方法7.对数法构造函数 例：证明当x?0时,1?1x?e1?x8.构造形似函数例：证明当b?a?e,证明a?bba例：已知m、n都是正整数，且1?m?n,证明：n?m1、 设a?0,f?x?1?lnx?2alnx2求证：当