二元函数极限 证明

-精选财经经济类资料- 二元函数极限证明 2 二元函数的极限 教学目的：掌握二元函数的极限的定义，了解重极限与累次极限的区别与联系 教学内容：二元函数的极限的定义；累次极限基本要求：掌握二元函数的极限的定义，了解重极限与累次极限的区别与联系，熟悉判别极限存在性的基本方法 较高要求：掌握重极限与累次极限的区别与联系，能用来处理极限存在性问题 教学建议： 要求学生弄清一元函数极限与多元函数极限的联系与区别，教会他们求多元函数极限的方法 对较好学生讲清重极限与累次极限的区别与联系，通过举例介绍判别极限存在性的较完整的方法一二元函数的极限先回忆一下一元函数的极限： limf?a 的“?” 定义：x?x00设函数f在x0的某一空心邻域u内由定义，如果对?0,当 x?u，即 |x?x0|? 时，都有 |f?a|?，?0,?1，则称x?x0时，函数f的极限是 a.类似的，我们也可以定义二元函数的极限如下：设二元函数f为定义在d?r2上的二元函数，在点p0为d的一个聚点，a是一个确定的常数，如果对 ?0,?0，使得当 p?u?d 时，0都有 |f?a|?，则称f在d上当 p?p0时，以a为极限。记作p?p0p?dlimf?a也可简写为limf?a或p?p0?2limf?a 例1用定义验证2lim?2?7 222证明:|x?xy?y?7|?|x?x?6?xy?x?y?1|?|x?3|x?2|?|x?y?1|y?1|限制在 的邻域 |x?2|?1,|y?1|?1|x?3|?6,|x?y?1|?6取 ?min1,?/6，则有|x?xy?y|?由二元函数极限定义lim?72222?x?y,?xy22例2 f?x?y，?0,?证明lim?f?0x?yx?y2222证|f|?|xy所以lim?|?|xy|lim?|f|?lim?|xy|?0|f|?0对于二元函数的极限的定义，要注意下面一点：p?p0limf?a 是指： p以任何方式趋于p0，包括沿任何直线，沿任何曲线趋于p0 时，f必须趋于同一确定的常数。对于一元函数，x 仅需沿x轴从x0的左右两个方向趋于x0，但是对于二元函数，p趋于p0的路线有无穷多条，只要有两条路线，p趋于p0时，函数f的值趋于不同的常数，二元函数在p0点极限就不存在。?1,0?y?x2例1 二元函数f?0,rest请看图像，尽管p沿任何直线趋于原点时f都趋于零，但也不能说该函数在原点的极限就是零，因为当p沿抛物线 y?kx,0?k?1时， f的值趋于而不趋于零，所以极限不存在。.?x2y,?例2设函数f?x2?y2?0,?求证limf?0x?0y?0证明因为|f?0|?x|y|x?y?x|y|x?|y|所以， 当 ?时， f?0。请看它的图像，不管p沿任何方向趋于原点，f的值都趋于零。通常为证明极限limf不存在,可证明沿某个方向的极限不存在 , 或证明沿某两p?p0个方向的极限不相等, 或证明方向极限与方向有关 .但应注意 ,沿任何方向的极限存在且相等 ? 全面极限存在. 例3设函数?xy,?22f?x?y?0,?证明函数 f在原点处极限不 存在。证明尽管 p沿 轴和轴趋于原点时 的值都趋于零， 但沿直线y?mx 趋于原点时x?mxx?f?mx22x?m1?m沿斜率不同的直线趋于原点时极限不一样，请看它的图象, 例沿任何路线趋于原点时，极限都是0，但例沿不同的路线趋于原点时，函数趋于不同的值，所以其极限不存在。例4非正常极限极限lim?判别函数f?xy?1?1x?y在原点是否存在极限.f?的定义:12x?3y例1设函数f?证明limf?x?0y?0证|12x?3y|?|13|只要取?16m|x?0|?,|y?0|?时，都有|12x?3y16?22|?|13|?m12x?3y请看它的图象，因此是无穷大量。例2求下列极限: i)limxyx?y22;ii)?limsinxyy;iii)?limxy?1?1xy;iv)?limlnx?y22.二.累次极限: 累次极限前面讲了p以任何方式趋于p0时的极限，我们称它为二重极限，对于两个自变量x,y依一定次序趋于x0,y0时 f的极限，称为累次极限。 对于二元函数f在p0的累次极限由两个limlimf和limlimfy?y0x?x0x?x0y?y0例1f?xyx?yx?yx?y222, 求在点的两个累次极限.22例2 f?, 求在点的两个累次极限 .例3 f?xsin1y?ysin1x, 求在点的两个累次极限 .二重极限与累次极限的关系:两个累次极限可以相等也可以不相等，所以计算累次极限时一定要注意不能随意改变它们的次序 。例函数 f?x?y?x?yx?y22的两个累次极限是 y?yyx?xx22limlimx?y?x?yx?yx?y?x?yx?yy?0x?0?limy?0?lim?1y?0?lim?1x?0limlimx?0y?0?limx?0两个累次极限即使都存在而且相等，也不能保证二重极限存在 例f?xyx?yxyx?y， 两个累次极限都存在limlimy?0x?0?0,limlimxyx?yx?0y?0?0但二重极限却不存在，事实上若点p沿直线 y?kx趋于原点时，kxf?x?k1?k二重极限存在也不能保证累次极限存在二重极限存在时,两个累次极限可以不存在.例函数 f?xsin1y?ysin1x由|f| ? |x|?|y|?0 ,?.可见二重极限存在 ,但1xlimsinx?0和lim