材料力学弯曲应力

Chapter5 Stresses in beamsChapter5 Stresses in beams . (Stresses in Beams)(Stresses in Beams) 5-1 5-1 引言引言 ( Introduction)( Introduction) 5-2 5-2 纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力 (Normal stresses in pure beams )(Normal stresses in pure beams ) 5-3 5-3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力(Normal (Normal stresses in transverse bending )stresses in transverse bending ) 5-4 5-4 梁的切应力及强度条件梁的切应力及强度条件 (Shear stresses (Shear stresses in beams and strength condition)in beams and strength condition) 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力 (Stresses in beams)(Stresses in beams) 5-55-5 提高梁强度的主要措施提高梁强度的主要措施（MeasuresMeasures to strengthen the strength of beams) to strengthen the strength of beams) (Stresses in Beams)(Stresses in Beams) m m F FS S M 一一、弯曲构件横截面上的应力弯曲构件横截面上的应力 (Stresses in flexural members)(Stresses in flexural members) 当梁上有横向外力作用时，一般情况下当梁上有横向外力作用时，一般情况下 ，梁的横截面上既又弯矩，梁的横截面上既又弯矩MM，又有剪力又有剪力F F S S. . 5-15-1 引言引言 (Introduction)(Introduction) m m F FS S m m M 只有与正应力有关的法向内力元素只有与正应力有关的法向内力元素 d dF FN N = = d dA A 才能合成弯矩才能合成弯矩. . 弯矩弯矩MM 正应力正应力 剪力剪力F F S S 切应力切应力 内力内力 只有与切应力有关的切向内力元素只有与切应力有关的切向内力元素 d dF F S S = = d dA A 才能合成才能合成剪力；剪力； 所以，在梁的横截面上一般既有正应力所以，在梁的横截面上一般既有正应力， 又有切应力又有切应力. . (Stresses in Beams)(Stresses in Beams) 二、分析方法二、分析方法 (Analysis method)(Analysis method) 平面弯曲时横截面平面弯曲时横截面 纯弯曲梁纯弯曲梁( (横截面上只有横截面上只有MM而无而无F F S S 的情况的情况) ) 平面弯曲时横截面平面弯曲时横截面 横力弯曲横力弯曲( (横截面上既有横截面上既有F F S S 又有又有MM的情况的情况) ) 简支梁简支梁CDCD段任一横截面上，剪力段任一横截面上，剪力 等于零，而弯矩为常量，所以该段梁等于零，而弯矩为常量，所以该段梁 的弯曲就是的弯曲就是纯弯曲纯弯曲. . 若梁在某段内各横截面的弯矩为若梁在某段内各横截面的弯矩为 常量，剪力为零，则该段梁的弯曲就常量，剪力为零，则该段梁的弯曲就 称为纯弯曲称为纯弯曲. . 三、纯弯曲三、纯弯曲（Pure bending)Pure bending) + + F F + Fa FF aa C D AB (Stresses in Beams)(Stresses in Beams) deformationdeformation geometricgeometric relationshiprelationship Examine the deformationExamine the deformation， then propose the hypothesisthen propose the hypothesis Distribution regularity Distribution regularity of deformationof deformation Distribution regularity Distribution regularity of stressof stress Establish the formulaEstablish the formula 变形几何关系变形几何关系物理关系物理关系静力关系静力关系 观察变形，观察变形， 提出假设提出假设 变形的分布规律变形的分布规律 应力的分布规律应力的分布规律 建立公式建立公式 physicalphysical relationshiprelationship staticstatic relationshiprelationship 5-25-2 纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力 (Normal stresses in pure beams )(Normal stresses in pure beams ) (Stresses in Beams)(Stresses in Beams) 一、实验一、实验（ ExperimentExperiment） 1.1.变形现象变形现象（Deformation phenomenon )Deformation phenomenon ) 纵向线纵向线 且靠近顶端的纵向线缩短，且靠近顶端的纵向线缩短， 靠近底端的纵向线段伸长靠近底端的纵向线段伸长. . 相对转过了一个角度，相对转过了一个角度， 仍与变形后的纵向弧线垂直仍与变形后的纵向弧线垂直. . 各横向线仍保持为直线，各横向线仍保持为直线， 各纵向线段弯成弧线，各纵向线段弯成弧线， 横向线横向线 (Stresses in Beams)(Stresses in Beams) 2.2.提出假设提出假设 ( Assumptions( Assumptions） （a a）平面假设：变形前为平面的横截面）平面假设：变形前为平面的横截面 变形后仍保持为平面且垂直于变形变形后仍保持为平面且垂直于变形 后的梁轴线；后的梁轴线； （b b）单向受力假设：纵向纤维不相互挤）单向受力假设：纵向纤维不相互挤 压，只受单向拉压压，只受单向拉压. . 推论：推论：必有一层变形前后长度不变的纤维必有一层变形前后长度不变的纤维中性层中性层 中性轴中性轴 横截面对称轴横截面对称轴 中性轴 横截面对称轴横截面对称轴 中性层中性层 (Stresses in Beams)(Stresses in Beams) dx 图（图（b b） y z x O 应变分布规律：应变分布规律： 直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比. . 图（图（a a） d dx x 二、变形几何关系二、变形几何关系（ Deformation geometric relation Deformation geometric relation ） 图（图（c c） y z y x O O b b y bb O O (Stresses in Beams)(Stresses in Beams) 三、物理关系三、物理关系( (Physical relationship)Physical relationship) 所以所以 Hookes LawHookes LawMM y z O x 直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴 的距离成正比的距离成正比. . 应力分布规律：应力分布规律： ? ? 待解决问题待解决问题 中性轴的位置中性轴的位置 中性层的曲率半径中性层的曲率半径 r r ? ? ? ? (Stresses in Beams)(Stresses in Beams) y z x O M d dA A z yddA A 四、静力关系四、静力关系 (Static relationship(Static relationship） 横截面上内力系为垂直于横截横截面上内力系为垂直于横截 面的空间平行力系，面的空间平行力系，这一力系简化这一力系简化 得到三个内力分量得到三个内力分量. . FN Mz My 内力与外力相平衡可得内力与外力相平衡可得 （1 1） （2 2） （3 3） (Stresses in Beams)(Stresses in Beams) 将应力表达式代入（将应力表达式代入（1 1）式，得）式，得 将应力表达式代入（将应力表达式代入（2 2）式，得）式，得 将应力表达式代入将应力表达式代入(3)(3)式，得式，得 中性轴通过横截面形心中性轴通过横截面形心 自然满足自然满足 (Stresses in Beams)(Stresses in Beams) 将将代入代入 得到得到纯弯曲时横截面上正应力的计算公式纯弯曲时横截面上正应力的计算公式: : MM为梁横截面上的弯矩；为梁横截面上的弯矩； y y为梁横截面上任意一点到中性轴的距离；为梁横截面上任意一点到中性轴的距离； I Iz z 为梁横截面对中性轴的惯性矩为梁横截面对中性轴的惯性矩. . (Stresses in Beams)(Stresses in Beams) 讨论 （1 1）应用公式时，一般将）应用公式时，一般将 MyMy 以绝对值代入以绝对值代入. . 根据梁变形的情根据梁变形的情 况直接判断况直接判断 的正负号的正负号. . 以中性轴为界，梁变形后凸出边的应以中性轴为界，梁变形后凸出边的应 力为拉应力力为拉应力( ( 为正号为正号). ).凹入边的应力为压应力凹入边的应力为压应力（ 为负号为负号）；）； （2 2）最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处）最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处. . 则公式改写为则公式改写为 引用记号引用记号抗弯截面系数抗弯截面系数 (Stresses in Beams)(Stresses in Beams) （1 1）当中性轴为对称轴时）当中性轴为对称轴时 矩形截面矩形截面 实心圆截面实心圆截面 空心圆截面空心圆截面 b h z y z d y z D d y (Stresses in Beams)(Stresses in Beams) z y （2 2）对于中性轴不是对称轴的横截面）对于中性轴不是对称轴的横截面 M 应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离 和和 直接代入公式直接代入公式 (Stresses in Beams)(Stresses in Beams) 当梁上有横向力作用时，横截面上既又弯矩又有剪力当梁上有横向力作用时，横截面上既又弯矩又有剪力. .梁在梁在 此种情况下的弯曲称为横力弯曲此种情况下的弯曲称为横力弯曲. . 5-35-3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力 ( (Normal stresses of the beam in nonuniform bending)Normal stresses of the beam in nonuniform bending) 横力弯曲时，梁的横截面上既有正应力又有切应力横力弯曲时，梁的横截面上既有正应力又有切应力. .切应力切应力 使横截面发生翘曲，使横截面发生翘曲， 横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压 应力，纯弯曲时所作的平面假设和单向受力假设都不成立应力，纯弯曲时所作的平面假设和单向受力假设都不成立. . 一、横力弯曲一、横力弯曲(Nonuniform bending)(Nonuniform bending) 虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异，但进一步的分析表虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异，但进一步的分析表 明，工程中常用的梁，纯弯曲时的正应力计算公式，可以精确的明，工程中常用的梁，纯弯曲时的正应力计算公式，可以精确的 计算横力弯曲时横截面上的正应力计算横力弯曲时横截面上的正应力. . 等直梁横力弯曲时横截面上的正应力公式为等直梁横力弯曲时横截面上的正应力公式为 (Stresses in Beams)(Stresses in Beams) 二、公式的应用范围二、公式的应用范围 (The applicable range of the flexure formula )(The applicable range of the flexure formula ) 1.1.在弹性范围内在弹性范围内 (All stresses in the beam are below the proportional limit)(All stresses in the beam are below the proportional limit) 3.3.平面弯曲平面弯曲（Plane bendingPlane bending） 4.4.直梁直梁（Straight beamsStraight beams） 2.2.具有切应力的梁具有切应力的梁（The beam with the shear stressThe beam with the shear stress） 三、强度条件三、强度条件（Strength condition)Strength condition) 1.1.数学表达式数学表达式（Mathematical formula)Mathematical formula) 梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力. . (Stresses in Beams)(Stresses in Beams) 2.2.强度条件的应用强度条件的应用(Application of strength condition)(Application of strength condition) （2 2）设计截面）设计截面 （3 3）确定许可载荷）确定许可载荷 （1 1） 强度校核强度校核 对于铸铁等脆性材料制成的梁，由于材料的对于铸铁等脆性材料制成的梁，由于材料的 且梁横截面的且梁横截面的中性轴中性轴一般也不是对称轴，所以梁的一般也不是对称轴，所以梁的 （两者有时并不发生在同一横截面上）（两者有时并不发生在同一横截面上） 要求分别不超过材料的许用拉应力和许用压应力要求分别不超过材料的许用拉应力和许用压应力 (Stresses in Beams)(Stresses in Beams) 例题例题1 1 螺栓压板夹紧装置如图所示螺栓压板夹紧装置如图所示. .已知板长已知板长3 3a a150mm150mm，压板，压板 材料的弯曲许用应力材料的弯曲许用应力 140MP.140MP.试计算压板传给工件的最大允试计算压板传给工件的最大允 许压紧力许压紧力F F. . A C B F a 2a 20 30 14 FRA FRB + + Fa 解：（解：（1 1）作出弯矩图的最大弯）作出弯矩图的最大弯 矩为矩为FaFa； （2 2）求惯性矩，抗弯截面系数）求惯性矩，抗弯截面系数 （3 3）求许可载荷）求许可载荷 (Stresses in Beams)(Stresses in Beams) 80 y1 y2 20 20120 z 例题例题2 T2 T形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示. . 铸铁的许用铸铁的许用 拉应力为拉应力为 t t = 30MPa = 30MPa ，许用压应力为许用压应力为 c c =160MPa. =160MPa. 已知截面已知截面 对形心轴对形心轴z z的惯性矩为的惯性矩为 I I z z =763cm=763cm 4 4 ， y y1 1 =52mm =52mm，校核梁的强度校核梁的强度. . F1=9kNF2=4kN A CB D 1m1m1m (Stresses in Beams)(Stresses in Beams) FRAFRB F1=9kNF2=4kN A CB D 1m1m1m - + 4kN 2.5kN 解：解： 最大正弯矩在截面最大正弯矩在截面C C上上 最大负弯矩在截面最大负弯矩在截面B B上上 B B截面截面 C C截面截面 80 y1 y2 20 20120 z (Stresses in Beams)(Stresses in Beams) 例题例题3 3 由由 n n 片薄片组成的梁，当每片薄片组成的梁，当每 片间的磨擦力甚小时，每一薄片就片间的磨擦力甚小时，每一薄片就 独立弯曲，近似地认为每片上承担独立弯曲，近似地认为每片上承担 的外力等于的外力等于 z b F l h 解：每一薄片中的最大正应力解：每一薄片中的最大正应力 z b Fl h 若用刚度足够的螺栓将薄片联紧，杆就会象整体梁一样弯曲若用刚度足够的螺栓将薄片联紧，杆就会象整体梁一样弯曲 最大正应力等于最大正应力等于 (Stresses in Beams)(Stresses in Beams) 一、梁横截面上的切应力一、梁横截面上的切应力（Shear stresses in beamsShear stresses in beams） 1.1.矩形截面梁矩形截面梁(Beam of rectangular cross section)(Beam of rectangular cross section) 5-45-4 梁的切应力及强度条件梁的切应力及强度条件(S (Shear hear stresses in beams and strength condition) stresses in beams and strength condition) （1 1）两个假设）两个假设(Two assumptions)(Two assumptions) （a a）切应力与剪力平行；切应力与剪力平行； （b b）切应力沿截面宽度均匀分布）切应力沿截面宽度均匀分布 （距中性轴等距离处切应力相等）（距中性轴等距离处切应力相等） . . q(x) F1F2 (Stresses in Beams)(Stresses in Beams) （2 2）分析方法）分析方法(Analysis (Analysis method)method)（a a）用横截面用横截面mm- -mm , , n n- -n n从梁中截取从梁中截取 d dx x一段一段. .两横截面上的弯矩不等两横截面上的弯矩不等. . 所所 以两截面同一以两截面同一y y处的正应力也不等；处的正应力也不等； （b b）假想地从梁段上截出体积元素假想地从梁段上截出体积元素 mBmB1 1， ，在两端面 在两端面mAmA 1 1 ，nBnB 1 1 上两个法向上两个法向 内力不等内力不等. . q(x) F1F2 m m n n xdx m n n m x y z O b dx m m h n y A B A1B1 A B B1 A1 mn x z y y mm FN2 FN1 (Stresses in Beams)(Stresses in Beams) m n n m x y z O y A B A1 B1 b dx m m h n （c c）在纵截面上必有沿）在纵截面上必有沿 x x 方向的切向内力方向的切向内力d dF F S S . .故在此面上就有故在此面上就有 切应力切应力. . 根据假设，横截面上距中性轴等远的各点处切应力大小相根据假设，横截面上距中性轴等远的各点处切应力大小相 等等. . 各点的切应力方向均与截面侧边平行各点的切应力方向均与截面侧边平行. .取分离体的平衡即可取分离体的平衡即可 求出求出. . A B B1 A1 mn x z y y FN1 FN2 dFS mm (Stresses in Beams)(Stresses in Beams) A B B1 A1 mn x z y y m FN1 FN2 dFS （3 3）公式推导）公式推导(Derivation of the formula)(Derivation of the formula) 假设假设mm- -mm，n n- -n n上的弯矩为上的弯矩为MM和和MM+d+dMM， 两截面上距中性轴两截面上距中性轴 y y 1 1 处的正应力为处的正应力为 1 1 和和 2 2 . . A A1 1 为距中性轴为为距中性轴为y y的横线以外部分的横截面面积的横线以外部分的横截面面积. .式中：式中： 为面积为面积A A 1 1 对中性轴的静矩对中性轴的静矩. . A A1 1 (Stresses in Beams)(Stresses in Beams) 化简后得化简后得 由平衡方程由平衡方程 A A1 1 A B B1 A1 mn x z y y m FN2 FN1 dFS (Stresses in Beams)(Stresses in Beams) b矩型截面的宽度矩型截面的宽度. . yz 整个横截面对中性轴的惯性矩整个横截面对中性轴的惯性矩. . 距中性轴为距中性轴为y y的横线以外部分横的横线以外部分横 截面面积对中性轴的静矩截面面积对中性轴的静矩. . （4 4）切应力沿截面高度的变化规律）切应力沿截面高度的变化规律 ( The shear- stress distribution on the rectangular cross section )( The shear- stress distribution on the rectangular cross section ) 沿截面高度的变化由静矩沿截面高度的变化由静矩 与与y y之间的关系确定之间的关系确定. . (Stresses in Beams)(Stresses in Beams) y1 n B m A x y z Oy A1B1 m1 可见，切应力沿截面高度按抛物线规律变化可见，切应力沿截面高度按抛物线规律变化. . z maxmaxy y= =h h/2/2（即在横截面上距中性轴最远处）（即在横截面上距中性轴最远处） =0=0 y=y=0 0（即在中性轴上各点处），切应力达到最大值（即在中性轴上各点处），切应力达到最大值 式中，式中，A=bhA=bh为矩形截面的面积为矩形截面的面积. . (Stresses in Beams)(Stresses in Beams) z 截面静矩的计算方法截面静矩的计算方法 A A为截面面积为截面面积 为截面的形心坐标为截面的形心坐标 A A1 1 2.2.工字形截面梁工字形截面梁（工（工-section beam)-section beam) 假设求应力的点到中性轴的距离为假设求应力的点到中性轴的距离为y y. . 研究方法与矩形截面同，切应力的计算公式亦为研究方法与矩形截面同，切应力的计算公式亦为 H o y xb z h (Stresses in Beams)(Stresses in Beams) d d 腹板的厚度腹板的厚度 O z y dx y 距中性轴为距中性轴为 y y 的横线以外部分的横截的横线以外部分的横截 面面积面面积A A对中性轴的静矩对中性轴的静矩. . minmin o z y maxmax maxmax （a a）腹板上的切应力沿腹板高度按二）腹板上的切应力沿腹板高度按二 次抛物线规律变化；次抛物线规律变化； （b b）最大切应力也在中性轴上）最大切应力也在中性轴上. .这也是这也是 整个横截面上的最大切应力整个横截面上的最大切应力. . (Stresses in Beams)(Stresses in Beams) minmin maxmax 式中式中: : 中性轴任一边的半个横截面面积对中性轴任一边的半个横截面面积对 中性轴的静矩中性轴的静矩. . y d z O 假设：假设： （a a）沿宽度）沿宽度k k- -kk上各点处的切应力上各点处的切应力 均汇交于均汇交于O O 点；点； （b b）各点处切应力沿）各点处切应力沿y y方向的分量沿方向的分量沿 宽度相等宽度相等. . 在截面边缘上各点的切应力的方向与圆周相切在截面边缘上各点的切应力的方向与圆周相切. . 3. 3.圆截面梁圆截面梁(Beam of circular cross section)(Beam of circular cross section) O z y maxmax (Stresses in Beams)(Stresses in Beams) 最大切应力发生在中性轴上最大切应力发生在中性轴上 y d z O 式中式中为圆截面的面积 为圆截面的面积. . 4.4.圆环形截面梁圆环形截面梁(Circular pipe beam)(Circular pipe beam) 图示为一段薄壁环形截面梁图示为一段薄壁环形截面梁. .环壁厚度为环壁厚度为 ，环的平均半径为，环的平均半径为 r r0 0 ，由于由于 r r 0 0 故可假设故可假设 （a a）横截面上切应力的大小沿壁厚无变化；）横截面上切应力的大小沿壁厚无变化； （b b）切应力的方向与圆周相切）切应力的方向与圆周相切. . z y r0 (Stresses in Beams)(Stresses in Beams) 式中式中 A A=2=2 r r 0 0 为环形截面的面积为环形截面的面积 横截面上最大的切应力发生中性轴上，其值为横截面上最大的切应力发生中性轴上，其值为 z y r0 二、强度条件二、强度条件（Strength conditionStrength condition） 三、需要校核切应力的几种特殊情况三、需要校核切应力的几种特殊情况 （1 1）梁的跨度较短，）梁的跨度较短，MM 较小，而较小，而F F S S 较大时较大时, ,要校核切应力；要校核切应力； （2 2）铆接或焊接的组合截面）铆接或焊接的组合截面, ,其腹板的厚度与高度比小于型钢其腹板的厚度与高度比小于型钢 的相应比值时，要校核切应力；的相应比值时，要校核切应力； （3 3）各向异性材料各向异性材料( (如木材如木材) )的抗剪能力较差，的抗剪能力较差，要校核切应力要校核切应力. . maxmax (Stresses in Beams)(Stresses in Beams) F 例题例题4 4 一简易起重设备如图所示一简易起重设备如图所示. .起起 重量重量( (包含电葫芦自重包含电葫芦自重) )F F = 30 kN. = 30 kN. 跨跨 长长l l = 5 m. = 5 m. 吊车大梁吊车大梁ABAB由由20a20a工字钢工字钢 制成制成. .其许用弯曲正应力其许用弯曲正应力 =170MPa,=170MPa, 许用弯曲切应力许用弯曲切应力 = 100MPa = 100MPa ，试校，试校 核梁的强度核梁的强度. . + 37.5 kNm 5m AB 2.5m F C 解：此吊车梁可简化为简支梁，力解：此吊车梁可简化为简支梁，力 F F 在在 梁中间位置时有最大正应力梁中间位置时有最大正应力 . . （a a）正应力强度校核）正应力强度校核由型钢表查得由型钢表查得20a20a工字钢的工字钢的 所以梁的最大正应力为所以梁的最大正应力为 (Stresses in Beams)(Stresses in Beams) + FSmax 5m AB F C （b b）切应力强度校核）切应力强度校核 在计算最大切应力时，应取荷载在计算最大切应力时，应取荷载F F在紧靠任一支座例如支座在紧靠任一支座例如支座 A A处所示，因为此时该支座的支反力最大，而梁的最大切应力也处所示，因为此时该支座的支反力最大，而梁的最大切应力也 就最大就最大. . 查型钢表中，查型钢表中，20a20a号工字钢，有号工字钢，有 d d=7mm=7mm 据此校核梁的切应力强度据此校核梁的切应力强度 以上两方面的强度条件都满足，所以此梁是安全的以上两方面的强度条件都满足，所以此梁是安全的. . (Stresses in Beams)(Stresses in Beams) 例题例题5 5 简支梁简支梁ABAB如图所示如图所示. . l l2m2m，a a0.2m. 0.2m. 梁上的载荷为梁上的载荷为q q为为 10kN/m10kN/m，F F200kN.200kN.材料的许用应力为材料的许用应力为 =160MPa=160MPa， 100MPa100MPa，试选择工字钢型号，试选择工字钢型号. . 解：（解：（1 1）计算支反力做内力图）计算支反力做内力图. . q B A CDE l F F a a 8kN 210kN 208kN 41.8 kNm 41.8 kNm 45 kNm （2 2）根据最大弯矩选择工字钢型号）根据最大弯矩选择工字钢型号 查型钢表，选用查型钢表，选用22a22a工字钢，其工字钢，其 WW z z 309cm309cm 3 3 F F R RA A F F R RB B (Stresses in Beams)(Stresses in Beams) （3 3）校核梁的切应力）校核梁的切应力 腹板厚度腹板厚度 d d=0.75cm=0.75cm，由剪力图知最大剪力为，由剪力图知最大剪力为210kN210kN 查表得查表得 max max超过 超过 很多，应重新选择更大的截面很多，应重新选择更大的截面. .现已现已25b25b工字钢进工字钢进 行试算行试算 查表得查表得 d d=1cm=1cm 所以应选用型号为所以应选用型号为25b25b的工字钢的工字钢. . (Stresses in Beams)(Stresses in Beams) 例题例题6 6 对于图中的吊车大梁，现因移动荷载对于图中的吊车大梁，现因移动荷载F F增加为增加为50kN50kN，故，故 在在 20a20a号工字钢梁的中段用两块横截面为号工字钢梁的中段用两块横截面为120mm120mm 10mm10mm而长度而长度 2.2mm2.2mm的钢板加强加强段的横截面尺寸如图所示的钢板加强加强段的横截面尺寸如图所示. .已知许用弯曲已知许用弯曲 正应力正应力 =152MPa=152MPa，许用切应力许用切应力 =95MPa.=95MPa.试校核此梁的强度试校核此梁的强度 . . 2.2m 200 z 220 120 10 解：加强后的梁是阶梯状解：加强后的梁是阶梯状 变截面梁变截面梁. . 所以要校核所以要校核 （3 3）F F移至未加强的梁段在截面变化处的正应力移至未加强的梁段在截面变化处的正应力. . （2 2）F F靠近支座时靠近支座时支座截面上的支座截面上的切应力；切应力； （1 1）F F位于跨中时跨中截面位于跨中时跨中截面 上的弯曲正应力；上的弯曲正应力； (Stresses in Beams)(Stresses in Beams) （1 1）校核）校核F F位于跨中截面时的弯曲位于跨中截面时的弯曲 正应力正应力 查表得查表得20a20a工字钢工字钢 62.5kNm 2.2m F 1.41m 2.5m 5m A B CD 1.4m FRBFRA 最大弯最大弯矩值为矩值为 跨中截面对中性轴的惯性矩为跨中截面对中性轴的惯性矩为 200 z 220 120 10 略去了加强板对其自身形心轴的惯性矩略去了加强板对其自身形心轴的惯性矩. . 抗弯截面系数抗弯截面系数 (Stresses in Beams)(Stresses in Beams) （2 2）校核突变截面处的正应力，）校核突变截面处的正应力， 也就是校核未加强段的正应力强度也就是校核未加强段的正应力强度 . . 2.2m F 1.41m 2.5m 5m A B CD 1.4m FRBFRA 50.4 kNm 该截面上的最大弯矩为该截面上的最大弯矩为 从型钢表中查得从型钢表中查得20a20a工字钢工字钢 梁不能满足正应力强度条件梁不能满足正应力强度条件. . 为此应将加强板适当延长为此应将加强板适当延长. . （3 3）校核阶梯梁的切应力）校核阶梯梁的切应力 F F 靠近任一支座时，支座截面为不利荷载位置靠近任一支座时，支座截面为不利荷载位置 请同学们自行完成计算请同学们自行完成计算 . . (Stresses in Beams)(