初中数学公开课优秀教案.docx

初中数学公开课优秀教案初中数学公开课优秀教案 导语：数学是美的，数学是文化中的文化，数学是科 学的精髓，数学是人类智慧的精华，数学是亮丽风景，数 学是异草奇葩。以下是品才网小编整理的初中数学公开课 优秀教案，欢迎阅读参考。 初中数学公开课优秀教案一 1、教材分析 (1)知识结构 (2)重点、难点分析 重点：两圆的位置关系和两圆相交、相切的性质.它们 是本节的主要内容，是圆的重要概念性知识，也是今后研 究圆与圆问题的基础知识. 难点：两圆位置关系的判定与相交两圆的连心线垂直 平分两圆的公共弦的性质的运用.由于两圆位置关系有 5 种 类型，特别是相离有外离和内含，相切有外切和内切，学 生容易遗漏;而在相交圆的性质应用中，学生容易把“相交 两圆的公共弦垂直平分两圆的连心线.”看成是真命题. 2、教法建议 本节内容需要两个课时.第一课时主要研究圆和圆的位 置关系;第二课时相交两圆的性质. (1)把课堂活动设计的重点放在如何调动学生的主体， 让学生观察、分析、归纳概括，主动获得知识; (2)要重视圆的对称美的教学，组织学生欣赏，在激发 学生的学习兴趣中，获得知识，提高能力; (3)在教学中，以分类思想为指导，以数形结合为方法， 贯串整个教学过程. 第一课时 圆和圆的位置关系 教学目标： 1.掌握圆与圆的五种位置关系的定义、性质及判定方 法;两圆连心线的性质; 2.通过两圆的位置关系，培养学生的分类能力和数形 结合能力; 3.通过演示两圆的位置关系，培养学生用运动变化的 观点来分析和发现问题的能力. 教学重点： 两圆的五种位置与两圆的半径、圆心距的数量之间的 关系. 教学难点： 两圆位置关系及判定. (一)复习、引出问题 1.复习：直线和圆有几种位置关系?各是怎样定义的? (教师主导，学生回忆、回答)直线和圆有三种位置关 系，即直线和圆相离、相切、相交.各种位置关系是通过直 线与圆的公共点的个数来定义的 2.引出问题：平面内两个圆，它们作相对运动，将会 产生什么样的位置关系呢? (二)观察、分类，得出概念 1、让学生观察、分析、比较，分别得出两圆：外离、 外切、相交、内切、内含(包括同心圆)这五种位置关系， 准确给出描述性定义： (1)外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在 另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离.(图(1) (2)外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共 点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两 个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点.(图(2) (3)相交：两个圆有两个公共点，此时叫做这两个圆相 交.(图(3) (4)内切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共 点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两 个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点.(图(4) (5)内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在 另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含(图(5).两圆同心 是两圆内含的一个特例. (图(6) 2、归纳： (1)两圆外离与内含时，两圆都无公共点. (2)两圆外切和内切统称两圆相切，即外切和内切的共 性是公共点的个数唯一 (3)两圆位置关系的五种情况也可归纳为三类：相离 (外离和内含);相交;相切(外切和内切). 教师组织学生归纳，并进一步考虑：从两圆的公共点 的个数考虑，无公共点则相离;有一个公共点则相切;有两 个公共点则相交.除以上关系外，还有其它关系吗?可能不 可能有三个公共点? 结论：在同一平面内任意两圆只存在以上五种位置关 系. (三)分析、研究 1、相切两圆的性质. 让学生观察连心线与切点的关系，分析、研究，得到 相切两圆的连心线的性质： 如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上. 这个性质由圆的轴对称性得到，有兴趣的同学课下可 以考虑如何对这一性质进行证明 2、两圆位置关系的数量特征. 设两圆半径分别为 R 和 r.圆心距为 d，组织学生研究 两圆的五种位置关系，r 和 d 之间有何数量关系.(图形略) 两圆外切 d=R+r; 两圆内切 d=R-r (Rr); 两圆外离 dR+r; 两圆内含 dr); 两圆相交 R-r 说明：注重“数形结合”思想的教学. (四)应用、练习 例 1： 如图，O 的半径为 5 厘米，点 P 是O 外一点， OP=8 厘米 求：(1)以 P 为圆心作P 与O 外切，小圆P 的半径 是多少? (2)以 P 为圆心作P 与O 内切，大圆P 的半径是多 少? 解： (1)设P 与O 外切与点 A，则 PA=PO-OA PA=3cm. (2)设P 与O 内切与点 B，则 PB=PO+OB PB=1 3cm. 例 2：已知：如图，ABC 中，C=90， AC=12，BC=8，以 AC 为直径作O，以 B 为圆心，4 为半径 作. 求证：O 与B 相外切. 证明：连结 BO，AC 为O 的直径，AC=12， O 的半径 ，且 O 是 AC 的中点 ，C=90且 BC=8， ， O 的半径 ，B 的半径 ， BO= ，O 与B 相外切. 练习(P138) (五)小结 知识：两圆的五种位置关系：外离、外切、相交、 内切、内含; 以及这五种位置关系下圆心距和两圆半径的数量关 系; 两圆相切时切点在连心线上的性质. 能力：观察、分析、分类、数形结合等能力. 思想方法：分类思想、数形结合思想. (六)作业 教材 P151 中习题 A 组 2，3，4 题. 第二课时 相交两圆的性质 教学目标 1、掌握相交两圆的性质定理; 2、掌握相交两圆问题中常添的辅助线的作法; 3、通过例题的分析，培养学生分析问题、解决问题的 能力; 4、结合相交两圆连心线性质教学向学生渗透几何图形 的对称美. 教学重点 相交两圆的性质及应用. 教学难点 应用轴对称来证明相交两圆连心线的性质和准确添加 辅助线. 教学活动设计 (一)图形的对称美 相切两圆是以连心线为对称轴的对称图形.相交两圆具 有什么性质呢? (二) 观察、猜想、证明 1、观察：同样相交两圆，也构成对称图形，它是以连 心线为对称轴的轴对称图形. 2、猜想：“相交两圆的连心线垂直平分公共弦”. 3、证明： 对 A 层学生让学生写出已知、求证、证明，教师组织; 对 B、C 层在教师引导下完成. 已知：O1 和O2 相交于 A，B. 求 证：Q1O2 是 AB 的垂直平分线. 分析：要证明 O1O2 是 AB 的垂直平分线，只要证明 O1O2 上的点和线段 AB 两个端点的距离相等，于是想到连结 O1A、O2A、O1B、O2B. 证明：连结 O1A、O1B、 O2A、O2B，O1A=O1B， O1 点在 AB 的垂直平分线上. 又O2A=O2B，点 O2 在 AB 的垂直平分线上. 因此 O1O2 是 AB 的垂直平分线. 也可考虑利用圆的轴对称性加以证明： Ol 和O2，是轴对称图形，直线 O1O2 是Ol 和O2 的对称轴. Ol 和O2 的公共点 A 关于直线 O1O2 的对称点即 在Ol 上又在O2 上. A 点关于直线 O1O2 的对称点只能是 B 点， 连心线 O1O2 是 AB 的垂直平分线. 定理：相交两圆的连心线垂直平分公共弦. 注意：相交两圆连心线垂直平分两圆的公共弦，而不 是相交两圆的公共弦垂直平分两圆的连心线. (三)应用、反思 例 1、已知两个等圆Ol 和O2 相交于 A，B 两点， Ol 经 O2。 求OlAB 的度数. 分析：由所学定理可知，O1O2 是 AB 的垂直平分线， 又 O1 与O2 是两个等圆，因此连结 O1O2 和 AO2，AO1，O1AO2 构成等边三角形，同时可以推证O l 和O2 构成的图形不仅是以 O1O2 为对称轴的轴对称图形， 同时还是以 AB 为对称轴的轴对称图形.从而可由 OlAO2=60，推得OlAB=30. 解：O1 经过 O 2，O1 与O2 是两个等圆 OlA= O1O2= AO2 O1A O2=60， 又 ABO1O2 OlAB =30 . 例 2、已知，如图，A 是O l、O2 的一个交点，点 P 是 O1O2 的中点。过点 A 的直线 MN 垂直于 PA，交O l、O2 于 M、N。 求证：AM=AN. 证明：过点 Ol、O2 分别作 OlCMN、O2DMN，垂足为 C、D，则 OlCPAO2D，且 AC= AM，AD= AN. OlP= O2P ，AD=AM，AM=AN. 例 3、已知：如图，Ol 与O2 相交于 A、B 两点，C 为 Ol 上一点，AC 交O2 于 D，过 B 作直线 EF 交 Ol、O2 于 E、F. 求证：ECDF 证明：连结 AB 在O2 中F=CAB， 在Ol 中CAB=E， F=E，ECDF. 反思：在解有关相交两圆的问题时，常作出连心线、 公共弦，或连结交点与圆心，从而把两圆半径，公共弦长 的一半，圆心距集中到一个三角形中，运用三角形有关知 识来解，或者结合相交弦定理，圆周角定理综合分析求解. (四)小结 知识：相交两圆的性质：相交两圆的连心线垂直平分 公共弦.该定理可以作为证明两线垂直或证明线段相等的依 据. 能力与方法：在解决两圆相交的问题中常常需要作 出两圆的公共弦作为辅助线，使两圆中的角或线段建立联 系，为证题创造条件，起到了“桥梁”作用;圆的对称性 的应用. (五)作业 教材 P152 习题 A 组 7、8、9 题;B 组 1 题. 探究活动 问题 1：已知 AB 是O 的直径，点 O1、O2、On 在 线段 AB 上，分别以 O1、O2、On 为圆心作圆，使O1 与O 内切，O2 与O1 外切，O3 与O2 外切， ，On 与On-1 外切且与O 内切.设O 的周长等于 C，O1、O2、On 的周长分别为 C1、C2、Cn. (1)当 n=2 时，判断 Cl+C2 与 C 的大小关系; (2)当 n=3 时，判断 Cl+C2+ C3 与 C 的大小关系; (3)当 n 取大于 3 的任一自然数时，Cl 十 C2 十十 Cn 与 C 的大小关系怎样?证明你的结论. 提 示：假设O、O1、O2、On 的半径分别为 r、rl、r2、rn，通过周长计算，比较可得(1) Cl+C2=C;(2)Cl+C2+ C3=C;(3)Cl 十 C2 十十 Cn=C. 问题 2：有八个同等大小的圆形，其中七个有阴影的圆 形都固定不动，第八个圆形，紧贴另外七个无滑动地滚动， 当它绕完这些固定不动的圆形一周，本身将旋转了多少转? 提示：1、实验：用硬币作初步实验;结果硬币一共转 了 4 转. 2、分析：当你把动圆无滑动地沿着 圆周长的直线上滚动时，这个动圆是转 转，但是，这个动圆是沿着弧线滚动，那么方才的说 法就不正确了.在我们这个题目中，那动圆绕着相当于它的 圆周长的 的弧线旋转的时候，一共走过的不是 转;而是 转，因此，它绕过六个这样的弧形的时，就转了 转 初中数学公开课优秀教案二 教学设计示例 1 教学目标： (1)会将正多边形的边长、半径、边心距和中心角、周 长、面积等有关的计算问题转化为解直角三角形的问题; (2)巩固学生解直角三角形的能力，培养学生正确迅速 的运算能力; (3)通过正多边形有关计算公式的推导，激发学生探索 和创新. 教学重点: 把正多边形的有关计算问题转化为解直角三角形的问 题. 教学难点: 正确地将正多边形的有关计算问题转化为解直角三角 形的问题解决、综合运用几何知识准确计算. 教学活动设计: (一)创设情境、观察、分析、归纳结论 1、情境一：给出图形. 问题 1：正 n 边形内角的规律. 观察：在图形中，应用以有的知识(多边形内角和定理， 多边形的每个内角都相等)得出新结论. 教师组织学生自主观察，学生回答.(正 n 边形的每个 内角都等于 .) 2、情境二：给出图形. 问题 2：每个图形的半径，分别将它们分割成什么样的 三角形?它们有什么规律? 教师引导学生观察，学生回答. 观察：三角形的形状，三角形的个数. 归纳：正 n 边形的 n 条半径分正 n 边形为 n 个全等的 等腰三角形. 3、情境三：给出图形. 问题 3：作每个正多边形的边心距，又有什么规律? 观察、归纳：这些边心距又把这 n 个等腰三角形分成 了个直角三角形，这些直角三角形也是全等的. (二)定理、理解、应用： 1、定理： 正 n 边形的半径和边心距把正 n 边形分成 2n 个全等的直角三角形. 2、理解：定理的实质是把正多边形的问题向直角三角 形转化. 由于这些直角三角形的斜边都是正 n 边形的半径 R，一 条直角边是正 n 边形的边心距 rn，另一条直角边是正 n 边 形边长 an 的一半，一个锐角是正 n 边形中心角 的一半，即 ，所以，根据上面定理就可以把正 n 边形的有关计算 归结为解直角三角形问题. 3、应用： 例 1、已知正六边形 ABCDEF 的半径为 R，求这个正六 边形的边长、周长 P6 和面积 S6. 教师引导学生分析解题思路： n=6 =30，又半径为 R a6 、r6. P6、S6. 学生完成解题过程，并关注学生解直角三角形的能力. 解： 作半径 OA、OB;作 OGAB，垂足为 G，得 RtOGB. GOB= ， a6 =2Rsin30=R， P6=6a6=6R， r6=Rcos30= ， . 归纳：如果用 Pn 表示正 n 边形的周长，由例 1 可知， 正 n 边形的面积 S6= Pn rn. 4、研究：(应用例 1 的方法进一步研究) 问题：已知圆的半径为 R，求它的内接正三角形、正方 形的边长、边心距及面积. 学生以小组进行研究，并初步归纳： ; ; ; ; ; . 上述公式是运用解直角三角形的方法得到的. 通过上式六公式看出，只要给定两个条件，则正多边 形就完全确定了.例如：(1)圆的半径或边数;(2)圆的半径 和边心距;(3)边长及边心距，就可以确定正多边形的其它 元素. (三)小节 知识：定理、正三角形、正方形、正六边形的元素的 计算问题. 思想：转化思想. 能力：解直角三角形的能力、计算能力;观察、分析、 研究、归纳能力. (四)作业 归纳正三角形、正方形、正六边形以及正 n 边形的有 关计算公式. 教学设计示例 2 教学目标： (1)进一步研究正多边形的计算问题，解决实际应用问 题; (2)通过正十边形的边长 a10 与半径 R 的关系的证明， 学习边计算边推理的数学方法; (3)通过解决实际问题，培养学生简单的数学建模能力; (4)培养学生用数学意识，渗透理论联系实际、实践论 的观点. 教学重点: 应用正多边形的基本计算图解决实际应用问题及代数 计算的证明方法. 教学难点: 例 3 的证明方法. 教学活动设计： (一)知识回顾 (1)方法：运用将正多边形分割成三角形的方法，把正 多边形有关计算转化为解直角三角形问题. (2)知识：正三角形、正方形、正六边形的有关计算问 题，正多边形的有关计算. ; ; ; ; ; . 组织学生填写教材 P165 练习中第 2 题的表格. (二)正多边形的应用 正 多边形的有关计算方法是基本的几何计算知识之一， 掌握这些知识，一方面可以为学生进一步学习打好基础， 另一方面，这些知识在生产和生活中常常会用到，掌握后 对学生参加实践活动具有实用意义. 例 2、在一种联合收割机上，拨禾轮的侧面是正五边形， 测得这个正五边形的边长是 48cm，求它的半径 R5 和边心距 r5(精确到). 解：设正五边形为 ABCDE，它的中心为点 O，连接 OA， 作 OFAB，垂足为 F，则 OA=R5，OF=r5，AOF= . AF= (cm)，R5= (cm). r5= (cm). 答：这个正多边形的半径约为，边心距约为 建议：组织学生，使学生主动参与教学;渗透简单 的数学建模思想和实际应用意识;对与本题除解直角三角 形知识外，还要主要学生的近似计算能力的培养. 以小组的学习形式，每个小组自己举一个实际生活中 的例子加以研究，班内交流. 例 3、已知：正十边形的半径为 R，求证：它的边长 . 教师引导学生： (1)AOB=? (2)在OAB 中，A 与B 的度数? (3)如果 BM 平分OBA 交 OA 于 M，你发现图形中相等 的线段有哪些?你发现图中三角形有什么关系? (4)已知半径为 R，你能不通过解三角形的方法求出 AB 吗?怎么计算? 解：如图，设 AB=a10.作OBA 的平分线 BM，交 OA 于 点 M，则 AOB=1=2=36，OAB=3=72. OM=MB=AB= a10. OABBAM OA:AB=BA:AM，即 R :a10= a10:(R- a10)，整理，得 ， (取正根). 由例 3 的结论可得 . 回顾：黄金分割线段.AD2=DCAC，也就是说点 D 将线 段 AC 分为两部分，其中较长的线段 AD 是较小线段 CD 与全 线段 AC 的比例中项.顶角 36角的等腰三角形的底边长是 它腰长的黄金分割线段. 反思：解决方法.在推导 a10 与 R 关系时，辅助线角平 分线是怎么想出来的.解决方法是复习等腰三角形的性质、 判定及相似三角形的有关知识. 练习中练习 1 (三)总结 (1)应用正多边形的有关计算解决实际问题; (2)综合代数列方程的方法证明了 . (四)作业 教材 P173 中 8、9、10、11、12. 探究活动 已知下列图形分别为正方形、正五边形、正六边形， 试计算角 、 、 的大小. 探究它们存在什么规律?你能证明吗? (提示： .) 初中数学公开课优秀教案三 1、教材分析 (1)知识结构 (2)重点、难点分析 重点：切线长定理及其应用.因切线长定理再次体现了 圆的轴对称性，它为证明线段相等、角相等、弧相等、垂 直关系等提供了理论依据，它属于工具知识，经常应用， 因此它是本节的重点. 难点：与切线长定理有关的证明和计算问题.如 120 页 练习题中第 3 题，它不仅应用切线长定理，还用到解方程 组的知识，是代数与几何的综合题，学生往往不能很好的 把知识连贯起来. 2、教法建议 本节内容需要一个课时. (1)在教学中，组织学生自主观察、猜想、证明，并深 刻剖析切线长定理的基本图形;对重要的结论及时总结; (2)在教学中，以“观察猜想证明剖析 应用归纳”为主线，开展在教师组织下，以学生为 主体，活动式教学. 教学目标 1.理解切线长的概念，掌握切线长定理; 2.通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯， 提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想. 3.通过对定理的猜想和证明，激发学生的学习兴趣， 调动学生的学习积极性，树立科学的学习态度. 教学重点: 切线长定理是教学重点 教学难点: 切线长定理的灵活运用是教学难点 教学过程设计: (一)观察、猜想、证明，形成定理 1、 切线长的概念. 如图，P 是O 外一点，PA，PB 是O 的两条切线，我 们把线段 PA，PB 叫做点 P 到O 的切线长. 引导学生理解：切线和切线长是两个不同的概念，切 线是直线，不能度量;切线长是线段的长，这条线段的两个 端点分别是圆外一点和切点，可以度量. 2、观察 利用电脑变动点 P 的位置，观察图形的特征和各量之 间的关系. 3、 猜想 引导学生直观判断，猜想图中 PA 是否等于 PB. PA=PB. 4、证明猜想，形成定理. 猜想是否正确。需要证明. 组织学生分析证明方法.关键是作出辅助线 OA，OB，要 证明 PA=PB. 想一想：根据图形，你还可以得到什么结论? OPA=OPB(如图)等. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切 线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角. 5、归纳： 把前面所学的切线的 5 条性质与切线长定理一起归纳 切线的性质 6、切线长定理的基本图形研究 如图， PA，PB 是O 的两条切线，A，B 为切点.直线 OP 交O 于点 D，E，交 AP 于 C (1)写出图中所有的垂直关系; (2)写出图中所有的全等三角形; (3)写出图中所有的相似三角形; (4)写出图中所有的等腰三角形. 说明：对基本图形的深刻研究和认识是在学习几何中 关键，它是灵活应用知识的基础. (二)应用、归纳、反思 例 1、已知： 如图，P 为O 外一点，PA，PB 为O 的切线， A 和 B 是切点，BC 是直径. 求证：ACOP. 分析：从条件想，由 P 是O 外一点，PA、PB 为O 的 切线，A，B 是切点可得 PA=PB，APO=BPO，又由条件 BC 是直径，可得 OB=OC，由此联想到与直径有关的定理“垂径 定理”和“直径所对的圆周角是直角”等.于是想到可能作 辅助线 AB. 从结论想，要证 ACOP，如果连结 AB 交 OP 于 O，转 化为证 CAAB，OP AB，或从 OD 为ABC 的中位线来考 虑.也可考虑通过平行线的判定定理来证，可获得多种证法. 证法一.如图.连结 AB. PA，PB 分别切O 于 A，B PA=PBAPO=BPO OP AB 又BC 为O 直径 ACAB ACOP (学生板书) 证法二. 连结 AB，交 OP 于 D PA，PB 分别切O 于 A、B PA=PBAPO=BPO AD=BD 又BO=DO OD 是ABC 的中位线 ACOP 证法三.连结 AB，设 OP 与 AB 弧交于点 E PA，PB 分别切O 于 A、B PA=PB OP AB = C=POB