2004-2013年浙江11市中考数学专题12：最值问题.doc

2004-2013年浙江11市中考数学选择填空解答压轴题分类解析汇编专题12：最值问题一、选择题1.（2009年浙江湖州3分）已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，请你在图中任意画一条抛物线，问所画的抛物线最多能经过81个格点中的多少个？【 】a6b7c8d9【答案】c。【考点】网格问题，二次函数的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，反证法。【分析】建立如图所示的坐标系：设方格左下角为（0，0），沿着方格的边建立直角坐标系。 设过d（3，0），（4，0）的抛物线为， 将c（2，1）代入，得。 过d（3，0），（4，0）的抛物线可以为。可以验证，它能经过8个格点：（0，6），（1，3），（2，1），（3，0），（4，0），（5，1），（6，3），（7，6）。对于任意的二次函数，如果我们依次考察x=0，1，2，8时的值，并依次用后一个值减去前一个值，总得到一个等差数列要使经过的格点尽量多，则这个等差数列的公差要尽量小，且为整数 因此，令公差为1，这相当于取二次项系数为。 对于9个格点，如果抛物线经过9个格点，那么在抛物线的顶点及一侧至少经过5个格点，由于这5个格点的横坐标都差1，考虑到抛物线的递增或递减趋势，这5点的纵坐标的极差不小于1+2+3+4=10，显然这5个格点不全在88网格之内。故选c。2.（2010年浙江台州4分）如图，点a，b的坐标分别为（1, 4）和（4, 4）,抛物线的顶点在线段ab上运动，与x轴交于c、d两点（c在d的左侧），点c的横坐标最小值为3，则点d的横坐标最大值为【 】 a3 b1 c5 d8 【答案】d。【考点】二次函数的性质。【分析】当点c横坐标为3时，抛物线顶点为a（1，4），对称轴为x=1，此时d点横坐标为5，则cd=8。当抛物线顶点为b（4，4）时，抛物线对称轴为x=4，且cd=8，故c（0，0），d（8，0）。由于此时d点横坐标最大，故点d的横坐标最大值为8。故选d。3.（2011年浙江台州4分）如图，o的半径为2，点o到直线l的距离为3，点p是直线l上的一个动点，pq切o于点q，则pq的最小值为【 】a b c3 d2【答案】b。【考点】圆的切线的性质，垂线段的性质，勾股定理。【分析】因为pq为切线，所以opq是rt又oq为定值，所以当op最小时，pq最小根据垂线段最短，知op=3时pq最小运用勾股定理得pq=。故选b。4.（2012年浙江湖州3分）如图，已知点a（4，0），o为坐标原点，p是线段oa上任意一点（不含端点o，a），过p、o两点的二次函数y1和过p、a两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为b、c，射线ob与ac相交于点d当od=ad=3时，这两个二次函数的最大值之和等于【 】a b c3 d4 【答案】a。【考点】二次函数的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。【分析】过b作bfoa于f，过d作deoa于e，过c作cmoa于m，bfoa，deoa，cmoa，bfdecm。od=ad=3，deoa，oe=ea=oa=2。由勾股定理得：de=。设p（2x，0），根据二次函数的对称性得出of=pf=x，bfdecm，obfode，acmade。，即，解得：。bf+cm=。故选a。5.（2012年浙江台州4分）如图，菱形abcd中，ab=2，a=120，点p，q，k分别为线段bc，cd，bd上的任意一点，则pk+qk的最小值为【 】a1 b c 2 d1【答案】b。【考点】菱形的性质，线段中垂线的性质，三角形三边关系，垂直线段的性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】分两步分析： （1）若点p，q固定，此时点k的位置：如图，作点p关于bd的对称点p1，连接p1q，交bd于点k1。 由线段中垂线上的点到线段两端距离相等的性质，得 p1k1 = p k1，p1k=pk。 由三角形两边之和大于第三边的性质，得p1kqkp1q= p1k1q k1= p k1q k1。 此时的k1就是使pk+qk最小的位置。 （2）点p，q变动，根据菱形的性质，点p关于bd的对称点p1在ab上，即不论点p在bc上任一点，点p1总在ab上。 因此，根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质，得，当p1qab时p1q最短。 过点a作aq1dc于点q1。 a=120，da q1=30。 又ad=ab=2，p1q=aq1=adcos300=。 综上所述，pk+qk的最小值为。故选b。二、填空题1.（2006年浙江湖州4分）一青蛙在如图88的正方形（每个小正方形的边长为1）网格的格点（小正方形的顶点）上跳跃，青蛙每次所跳的最远距离为，青蛙从点a开始连续跳六次正好跳回到点a，则所构成的封闭图形的面积的最大值是 。【答案】12。【考点】网格问题，动点问题，勾股定理，等积变换。【分析】青蛙每次所跳的最远距离为，且在网格的格点上， 根据勾股定理，青蛙每次所跳的最远点在两个小正方形组成的矩形的对角顶点上。 如图，根据题意，青蛙从点a开始连续跳六次正好跳回到点a，构成红线构成的封闭图形面积最大，由等积变换，它与蓝线构成的封闭图形面积相等，面积等于34=12。2.（2008年浙江台州5分）善于归纳和总结的小明发现，“数形结合”是初中数学的基本思想方法，被广泛地应用在数学学习和解决问题中用数量关系描述图形性质和用图形描述数量关系，往往会有新的发现小明在研究垂直于直径的弦的性质过程中（如图，直径ab弦cd于e），设ae=x，be=y，他用含x，y的式子表示图中的弦cd的长度，通过比较运动的弦cd和与之垂直的直径ab的大小关系，发现了一个关于正数x，y的不等式，你也能发现这个不等式吗？写出你发现的不等式 【答案】。【考点】动线问题，垂径定理，相交弦定理。【分析】直径ab弦cd于e，ae=x，be=y， 根据垂径定理和相交弦定理，得，即。 又运动的弦cd最大时是过圆心o时，此时cd为圆o的直径，。 。3.（2010年浙江湖州4分）请你在如图所示的1212的网格图形中任意画一个圆，则所画的圆最多能经过169个格点中的 个格点【答案】12。【考点】网格问题，勾股定理的应用。【分析】如图，以网格中心为圆心，以5单位为半径画圆， 经过的格点最多，有（3，4）（4，3)等， 每一象限有2个，4个象限 就有8个，再加上坐标轴上各1个，共4个，合计12个。4.（2011年浙江湖州4分）如图，甲类纸片是边长为2的正方形，乙类纸片是边长为1的正方形，丙类纸片是长、宽分别为2和1的长方形如果现有甲类纸片1张，乙类纸片4张，那么应至少取丙类纸片 张，才能用它们拼成一个新的正方形【答案】4。【考点】完全平方公式的几何背景，不定方程的最小正整数解。【分析】由构成的新正方形的面积一定是一个完全平方数，根据三张纸片的面积即可确定：设至少取丙类纸片张，才能用它们拼成一个新的边长为的正方形，新的正方形面积为442=82，要使它是完全平方数，即82=2，解得。它的最小正整数解是当时的值：。5.（2012年浙江宁波3分）如图，abc中，bac=60，abc=45，ab=2，d是线段bc上的一个动点，以ad为直径画o分别交ab，ac于e，f，连接ef，则线段ef长度的最小值为 【答案】。【考点】垂线段的性质，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】由垂线段的性质可知，当ad为abc的边bc上的高时，直径ad最短，此时线段ef=2eh=20esineoh=20esin60，当半径oe最短时，ef最短。如图，连接oe，of，过o点作ohef，垂足为h。 在rtadb中，abc=45，ab=2，ad=bd=2，即此时圆的直径为2。由圆周角定理可知eoh=eof=bac=60，在rteoh中，eh=oesineoh=1。由垂径定理可知ef=2eh=。6.（2013年浙江台州5分）任何实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，现对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，对81只需进行 次操作后变为1；只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 .【答案】3；255。【考点】新定义，无理数的大小比较，解一元一次不等式组。【分析】根据定义， 对81只需进行3 次操作后变为1。 设，x为正整数，则，即最大正整数是3。 设，为正整数，则，即最大正整数是15。 设，为正整数，则，即最大正整数是255。 只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255。三、解答题1.（2004年浙江温州14分）已知抛物线y=x2+2(m3)x+m1与x轴交于b，a两点，其中点b在x轴的负半轴上，点a在x轴的正半轴上，该抛物线与y轴于点c。（1）写出抛物线的开口方向与点c的坐标(用含m的式子表示)；（2）若tancba=3，试求抛物线的解析式；（3）设点p(x，y)（其中0x3）是（2）中抛物线上的一个动点，试求四边形aocp的面积的最大值及此时点p的坐标。【答案】解：（1）抛物线的开口向下，点c的坐标是(0，m1) 。（2）点a、b分别在x轴的正、负半轴上， 方程x2+2 (m3)x+m1=0的两根异号，即m10。oc=m1。 由tancab=3得ob=oc= (m1) ， 点b的坐标为() 。代入解析式得由m10得 ， m=4。抛物线的解析式为y=。（3）当0x3时，y0，四边形aocp的面积为scop+sopa=。当时，y=当点p的坐标为()时，四边形aocp的面积达到最大值。【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，锐角三角函数定义。【分析】（1）二次函数的二次项系数是-10，因而抛物线的开口向下在函数解析式中令x=0解得y的值，就是c的纵坐标。（2）由方程x2+2 (m3)x+m1=0的两根异号，根据一元二次方程根与系数的关系，得m10，从而oc=m1。由tancba=3转化为ob，oc之间的关系，即可用m表示出b点的坐标，把b点的坐标代入抛物线的解析式，就可以得到一个关于m的方程，从而解出m的值得到函数的解析式。（3）四边形aocp的面积为scopsopa，这两个三角形的面积就可以用x表示出来，从而把面积表示成x的函数，转化为函数的最值问题。2.（2006年浙江杭州大纲卷10分）杭州休博会期间，嘉年华游乐场投资150万元引进一项大型游乐设施。若不计维修保养费用，预计开放后每月可创收33万元。而该游乐设施开放后，从第1个月到第x个月的维修保养费用累计为y（万元），且y=ax2+bx；若将创收扣除投资和维修保养费用称为游乐场的纯收益g（万元），g也是关于x的解析式；（1）若维修保养费用第1个月为2万元，第2个月为4万元。求y关于x的解析式；（2）求纯收益g关于x的解析式；（3）问设施开放几个月后，游乐场的纯收益达到最大？几个月后，能收回投资？【答案】解：（1）维修保养费用第1个月为2万元，第2个月为4万元， ，解得。 y关于x的解析式为。 （2）。（3）。 该游乐设施开放16个月后，游乐场的纯收益最大。 又在0x16时，g随x的增大而增大，当0x5时，g0，当5x16时，g0，6个月后，能收回投资。【考点】二次函数的应用，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质。【分析】（1）根据维修保养费用第1个月为2万元，第2个月为4万元（即2个月为6万元），应用待定系数法即可求得y关于x的解析式。 （2）根据纯收益=创收额投资和维修保养费用列出函数关系式。 （3）根据二次函数的最值和增减性质求解。3.（2006年浙江湖州12分）已知如图，矩形oabc的长oa=，宽oc=1，将aoc沿ac翻折得apc。（1）填空：pcb=_度，p点坐标为（ ， ）；（2）若p，a两点在抛物线上，求b，c的值，并说明点c在此抛物线上；（3）在（2）中的抛物线cp段（不包括c，p点）上，是否存在一点m，使得四边形mcap的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时m点的坐标；若不存在，请说明理由。【答案】解：（1）30；。（2）点p（ ），a（ ）在抛物线上， ，解得：。抛物线的解析式为。oc=1，c点坐标为（0，1）。当x=0时，c点在此抛物线上。（3）假设存在这样的点m，使得四边形mcap的面积最大。acp面积为定值，要使四边形mcap的面积最大，只需使pcm的面积最大。过点m作mfx轴分别交cp、cb和x轴于e、n和f，过点p作pgx轴交cb于g。则。设m（x0，y0），ecn=30，cn=x0，en= 。 。 ，有最大值。当时，s的最大值是 。，四边形mcap的面积的最大值为，此时m点的坐标为 。存在这样的点m，使得四边形mcap的面积最大，其最大值为。 【考点】翻折问题，二次函数的综合题，矩形的性质，翻折对称的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值。【分析】（1）在直角oac中，oa=， oc=1，。根据翻折对称的性质，pca=oca。cboa，。pcb=pca。过点p作pgx轴交cb于g，cp=ob=1，在直角pcg中，根据三角函数可以求得cg=，pg=。点p的坐标为（）。（2）由p、a两点的坐标，根据待定系数法即可求出b，c的值和抛物线的解析式； c点的坐标已知，代入函数的解析式，就可以判断是否在函数的图象上。（3）过点m作mfx轴分别交cp、cb和x轴于e、n和f，过点p作pgx轴交cb于g，根据和，四边形mcap的面积就可以表示成of的函数，利用二次函数的性质，就可以求出最值。4.（2006年浙江湖州10分）如图，已知平面直角坐标系，a、b两点的坐标分别为a（2，3），b（4，1）。（1）若p（p，0）是x轴上的一个动点，则当p=_时，pab的周长最短；（2）若c（a，0），d（a+3，0）是x轴上的两个动点，则当a=_时，四边形abdc的周长最短；（3）设m，n分别为x轴和y轴上的动点，请问：是否存在这样的点m（m，0）、n（0，n），使四边形abmn的周长最短？若存在，请求出m=_,n=_（不必写解答过程）；若不存在，请说明理由。【答案】解：（1）。（2）。（3）存在。【考点】单动点和双动点问题，轴对称的应用（最短线段问题），待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）根据题意，设出并找到b（4，1）关于x轴的对称点是e，其坐标为（4，1），进而可得直线ae的解析式，进而可得答案：设点b（4，1）关于x轴的对称点是e，其坐标为（4，1），设直线ae的解析式为，把a（2，3），e（4，1）代入得： ，解得。直线ae的解析式为。令y=0得x=。p=。（2）b向左平移3个单位得f(1,1)，fbdc是平行四边形，ab+bd+dc+ca=ab+fc+3+ac，ab是定长，所以fc+ac最短。 过a点作agx轴于点g，且延长ag，取eg=ag，那么e（2，3），取点f（1，1），连接ef，设直线ef的解析式为，则，解得：。直线ef的解析式为。c点的坐标为（a，0），且在直线ef上，a=。（3）存在使四边形abmn周长最短的点m、n。作a关于y轴的对称点e，作b关于x轴的对称点f，连接ef，与x轴、y轴的交点即为点m、n。e（2，3），f（4，1）。同上可求直线ef的解析式为：。m（，0），n（0，）。m=，n=。5.（2006年浙江金华12分）初三(1)班数学兴趣小组在社会实践活动中，进行了如下的课题研究：用一定长度的铝合金材料,将它设计成外观为长方形的三种框架，使长方形框架面积最大. 小组讨论后,同学们做了以下三种试验：请根据以上图案回答下列问题: （1）在图案（1）中,如果铝合金材料总长度(图中所有黑线的长度和)为6m,当ab为1 m, 长方形框架abcd的面积是 m2;（2）在图案（2）中,如果铝合金材料总长度为6m,设ab为m,长方形框架abcd的面积为 (用含的代数式表示)；当ab m时, 长方形框架abcd的面积最大：在图案（3）中,如果铝合金材料总长度为m, 设ab为m,当ab= m时, 长方形框架abcd的面积最大.（3）经过这三种情形的试验,他们发现对于图案（4）这样的情形也存在着一定的规律探索: 如图案（4）, 如果铝合金材料总长度为m共有条竖档时, 那么当竖档ab多少时,长方形框架abcd的面积最大. 【答案】解：（1）。（2），1，。 （3）设ab长为xm，则bc为,，当x=时，s最大。【考点】探索规律题（图形的变化类），二次函数的应用。【分析】（1）当ab=1时，bc=，长方形框架abcd的面积是： 。（2）当ab=x时，bc= ，长方形框架abcd的面积为，当时，长方形框架abcd的面积最大，为s=1。在图案3中，如果铝合金材料总长度为lm，设ab为xm，则bc=， ，当 时，长方形框架abcd的面积s最大。（3）如果铝合金材料总长度为lm共有n条竖档时，则bc= ，当时，长方形框架abcd的面积最大。6.（2007年浙江金华14分）如图1，在平面直角坐标系中，已知点a（0，4），点b在x正半轴上，且abo=30度动点p在线段ab上从点a向点b以每秒 个单位的速度运动，设运动时间为t秒在x轴上取两点m，n作等边pmn（1）求直线ab的解析式；（2）求等边pmn的边长（用t的代数式表示），并求出当等边pmn的顶点m运动到与原点o重合时t的值；（3）如果取ob的中点d，以od为边在rtaob内部作如图2所示的矩形odce，点c在线段ab上设等边pmn和矩形odce重叠部分的面积为s，请求出当0t2秒时s与t的函数关系式，并求出s的最大值【答案】解：（1）由oa=4，abo=30，得到ob=12，b（12，0）。 设直线ab解析式为，把a和b坐标代入得：，解得：。直线ab的解析式为：。（2）aob=90，abo=30，ab=2oa=8。ap=，bp=abap=。pmn是等边三角形，mpb=90。，pm=，即等边pmn的边长为。当点m与点o重合时，bao=60，ao=2ap。t=2。当点m与点o重合时，t=2。（3）当0t1时，见图1，设pn交ec于点h，重叠部分为直角梯形eong，作ghob于h。点d是ob的中点，即bd=6，gh=cd=2。gnh=60，hn=2。等边pmn的边长为，bm=162t。ob=12，。s随t的增大而增大，当t=1时，smax=8。当1t2时，见图2，设pm交ec于点i，交eo于点f，pn交ec于点g，重叠部分为五边形ofign，作ghob于h。，。-0，当时，s有最大值，。当t=2时，见图3，mp=mn=6，即n与d重合，设pm交ec于点i，pd交ec于点g，重叠部分为等腰梯形imng， 。综上所述：。，s的最大值是。 【考点】二次函数综合题，动点和动面问题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，等边三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，函数的最值，分类思想的应用。【分析】（1）先在直角三角形aob中，根据abo的度数和oa的长，求出ob的长，即可得出b点的坐标，然后用待定系数法即可求出直线ab的解析式。（2）求等边三角形的边长就是求出pm的长，可在直角三角形pmb中，用t表示出bp的长，然后根据abo的度数，求出pm的长。当m、o重合时，可在直角三角形aop中，根据oa的长求出ap的长，然后根据p点的速度即可求出t的值。（3）本题要分情况进行讨论：当n在d点左侧且e在pm右侧或在pm上时，即当0t1时，重合部分是直角梯形egno。当n在d点左侧且e在pm左侧时，即当1t2时，此时重复部分为五边形，其面积可用来求得。当n、d重合时，即t=2时，此时m、o也重合，此时重合部分为等腰梯形。根据上述三种情况，可以得出三种不同的关于重合部分面积与t的函数关系式，从而可根据函数的性质和各自的自变量的取值范围求出对应的s的最大值。7.（2007年浙江衢州12分）如图，顶点为d的抛物线与x轴相交于a、b两点，与y轴相交于点c，连结bc，已知tanabc=1。（1）求点b的坐标及抛物线的解析式；（2）在x轴上找一点p,使cdp的周长最小，并求出点p的坐标；（3）若点e（x，y）是抛物线上不同于a,b,c的任意一点，设以a,b,c,e为顶点的四边形的面积为s,求s与x之间的函数关系式。【答案】解：（1）在中，令x=0，得y=3。c（0，3），ob=3。tanabc=1，oc：ob=1，ob=oc=3。b（3，0）。把b（3，0）代入，得，解得：b=2。抛物线的解析式为。 （2）作点c关于x轴的对称点c1，连接c1d与x轴交于点p，则点p即为所求。 ，d（1，4）。 c（0，3），c1（0， 3）。 设c1d的解析式为，则，解得。c1d的解析式为。令y=0，解得。p（，0）。在x轴上的点p（，0），使cdp的周长最小。 （3）在中，令y=0，得x=1或x=3。a（1，0），ab=4。当时，点e在第一象限，如图1，此时 。当时，点e在第四象限，如图2，此时 。当时，点e在第三象限，如图3，此时 。当时，点e在第二象限，如图4，此时 。 综上所述，s与x之间的函数关系式为： 。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，锐角三角函数定义，轴对称的应用（最短线路问题），由实际问题列函数关系式，分类思想的应用。【分析】（1）欲求点b的坐标，由tanabc=1，知ob=oc，只需知道c点的坐标，根据抛物线的解析式知c（0，3），从而可求点b的坐标。把点b的坐标代入，求出b的值，得到抛物线的解析式。（2）cd的长一定，可找c点关于x轴的对应点c1，则有cp=c1p，cp+pd最短，即d、p、c1三点一线，求出c1d的解析式，令y=0即可得出cdp的周长最小的点p的坐标。（3）分，讨论即可。8.（2008年浙江湖州12分）已知：在矩形aobc中，ob=4，oa=3分别以ob，oa所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系f是边bc上的一个动点（不与b，c重合），过f点的反比例函数（k0）的图象与ac边交于点e（1）求证：aoe与bof的面积相等；（2）记，求当k为何值时，s有最大值，最大值为多少？（3）请探索：是否存在这样的点f，使得将cef沿ef对折后，c点恰好落在ob上？若存在，求出点f的坐标；若不存在，请说明理由【答案】解 ：（1）证明：设e（x1，y1），f（x2，y2），aoe与fob的面积分别为s1，s2，e点、f点在反比例函数（k0）的图象上，。s1=s2，即aoe与fob的面积相等。（2）由题意知e，f两点坐标分别为，。当k=6时，s有最大值，s最大值=3。（3）存在。设存在这样的点f，将cef沿ef对折后，c点恰好落在ob边上的m点，过点e作enob，垂足为n，由题意得：en=ao=3，em=ec=，mf=cf=，emn+fmb=fmb+mfb=90，emn=mfb。又enm=mbf=90，emnmfb。，即。， 。解得。 存在符合条件的点f，它的坐标为（4， ）。【考点】反比例函数综合题，动点和折叠问题，二次函数最值，相似三角形的判定和性质，勾股定理，【分析】（1）分别用点e，f的坐标表示出aoe与fob的面积，进行比较。（2）应分别用矩形面积和能用图中的点表示出的三角形的面积表示出所求的面积，利用二次函数求出最值即可。（3）点f的横坐标已有，与点b的横坐标相同，利用折叠以及相似求得点f的纵坐标。 9.（2008年浙江舟山、嘉兴14分）如图，直角坐标系中，已知两点o（0，0），a（2，0），点b在第一象限且oab为正三角形，oab的外接圆交y轴的正半轴于点c，过点c的圆的切线交x轴于点d（1）求b，c两点的坐标；（2）求直线cd的函数解析式；（3）设e，f分别是线段ab，ad上的两个动点，且ef平分四边形abcd的周长试探究：aef的最大面积【答案】解：（1）a（2，0），oa=2。作bgoa于g，oab为正三角形，og=1，bg=。 b（1，）。连接ac，aoc=90，aco=abo=60，oc=oatan30=。c（0，）。（2）aoc=90，ac是圆的直径。又cd是圆的切线，cdac。ocd=30，od=octan30=。 d(，0)。设直线cd的函数解析式为y=kx+b（k0），则 ，解得 ，直线cd的函数解析式为。（3）ab=oa=2，od=， cd=2od= ，bc=oc=。 四边形abcd的周长。设ae=t，aef的面积为s，则af=，点e，f分别在线段ab，ad上， ，解得 。，t= 满足，当t= 时， 。【考点】一次函数综合题，双动点问题，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，等边三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，圆周角定理，切线的性质。【分析】（1）作bgoa于g，连接ac，由等边三角形的性质可知：og=1，bg= ，所以b（1，），根据直角三角形中的三角函数值可计算得oc=oatan30=，所以c（0，）。 （2）根据切线的性质求得od=octan30= ，即d(，0)，结合点c（0，），利用待定系数法求得直线cd的函数解析式。（3）先求出四边形abcd的周长，设ae=t，aef的面积为s，根据题意用含t的代数式表示s，即可得到s关于t的二次函数：，结合自变量t的取值范围 可求得aef的最大面积为。 10.（2008年浙江衢州14分）已知直角梯形纸片oabc在平面直角坐标系中的位置如图所示，四个顶点的坐标分别为o(0，0)，a(10，0)，b(8，)，c(0，)，点t在线段oa上(不与线段端点重合)，将纸片折叠，使点a落在射线ab上(记为点a)，折痕经过点t，折痕tp与射线ab交于点p，设点t的横坐标为t，折叠后纸片重叠部分(图中的阴影部分)的面积为s；（1）求oab的度数，并求当点a在线段ab上时，s关于t的函数关系式；（2）当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t的取值范围；（3）s存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t的值；若不存在，请说明理由。【答案】解：（1）a，b两点的坐标分别是a（10，0）和b（8，），oab=600。当点a在线段ab上时，oab=600，ta=ta， ata是等边三角形，且。 ，。 。 当a与b重合时，at=ab=， 。当点a在线段ab上时，s关于t的函数关系式为。（2）当点a在线段ab的延长线，且点p在线段ab（不与b重合）上时，纸片重叠部分的图形是四边形（如图，其中e是ta与cb的交点）。当点p与b重合时，at=2ab=8，点t的坐标是（2，0）。又由（1）中求得当a与b重合时，t的坐标是（6，0），当纸片重叠部分的图形是四边形时，2t6。（3）s存在最大值。当6t10时，在对称轴t=10的左边，s的值随着t的增大而减小，当t=6时，s的值最大是。当2t6时，由图，重叠部分的面积。aeb的高是absin600，。当t=2时，s的值最大是。 当0t2，即当点a和点p都在线段ab的延长线时（如图，其中e是ta与cb的交点，f是tp与cb的交点），eft=ftp=etf，四边形etab是等腰梯形，ef=et=ab=4。综上所述，s的最大值是，此时t的值是0t2。【考点】折叠问题，二次函数综合题，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，等边三角形的判定和性质，由实际问题列函数关系式，分类思想的应用。【分析】（1）求oab的度数，我们可根据a、b的坐标来求，根据tanoab=b的纵坐标的绝对值：a、b横坐标的差的绝对值，可得出oab的度数。根据求出函数关系式。（2）当重叠部分是四边形时，那么此时a应该在ab的延长线上，那么此时aa的最小值应该是ab的长即4，最大的值应该是当p与b重合时aa的值即8，由于三角形ata是个等边三角形，那么at的取值范围就是4at8，那么t的取值就应是2t6。（3）分6t10，2t6，0t2三种情况讨论即可。11.（2008年浙江丽水14分）如图，在平面直角坐标系中，已知点a坐标为（2，4），直线与轴相交于点b，连结oa，抛物线从点o沿oa方向平移，与直线交于点p，顶点m到a点时停止移动（1）求线段oa所在直线的函数解析式；（2）设抛物线顶点m的横坐标为m,用m的代数式表示点p的坐标；当m为何值时，线段pb最短；（3）当线段pb最短时，相应的抛物线上是否存在点q，使qma的面积与pma的面积相等，若存在，请求出点q的坐标；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）设oa所在直线的函数解析式为，点a坐标为（2，4），, 。oa所在直线的函数解析式为。（2）顶点m的横坐标为m，且在线段oa上移动， （02）。顶点m的坐标为(,)。抛物线函数解析式为。当时，（02）。的p坐标是（2，）。pb=， 又02，当时，pb最短。（3）存在。当线段pb最短时，此时抛物线的解析式为，假设在抛物线上存在点q，使， 设点q的坐标为（，），当点q落在直线oa的下方时，过p作直线pcao，交y轴于点c，pb=3，ab=4，ap=1。oc=1。c点的坐标是（0，）。点p的坐标是（2，3），直线pc的函数解析式为。，点q落在直线上。解得，即点q（2，3）。点q与点p重合。此时抛物线上不存在点q，使qma的面积与pma的面积相等。 当点q落在直线oa的上方时，作点p关于点a的对称称点d，过d作直线de/ao，交y轴于点e，ap=1，eo=da=1。e、d的坐标分别是（0，1），（2，5）。直线de函数解析式为.，点q落在直线上。，解得：，。代入，得，。此时抛物线上存在点，使qma的面积与pma的面积相等。综上所述，抛物线上存在点，使qma的面积与pma的面积相等。【考点】一、二次函数综合题，平移问题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，平移的性质，二次函数最值，同底等高三角形面积的性质，分类思想的应用。【分析】（1）用待定系数法可求得线段oa所在直线的函数解析式。（2）根据点m在y=2x上可得相应坐标，即可用顶点式表示出相应的二次函数解析式，求出当x=2时的函数值即为点p的坐标。pb的长，实际就是p点的纵坐标，因此可根据其纵坐标的表达式来应用二次函数最值原理求出pb最短时，对应的m的值。 （3）分点q落在直线oa的下方和点q落在直线oa的上方两种情况讨论即可。12.（2009年浙江绍兴14分）定义一种变换：平移抛物线f1得到抛物线f2，使f2经过f1的顶点a设f2的对称轴分别交f1，f2于点d，b，点c是点a关于直线bd的对称点（1）如图1，若f1：，经过变换后，得到f2：，点c的坐标为（2，0），则：b的值等于 ；四边形abcd为【 】a、平行四边形；b、矩形；c、菱形；d、正方形（2）如图2，若f1：，经过变换后，点b的坐标为（2，c1），求abd的面积；（3）如图3，若f1：，经过变换后，ac=2 ，点p是直线ac上的动点，求点p到点d的距离和到直线ad的距离之和的最小值【答案】解：（1）2。d。（2）在f1：中令x=0得y=c，a（0，c）。f2的顶点b的坐标为（2，c1），。a（0，c）在f2上，得。f2的对称轴交f1于点d，将代入f1得。db=。（3）如图，点c在点a的右侧，f1： 顶点坐标是a（1，2），ac=2 ，点c的坐标为。f2的对称轴为。可设f2的解析式为。f2过点a（1，2），解得：。f2的解析式为。设ac与bd交于点n，b，d。nb=nd=1。点a与点c关于直线bd对称，acdb，且an=nc。四边形abcd是菱形。ac是线段bd的垂直平分线。点p在直线ac上，pd=pb。作phad交ad于点h，则pd+ph=pb+ph。要使pd+ph最小，即要使pb+ph最小，此最小值是点b到ad的距离，即abd边ad上的高h。dn=1，an=，dbac，dan=30。abd是等边三角形。点p到点d的距离与到直线ad的距离之和的最小值为。 当点c在点a的左侧时，同理可得最小值为。综上所述，点p到点d的距离与到直线ad的距离之和的最小值为。【考点】新定义，二次函数综合题，平移、动点和轴对称问题，二次函数的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，正方形、菱形和等边三角形的判定和性质，轴对称的性质（线段最短问题），分类思想的应用。【分析】（1）将点c（2，0）的坐标代入抛物线f2的解析式，得b=2。对四边形abcd的对角线进行分析，结合特殊四边形的判定方法得四边形abcd是正方形。故选d。（2）由经过变换后点b的坐标为（2，c1），根据a（0，c）在f2上，可得 ，即可表示出abd的面积。（3）分点c在点a的左右侧两种情况讨论。当点c在点a的右侧时，求出的顶点坐标与对称轴，从而表示出f2的解析式，判断出四边形abcd是菱形，要使pd+ph最小，即要使pb+ph最小，进而求出； 同理可得当点c在点a的左侧时的情况。13.（2009年浙江舟山、嘉兴14分）如图，已知a、b是线段mn上的两点，mn=4，ma=1，mb1以a为中心顺时针旋转点m，以b为中心逆时针旋转点n，使m、n两点重合成一点c，构成abc，设ab=x（1）求x的取值范围；（2）若abc为直角三角形，求x的值；（3）探究：abc的最大面积？【答案】解：（1）在abc中，ac=1，ab=x，bc=3x，解得。（2）若ac为斜边，则，即，无解；若ab为斜边，则，解得，满足若bc为斜边，则，解得，满足。综上所述，若abc为直角三角形，则或。 （3）在abc中，作于d，设，abc的面积为s，则若点d在线段ab上，则，即。，即。当时（满足），取最大值，从而s取最大值。若点d在线段ma上，则，同理可得， ，当时，随x的增大而增大。当时，取最大值，从而s取最大值。综合，abc的最大面积为。【考点】二次函数综合题，线旋转问题，三角形三边关系，勾股定理，二次函数的性质，分类思想的应用。 【分析】（1）因为所求ab或x在abc中，所以可利用三角形三边之间的关系即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边进行解答。（2）应该分情况讨论，因为不知道在三角形中哪一个是作为斜边存在的，所以有三种情况，即：若ac为斜边，若ab为斜边，若bc为斜边，分别求解即可。（3）在abc中，ab的值固定不变，即可视为底边不变，但是因为三角形形状不固定，高在发生变化，所以造成面积不固定，需分情况进行讨论具体分若点d在线段ab上，若点d在线段ma上两种情况。 14.（2009年浙江丽水12分）已知直角坐标系中菱形abcd的位置如图，c，d两点的坐标分别为(4,0)，(0,3).现有两动点p,q分别从a,c同时出发，点p沿线段ad向终点d运动，点q沿折线cba向终点a运动，设运动时间为t秒.（1）填空：菱形abcd的边长是 、面积是 、 高be的长是 ；（2）探究下列问题：若点p的速度为每秒1个单位，点q的速度为每秒2个单位.当点q在线段ba上时，求apq的面积s关于t的函数关系式，以及s的最大值； 若点p的速度为每秒1个单位，点q的速度变为每秒k个单位，在运动过程中,任何时刻都有相应的k值，使得apq沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形.请探究当t=4秒时的情形，并求出k的值.【答案】解：（1）5； 24；。（2）由题意，得ap=t，aq=102t，如图1，过点q作qgad，垂足为g，由qgbe得：aqgabe，。qg=。(t5)。(t5)，当t=时，s最大值为6。 要使apq沿它的一边翻折，翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形，根据轴对称的性质，只需apq为等腰三角形即可。当t=4秒时，点p的速度为每秒1个单位，ap=.。以下分两种情况讨论:第一种情况：当点q在cb上时, pqbepa，只存在点q1，使q1a=q1p。如图2，过点q1作q1map，垂足为点m，q1m交ac于点f，则am=。由amfaodcq1f，得：, 。 cq1=。, 。第二种情况：当点q在ba上时，存在两点q2，q3，分别使a p= a q2，pa=pq3，i）若ap=aq2，如图3， cb+bq2=104=6，。 ii）若pa=pq3，如图4，过点p作pnab，垂足为n，由anpaeb，得。ae= , an。aq3=2an=, bc+bq3=10。.。综上所述，当t= 4秒，以所得的等腰三角形apq沿底边翻折，翻折后得到菱形的k值为或或。【考点】双动点和折叠问题，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质，分类思想的应用。【分析】（1）已知c，d的坐标，可在rtcod中用勾股定理求出cd的长即菱形的边长菱形的面积就是4个rtcod的面积be的长可用菱形的面积和菱形的边长来求得。（2）求apq的面积关键是求出底边ap上的高，过q作qgad于g，那么qg就是apq的高，可根据相似三角形aqg和abe来求出qg的长，然后根据三角形的面积计算方法即可得出关于s，t的函数关系式然后根据得出的函数的性质即可得出