2011年全国各地中考数学真题分类汇编—第26章矩形、菱形与正方形.docVIP

2011年全国各地中考数学真题分类汇编矩形、菱形与正方形1. （2011福建福州，21，12分）已知,矩形中,的垂直平分线分别交、于点、,垂足为. (1)如图10-1,连接、.求证四边形为菱形,并求的长；(2)如图10-2,动点、分别从、两点同时出发,沿和各边匀速运动一周.即点自停止,点自停止.在运动过程中,已知点的速度为每秒5,点的速度为每秒4,运动时间为秒,当、四点为顶点的四边形是平行四边形时,求的值.若点、的运动路程分别为、(单位:,),已知、四点为顶点的四边形是平行四边形,求与满足的数量关系式.图10-1图10-2备用图【答案】(1)证明:四边形是矩形,垂直平分,垂足为 四边形为平行四边形又四边形为菱形设菱形的边长,则 在中,由勾股定理得,解得(2)显然当点在上时,点在上,此时、四点不可能构成平行四边形;同理点在上时,点在或上,也不能构成平行四边形.因此只有当点在上、点在上时,才能构成平行四边形以、四点为顶点的四边形是平行四边形时,点的速度为每秒5,点的速度为每秒4,运动时间为秒,解得以、四点为顶点的四边形是平行四边形时,秒.由题意得,以、四点为顶点的四边形是平行四边形时,点、在互相平行的对应边上.分三种情况:i)如图1,当点在上、点在上时,即,得ii)如图2,当点在上、点在上时, 即,得iii)如图3,当点在上、点在上时,即,得综上所述,与满足的数量关系式是图1图2图32. （2011广东广州市，18，9分） 如图4，ac是菱形abcd的对角线，点e、f分别在边ab、ad上，且ae=af 求证：aceacf图4abcdef【答案】四边形abcd为菱形bac=dac又ae=af，ac=acaceacf（sas）3. （2011山东滨州，24，10分）如图，在abc中，点o是ac边上（端点除外）的一个动点，过点o作直线mnbc.设mn交bca的平分线于点e,交bca的外角平分线于点f，连接ae、af。那么当点o运动到何下时，四边形aecf是矩形？并证明你的结论。（第24题图）【答案】当点o运动到ac的中点（或oa=oc）时，四边形aecf是矩形2分证明：ce平分bca,1=2，3分又mnbc, 1=3，3=2，eo=co. 5分同理，fo=co6分eo=fo又oa=oc, 四边形aecf是平行四边形7分又1=2，4=5，1+5=2+4. 8分又1+5+2+4=1802+4=909分四边形aecf是矩形10分4. （2011山东济宁，22，8分）数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图，正方形的边长为，为边延长线上的一点，为的中点，的垂直平分线交边于，交边的延长线于.当时，与的比值是多少？经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过作直线平行于交，分别于，如图，则可得：，因为，所以.可求出和的值，进而可求得与的比值.(1) 请按照小明的思路写出求解过程.(2) 小东又对此题作了进一步探究，得出了的结论.你认为小东的这个结论正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由.(第22题)（1）解：过作直线平行于交，分别于点， 则，.，.2分，. 4分（2）证明：作交于点，5分则，.，.，.7分.8分(第22题)5. （2011山东威海，24，11分）如图，abcd是一张矩形纸片，ad=bc=1,ab=cd=5在矩形abcd的边ab上取一点m，在cd上取一点n，将纸片沿mn折叠，使mb与dn交于点k，得到mnk（1）若1=70，求mnk的度数（2）mnk的面积能否小于？若能，求出此时1的度数；若不能，试说明理由（3）如何折叠能够使mnk的面积最大？请你利用备用图探究可能出现的情况，求出最大值（备用图）【答案】 解：abcd是矩形，amdn，knm=1kmn=1，knm=kmn1=70，knm=kmn=70mnk=40（2）不能过m点作medn，垂足为点e，则me=ad=1,由（1）知knm=kmnmk=nk又mkme,nk1mnk的面积最小值为，不可能小于（3）分两种情况：情况一：将矩形纸片对折，使点b与点d重合，此时点k也与点d重合设mk=md=x，则am=5-x，由勾股定理，得,解得，即 （情况一）情况二：将矩形纸片沿对角线ac对折，此时折痕为ac设mk=ak= ck=x，则dk=5-x，同理可得即mnk的面积最大值为1.3 （情况二）6. （2011山东烟台，24,10分）已知：如图，在四边形abcd中，abc90，cdad，ad2cd22ab2（1）求证：abbc；abcde（2）当bead于e时，试证明：beaecd【答案】（1）证明：连接ac，abc90，ab2bc2ac2.cdad，ad2cd2ac2.ad2cd22ab2，ab2bc22ab2，abbc.（2）证明：过c作cfbe于f.bead，四边形cdef是矩形.cdef.abebae90，abecbf90，baecbf，baecbf.aebf.bebfef aecd.7. (2011 浙江湖州，22，8) 如图已知e、f分别是abcd的边bc、ad上的点，且be=df(1) 求证：四边形aecf是平行四边形；(2) 若bc10，bac90，且四边形aecf是菱形，求be的长 【答案】（1）证明：四边形abcd是平行四边形，adbc，且ad=bc，afec，be=df，af=ec，四边形aecf是平行四边形.（2）四边形aecf是，aece，12，bac90，3902，4901，34，aebe，beaecebc5.8（2011宁波市，23，8分）如图，在abcd中，e、f分别为边abcd的中点，bd是对角线，过a点作agdb交cb的延长线于点g（1）求证：debf；（2）若g90，求证四边形debf是菱形解：（1）abcd 中，abcd，abcde、f分别为ab、cd的中点dfdc，beabdfbe，dfbe四边形debf为平行四边形debf(2)证明：agbdgdbc90dbc 为直角三角形又f为边cd的中点bfdcdf又四边形debf为平行四边形四边形debf是菱形9. （2011浙江衢州，22,10分）如图，中，是边上的中线，过点作，过点作与分别交于点、点，连接求证：;当时，求证：四边形是菱形；在（2）的条件下，若，求的值.（第22题）【答案】.证明：(1)解法1：因为de/ab,ae/bc,所以四边形abde是平行四边形，所以ae/bd且ae=bd，又因为ad是边bc上的中线，所以bd=cd，所以ae平行且等于cd，所以四边形adce是平行四边形，所以ad=ec.解法2： 又 (2)解法1：证明是斜边上的中线 又四边形是平行四边形 四边形是菱形解法2证明： 又四边形是平行四边形 四边形是菱形解法3证明： 四边形是平行四边形 又四边形是菱形解法1解：四边形是菱形的中位线，则解法2解：四边形是菱形10. （2011浙江省嘉兴，23，12分）以四边形abcd的边ab、bc、cd、da为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为e、f、g、h，顺次连结这四个点，得四边形efgh（1）如图1，当四边形abcd为正方形时，我们发现四边形efgh是正方形；如图2，当四边形abcd为矩形时，请判断：四边形efgh的形状（不要求证明）；（2）如图3，当四边形abcd为一般平行四边形时，设adc=（090）， 试用含的代数式表示hae； 求证：he=hg； 四边形efgh是什么四边形？并说明理由 （第23题图2）（第23题图3）（第23题图1）【答案】（1）四边形efgh是正方形(2) hae=90a在abcd中，abcd，bad=180adc=180a；had和eab都是等腰直角三角形，had=eab=45，hae=360hadeabbad3604545（180a）90aaeb和dgc都是等腰直角三角形，ae=ab，dg=cd，在abcd中，ab=cd，ae=dg，had和gdc都是等腰直角三角形，dha=cdg= 45，hdg=hadadccdg90ahaehad是等腰直角三角形，ha=hd，haehdg，he=hg四边形efgh是正方形由同理可得：gh=gf，fg=fe，he=hg（已证），gh=gf=fg=fe，四边形efgh是菱形；haehdg（已证），dhg=ahe，又ahd=ahgdhg=90，ehg=ahgahe90，四边形efgh是正方形13. （2011福建泉州，21，9分）如图，将矩形abcd沿对角线ac剪开，再把acd沿ca方向平移得到a1c1d1(1)证明：a1ad1cc1b；(2)若acb30，试问当点c1在线段ac上的什么位置时，四边形abc1d1是菱形. （直接写出答案）【答案】矩形abcd bc=ad,bcaddac=acb把acd沿ca方向平移得到a1c1d1a1=dac,a1d1=ad,aa1=cc1a1=acb，a1d1=cb。cbada1c1d1（第21题）a1ad1cc1b（sas）。6分当c1在ac中点时四边形abc1d1是菱形，9分14. （2011甘肃兰州，27，12分）已知：如图所示的一张矩形纸片abcd（adab），将纸片折叠一次，使点a与点c重合，再展开，折痕ef交ad边于点e，交bc边于点f，分别连结af和ce。（1）求证：四边形afce是菱形；（2）若ae=10cm，abf的面积为24cm2，求abf的周长；（3）在线段ac上是否存在一点p，使得2ae2=acap？若存在，请说明点p的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由。abcdefo【答案】（1）由折叠可知efac，ao=coadbceao=fco，aeo=cfoaoecofeo=fo四边形afce是菱形。（2）由（1）得af=ae=10设ab=a，bf=b，得a2+b2=100 ，ab=48 +2得 (a+b)2=196，得a+b=14（另一负值舍去）abf的周长为24cm（3）存在，过点e作ad的垂线交ac于点p，则点p符合题意。abcdefop证明：aep=aoe=90，eap=oaeaoeaep，得ae2=aoap即2ae2=2aoap又ac=2ao2ae2=acap15. （2011广东株洲，23，8分）如图，矩形abcd中，点p是线段ad上一动点，o为bd的中点， po的延长线交bc于q.（1）求证： op=oq；（2）若ad=8厘米，ab=6厘米，p从点a出发，以1厘米/秒的速度向d运动（不与d重合）.设点p运动时间为t秒，请用t表示pd的长；并求t为何值时，四边形pbqd是菱形【答案】（1）证明：四边形abcd是矩形，adbc， pdo=qbo，又ob=od，pod=qob， podqob， op=oq。 （2）解法一： pd=8-t 四边形abcd是矩形，a=90，ad=8cm，ab=6cm，bd=10cm，od=5cm. 当四边形pbqd是菱形时， pqbd，pod=a，又odp=adb，odpadb， ，即， 解得,即运动时间为秒时，四边形pbqd是菱形. 解法二：pd=8-t 当四边形pbqd是菱形时，pb=pd=(8-t)cm， 四边形abcd是矩形，a=90，在rtabp中，ab=6cm， ， ， 解得,即运动时间为秒时，四边形pbqd是菱形. 16. （2011江苏苏州，28,9分）（本题满分9分）如图，小慧同学吧一个正三角形纸片（即oab）放在直线l1上，oa边与直线l1重合，然后将三角形纸片绕着顶点a按顺时针方向旋转120，此时点o运动到了点o1处，点b运动到了点b1处；小慧又将三角形纸片ao1b1绕b1点按顺时针方向旋转120，点a运动到了点a1处，点o1运动到了点o2处（即顶点o经过上述两次旋转到达o2处）.小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转过程中，顶点o运动所形成的图形是两段圆弧，即弧oo1和弧o1o2，顶点o所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两端圆弧与直线l1围成的图形面积等于扇形aoo1的面积、ao1b1的面积和扇形b1o1o2的面积之和.小慧进行类比研究：如图，她把边长为1的正方形纸片oabc放在直线l2上，oa边与直线l2重合，然后将正方形纸片绕着顶点a按顺时针方向旋转90，此时点o运动到了点o1处（即点b处），点c运动到了点c1处，点b运动到了点b1处；小慧又将正方形纸片ao1c1b1绕b1点按顺时针方向旋转90，按上述方法经过若干次旋转后，她提出了如下问题：问题：若正方形纸片oabc按上述方法经过3次旋转，求顶点o经过的路程，并求顶点o在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积；若正方形oabc按上述方法经过5次旋转，求顶点o经过的路程；问题：正方形纸片oabc按上述方法经过多少次旋转，顶点o经过的路程是？请你解答上述两个问题.【答案】解问题：如图，正方形纸片oabc经过3次旋转，顶点o运动所形成的图形是三段弧，即弧oo1、弧o1o2以及弧o2o3，顶点o运动过程中经过的路程为.顶点o在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积为=1+.正方形oabc经过5次旋转，顶点o经过的路程为.问题：方形oabc经过4次旋转，顶点o经过的路程为=20+.正方形纸片oabc经过了81次旋转.17. （2011江苏泰州，24，10分）如图，四边形abcd是矩形，直线l垂直平分线段ac，垂足为o，直线l分别与线段ad、cb的延长线交于点e、f（1）abc与foa相似吗？为什么？（2）试判定四边形afce的形状，并说明理由【答案】(1)相似.由直线l垂直平分线段ac，所以af=fc，fac=acf，又abc=aof=90，abcfoa（2）四边形afce是菱形。理由：aecf，eao=fco，又aoco，aoe=cof，aoecof，ae=cf，又aecf，四边形afce为平行四边形，又af=fc，所以平行四边形afce为菱形18. （2011江苏泰州，28，12分）在平面直角坐标系xoy中，边长为a（a为大于0的常数）的正方形abcd的对角线ac、bd相交于点p，顶点a在x轴正半轴上运动，顶点b在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点o），顶点c、d都在第一象限（1）当bao=45时，求点p的坐标;(2)求证：无论点a在x轴正半轴上、点b在y轴正半轴上怎样运动，点p都在aob的平分线上；（3）设点p到x轴的距离为h，试确定h的取值范围，并说明理由【答案】解：（1）当bao=45时，pao=90，在rtaob中，oaab，在rtapb中，paab。点p的坐标为（，）（2）过点p分别作x轴、y轴的垂线垂足分别为m、n，则有pma=pnb=npm=bpa=90，mpa=npb，又papb，pampbn，pm=pn，于是，点p都在aob的平分线上；（3）h。当点b与点o重合时，点p到ab的距离为，然后顶点a在x轴正半轴上向左运动，顶点b在y轴正半轴上向上运动时，点p到ab的距离逐渐增大，当bao=45时，pax轴，这时点p到ab的距离最大为，然后又逐渐减小到，x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点o ，点p到x轴的距离的取值范围是h。19. （2011山东济宁，17， 5分）如图，在平行四边形abcd中，对角线ac、bd相交于点o，过点o作直线efbd，分别交ad、bc于点e和点f，求证：四边形bedf是菱形第17题【答案】证明：四边形abcd是菱形，adbc，ob=od，1分edo=fbo，oed=ofb，2分oedofb，de=bf，3分又debf，四边形bedf是平行四边形，4分efbd，四边形bedf是菱形5分20（2011山东聊城，25，12分）如图，在矩形abcd中，ab12cm，bc8cm，点e、f、g分别从点a、b、c三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点e、g的速度均为2cm/s，点f的速度为4cm/s，当点f追上点g（即点f与点g重合）时，三个点随之停止移动设移动开始后第t秒时，efg的面积为s（cm2）（1）当t1秒时，s的值是多少？（2）写出s和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围（3）若点f在矩形的边bc上移动，当t为何值时，以点e、b、f为顶点的三角形与以f、c、g为顶点的三角形相似？请说明理由【答案】（1）如图甲，当t1秒时，ae2，eb10，bf4，fc4，cg2，由ss梯形egcgsebfsfcg(102)81044224(2)如图（甲），当0t2时，点e、f、g分别在ab、bc、cd上移动，此时ae2t，eb122t，bf4t，fc84t，s8t232t48（0t2）（3）如图乙，当点f追上点g时，4t2t8，解得t4，当2t4时，cf4t8，cg2t，fgcgcf82t，即s8t32(2t4)，(3)如图（甲），当点f在矩形的边bc上移动时，0t2，在eff和fcg中，bc90，若，即，解得t，又t满足0t2，所以当t时ebfgcf若，即，解得t，又t满足0t2，所以当t时ebfgcf，综上知，当t或时，以点e、b、f为顶点的三角形与以f、c、g为顶点的三角形相似21. （2011山东潍坊，18，8分）已知正方形abcd的边长为a，两条对角线ac、bd相交于点o，p是射线ab上任意一点，过p点分别做直线ac、bd的垂线pe、pf，垂足为e、f.（1）如图1，当p点在线段ab上时，求pe+pf的值；（2）如图2，当p点在线段ab的延长线上时，求pepf的值. 【解】（1）四边形abcd为正方形，acbd.pfbd，pf/ac，同理pe/bd.四边形pfoe为矩形，故pe=of.又pbf=45，pf=bf.pe+pf=of+fb=ob=.（2）四边形abcd为正方形，acbd.pfbd，pf/ac，同理pe/bd.四边形pfoe为矩形，故pe=of.又pbf=45，pf=bf.pepf=ofbf= ob=.22. （2011四川广安，23，8分）如图5所示，在菱形abcd中，abc= 60，deac交bc的延长线于点e求证：de=be图5【答案】证明：abcd是菱形，abc= 60 bc=ac=ad 又deac aced为平行四边形 ce=ad=bc de=ac de=ce=bc de=be23. (2011江苏南京，21，7分)如图，将abcd的边dc延长到点e，使ce=dc，连接ae，交bc于点f求证：abfecf若afc=2d，连接ac、be求证：四边形abec是矩形abcdef(第21题)【答案】证明：四边形abcd是平行四边形，abcd,ab=cdabf=ecf.ec=dc, ab=ec在abf和ecf中，abf=ecf，afb=efc，ab=ec，abfecf（2）解法一：ab=ec ，abec，四边形abec是平行四边形af=ef， bf=cf四边形abcd是平行四边形，abc=d，又afc=2d，afc=2abcafc=abf+baf，abf=baffa=fb fa=fe=fb=fc, ae=bc口abec是矩形解法二：ab=ec ，abec，四边形abec是平行四边形四边形abcd是平行四边形，adbc，d=bce又afc=2d，afc=2bce，afc=fce+fec，fce=fecd=fecae=ad又ce=dc，acde即ace=90口abec是矩形24. （2011江苏南通，26，10分）（本体满分10分）已知：如图1，o为正方形abcd的中心，分别延长oa到点f，od到点e，使of2oa，oe2od，连结ef，将foe绕点o逆时针旋转角得到（如图2）.（1） 探究ae与bf的数量关系，并给予证明；（2） 当30时，求证：aoe为直角三角形.【答案】（1）aebf证明：如图2，在正方形abcd中， acbdaodaob90即aoeaofbofaofaoebof又oaobod，oe2od，of2oaoeofoaeobfaebf（2）作aoe的中线am，如图3.则oe2om2od2oaoaom30aom60aom为等边三角形mamome，又amo即26030aoe306090aoe为直角三角形.25. （2011山东临沂，22，7分）如图，abc中，abac，ad、cd分别是abc两个外角的平分线在直角梯形abcd中，abcd，abc90，2cd，对角线ac与bd相交于点o，线段oa，ob的中点分别为点e，f（1）求证：acad；（2）若b60，求证：四边形abcd是菱形； 【解】（1）证明：abac，bbca，eacbbca2b，ad平分fac，fadb，adbc，（2分）ddce，cd平分ace，acddce，dacd，（3分）acad；（4分）（2）证明：b60，acb60，facace120，dceb60，（5分）dcab,adbc，四边形abcd为平行四边形，（6分）又由（1）知acad，abad，四边形abcd是菱形（7分）26. （2011山东临沂，25，11分)如图1，奖三角板放在正方形abcd上，使三角板的直角顶点e与正方形abcd的顶点a重合，三角板的一边交cd于点f，另一边交cb的延长线于点g（1）求证：efeg；（2）如图2，移动三角板，使顶点e始终在正方形abcd的对角线ac上，其他条件不变（1）中的结论是否仍然成立？若成立，情给予证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，将（2）中的“正方形abcd”改为“矩形abcd”，且使三角板的一边经过点b，其他条件不变，若aba,bcb，求的值 图1 图2 图3（1）证明：gebbef90，defbef90， defgeb，（ 1分） 又edbe， rtfedrtgeb，（ 2分） efeg（ 3分）(2)成立（ 4分） 证明：如图，过点e分别作bc、cd的垂线，垂足分别为h、i， 则ehei，hei90，（ 5分） gehhef90，iefhef90， iefgeh，（ 6分） rtfeirtgeh, efeg（7分） (3)解：如图，过点e分别作bc、cd的垂线，垂足分别为m、n ，则men90，emab，enad,（ 8分） ， , （9分） gemmef90，fenmef90， fengem，rtfenrtgem, （10分）（11分） 27. （2011上海，23，12分）如图，在梯形abcd中，ad/bc，abdc，过点d作debc，垂足为e，并延长de至f，使efde联结bf、cf、ac（1）求证：四边形abfc是平行四边形；（2）如果de2bece，求证四边形abfc是矩形【答案】（1）连接bddebc，ef=de，bd=bf，cd=cf在梯形abcd中，ad/bc，ab=dc，四边形abcd是等腰梯形bd=acac=bf，ab=cf四边形abfc是平行四边形（2）de2 =bece，ef=de，ef2 =bece又debc，cef=feb=90ceffebcfe=fbefbe+bfe=90，cfe +bfe=90即bfc=90由（1）知四边形abfc是平行四边形，证四边形abfc是矩形20 28. （2011四川乐山20，10分）如图，e、f分别是矩形abcd的对角线ac和bd上的点，且ae=df。求证：be=cf【答案】证明：四边形abcd为矩形 oa=ob=oc=od ab=cd ae=df oe=of 在boe与cof中， boecof(sas) be=cf29. （2011湖南衡阳，26，10分）如图，在矩形abcd中，ad=4，ab=m(m4)，点p是ab边上的任意一点（不与a、b重合），连结pd，过点p作pqpd，交直线bc于点q(1)当m=10时，是否存在点p使得点q与点c重合？若存在，求出此时ap的长；若不存在，说明理由；(2)连结ac，若pqac,求线段bq的长（用含m的代数式表示）(3)若pqd为等腰三角形，求以p、q、c、d为顶点的四边形的面积s与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围【解】(1) 假设当m=10时，存在点p使得点q与点c重合（如下图），pqpddpc=90，apdbpc=90，又adpapd=90，bpc=adp，又b=a=90，pbcdap，或8，存在点p使得点q与点c重合，出此时ap的长2 或8(2) 如下图，pqac，bpq=bac，bpq=adp，bac=adp，又b=dap=90，abcdap，即，pqac，bpq=bac，b=b，pbqabc，即，(3)由已知 pqpd，所以只有当dp=pq时，pqd为等腰三角形（如图），bpq=adp，又b=a=90，pbqdap，pb=da=4，ap=bq=，以p、q、c、d为顶点的四边形的面积s与m之间的函数关系式为：s四边形pqcd= s矩形abcdsdapsqbp=16（48）30. （2011贵州贵阳，18，10分）如图，点e是正方形abcd内一点，cde是等边三角形，连接eb、ea，延长be交边ad于点f（1）求证：adebce；（5分）（2）求afb的度数（5分）（第18题图）【答案】解：（1）四边形abcd是正方形，adc=bcd=90，ad=bccde是等边三角形，cde=dce=60，de=ce adc=bcd=90，cde=dce=60，ade=bce=30ad=bc，ade=bce，de=ce，adebce（2）adebce，ae=be，bae=abebae+dae=90，abe+afb=90，bae=abe，dae=afbad=cd=de，dae=deaade=30，dae=75，afb=7531. （2011广东肇庆，20，7分）如图，在正方形abcd中，e为对角线ac上一点，连接eb、ed（1）求证：becdec；（2）延长be交ad于点f，若deb 140，求afe的度数 abcdef【答案】解：（1）证明：四边形abcd 是正方形 cdcb， ac是正方形的对角线 dcabca 又 ce ce becdec (2）deb 140由becdec可得dec bec140270， aef bec70，又ac是正方形的对角线， dab90 dac bac90245， 在aef中，afe180 70 4565 32. （2011广东肇庆，22，8分）如图，矩形abcd的对角线相交于点o，deac，cebd（1）求证：四边形oced是菱形；（2）若acb30，菱形oced的面积为，求ac的长abcdeo【答案】解：（1）证明：deoc ，ceod，四边形oced是平行四边形 四边形abcd是矩形 aoocbood 四边形oced是菱形 abcdeo图8f（2）acb30 dco 90 30 60又od oc， ocd是等边三角形 过d作dfoc于f，则cfoc，设cf，则oc 2，ac4在rtdfc中，tan 60 dffc tan 60 由已知菱形oced的面积为得oc df，即 ， 解得 2， ac428 33. （2011湖北襄阳，25，10分)如图9，点p是正方形abcd边ab上一点（不与点a，b重合），连接pd并将线段pd绕点p顺时针方向旋转90得到线段pe，pe交边bc于点f，连接be，df.（1）求证：adpepb；（2）求cbe的度数；（3）当的值等于多少时，pfdbfp？并说明理由. 图9【答案】（1）证明：四边形abcd是正方形apbc90，abad，adpapd901分dpe90 apdepb90adpepb.2分（2）过点e作egab交ab的延长线于点g，则egpa903分又adpepb，pdpe，padegpegap，adabpg，apegbg4分cbeebg45.5分（3）方法一：当时，pfebfp.6分adpfpb，apbf，adpbpf7分设adaba，则appb，bfbp8分，9分又dpfpbf90，adpbfp10分方法二：假设adpbfp，则.6分adpfpb，apbf，adpbpf7分，8分，9分pbap， 当时，pfebfp.10分34. （2011湖南永州，25，10分）探究问题：方法感悟：如图，在正方形abcd中，点e，f分别为dc，bc边上的点，且满足eaf=45，连接ef，求证de+bf=ef感悟解题方法，并完成下列填空：将ade绕点a顺时针旋转90得到abg，此时ab与ad重合，由旋转可得：ab=ad,bg=de, 1=2，abg=d=90,abg+abf=90+90=180，因此，点g，b，f在同一条直线上eaf=45 2+3=bad-eaf=90-45=451=2， 1+3=45即gaf=_又ag=ae，af=afgaf_=ef，故de+bf=ef （第25题）方法迁移：如图，将沿斜边翻折得到adc，点e，f分别为dc，bc边上的点，且eaf=dab试猜想de，bf，ef之间有何数量关系，并证明你的猜想（第25题）问题拓展：如图，在四边形abcd中，ab=ad，e，f分别为dc,bc上的点，满足,试猜想当b与d满足什么关系时，可使得de+bf=ef请直接写出你的猜想（不必说明理由）（第25题）【答案】eaf、eaf、gfde+bf=ef，理由如下：假设bad的度数为，将ade绕点a顺时针旋转得到abg，此时ab与ad重合，由旋转可得：ab=ad,bg=de, 1=2，abg=d=90,abg+abf=90+90=180，因此，点g，b，f在同一条直线上eaf= 2+3=bad-eaf=1=2， 1+3=即gaf=eaf又ag=ae，af=afgafeafgf=ef，又gf=bg+bf=de+bf de+bf=ef （第25题）解得图当b与d互补时，可使得de+bf=ef35. （2011江苏盐城，27，12分）情境观察将矩形abcd纸片沿对角线ac剪开，得到abc和acd，如图1所示.将acd的顶点a与点a重合，并绕点a按逆时针方向旋转，使点d、a(a)、b在同一条直线上，如图2所示观察图2可知：与bc相等的线段是 ，cac= 图1 图2问题探究如图3，abc中，agbc于点g，以a为直角顶点，分别以ab、ac为直角边，向abc外作等腰rtabe和等腰rtacf，过点e、f作射线ga的垂线，垂足分别为p、q. 试探究ep与fq之间的数量关系，并证明你的结论.图3拓展延伸如图4，abc中，agbc于点g，分别以ab、ac为一边向abc外作矩形abme和矩形acnf，射线ga交ef于点h. 若ab= k ae，ac= k af，试探究he与hf之间的数量关系，并说明理由.图4【答案】情境观察ad（或ad），90 问题探究结论：ep=fq. 证明：abe是等腰三角形，ab=ae，bae=90.bag+eap=90.agbc，bag+abg=90，abg=eap.epag，agb=epa=90，rtabgrteap. ag=ep.同理ag=fq. ep=fq. 拓展延伸结论： he=hf. 理由：过点e作epga，fqga，垂足分别为p、q.四边形abme是矩形，bae=90，bag+eap=90.agbc，bag+abg=90，abg=eap.agb=epa=90，abgeap， = . 同理acgfaq， = . ab= k ae，ac= k af， = = k， = . ep=fq. ehp=fhq，rtephrtfqh. he=hf.36. (20011江苏镇江,23,7分)已知:如图,在梯形abcd中abcd,bc=cd,adbd,e为ab中点,求证:四边形bcde是菱形.答案:证明：adbd，adb=90。又e为ab中点，de=ab,be=ab, de=be dbe =edb又abcd, bdc =edbbc=cd, dbc =dbcbcde.ebcd四边形bcde是平行四边形bc=cd四边形bcde是菱形。37. (20011江苏镇江,25,6分)已知:如图1,图形满足:ad=ab,md=mb, a=72, m=144.图形与图形恰好拼成一个菱形(如图2).记作ab的长度为a,bm的长度为b. (1)图中中b=_度,图中中e=_度.(2)小明有两种纸片各若干张,其中一种纸片的形状及大小与图形相同,这咱纸片称为“风筝一号”另一种纸片的形状及大小与图形相同,这种纸片称为“飞镖一号”.小明仅有“,风筝一号”纸片拼成一个边长为b的正十边形,需要这种纸片_张;小明用若干张