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函数及其图像考试要求函数及其图像考试要求 1理解平面直角坐标系的有关概念，能熟练掌握点在各象限内、坐标轴上其坐标的特征， 及关于坐标轴对称、关于原点对称的点的坐标特征.会求坐标轴上两点间的距离. 2理解函数的意义，掌握求函数自变量取值范围的方法，会求函数值，掌握函数的三种表 示方法. 3理解正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的概念，掌握它们的性质，会画出 它们的图象. 4会根据函数的图象指出函数值随自变量的变化的情况，说出函数的主要性质. 5会用待定系数法确定函数的解析式. 6会用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴的方程，会判断开口方向. 7理解一元二次方程、二次三项式与二次函数的关系. 要点解析要点解析 一、本章知识网络 二、复习要点 1直角坐标系 （1）定义平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴，构成了平面直角坐标系 （2）点与坐标坐标平面内的点与有序实数对（坐标）是一对应的由坐标能很快找出 对应点；由给定点能熟练地求出坐标 （3）特殊点的坐标 象限点 象限点的关键是点的横、纵坐标的符号 轴上点 轴（横轴）上的点纵坐标恒为零； 轴（纵轴）上的点横坐标恒为零 对称点 借助几何上对称（轴对称，中心对称）的含义轴对称，翻折 180重合；中 心对称，旋转 180重合 关于 轴对称的点：横坐标不变，纵坐标互为相反数； 关于 轴对称的点；横坐标互为相反数，纵坐标不变； 关于原点对称的点：横、纵坐标各互为相反数 （4）距离点的坐标已知，它在坐标平面内的位置就确定，因而点到轴的距离及到点的距 离都存在 点 到 轴的距离是 ，到 轴的距离是 点到点的距离借助于勾股定理决定 2函数及其图像 函数的有关概念 （1）常量和变量常量和变量不是绝对的，而是相对的，在判断常量和变量时，切不可忽 略在何变化过程中 （2）函数设在一个变化过程中有两个变量 与 ，如果对于 的每一个值， 都有 唯一的值与它对应，那么就说 是自变量， 是 的函数 a初中研究的函数实质上是研究变量间一对应的关系 b任何含有一个字母（变量）的代数式都可以看作是这个字母的函数 c函数的定义存在，离不开自变量的取值范围当对应关系由代数式的具体表达式确定时， 自变量的取值要使代数式存在对应值；当变化过程是实际过程时，自变量的取值范围除考 虑代数式外，还要使实际问题有意义 （3）函数及其图像函数的图像是所有适合函数解析式的点的集合，含义是坐标适合函数 解析式的点一定在此函数的图像上；函数图像上的点的坐标一定适合函数的解析式 描点法作函数图像的三步是：列表、描点、连线 函数的表示法：图像法、列表法、解析法 3一次函数的图象和性质 4正比例函数的图象和性质 5二次函数的图象和性质 6反比例函数的图象和性质 典型例题典型例题 平面直角坐标系典型例题平面直角坐标系典型例题 例例 1 已知点 在第二象限，则 的取值范围是（ ） a b c d 解：依题意，得 解得 ，故应选 d. 例例 2 在平面直角坐标系内，已知点 在第三象限，且 为整数，求 的值. 解：点 在第三象限， 解不等式（1）得 ， 解不等式（2）得 不等式组的解集是 . 为整数， 的值为 1. 说明：在直角坐标系中，点与点的坐标是一一对应的，又整数作加、减、乘法运算结果仍 是整数，因此要使点 p 的横坐标、纵坐标为整数，即要使 为整数. 例例 3（1）若点 a（a，b）在第三象限，则点 q（-a+1，3b-5）在第 象限； （2）若点 b（m+4，m-1）在 x 轴上，则 m= . （3）若点 c（x，y）满足 x+y0，xy0，则点 c 在第 象限. （4）若点 d（6-5m，m2-2）在第二、四象限夹角平分线上，则 m= . （5）已知点 和点 关于 y 轴对称，则 a= ，b= . 解：（1） 点 a（a，b）在第三象限 点 q（-a+1，3b-5）在第四象限 （2） 点 b（m+4，m-1）在 x 轴上 （3） xy0 同号 x+y0， 均为负. 点 c 在第三象限. （4） 点 d（6-5m，m2-2）在第二、四象限夹角平分线上， （5） 点 和点 关于 y 轴对称， 说明：这组填空题是点的坐标特征的应用，要记住点在四个象限内的符号特征，点在坐标 轴上，一，三与二，四象限夹角平分线上的特征；点关于 x 轴，y 轴，原点对称点的特征. 例例 4 已知点 在第一象限内两坐标轴夹角的平分线上，则 的值是_；已知点 在第二象限内两坐标轴夹角的平分线上，则 的值是_；若点 在第一、 三象限的角的平分线上，则 与 的关系是_；若点 在第二、四象限的角的 平分线上，则 ， 的关系是_. 解：分别填 3；3； ； （或 ）. 说明：在第一、三象限角的平分线上的点的坐标是横、纵坐标相等，即 ；在第二、 四象限角平分线上的点的坐标是横、纵坐标互为相反数，即 . 例例 5 已知点 与点 在同一条平行于 x 轴的直线上，且 到 y 轴的距 离等于 4，那么点 的坐标是（ ） a（4，2）或（4，2） b（4，2）或（4，2） c（4，2）或（5，2） d（4，2）或（1，2） 分析：因为点 与点 在同一条平行于 x 轴的直线上，所以 .又因 为 到 y 轴的距离等于 4，所以 或4.应选 b. 例例 6 如图所示，已知边长为 1 的正方形 oabc 在直角坐标系中，b，c 两点在第二角限内， oa 与 x 轴的夹角为 60，那么 b 点的坐标为_. 分析：过 b 作 轴于 d.易知 .设 ab 与 y 轴的交点为 e，且设 ，则 .在 rt 中，由勾股定 理得 .得 .所以 ， ， ， .因为 b 在第二象限，所以 b 点 的坐标应为 . 说明：平面直角坐标系作为考题内容时，多是选择题、填空题等题型，今后平面直角坐标 系作为中考内容仍然是上述两种题型. 函数及其图像典型例题 例例 1 判断下列关系是不是函数关系？ （1）长方形的宽一定时，其长与面积； （2）等腰三角形的底边长与面积； （3）某人的年龄与身高； （4）关系式| y |=x 中的 y 与 x. 分析：判断一个关系是不是函数关系，第一要看是不是一个变化过程；第二要看在这个变 化过程中，是不是有两个变量；第三要看自变量每取一个确定值，函数是不是都有唯一确 定的值与它对应. 解：（1）长方形的宽一定时，其长所取的每一个确定的值，面积都有唯一确定的值与它对 应，所以长与面积是函数关系. （2）因为三角形的面积受底和高两个因素的影响，当等腰三角形的底取一个定值时，它的 面积又受高的影响，不能有唯一确定的值和底相对应，所以底边长与面积不是函数关系. （3）人的任意一个确定的年龄，都有唯一确定的身高与之相对应，所以某人的年龄与身高 是函数关系. （4）x 每取一个正值，y 都有两个值与它对应，所以| y | = x 不是函数关系. 说明：年龄与身高的变化不按某种规律，但某人每一个确定的年龄，必有唯一确定的身高 和 它相对应，因此函数关系是一定的，所以不要以为存在一定比例关系或一定规律，能 用解析式表示的才是函数关系. 例例 2 汽车由北京驶往相距 850 千米的沈阳，它的平均速度为 80 千米/小时，求汽车距沈 阳的路程 s（千米）与行驶时间 t（小时）的函数关系式，写出自变量的取值范围. 分析：北京距沈阳 850 千米，汽车距沈阳的路程等于全程减去已行驶的路程，已行驶的路 程等于速度乘以时间. 解： 得 于是汽车距沈阳的路程 s 与时间 t 的函数关系式为 ，自变量 t 的取值范 围是 例例 3 求下列函数中自变量 x 的取值范围： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 分析：求自变量的取值范围，应考虑自变量的取值使函数解析式有意义.（1）、（2）小题 函数解析式是整式，故自变量可取任意实数；（3）、（4）小题解析式是分式，自变量可 取使分母不为 0 的任意实数；（5）、（7）、（8）小题的解析式是二次根式，自变量取值 应使被开方数非负；（6）小题既有分母又有二次根式，自变量取值应使分母不为 0，又要 使二次根式的被开方数非负. 解：（1）函数 的自变量 x 的取值范围是躯体实数 （2）函数 的自变量 x 的取值范围是躯体实数 （3） 当 时，分母 ， 函数 的自变量的取值范围是 ； （4）由 解得 当 或 时，分母 ， 函数 的自变量 x 的取值范围是 且 （5）由 解得 ， 函数 的自变量 x 的取值范围是 ； （6）由 得 ，由 得 ，当 时，分母 ， 函数 的自变量 x 的取值范围是 且 ； （7） 即对于任意实数 x， 都是非负的， 函数 的自变量 x 的取值范围是全体实数； （8）由 得 因此，函数 的自变量 x 的取值范围是 . 例例 4 一函数的图象如下图，根据图象： （1）确定自变量 x 的取值范围； （2）求当 时，y 的值； （3）求当 时，对应的 x 的值； （4）当 x 为何值时，函数值 y 最大？ （5）当 x 为何值时，函数值 y 最小？ （6）当 y 随 x 的增大而增大时，求相应的 x 值在什么范围内？ （7）当 y 随 x 的增大而减小时，求相应的 x 值在什么范围内？ 分析：函数图象上每一点的横坐标都是自变量 x 的一个值，自变量的取值范围就是图象上 各点的横坐标的最小值到最大值，即图象上最左端点的横坐标到右端点的横坐标.函数 y 的 最大值就是函数图象上最高点的纵坐标，函数的最小值就是函数图象上最低点的纵坐标.函 数图象从左到右，自变量 x 的值不大增大，此时，如果图象自下而上，那么函数值 y 在减 小. 解： （1）自变量 x 的取值范围是 （2）当 时，y = 3.3, 当 时，y = 2 的值； （3）当 时，与之对应的 x 的值是 和 4，当 时，与之对应的 x 的 值是 ； （4）当 时，y 的值最大，此时 ； （5）当 时，y 的值最小，此时， ； （6）当 y 随 x 的增大而增大时，相应的 x 值在 内； （7）当 y 随 x 的增大而减小时，求相应的 x 值在 内？ 说明：（1）用图象法表示函数形象、直观，但不精细，因此，从图象上观察的数值往往是 近似值，只有通过具体函数解析式的计算，才能得到精确值. （2）当函数图象从左下到右上呈“撇”状时，函数 y 随 x 的增大而增大；当函数图象从左 上到右下呈“捺”状时，函数 y 随 x 的增大而减小.反之也对. （3）从函数图象求函数的某些值、研究函数 y 随自变量 x 的变化规律是数形结合思想的具 体体现. 例例 5 已知函数的图象经过 a(1,4)、b(2,2)两点，请你写出满足上述条件的两个不同的函数 解析式，并简要说明解答过程.（2002 年山东省青岛市中考题） 分析 ：由于题中所经过 a(1,4)、b(2,2)两点的函数解析式的类型未告知，因此所确定函数 解析式的形式可能是直线型，也可能是双曲线、抛物线型，还可能是其他形状的，故可采 用下列几种途径来确定满足题设条件的解析式： （1）若经过 a、b 两点的函数的图象是直线，设其解析式为 ，则有 解之，得 此时，函数解析式为 （2）由于 a、b 两点的横、纵坐标的积相等，都等于 4，所以，经过 a、b 两点的函数的 图象还可以是双曲线，其解析式为： . （3）如果经过 a、b 两点的函数的图象是抛物线，设其解析式为 （ ），则有 解之，得 因此，只要 、 、 同时满足关系式 和 ，即可保证二次函数 （ ）的图象经过 a(1,4)、b(2,2)两点；显然，这样的二次函数有无 数个.如取 =1，则有 =-5， =8，相应图象所对应的二次函数的解析式为： . （4）其他略. 一函数及其图像典型例题 例例 1 1 选择题 （1）下面图像中，不可能是关于x的一次函数 的图像的是（ ） (2）已知： ，那么 的图像一定不经过 （ ) a第一象限 b第二象限 c第三象限 d第四象限 （3）已知直线 与x轴的交点在x轴的正半轴，下列结论： ； ； ； ，其中正确结论的个数是 （ ) a1 b2 c3 d4 (4）正比例函数的图像如图所示，则这个函数的解析式是（ ） a b c d 解：（1）由 a 可得 故 ，a 可能； 由 b 可得 故 ，b 可能; 由 c 可得 此不等式组无解.故 c 不可能，答案应选 c. （2）由已知得 三式相加得： ， ，故直线 即为 . 此直线不经过第四象限，故应选 d. （3）直线 与x轴的交点坐标为： 即 异号，、正确，故应选 b. （4）正比例函数 经过点（1，1）， ，故应选 b. 说明：一次函数 中的 的符号决定着直线的大致位置，题（3） 还可以通过 的符号画草图，来判断各个结论的正确性，这类题型历来都是各地中考中 的热点题型，同学们一定要熟练掌握. 例例 2 2 求下列一次函数的解析式： （1）图像过点（1，1）且与直线 平行； （2）图像和直线 在 y 轴上相交于同一点，且过（2，3）点. 解：（1）把 变形为 . 所求直线与 平行，且过点（1，1）. 设所求的直线为 ，将 代入，解得 . 所求一次函数的解析式为 . （2）所求的一次函数的图像与直线 在y轴上的交点相同. 可设所求的直线为 . 把 代入，求得 . 所求一次函数的解析式为 . 说明：如果两直线 平行，则 ；如果两直线 在y轴上的交点相同，则 .掌握以上两点，在求一次函数 解析式时，有时很方便. 例例 3 3：已知一次函数 .求：（1）m为何值时，y随 x的增大而减小；（2）m，n满足什么条件时，函数图像与y轴的交点在x轴 下方；（3）m，n分别取何值时，函数图像经过原点；（4）m，n满足什么条 件时，函数图像不经过第二象限. 解：（1）y随x的增大而减小. ，即 . 当 时，y随x的增大而减小. （2）令 即 当 时，函数图像与y轴交点在x轴下方. （3）令 即 当 时，函数图像经过原点. （4）令 即 当 时，函数图像不经过第二象限. 说明：对于一次函数的问题，重要的是掌握它的概念和性质，并能灵活地运用这些性 质.例如，在表达式 中，特别要注意 这一条件. 例例 4 4 已知一次函数 的图象经过点 及点 （1，6），求此函数图象 与坐标轴围成的三角形的面积.（2001 年呼和浩特市中考题） 简解：由一次函数 的图象经过点 及点 （1，6），得 =2， =4. 一次函数的解析式为 . =0 时， =4， =0 时， =-2， 一次函数的图象与 轴的交点 、与 轴的交点 的 坐标分别为（0，4）、（- 2，0）， . 例例 5 5 如图，a、b 分别是 轴上位于原点左、右两侧的点，点 p(2,p)在第一象限，直线 pa 交 轴于点 c(0,2)，直线 pb 交 轴于点 d， . (1) 的面积是多少？ （2）求点 a 的坐标及 p 的值. （3）若 ，求直线 bd 的函数解析式.（1999 年西宁市中考题） 解 ：过点 作 轴于点 ， 轴于点 . （1）由点 、点 c 的坐标分别为(2,p)、(0,2)及点 p 在第一象限内，得 ， =2， =2. （2）注意到 ， =4. 点 a 的坐标为（-4，0）. 又 =3. （3）由题设，可知 . . . 点 d 的坐标为（0，6）. 直线 bd（设其解析式为 ）过点 p(2,3)、点 d（0，6）， ， . 直线 bd 的解析式为 . 例例 6 6 我省某水果种植场今年喜获丰收，据估计，可收获荔枝和芒果共 200 吨按合同， 每吨荔枝售价为人民币 0.3 万元，每吨芒果售价为人民币 0.5 万元现设销售这两种水果 的总收入为人民币y万元，荔枝的产量为x吨（0x200） （1）请写出y关于x的函数关系式； （2）若估计芒果产量不小于荔枝和芒果总产量的 20，但不大于 60，请求出y值 的范围 解:（1）因为荔枝为x吨，所以芒果为 吨.依题意，得 即所求函数关系式为： . （2）芒果产量最小值为： （吨） 此时， （吨）； 最大值为： （吨）. 此时， （吨）. 由函数关系式 知，y随x的增大而减少，所以，y的最大值为： （万元） 最小值为： （万元）. 值的范围为 68 万元 84 万元. 反比例函数及其性质典型例题 例例 1 （1）若函数 是反比例函数，则 m 的值等于（ ） a1 b1 c d1 （2）如图所示正比例函数 ）与反比例函数 的图像相交于 a、c 两点， 过 a 作 x 轴的垂线交 x 轴于 b，连结 bc.若 的面积为 s，则 a b c ds 的值不确定 （3）反比例函数 的图像上有一点 ，其坐标是关于 t 的一元二次方程 的两根，且 p 到原点的距离为 ，则该反比例函数的解析式为_. 解：（1）依题意，得 解得 . 故应选 d. （2）由双曲线 关于 o 点的中心对称性，可知： . . 故应选 a. （3） 在 的图像上，故 .又 ， . 故 ， . 反比例函数的解析式为 . 故应填 . 例例 2 已知力 f 所作用的功是 15 焦，则力 f 与物体在力的方向通过的距离 s 的图象大致是（ ）. 评析 本题涉及力学中作功问题，主要考查在力的作用下物体作功情况，由此，识别正、 反比例函数，一次函数的图象位置关系. 解 据 ，得 15= ，即 ，所以 f 与 s 之间是反比例函数关系，故选 （b）. 例例 3 如图，a、c 是函数 的图象上的任意两点，过 a 作 轴的垂线，垂足为 b； 过 c 作 轴的垂线，垂足为 d.记 的面积为 ， 的面积为 ，则 与 的关系是（ ）. （a） (b) 0 矛盾，舍去） 当 时，方程 化为 .此方程没有实数根. 故适合条件的 值不存在. 二次函数解析式 例例 1 有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点： 甲：对称轴是直线 ； 乙：与 x 轴两个交点的横坐标都是整数； 丙：与 y 轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为 3. 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式： . 答案： 或 或 或 例例 2 已知二次函数 的图像与 x 轴相交于点 ，顶点 b 的纵坐标是 3. （1）求此二次函数的解析式； （2）若一次函数 的图像与 x 的轴相交于 ，且经过此二次函数的图像 的顶点 b，当 时， （）求 的取值范围； （）求 （o 为坐标原点）面积的最小值与最大值. 解：（1）二次函数 的图像经过原点 o（0，0）与点 a（6，0），它的 对称轴是 . 它的顶点 b 的坐标是（3，3）. 设此二次函数为 ，把（0，0）代入解析式得 ， ，故 所求二次函数的解析式为 . （2）（）令 得直线 的解析式为 ，把（3，3）代入得 ，故直线 的解析式为 . 令 ，得 . 令 得直线 的解析式为 ，把（3，3）代入得 ，故直线 的解析式为 ，令 ，则得 . 故 的取值范围是 . （） 的 od 边上的高（即 b 点的纵坐标的绝对值）为定值 3，故 od 最小，则 面积最小，od 最大，则 面积最大. od 最小为 1，最大为 2， 故 的面积最小是 ，最大为 3. 例例 3 如图所示，已知抛物线 与 x 轴从左至右交于 a、b 两点，与 y 轴交 于点 c，且 . （1）求点 c 的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）若抛物线的顶点为 p，求四边形 abpc 的面积. 解：（1）根据题意设点 ，点 ，且 . 是方程 的两根， . 在 中， ， . （2）在 和 中， 抛物线解析式为： . （3） ，顶点 p 的坐标为（1，2）. 当 时， ， . 延长 pc 交 x 轴于点 d，过 c、p 的直线为 ， 点 d 的坐标为（1，0）. 例例 4 已知抛物线 与 x 轴两交点的横坐标是1，3，与 y 轴交点的 纵坐标是 ，确定抛物线的解析式. 解法一 由题意，得 解之，得 因此，所求的抛物线的解析式为 . 解法二：由题意，设二次函数的解析式为 . 图像过点 . 因此，所求抛物线的解析式是 ，即 . 例例 5 如图所示，已知抛物 与 x 轴负半轴交于 a、b 两点，与 y 轴交于点 c，且 ，求抛物线的解析式和它的顶点坐标. 解：在 中， . 在 中， . a、b、c 三点在抛物线上， 设抛物线的解析式为 . c 点在抛物线上， 抛物线的解析式为： . ， 抛物线的顶点坐标 . 例例 6 如图,在同一直角坐标系内,如果 轴与一次函数 的图象以及分别过(1,0)、 （4，0）两点，平行于 轴的两条直线所围成的图形 abcd 的面积为 7. （1）求 的值； （2）求过 f、c、d 三点的抛物线的解析式； （3）线段 cd 上的一个动点 p 从点 d 出发，以 1 单位/秒的速度沿 dc 的方向移动（p 点 不重合于 c 点），过 p 点作直线 交 ef 于 q、交抛物线（2）于点 m.当 p 从点 d 出发 t 秒后，求四边形 pqfc 的面积 s 与 t 之间的函数关系式，并确定 t 的取值范围； （4）问是否存在这样的 t 值，使得 ？若存在，求出此 t 值；若不存 在，说明理由. 解：（1）如图，设 、 .则有 ， . . 又 0, , . . , .(此处 、 为非必求成分) （2）由 f(0,4)、c(1,0)、d(4,0),得 . (3) , op=4t. , = 即 （4） pm=| | = . . 依题意，得 . 整理，得 . 解得 . 由 ，知 . 因此，当 时， . 例例 7 已知二次函数 的图象经过点 a(-3,6)，并与 轴交于 b、c 两点 （点 b 在 c 的左边），p 为它的顶点. （1）试确定 的值； （2）设点 d 为线段 oc 上的一点，且满足 ，求直线 ad 的解析式； （3）在 轴的正半轴上是否存在点 m，使 为等腰三角形，若存在，求出所有满 足条件的点 m 的坐标，若不存在，请说明理由.（2002 年海南省、天津市中考题） 分析：分析：存在型说理题是探索性问题的主要形势，它要求学生紧扣题设条件，把握特征，拨 开迷雾，对“是否存在”做出准确判断和正确的理解作为解决这类问题的理论依据.解这类 考题一般遵循“三部曲”，即假设“存在”，演绎推理得出结论（合理或矛盾两 种形式）.为此： （1） （2）直线 的解析式为 （3）假设满足条件的点 存在，则应分如下三种情况讨论： 当 是以 为顶角的等腰三角形时，有 如图，设 ，其中 作 轴于 . 在 中， ； 在 中， . . 解得 或 （舍去）. 故点 的坐标是（0， ）； 当 是以 为顶角的等腰三角形时，有 .如图，设 ，其中 . 在 中， ； 在 中， . . 解得 . 故点 的坐标为（0，1）. 当 是以 为顶点的等腰三角形时，有 ，如图，设 ，其中， . 在 中， . . . 此方程无解，所以点 不存在. 综上述，满足条件的点 有两个，分别是 和 . 例例 8 行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这 段距离称为“刹车距离”，为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过 140 千米/小时） ，对这种汽车进行测试，测得的数据如下表 刹车时车速（千米/小 时） 0102030405060 刹车距离（米）00.31.02.13.65.57.8 (1) 以车速为 轴,以刹车距离为 轴,在坐标系中描出这些数据所表示的点,并用 平滑的曲线连结这些点,得到函数的大致图象; (2) 观察图象,估计函数的类型,并确定一个满足这些数据的函数的解析式; (3) 该型号汽车在国道上发生了一次交通事故,现场测得刹车距离为 46.5 米,请推测刹车的速 度是多少?请问在事故发生时,汽车是超速行驶还是正常行驶? 简解 (1) 画出的函数图象略; (2) 依据图象,设函数的解析式为 ,将表中前三组值代入,得 解得 1 函数的解析式为 . 经检验,表中其他各值也符合此解析式. (3) 当 时,即 . . (舍去). 故推测刹车时的速度为 150 千米/小时,而 150140,因此发生事故时,汽车超速行驶. 例例 9 某商店经销一种销售成本为每千克 40 元的水产品据市场分析，若按每千克 50 元销 售，一个月能销售出 500 千克；销售单价每涨 1 元，月销售量就减少 10 千克针对这种水 产品的销售情况，请解答以下问题： （1）当销售单价定为每千克 55 元时，计算月销售量和月销售利润； （2）设销售单价为每千克 x 元，月销售利润为 y 元，求 y 与 x 的函数关系式（不必写出 x 的取值范围）； （3）商店想在月销售成本不超过 10000 元的情况下，使得月销售利润达到 8000 元，销售 单价应定为多少？ 解 ：（1）当销售单价为每千克 55 元时，月销售量为： （千 克），所以月销售利润为： （元）. （2）当销售单价定为每千克 x 元时，月销售量为 千克，而每千克的 销售利润是： 元，所以月销售利润为： y 与 x 的函数解析式为 . （3）要使月销售利润达到 8000 元，即 ，则有 ， 即 ， 解得 当销售单价定为每千克 60 元时，月销售量为： （千克）， 月销售成本为： （元）； 当销售单价定为每千克 80 元时，月销售量为： （千克） 月销售成本为： （元）； 由于 ，而月销售成本不能超过 10000 元， 所以销售单价应定为每千克 80 元. 能力训练 平面直角坐标系 一、填空题 1平面直角坐标系内一点p（2，3）关于原点对称的点的坐标是（ ） a（3，2） b（2，3） c（2，3） d（2，3） 2在平面直角坐标系中，点p（2，3）关于y轴的对称点在（ ） a第一象限 b第二象限 c第三象限 d第四象限 4已知点 在第四象限，且 ，则p点的坐标是（ ） a（3，5） b（5，3） c（3，5） d（3，5） 5横坐标和纵坐标都是正数的点在（ ）. a第一象限 b第二象限 c第三象限 d第四象限 6若 ，则点 在（ ） a第一象限 b第二象限 c第三象限 d第四象限 7已知点p关于x轴的对称点 的坐标是（2，3），那么点p关于原点的对称点 的坐 标是（ ） a（3，2） b（2，3） c（2，3） d（2，3） 8已知点 在第四象限，那么点 在（ ） a第一象限 b第二象限 c第三象限 d第四象限 9如果点 关于x轴的对称点 在第三象限，那么直线 的图像不经过 （ ） a第一象限 b第二象限 c第三象限 d第四象限 10点 在直角坐标系的x轴上，则p点的坐标为（ ） a（0，2） b（2，0） c（4，0） d（0，4） 二、填空题 11已知 ，那么点 关于原点的对称点 在第_象限. 12已知点 关于原点的对称点在第三象限，那么a的取值范围是_. 13已知点 与点 关于x轴对称，则 14已知点 是第三象限的整点（横、纵坐标均为整数），则p点的坐标是 _. 15在直角坐标系中，分别以点 与点 为圆心，以 8 与 3 为半径作a和 b，则这两个圆的位置关系为_. 16点a（3，4）和点b（3，4）关于_轴对称. 17直角坐标系中，第四象限内的点m到横轴的距离为 28，到纵轴的距离为 6，则m点的 坐标是_. 18如果 ，那么点 在第_象限. 19已知点p在第二象限，它的横坐标与纵坐标的和为 1，点p的坐标可以是_（只要 求写出符合条件的一个点的坐标即可）. 20若 ，则点 在第_象限. 参考答案 1d 2b 4c 5a 6d 7d 8b 9c 10b 11四 12 131，5 14（2，1） 15内切 16y 17（6，28） 18四 19（1，2）等 20二 函数及其图像 一、选择题 1函数 中，自变量x的取值范围是（ ） a b c 且 d 2函数 的自变量x的取值范围是（ ） a b c d 3下列函数中，自变量取值范围选取错误的是（ ） a 中，x取全体实数 b 中， c 中， d 中， 4如果每盒圆珠笔有 12 支，售价 18 元，那么圆珠笔的售价y（元）与圆珠笔的支数x之 间的函数关系式是（ ） a b c d 5已知函数 的自变量x的取值范围是全体实数，则实数m的取值范 围是（ ） a b c d 6已知函数 ，其中相同的两个函数是 （ ） a 与 b 与 c 与 d 与 7有一内角为 120的平行四边形，它的周长为l，如果它的一边为x，与它相邻的另一 边长y与x之间的函数关系式及x的取值范围是（ ） a b c d 二、填空题 8函数 中自变量 x 的取值范围是_. 9函数 的自变量x的取值范围是_. 10函数 中自变量x的取值范围是_；函数 中自变量x的取值 范围是_. 1114. 中自变量x的取值范围是_. 12圆锥的体积为 ，则圆锥的高h（cm）与底面积 之间的函数关系是 _. 13将 改用x的代数式表示y的形式是_；其中x的取值范围是 _. 14函数 中自变量x的取值范围是_. 15物体从离a处 20m 的b处以 6m/s 的速度沿射线ab方向作匀速直线运动，t秒钟后物 体离a处的距离为sm，则s与t之间的函数关系式是_，自变量t的取值范围是 _. 16等腰三角形的周长是 50cm，底边长是xcm，一腰长为ycm，则y与x之间的函数关系 式是_；自变量x的取值范围是_. 三、解答题 17求下列函数自变量的取值范围 （1） ； （2） ； （3） ； （4） . 18在 中，已知 ，任取ab上一点m，作 ，设am的长为x，平行四边形mpcq的周长为y，求出y关于x的函 数关系式和自变量的取值范围. 19 中，已知 的平分线交于点d，设 和 的度数分别为x和 y，写出y与x之间的函数关系式，并求x的取值范围. 参考答案 1a 2c 3b 4a 5a 6d 7b 8 9 且 10 11 12 13 14 且 和 2 15 16 17（1）全体实数；（2） 且 ；（3） 且 ；（4） 且 18 19 一次函数图像和性质 一、选择题 1如果一次函数 的图像经过点（0，4），那么 b 的值是（ ）. a1 b1 c4 d4 2一次函数 的图像与 x 轴，y 轴的交点坐标分别是（2，0）、（0，1），这 个一次函数的解析式为（ ） a b c d 3已知一次函数 ，若 y 随 x 的增大而增大，则它的图像经过（ ） a第一、二、三象限 b第一、三、四象限 c第一、二、四象限 d第二、三、四象限 4若直线 与 的交点在第四象限，则 k 的取值范围是（ ） a b c d 或 5已知正比例函数 ，当 时， ，那么该正比例函数应为（ ） a b c d 6若一次函数 中的 且 ，则一次函数的图像经过（ ） a一、二、三象限 b二、三、四象限 c一、二、四象限 d一、三、四象限 7由 a（3，2），b（1，3）两点确定的直线不经过（ ） a第一象限 b第二象限 c第三象限 d第四象限 8在同一直角坐标系中，对于函数 ； ； ； 的图像，下列说法正确的是（ ） a能过点（1，0）的是和 b交点在 y 轴上的是和 c相互平行的是和 d关于 y 轴对称的是和 9下列函数中，y 随 x 的增大而增大的函数是（ ） a b c d 10在一次函数 中，y 随 x 的增大而减小，那么（ ） a b c d 11不论 m 为何实数，直线 与 的交点不可能在（ ） a第一象限 b第二象限 c第三象限 d第四象限 12若 为一次函数 的图像上的两个不同的点，且 ，设 ，那么 m 与 n 的大小关系是（ ） a b c d不确定 13直线 和 与 x 轴所围成的三角形的面积是（ ） a32 b64 c16 d8 14一根蜡烛长 20cm，点燃后每小时燃烧 5cm，燃烧时剩下的高度 h（cm）与燃烧时间 t（小时）的函数关系用图像表示为 二、填空题 15如果直线 与 轴交点的纵坐标为2，那么这条直线一定不经过第 _象限. 16若直线 和直线 的交点坐标为 ，则 17若 是正比例函数，则 18函数 的图像与 轴， 轴围成的三角形的内切圆的半径为_；原 点到直线 的距离为_. 19已知点 都在直线 （ 为常数）上，则 与 的大小 关系是 （填“ ”，“”或“ ”）. 20已知直线 ，现有 4 个命题： （1）点 p（1，1）在直线 上； （2）若直线 与 轴、 轴分别交于 a、b 两点，则 ； （3）若点 都在直线 上，且 ，则 ； （4）若点 q 到两坐标轴的距离相等，且点 q 在 上，则点 q 在第一或第四象限. 其中正确的命题是_（注：在横线上填上所有你认为正确命题的序号）. 21弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度 与所挂物体的质量 有下面 的关系： x 012345678 y1212.51313.51414.51515.516 那么弹簧总长 与所挂物体的质量 之间的函数关系式为_. 22已知 与 成反比例，当 时， ；那么 时， 的值为 _. 23一次函数 与 的图像相交于 轴上一点，那么 三、解答题 24直线 过点 a（1，5）和点 且平行于直线 ，o 为坐标原 点，求 的面积. 25已知 与 成正比例，且 时， .（1）求 与 之间的函 数关系式；（2）画出（1）中函数的图像；（3）设点 p 在 轴的负半轴上，（1）中函数 的图像与 轴、 轴分别交于 a、b 两点，以 a，b，p 为顶点的三角形的面积 ，求点 p 的坐标. 26全世界每年都有大量土地被沙漠吞没，改造沙漠，保护土地资源，已成为一项十分紧 迫的任务.某地区原有沙漠面积 100 万 ，为了解该地区沙漠面积的变化情况，进行了 连续 3 年的观察，并将每年年底的观察结果记录如下表，根据这些数据描点、连线，绘成 曲线如图所示，发现连成直线状. 观察时间 该地区沙漠比原有面积增加数 第 1 年底 0.2 万 第 2 年底 0.4 万 第 3 年底 0.6 万 预计该地区沙漠的面积将继续按比此趋势扩大.（1）如果不采取任何措施，那么到第 年 底，该地区沙漠的面积将变为_万 ；（2）如果第 5 年底后，采取植树造林等 措施，每年改造 0.8 万 沙漠，那么到第几年底，该地区沙漠的面积能减少到 95 万 . 27某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要 购买行李票，行李票费用 （元）是行李重量 的一次函数，其图像如图所示.求： （1） 与 之间的函数关系式；（2）旅客最多可免费携带行李的 数. 28如果一次函数 的自变量 的取值范围是 ，相应函数值范围是 ，求此函数的解析式. 29已知直线 过点 a（2，7），且与正比例函数 的图像交于点 .（1）求直线 与 轴交点 c，与 轴交点 d 的坐标；（2）求正比例 函数解析式；（3）求 的面积与 的面积的比. 30a 城有化肥 200 ，b 城有化肥 300 ，现要把化肥运往 c、d 两农村，如果从 a 城运 往 c、d 两地运费分别是 20 元 与 25 元 ，从 b 城运往 c、d 两地运费分别为 15 元 和 22 元 ，现已知 c 地需要 220 ，d 地需要 280 ，如果某个体户承包了这项运输任 务，请你帮他算一算，怎样调运花钱最少？ 31一水库现蓄水 ，下游需水抗旱，从开闸放水起，每小时放水 ，同时从 上游每小时流入水库 水；为了养鱼，规定水库蓄水量不少于 ，求水库蓄水 量 与开闸时间 之间的函数关系式以及这样一次最多能给下游提供多少立方米 水（ ）. 32已知关于 的方程 有两个不相等的实数根，试判断直线 能否通过点 a（2，4），并说明理由. 33已知：一次函数 和反比例函数 的图像都经过点 . （1）求 的值和这个一次函数的解析式； （2）在直角坐标系中画出这两个函数的大致图像（不必列表）； （3）根据图像判断：使这两个函数的值都为非负数的自变量 的取值范围是. 34如图，已知二次函数 的图象经过原点 o，并且与一次函数 的图象相交于 a(1,3)、b(2,2)两点. （1）分别求出一次函数、二次函数的解析式； （2）若 c 为 轴上一点，在 轴上方的抛物线上是否存在点 d，使 ？若存在，请求出所有满足条件的 d 点坐标；若不存在，请说明理由. 参考答案 1c 2a 3b 4b 5d 6c 7b 8c 9c 10a 11c 12c 13c 14b 15二 1616 172 181， 19 20（1）（2）（4） 21 22 231：2 2420 25（1） ；（2）略；（3）p（0，2） 26（1） （2）第 10 年底，沙漠减少到 95 万公顷 27（1） ；（2）最多可免费携带 30 行李 28 或 29（1）（0，6），（12，0）；（2） ；（3） 30 时， 只要从 a 运往 d200 吨，从 b 运往 c220 吨，运往 d80 吨. 31 32由 得 . ，直线过一、三、四象限.而点 a 在第二象限.故直 线不通过点 a 33（1） ；（2）略；（3） 34（1）解析式为： ， （2）满足条件的 d 点存在，坐标分别为 、 . 反比例函数图像和性质 一、选择题 1已知 是反比例函数，则它的图像在（ ） a第一、三象限 b第二、四象限 c第一、二象限 d第三、四象限 2若点 、 、 在反比例函数 的图像上，则下列结论中正确 的是（ ） a b c d 3已知一次函数 随 的增大而减小，那么反比例函数 （ ） a当 时， b在每个象限内， 随 的增大而减小 c图像在第一、三象限 d图像在第二、四象限 4已知反比例函数 ，当 时， 随 的增大而增大，那么一次函数 的图像经过（ ） a第一、二、三象限 b第一、二、四象限 c第一、三、四象限 d第二、三、四象限 5如图所示，在下列直角坐标中，反比例函数 的图像大致 是（ ） 6如果点 p 为反比例函数 的图像上一点， 轴，垂足为 q，那么 的面积为（ ） a8 b6 c4 d2 7如图所示，点 在函数 的图像上，则（ ） a b c d 8已知函数 ，当 时， ，那么这个函数的解析式是（ ） a b c d 9如图所示，a、c 是函数 的图像上任意两点，过 a 作 轴的垂线，垂足为 d.记 的面积为 ， 的面积为 ，则（ ） a b c d 和 的大小关系不能确定 10已知一次函数 的图像经过第一、二、四象限，则函数 的图像在（ ） a第一、三象限 b第二、四象限 c第三、四象限 d第一、二象限 11如图所示，点 a、b 是函数 图像上关于原点对称的任意两点， 轴， 轴， 的面积记为 s，则（ ） a b c d 12若 ，则函数 与 在同一平面直角坐标系中的图像大致是如图中的 （ ） 13如图中，能表示函数 和 在同一平面直角坐标系中的图像大 致是（ ） 14若正比例函数 与反比例函数 的函数值都随 的增大 则增大，那么它们在同一直角坐标系内的图像大致是（ ） 15若 与 成反比例， 与 成正比例，则 是 的（ ） a正比例函数 b反比例函数 c一次函数 d二次函数 16如果不等式 的解集是 ，点 在双曲线 上，那么函数 的图像不经过（ ） a第一象限 b第二象限 c第三象限 d第四象限 17在函数 （ 为常数）的图像上有三点 ，则函 数值 的大小关系是（ ） a b c d 18已知双曲线 在第二、四象限，则直线 一定不经过（ ） a第一象限 b第二象限 c第三象限 d第四象限 二、填空题 19若点 在双曲线 上，则 与 的大小关系是_. 20反比例函数 的图像经过点 ，其中 是一元二次方程 的两个根，那么点 p 的坐标是_. 21如果一次函数 与反比例函数 的图像相交于点 ，那么 该直线与双曲线的另一个交点为_. 22已知 与 成反比例，当 时， ；那么当 时， 的值为 _. 23对于函数 ，当 时， （填“”或“”，这部分图像在第 _象限. 24反比例函数 ，当 时， 随 的_而增大. 25若反比例函数 的图像在第一、三象限，则一次函数 的图像在象 _限. 26已知点 在反比例函数 的图像上，其中 （ 为实数），则这个函数的图像在第象_限. 三、解答题 27如图所示，已知反比例函数 的图像和一次函数 的图像都经过点 .（1）求这个一次函数的解析式；（2）如果等腰梯形 abcd 的顶点 a，b 在这个 一次函数的图像上，顶点 c，c 在这个反比例函数的图像上，两底 ad，bc 与 轴平行， 且 a 和 b 的横坐标分别为 和 ，求 的值. 28如图，点 a、b 在反比例函数 的图象上，且点 a、b 的横坐标分别为 a、2a(a0)， 轴，垂足为点 c，且 的面积为 2. （1）求该反比例函数的解析式； （2）若点 、 在该反比例函数的图象上，试比较 与 的大小； （3）求 的面积. 29如图，直