泰勒公式的若干问题研究_毕业论文.doc

毕毕 业业论论 文文 题题 目目 泰勒公式的若干问题研究 学学 院院 数学科学学院 专专 业业 信息与计算科学 班班 级级 计算 0901 学学 生生 吕晗 学学 号号 20090921073 指导教师指导教师 徐美荣 二一三年 五 月二十五日 摘 要 本文探讨了泰勒公式的若干问题。首先给出了几种不同形式的泰勒公式并给出 了相应的证明。其次我们讨论了泰勒公式的应用问题，主要分析了泰勒公式在计算 行列式，判断级数敛散性，判断函数凹凸性等方面的应用，并辅以具体的例子进行 说明，另外我们研究了泰勒公式中间点的渐近性问题，主要分区间长度趋于零和区 间长度趋于无穷大两种情况进行了讨论，当区间长度趋于零与无穷时中间点分别 满足的条件与。最后讨论了泰勒公式 0 11 lim 11 n m mn 1 (1) lim ! (1) x an xan 与泰勒级数之间的关系以及泰勒公式与泰勒级数在计算方面的应用。 关键词：关键词：泰勒公式；敛散性；行列式；渐近性 济南大学毕业论文 - 1 - abstract in this paper，we discuss some problems of taylor formula。firstly, we discuss the taylor formula of different types and the corresponding proof。secondly, we discuss the application of taylor formula。we mainly analysis of the taylor formula in the calculation of determinant，judging the convergence of series，determining the application of convex function combined with concrete example to explain。in addition we study the asymptotic properties of intermediate point of taylor formula and the main partition length tends to zero and the interval length tending to infinity are discussed in two situations when the length of interval tends to zero and infinity of intermediate point condition 0 11 lim 11 n m mn and 1 (1) lim ! (1) x an xan 。finally, we discusses the relationship between the taylor formula and taylor series and the taylor formula and taylor series in computational applications。 key words：taylor formula; convergence;determinant; asymptotic behavior 济南大学毕业论文 - 2 - 目 录 摘要.i abstractii 1 前言. . 1 1.1 引言1 1.2 相关概念.1 2 泰勒公式.5 2.1 泰勒公式的几种形式.5 2.2 泰勒公式的证明. 6 3 泰勒公式的应用.8 3.1 泰勒公式在计算行列式中的应用.8 3.2 泰勒公式在判别敛散性方面的应用.9 3.3 泰勒公式在判断函数凸凹性中的应用 11 4 泰勒公式的“中间点”的渐近 性.12 4.1 当区间长度趋于零时“中间点” 的渐近 性.12 4.2 当区间长度趋于无穷时“中间点” 的渐近性. .12 5 泰勒公式与泰勒级数.19 5.1 泰勒公式与泰勒级数的区别.19 5.2 泰勒公式与泰勒级数的应用.20 结论. 22 参考文献.23 致谢.24 济南大学毕业论文 - 3 - 1 前言前言 1.1 引言引言 泰勒公式在数学上占有非常重要的地位，近年来，关于泰勒公式的证明以及应 用的研究已经引起国内外很多学者的关注和思考，对于泰勒公式的证明， “中间点” 的渐近性及利用泰勒定理判断级数敛散性、判断函数凹凸性，泰勒公式与泰勒级数 之间的关系等方面的研究，都取得了一定的进展。其中刘瑜3给出了泰勒公式在 阶行列式计算中的应用问题；邱忠文5讨论了利用泰勒公式证明函数的凸凹性问n 题；续铁权8讨论了泰勒公式“中间点”当的渐近性态问题；鲍春梅12讨论x 了当区间长度趋于零与无穷时“中间点”的渐近性问题。鲍培文5给出了泰勒公 式与泰勒级数的异同和典型应用问题。 在一般的数学分析中，仅给出了泰勒公式的证明以及在计算极值问题方面 的应用，但在实际的生产和生活中，我们经常会应用泰勒公式来解决一些实际问题， 因此有必要对泰勒公式的若干问题进行深入研究。在一些文献中只是具体地研究了 泰勒公式的应用问题或中间点的渐近性问题。本文将系统地研究泰勒公式的若干问 题，从泰勒公式的证明到泰勒公式的中间点的渐近性，最后再讨论泰勒公式的应用 以及泰勒公式与泰勒级数的区别与联系等。 对于泰勒公式的应用太少，我们要研究的泰勒公式问题，不仅要熟练应用泰勒 公式计算极值，还要研究泰勒公式在更多方面的作用，如当“中间点”趋于零与无 穷时满足的条件,利用泰勒公式计算行列式，利用泰勒公式证明函数凹凸性，以及 研究泰勒公式与泰勒级数之间的关系，更进一步了解泰勒公式的性质。 在本文的研究中主要用到以下基本概念和相关定理。 1.2 相关概念及定理 定义 1.11对于一般函数，设它在点存在直到阶的导数.由这些导数构造f 0 xn 一个次多项式n 济南大学毕业论文 - 4 - ，则称为函数在 ( ) 2 000 0000 ()()() ( )()()()() 1!2! n n n fxfxfx t xf xxxxxxx n f 点处的泰勒多项式，的各项系数称为泰勒系数。 0 x( ) n t x ( ) 0 () ! k fx k (1,2, )kn 定义 1.21若函数在点存在直到阶导数，则有=，f 0 xn f x 0 ( )() ) n n t xo xx 即 ， 2 00 000000 ()() ( )()()()().()() ) 2! n nn fxfx f xf xfxxxxxxxo xx n 称为函数在点处的泰勒公式，称为泰勒公式的余项。f 0 x( )( )( ) nn r xf xt x 定义 1.31若函数在点的某一邻域内具有直到阶导数，则在该邻域内( )f x+1n 的阶泰勒公式为( )f xn ， 2 00 00000 ()() ( )()()()().() 2! n n fxfx f xf xfxxxxxxx n 其中，称为拉格朗日余项，以上函数展开式称为泰勒级数。 0 0 () () ! n n fx xx n 定理 1.11拉格朗日(lagrange)中值定理 若函数满足如下条件:在闭区间上连续；在开区间内可f(1) f , a b(2) f( , )a b 导；则在内至少存在一点,使得。( , )a b ( )( ) ( ) f bf a f ba 定理 1.21洛必达法则 设函数与满足下列条件:( )f x( )f x ，；(1)lim( )0 xa f x lim( )0 xa f x 在点的某去心邻域内与都存在且；(2)a( )fx( )f x( )0f x 存在或为无穷大；(3)lim( )/( ) xa fxf x 则。lim( ( )/( )lim( )/( ) xaxa f xf xfxf x 济南大学毕业论文 - 5 - 2 泰勒公式 泰勒公式集中体现了微积分逼近法的精髓，在微积分学及相关的领域的各个方 面都有着重要的应用。本部分在现行教材对泰勒公式证明的基础上，研究泰勒公式 的一种新的更为简单的证明方法。 2.1 泰勒公式的几种形式 在证明泰勒公式前，我们首先给出泰勒公式的几种不同形式。 定义 2.11带有 peano 型余项的泰勒公式:函数在，上具有阶导数,( )f x , a bn 则有 , xa b ，( )f x 0 ()f x 00 ()()fxxx 2 2 0 0 () () 2! fx xx+ 0 0 () () ! n n fx xx n ( ) n r x 其中 。( ) n r x 0 () ) n o xx 定义 2.21 带有 lagrange 型余项的泰勒公式: 函数在含有的某个开区间内具有直到阶导数，则对( )f x 0 x( , )a b1n 有 ( , )xa b ( )f x 0 ()f x 00 ()()fxxx 2 2 0 0 () () 2! fx xx 0 0 () () ! n n fx xx n + ，( ) n r x 其中。( ) n r x (1) 1 0 ( ) () (1)! n n f xx n 在以上两个定义中，如果我们取特殊的，则得到相应的麦克劳林公式。 0 x0 定义 2.31 麦克劳林公式(maclaurin 公式) 济南大学毕业论文 - 6 - 。( )f x (0)(0)ffx (0) ( ) ! n n n f xr x n 其中=()。( ) n r x (1) 1 () (1)! n n fx x n 01 以上，我们给出了泰勒公式的几种形式，下面我们从拉格朗日中值定理出发， 给出不同于课本上的证明泰勒公式的方法。 2.2 泰勒公式的证明 下面我们首先讨论带有 lagrange 型余项的泰勒公式的证明问题，主要是根据拉 格朗日中值定理来讨论泰勒公式的证明。 证明：由拉格朗日中值定理知,若在的某邻域内可导，则( )yf x 0 xd ,其中介于与之间，即 0 ( )()f xf x 10 ( )()fxx 1 0 xx 。 010 ( )()( )()f xf xfxx (2.1) 若将代替式中的，则产生误差记为。 0 x(2.1) 1 1( ) r x 则 。 0001 ( )()()()( )f xf xfxxxr x (2.2) 现在问，的具体形式是什么? 1( ) r x 当时，由洛必达法则知与为当时的同阶无穷小。 0 ()0fx 2 0 ()xx 0 xx ，待定。这样式变为 2 110 ( )()r xk xx 1 k(2.2) 。 2 00010 ( )()()()()f xf xfxxxk xx (2.3) 如何确定呢 对式两边关于求导，得 1 k?(2.3)x 。 010 ( )()2()fxfxk xx(2.4) 济南大学毕业论文 - 7 - 若函数在邻域内有二阶导数，则由拉格朗日中值定理，有( )f xd 。 020 ( )()()()fxfxfxx (2.5) 介于与之间。 2 0 xx 由和式得 ，(2.4)(2.5) 12 1 () 2! kf 。 2 120 1 ( )()() 2! r xfxx (2.6) 这样式变为(2.3) 。 2 000002 1 ( )()()()()()( ) 2! f xf xfxxxfxxxr x (2.7) 同样可知，与为时的同阶无穷小，则，并代 2( ) r x 3 0 ()xx 0 xx 3 220 ( )()r xkxx 入式，得(2.7) 。 2 00000 1 ( )()()()()() 2! f xf xfxxxfxxx 3 20 +()kxx 为了确定,对上式两边关于求二次导数，得 2 kx 。 020 ( )()3!()fxfxkxx (2.8) 若在邻域内有三阶导数，则由拉格朗日中值定理有( )f xd 。 030 ( )()()()fxfxfxx (2.9) 介于与之间。由和式知。 3 0 xx(2.8)(2.9) 23 1 () 3 kf ！ 并代入式，得 3 230 1 ( )()() 3! r xfxx(7) ， 23 0000030 11 ( )()()()()()()() 2!3! f xf xfxxxfxxxfxx 济南大学毕业论文 - 8 - 仿此可推得 ， 2 0000 1 ( )()()()() 21 f xf xfxfxxx ( ) 00 1 ()()( ) ! nn n fxxxr x n 其中，介于与之间。 (1)1 0 1 ( )( )() (1)! nn n r xfxx n 0 xx 从整体推导过程可知，函数在的某邻域内必须具有 至阶导数才行。这( )f x 0 x11n 样就自然地得到拉格朗日泰勒公式。 下面我们用一种不同的方法证明带有佩亚诺余项的泰勒公式。 证明:设，( )( )( ) nn r xf xt x 0 ( )()n n q xxx 现在只需验证明 0 ( ) lim0 ( ) n xx n r x q x 函数在点存在直到阶导数，又知f 0 xn 易知 ( ) 2 000 00000 ()()() ( )()()()()() ) 1!2! n n n fxfxfx t xf xxxxxxxxx n ，=0,1,，因为而 ( )( ) 00 ()() kk n fxtxkn ( ) 000 ()()()0 n nnn r xrxrx ， (1) 000 ()()()0 n nnn q xqxqx ( ) 0 ()! n n qxn 因为存在，所以在点的某邻域内存在阶导函数，于是， ( ) 0 () n fx 0 x 0 ()u xf1n( )f x 当且时，允许接连使用洛必达法则次，得到 0 () o xux 0 xx1n 000 (1) (1) ( )( )( ) limlimlim ( )( ) ( ) n nnn n xxxxxx nn n r xrxrx q xqx qx = 0 (1)(1)( ) 000 0 ( )()()() lim (1)2() nnn xx fxfxfxxx n nxx = 0 (1)(1) ( ) 0 0 0 ( )()1 lim() ! nn n xx fxfx fx nxx =0。 这就证明了带有佩亚诺余项的泰勒公式，当时可同理证明带有麦克劳林公式 0 0x 的泰勒公式。 济南大学毕业论文 - 9 - 3 泰勒公式的应用 第 2 部分我们给出了泰勒公式的几个基本形式及泰勒公式的证明，在此基础上， 我们利用泰勒公式来解决一些问题，这些问题利用其他的方法往往比较困难，而运 用泰勒公式可以使问题变得简单。下面我们研究泰勒公式的应用问题，主要包括在 计算行列式，利用泰勒公式证明敛散性，判断函数的凹凸性等方面的应用。 3.1 泰勒公式在计算行列式中的应用 在代数学中，有关利用代数知识计算行列式的方法很多，但应用泰勒公式法极 为少见，下面让我们从泰勒公式入手，利用泰勒展开式计算行列式。首先看一个具 体的例子。 例 3.1 求阶行列式n 济南大学毕业论文 - 10 - 。 (3.1) n d xyyy zxyy zzxy zzzx (注:此题可用代数知识的递推法以及数学归纳法求解，但非常繁琐，此题我们利用 泰勒公式求解，达到简便的作用。其思路根据所求行列式的特点，构造相应的行列 式函数，再把这个行列式函数按泰勒公式在某点展开) 解：我们把行列式看成的函数，记=，则在的泰勒展开式 n dx( ) n fx n d( ) n fxxz 为 。 (3.2) 2 ( )( )( ) ( )( )()()() 1!2! n n nn n fzfzfz fxf zxzxzxz n 易知 。 (3.3) 000 000 000 00000 zyy zyy zyy d zyy zy 1 () k z zy 由(3.2)得，=1,2,n 时全都成立。 1 ( )()k k fzz zy k (3.4) 根据行列式求导的规则，有， ， 1 ( )( ) nn fxnfx 12 ( )(1)( ) nn fx nfx ， (因为)。 21 ( )2( )fxf x 1( ) 1fx 1( ) f xx 于是 在处的各阶导数(注意到公式 3.4) 为( ) n fxxz ， 2 1 ( )( )|( )()n nx zn fzfxnfznz zy ， 3 1 ( )( )|( )(1) ()n nx zn fzfxnfzn nz zy ， ， 11 1 ( )( )|(1)2( )(1)2 nn nnx z fzfxn nf zn nz 。 ( )( ) (1)2 1 n n fzn n 把以上各导数代入(3.2)式中，有 济南大学毕业论文 - 11 - 1232 (1) ( )()()()()() 1!2! nnn n nn n fxz zyz zyxzz zyxz , 1 (1)2(1)2 1 ()() (1)! nn n nn n z xzxz nn 若，有;若，有。zy 1 ( )()(1) n n fxxyxny zy ()() ( ) nn n z xyy xz fx zy 以上我们就讨论了泰勒公式的在计算行列式方面的应用，特别是利用泰勒公式 求解行列式这一方法在高等代数中没有介绍过，从而使行列式的求解又多了一种新 方法，也为数学分析研究高等代数问题做了一个初步探索，以便为高等代数的教学 起到促进作用。接下来我们讨论泰勒公式在判别级数及无穷积分敛散性方面的应用。 3.2 泰勒公式在判别敛散性方面的应用 在级数敛散性理论中，要判定一个正项级数是否收敛，通常找一个参考级 1 n n a 数：级数()，根据级数的敛散性来判定级数的敛散性。在实际p 1 1 p n n 0p p 1 n n a 应用中较困难是如何选取恰当的(中的值)？例如 1 1 p n n 0p p (1) 若，此时收敛，但；2p 2 1 1 n n 2 lim 1 n n a n (2) 若，此时收敛，但。1p 1 1 n n lim 1 n n a n 0 这里我们无法判定的敛散性。为了有效地选取中的值，可以应用 1 n n a 1 1 p n n p 泰勒公式研究通项()的阶，据此选取恰当的值使，并且保0 n a n plim 1 n n p a n l 证，再由比较判定法(极限形式)就可判定的敛散性，下面举例说明之。0l 1 n n a 济南大学毕业论文 - 12 - 例 3.2 判定级数()的敛散性。 11 + 1 (2) nn n aa 0a 解: ， x a lnxa e 2 22 1 11 1+ lnln() 2 xaao nn ， 1 n a 2 22 11 11 1+lnln() 2! aao nnn ， 1 n a 2 22 11 11 1lnln() 2! aao nnn 因此，从而有，是关于() 11 2 22 11 (2)ln() nn n aaaao nn 0 2 2 1 lim 1 ln n a a n 0 n a 1 n 的 2 阶.即与同收敛。 11 1 (2) nn n aa 2 1 1 n n 通过这个例子我们得到了利用泰勒公式可以判断级数的敛散性，下面我们讨论 利用泰勒公式来判断广义积分的敛散性问题。我们通过一个具体的例子来进行说明。 例 3.3 研究广义积分的敛散性。 4 (332)xxx dx 解: ， 22 (1) (1)1() 2! xxxo x 11 22 33 ( )332(1)(1)2f xxxxx xx 2222 3 19113 1911 1+ ()1+ ()2 2828 xoo xxxxxx 。 33 22 911 () 4 o xx 因此，即是。 3 2 ( )9 lim 1 4 n f x x ( )0f x 1 ()x x 通过上面两个例子我们讨论了泰勒公式在敛散性方面的应用，接下来我们讨论 泰勒公式在判断函数凹凸性方面的应用。 济南大学毕业论文 - 13 - 3.3 泰勒公式在判断函数凹凸性的应用 例 3.4 若二次可微，且，证明不等式( )f x( )0f x 。 11 11 ( )() nn ii ii f xfx nn (3.5) 且等号成立当且仅当，并且由此证明当()时， 12n xxx0 i x 1,2,in 。 (3.6) 12 12 n n n xxx x xx n 证明: 令，则，由泰勒公式得: 0 1 1 n i i xx n 0ii xxh 0 (1,2, ) ii xxh in ， 2 00 1 ( )()()( ) 2 iiii f xf xf x hfh 0 (1,2,) iii xh in (3.7) 2 00 111 111 ( )()()( ) 2 nnn iiii iii f xf xfxhfh nnn 0 ()f x 2 1 1 ( ) 2 n ii i fh n 因为，因此有即(3.5)成立。( )0fx 0 11 11 ( )()() nn ii ii f xf xfx nn 显然(3.5)式中等号成立充分必要条件是:。 12n xxx 再证(3.7)式成立。因为令，则，0(1,2,) i xin( )lnf xx 1 ( )fx x ，由(3.6)式得= 2 1 ( )0fx x 111 111 ( )( ln)ln nnn iii iii f xxx nnn 12 1 ln() n x xx n 。 11 11 ()ln() nn ii ii fxx nn 因此有所以，即(3.6)式成立。 12 1 11 ln()ln() n ni i x xxx nn 12 1 1 n n ni i x xxx n 济南大学毕业论文 - 14 - 4 泰勒公式泰勒公式“中间点中间点”的渐近性的渐近性 我们知道,一般的数学分析教材中对于带有拉格朗日余项的泰勒公式的“中 间点” ，只是肯定了“中间点”的存在性，但没有研究“中间点”的性质，本部分 我们研究泰勒公式“中间点”的渐近性问题，主要分区间长度趋于零与区间长度 趋于无穷进行讨论。 4.1 当区间长度趋于零时的“中间点”的渐近性 济南大学毕业论文 - 15 - 首先我们讨论区间长度趋于零时的情况。有以下结果： 定理 4.15 设函数在闭区间有直到阶连续导数，且( )f x,(0)a am m1n ，则由 taylor 公式所确定的“中间点”( )( )( )0 n fafafa (1)( ) 0 n fa 满足等式。+ah 0 11 lim 11 n m mn 证明: 令。则由拉格朗日公式得 1 ()( ) () n f amf a g am m 。 ( )(1) 1 0000 ()()()( ) lim ()limlimlim (1)(1)(1)!(1)! nn nn mmmh famfamfamfa g am nmnnmnmn 代入中有，所以()g am (1)( ) ()(1) ! n n fam g am n (1)(1) 000 ()() 1 lim ()lim(1)lim() () ! nn nnn mmm famfamm g am nnm 。 (1) 0 ( ) 1 () lim() ! n nn m fam nm 通过比较得，即。 0 1 lim 11 n m m mn 0 1 lim 11 n m a mn 下面讨论当区间长度趋于无穷时的情况。 4.2 当区间长度趋于无穷时的“中间点”的渐近性 为了研究区间长度趋于无穷时中间点的渐近性，我们首先给出两个引理： 引理 4.11 设，则lim( ) x f x 0 lim ( ) x g xa 1)当时，；a0lim( ) ( ) x f x g x 2)当时，。a0lim( ) ( ) x f x g x 引理 4.26 设在有阶连续导数且，则( )x ,)a nlim( ) n x xxa 1)当时，；a0 ( ) lim( ) i x x 2)当时，；a0 ( ) lim( ) i x x 济南大学毕业论文 - 16 - 3)。 ( )1 0 ( ) ( )() (1)! lim (1) kn k k n x a xxa k a xn 其中为非零常数，为实数，。a10,1,2,1in 证明:1)由条件存在.当时有，于是当时 1 max0. xa 1 xx ( )( ) 2 n a xx 1 xx 有 = 11 (1)(1)( )(1) 11 ( )()( )() 2 xr nnnn xx a xxt dtxtdt (1)11 11 ()() 2(1) n a xxx 由此不等式知。 (1) lim( ) n x x 假定 ，则取，存在，当时. ( ) lim( )(1) k x xkn 0m max0, k xa k xx 有，于是当时，有 ( )( )k xm k xx 。 (1)(1)( )(1)(1) ( )()( )()()() kk xx kkkkk kkkk xx xxt dtxmdtxm xx 由此不等式知，由数学归纳法知 1)成立。 ( ) lim( ) k x x 2)的证明与 1)类似，省略。 3)令则，由引理 2，连续次应 ( ) 1 0 ( ) ( )( )() ! k n k k a f xxxa k ( ) + lim( ) n x x fxa n 用洛必达法则，并注意到，便得(1)()(1)(1) (1)nnn ，即为 3）中的结论。 + ( )(1) lim (1) n x f x xn ( ) (1) lim( ) (1) n x x fxa n 基于以上引理我们得到以下中间点的渐近性结论。 定理 4.21 设在有阶连续导数，则对于任意，必存在( )f x,)a n( ,)xa ，使( , )a x 2 0 00 () ( )( )( )()() 2! fx f xf afa xxxx 1 1 0 0 () () (1)! n n fx xx n 。由次定理，得以下定理。 0 0 () () ( )! n n fx xx n 定理 4.314 在泰勒中值定理的假设条件下，再设，且 ( ) lim( )= nn x x fxa 济南大学毕业论文 - 17 - ，,则泰勒中值定理中的中间点，有渐近估计式( ,)xa ( )( ) 0 n fx ( , )a x ，其中为非零常数，为实数，且。 1 (1) lim ! (1) x an xan a10 证明:首先证明当时，有，为此不妨设。+x 0a 若，则由引理 4.1 有) i0 ， ( ) lim( )lim() n xx fxax 其中为当时的无穷小量。x 令则，由引理 4.2， ( ) 1 0 ( ) ( )( )() ! k n k k fa f xf xxa k ( ) lim( ) n x x fxa 。由泰勒中值定理并连续次应用洛必达法则则有 ( ) lim( ) i x fx (0,1,2,1)inn 。 (4.1) ( )( )( ) + ! ( ) lim( )limlim( )lim( ) () nnn n xxxx n f x ffxfx xa 若存在.使.则由于在上连续，所以必存在，bab ( )( )n fx , a b 0 , xa b 使从而.这是矛盾的，故当时， ( )( ) 0 ()( ) nn fxf ( )( ) 0 ()lim( ) nn x fxf x 有。 若，则由引理 4.1，有，从而 )ii0 ( ) 11 limlim ( ) n xx x fxa 。余下证明与类似，故当时，有。 ( )( ) + 11 limlim ( )( ) nn xx ffx ) ix 其次，作辅助函数， () ( )( ) n g xxf x 由引理 4.2 有 。 (4.2) ( )(1) lim( )lim (1) n xx f x g xa xn 由泰勒中值定理得 ( ) + 1 ( )() ! lim( )lim nn n xx fxa n g x x 济南大学毕业论文 - 18 - 。 ( ) 1 lim( ) (1)(1)() ! nn x aaa f nxxa (4.3) 注意到时，有得， x ( ) lim( )(1)(1)0 nn x aa fa x (4.4) 由式知存在，故由式知存在且(4.2)lim( ) x g x (4.3)lim() x a xa ，lim( )lim() ! xx aa g x nxa 由式与式立得式。(4.2)(4.4)(4.1) 若.则定理 1 不再成立。但我们有0 定理 4.414 在定理 4.1 中的条件下，若，再设，且=0 ( ) lim( ) n x xfxab ，则泰勒中值定理中的中间点.有渐近估计式( ,)xa ( )( ) 0 n fxa( , )a x 。其中为非零常数，为实数，. 1 (1) lim ! (1) x an xan b1 证明:因为，故。 ( ) = lim( )0 n x fxaaa ( ) lim( )0 n x xfxab 0 令，则与应用泰勒中值定( )( )() ! n a xf xxa n ( ) 1 0 ( ) ( )() ! k n k n k fa pxxa k ( )x( )f x 理可取到相同的中间点.事实上，对于应用泰勒中值定理.存在。使( )x 1 ( , )a x 。 (4.5) ( ) 1 1 ( )( )( )1 ( ) ()! n n n n xpxa f xannn 又。 (4.6) ( )()( ) ( )( ) ! ()() n n n nn a f xxapx xpx n xaxa ( ) ( )( )( ) ()! n n n f xpxafa xannn 由(4.5)与(4.6)式可取。 1= 又，且，由定理有 ( )( ) + lim( )lim( )0 nn xx xxxfxab ( ,)xa ( )( ) 0 n x 。 1 1 (1) limlim ! (1) xx aan xaxan 济南大学毕业论文 - 19 - 以上我们讨论了带拉格朗日余项的泰勒公式“中间点”的渐近问题，得到了当区 间长度趋于零与无穷时的满足的条件，下面我们讨论泰勒公式与泰勒级数的关系。 5 泰勒公式与泰勒级数泰勒公式与泰勒级数 泰勒公式和泰勒级数在解决实际问题中有某些的相似性,但是它们引入不同,因 此还是有一定的差异性，由于泰勒公式是通过重复运用柯西中值定理得来的,过程比 济南大学毕业论文 - 20 - 较复杂,泰勒级数属于函数项级数中的幂级数,与泰勒公式类似在近似计算、极限运 算、级数与广义积分的敛散性判断等方面也有具体应用。接下来我们具体探讨泰勒 公式与泰勒级数的区别与联系以及泰勒级数的应用问题。 5.1 泰勒级数与泰勒公式的区别 首先我们讨论泰勒公式与泰勒级数的区别。 如果在定义 1.1 中抹去余项，那么在附近可用定义 1.1 式右边的多( ) n r x 0 xf 项式来近似代替，如果函数在处存在任意阶的导数，这时称形式为f 0 xx 。 2 00 00000 ()() ()()()()() 2! n n fxfx f xfxxxxxxx n 的级数为函数在的泰勒级数。f 0 x 泰勒公式中含有有限多项式，泰勒级数中含有无限多项式，泰勒公式不是泰勒 级数，泰勒级数也不是泰勒多项式。 当的各阶导数都存在时，的泰勒级数在收敛情况下一定等于；( )f x( )f x( )f x 但不论的泰勒级数是否收敛，只要有阶导数，就有泰勒公式成立，可( )f x( )f x1n 见泰勒级数收敛时，与泰勒公式结果一致，都是。( )f x 当在含有的某个邻域内具有任意阶的导数，可将展成( )f x 0 x( , )a b( )f x 幂级数，其中的乘幂的系数分别为， 0 ()xx 0 ()nxx 0 ()f x ，称为幂级数系数.可见在处的泰勒 0 1 () 1! fx 0 1 () 2! fx 0 1 () ! n fx n ( )f x 0 x 级数也是展成的幂级数。( )f x 0 ()xx 特别，当是的次多项式，将展成的多项式，在初等数学中，( )f xxn( )f x 0 ()xx 只能采用待定系数法，在高等数学中，当学了泰勒公式后，我们可以先求出， 0 ()f x ，再按泰勒公式展成的多项式形式 0 ()fx 0 ()fx 0 () n fx 0 ()xx 。 2 0000000 11 ( )()()()(