输油管线布置的最优设计数学建模论文.doc

（2010年题全国一等奖）输油管线布置的最优设计摘 要我国是能源消耗大国，石油输油管的建设是一个投资巨大的工程，优化输油管线的铺设可以节约成本，具有十分明显的经济意义。本文针对铁路线一侧两炼油厂及铁路线上增建一个车站，考虑油管的布置问题，利用函数偏导求极值和数学软件mathlab、lingo的计算机优化模拟，建立了管线建设费用最省的一般数学模型与方法。问题一，针对两炼油厂到铁路线距离a、b和两炼油厂间距离的各种不同情形，得出管线建设费用最省时交汇点e的坐标（x，y）关于a、b、的普遍关系式：这种模式具有一定的普遍性。 问题二，由问题一模型的延伸，在城区引入合理附加费21.46万元/千米，综合实际情况后以总费用最省为目标建立模型，用lingo软件模拟结果得：当两厂管线交汇点e位于（5.45，1.85）时，管线建设费用最省为282.49万元，管线建设的总线长为24.21千米，同时也得出了此种情形下的各段管线的相关参数。问题三，在该实际问题中，为进一步节省费用，各段管线的单位造价可根据自身生产能力造来选择，综合实际情况后以总费用最省为目标建立模型，用lingo软件模拟结果得：当两厂管线交汇点e位于（6.73，0.138）时，管线建设费用最省为251.77万元，管线建设的总线长为24.42千米，同时也得出了此种情形下的各段管线的相关参数。这类模型解决了输油管的布置的问题，具有一定的推广性，还可以解决一些像煤气管线、自来水管线、污水管道线，电力电缆的铺设设计等。关键词： 输油管线布置 优化模型 二元函数极值一、 问题重述某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法。1. 针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出你的设计方案。在方案设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。2. 设计院目前需对一更为复杂的情形进行具体的设计。两炼油厂的具体位置由附图所示，其中a厂位于郊区（图中的i区域），b厂位于城区（图中的ii区域），两个区域的分界线用图中的虚线表示。图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为a = 5，b = 8，c = 15，l = 20。若所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元。 铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算。估算结果如下表所示：工程咨询公司公司一公司二公司三 附加费用（万元/千米）212420请为设计院给出管线布置方案及相应的费用。3. 在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。这时的管线铺设费用将分别降为输送a厂成品油的每千米5.6万元，输送b厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，拆迁等附加费用同上。请给出管线最佳布置方案及相应的费用。二、 问题分析我国处于迅速发展时期，是能源消耗大国，能源建设项目众多，进行最优配置设计对节约成本来讲数目十分可观。输油管优化布置方案设计降低了建设成本，具有现实意义。本题要解决的是如何设计管线铺设使得总费用最省，围绕输油管线最优设计、总费用最小得原则，对a，b炼油厂和车站位置进行分析求解。对于问题一，考虑到两炼油厂和车站的地址可以在铁路线的一侧任意选择，且它们所在区域看作近似一个平面，可以通过建立坐标系将其转变为数学模型，定义a、b两厂和车站，通过计算管线总长的中间量，求总管线费用，以管线建设费用最省为目标建立优化模型，进行求解，在通过偏导方法对模型进行深一步的分析，或通过数学软件优化，进一步分析在两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形。问题二，际上是问题一的延伸，可以在问题一的模型上改进。对于三个咨询公司给出的评估数据，可以直接取用，带有一点的主观性，为了数据取样更有说服力，采用了对三个咨询公司给出的评估数加权平均值，通过矩阵求解得到更合理的数值。根据题中给出情形，构造两点间距离公式，得出目标函数，利用lingo软件进行函数最小优化，求出管线建设费用最少方案。对于问题三，实际是更一般性的模型，也可以如同问题二一样求解。符号说明：z：表示管线建设费用；a：表示a厂位于坐标系中的位置；a：表示a厂到铁路线的垂直距离，即a点的纵坐标；b：表示b厂位于坐标系中的位置；：表示a、b两厂沿着铁路的距离，即b点的横坐标；b：表示b厂到铁路线的垂直距离，即b点的纵坐标；e：表示a、b两厂输油管的汇集点,坐标用（x，y）表示；f1：表示管线与城区分界线的交点，坐标为（15，y2）；s： 表示管线的总长；：表示a厂非公用管线费用；：表示公用管线费用；：表示铺设在城区管线的附加费用；：表示b厂非公用管线费用；k：表示铁路线上的车站，坐标为（xs，0）。三、 模型假设1、 将所考虑的区域近似看作一个平面；2、 两个炼油厂和车站均近似看作为平面上的点，分别用点a、b、k表示；3、 在所考虑的区域内铁路线为直线cd，新建车站可以在铁路线的任意位置；4、 两个炼油厂的地址可以在铁路线的一侧任意选择；5、 不考虑自然条件的制约，假设区域内任意两点之间均可以以直线连接；6、 假设聘请的三家咨询公司估计出来的数值可信。7、 假设不考虑管线铺设费用由谁分担，只考虑铺设管线总费用最少；8、假设设计输油管线铺设不受自然人为因素的制约，可以理想地铺设；9、假设设计方案只考虑共用管线和非共用管线铺设的费用，不考虑技术或其他方面的问题；四、 模型的建立与求解问题一：根据假设1和2，以铁路线cd为x轴，以炼油厂a到x轴的垂线作y轴，建立平面直角坐标系（如图1所示）：a炼油厂的坐标为（0，a），b炼油厂的坐标为（l，b）（不妨设a 即 时 也就是，两厂之间的横向距离很小，而两厂与铁路线的距离相差比较大的时候，比如 .通过lingo求得两管道线汇合点e的坐标近似为（0，1）。事实上，当由(4)算出的x时，管道长度肯定大（斜边大于直角边），如图2 图2因此目标函数的最小值只能在x=0时取得。当x=0时，目标函数化为 通过分析和计算，当时，z最小，所以，当 时，两管道线汇合点e的坐标为（0，a）。 若 即时，也就是，两厂之间的横向距离比较大，而两厂与铁路线的距离都比较近的时候，比如 .由（4）算出的y 时 ， x因此目标函数的最小值只能在x=0时取得，当x=0时，在时，目标函数z最小。所以，当 时，两管道线汇合点e的坐标为（0，a）。 若 这时y0，所以还是在y=0时管道最短，这时，运用求一元函数极值的方法可以算得，当 时z最小。即，当时，两管道线汇合点e的坐标为（，0）结论：通过比较可以看出，管线建设费用最省时交汇点e的坐标（x，y）是关于a，b，l的函数。非共用管线的费用和共用管线费用不相等时所建立的模型及其结果，包含了这种模型及其结果，因而模型是模型的特例， 这种模式更具有普遍性。问题二：问题2中两炼油厂的具体位置，a厂位于郊区（i区域），b厂位于城区（ii区域），两个区域的分界线垂直与铁路线。介入了一个铺设在城区管线需增加拆迁和工程补偿等附加费用，在设计方案时应该考虑管线在b城区线路和附加费用。题中给出了三家工程咨询公司对附加费用进行估计。得到的估算结果如下：工程咨询公司公司一公司二公司三 附加费用（万元/千米）212420本方案要中管线布置方案需要建立模型进行优化，相应的附加费用要针对三家公司给出的附加费用再一次权重评估，设为p3万元/千米。（一）附加费用权重评估通过比较矩阵和权向量方法对三个公司给出来的估计附加费用进行比较和权重，得到更贴近实际的附加费用值。公司一具有甲级资质，资质高说明技术含量高一些，估计的结果准确性更高，公司二和公司三具有乙级资质，也有一定的资质，所有三个公司的赋值比是7：3：3，根据赋值得到矩阵 （8）利用matnab求解（求解过程见附件2）得最大特征根l=3.0000，一致性指标： （9）随机一致性指标 ri=0.58 (查表)，一致性比率=0/0.58=0 a=1 7/3 7/3 3/7 1 1 3/7 1 1; x,d=eig(a)x = -0.8552 -0.7165 0.8108 -0.3665 -0.3152 -0.5494 -0.3665 0.6223 0.2019d = 3.0000 0 0 0 0.0000 0 0 0 -0.0000附件3min=(x2+(y-a)2)0.5*k1+(x-c)2+(y-y1)2)0.5*k1+y*k1+(c-l)2+(y1-b)2)0.5*(k1+k2);a=5;b=8;l=20;c=15;k1=7.2;k2=21.46;z=(x2+(y-a)2)0.5;q=(x2+(y-a)2)0.5*k1;h=(x-c)2+(y-y1)2)0.5+(c-l)2+(y1-b)2)0.5;w=(x-c)2+(y-y1)2)0.5*k1+(c-l)2+(y1-b)2)0.5*k1;m=y; n=y*k1;d=(c-l)2+(y1-b)2)0.5;f=(c-l)2+(y1-b)2)0.5*k2;v=(x2+(y-a)2)0.5+(x-c)2+(y-y1)2)0.5+y+(c-l)2+(y1-b)2)0.5;o=q+w+n+f;end运行结果为：local optimal solution found. objective value: 282.4958 total solver iterations: 55 variable value reduced cost x 5.450176 0.000000 y 1.853339 0.000000 a 5.000000 0.000000 k1 7.200000 0.000000 c 15.00000 0.000000 y1 7.366933 0.000000 l 20.00000 0.000000 b 8.000000 0.000000 k2 21.46000 0.000000 z 6.293321 0.000000 q 45.31191 0.000000 h 16.06710 0.000000 w 115.6832 0.000000 m 1.853339 0.000000 n 13.34404 0.000000 d 5.039918 0.000000 f 108.1566 0.000000 v 24.21377 0.000000 o 282.4958 0.000000 附件4min=(x2+(y-a)2)0.5*k1+(x-c)2+(y-y1)2)0.5*k4+y*k2+(c-l)2+(y1-b)2)0.5*(k3+k4);a=5;b=8;l=20;c=15;k1=5.6;k2=7.2;k3=21.46;k4=6.0;z=(x2+(y-a)2)0.5;q=(x2+(y-a)2)0.5*k1;h=(x-c)2+(y-y1)2)0.5+(c-l)2+(y1-b)2)0.5;w=(x-c)2+(y-y1)2)0.5*k4+(c-l)2+(y1-b)2)0.5*k4;m=y;n=y*k2;d=(c-l)2+(y1-b)2)0.5;f=(c-l)2+(y1-b)2)0.5*k3;v=(x2+(y-a)2)0.5+(x-c)2+(y-y1)2)0.5+y+(c-l)2+(y1-b)2)0.5;o=q+w+n+f;end运行结果为： local optimal solution found. objective value: 251.7664 total solver iterations: 8 variable value reduced cost x 6.734459 0.000000 y 0.1384112 0.000000 a 5.000000 0.000000 k1 5.600000 0.000000 c 15.00000 0.000000 y1 7.278431 0.000000 k4 6.000000 0.000000 k2 7.200000 0.000000 l 20.00000 0.000000 b 8.000000 0.000000 k3 21.46000 0.000000 z 8.305901 0.000000 q 46.51304 0.000000 h 15.97421 0.000000 w 95.84525 0.000000 m 0.1384112 0.000000 n 0.9965609 0.000000 d 5.051798 0.000000 f 108.4116 0.000000 v 24.41852 0.000000 o 251.7664 0.000000 2010年题全国二等奖油管布置优化模型摘要在现实生活中，铺设管道是经常碰到的问题，使铺设费用尽可能少具有很大的现实意义，我们从管线的建设费用最省方面考虑，建立以下模型：问题一，建立适当的坐标系，假设a炼油厂的坐标为（0，a），b炼油厂的坐标为（l,b），两炼油厂管线交点为m（x,y）,经分析得共用管线长度即为m点纵坐标，建立铺设费用最省的模型为：（，为费用） 模型问题二，不但要考虑建设管道的费用，还要考虑拆迁和工程补偿等的附加费用，我们分两种情形讨论，通过分析比较，最终得到模型为： 模型通过lingo软件求解得最省费用为z=282.19（万元），m点坐标为(5.45, 1.85)，n点坐标为(15,7.37)。问题三，类似问题二，分两种情形讨论，得出当管线交点在郊区时的模型： 模型当管线交点在城区时的模型： 模型通过lingo软件对模型和模型进行求解，经比较得到最省费用为z=251.46（万元），管线交点m坐标为（6.74,0.14）,n点坐标为（15，7.28）。【关键词】：炼油厂 输油管线 费用最省 优化模型一、 问题的重述某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法。1. 针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出你的设计方案。在方案设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。2. 设计院目前需对一更为复杂的情形进行具体的设计。两炼油厂的具体位置由附图所示，其中a厂位于郊区（图中的i区域），b厂位于城区（图中的ii区域），两个区域的分界线用图中的虚线表示。图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为a = 5，b = 8，c = 15，l = 20。 若所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元。 铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算。估算结果如下表所示：工程咨询公司公司一公司二公司三 附加费用（万元/千米）212420请为设计院给出管线布置方案及相应的费用。3. 在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。这时的管线铺设费用将分别降为输送a厂成品油的每千米5.6万元，输送b厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，拆迁等附加费用同上。请给出管线最佳布置方案及相应的费用。二、 问题的分析1、对于问题一，铁路线和周边的地理环境是未知的，以及居民的分布也是不确定的，在建立模型时不考虑这些因素的影响。2、通过查阅有关资料得知甲级资质与乙级资质的相关信息，甲级资质比乙级资质级别高，资质级别高评估的准确性就会相对高些，则参考的份量就会多一些。我们对三家公司估算的数据进行加权处理，赋予它们不同的权重，最后得出一个比较优化的值，用相对比较法，对三家公司按三级比例标度两两相对比较评分，甲资质对乙资质，甲资质更重要，评1分，同是乙资质则同等看待，评0.5分，乙资质对甲资质，没甲资质重要，为0分，得到评分表如下：公司一公司二公司三公司一0.511公司二00.50.5公司三00.50.5记为三家公司的权重（i=1,2,3）,则他们的权重分别计算得：，则附加费的估计值为：（万元/千米）。三、 符号说明符号含义单位备注a炼油厂b炼油厂m两炼油厂管线的交点n油管与图中虚线的交点aa炼油厂距铁路的距离千米bb炼油厂距铁路的距离千米la炼油厂与b炼油厂的水平距离千米z建设管线的总费用万元因变量非共用管线建设费用单价万元/千米共用管线建设费用单价万元/千米p车站位置t共用管线的某个取值a炼油厂关于y=t对称的点两炼油厂交点m的横坐标两炼油厂交点m的纵坐标n点的纵坐标q附加费的估计值万元/千米附加费估计值权重i=1,2四、 模型假设1、假设铁路线上的任意位置都能设置车站。2、假设管道可以任意铺设，不受地形等其他因素的影响。3、假设可建设车站的铁路附近没有太大的弯道，铁路可看似平直。4、假设管线衔接处所产生的附加费用忽略不计。5、假设管线的铺设是从炼油厂和车站的中心铺出的。五、 模型建立与求解问题一：如图一，建立适当的坐标系，假设a炼油厂的坐标为a（0,a）,b炼油厂的坐标为b（l,b）,两炼油厂的管线交点为m（x,y），点p为车站，mp即为共用管线，在不考虑其他因素影响下，显然共用管道mp应垂直铁路线，得到建设费用的一般表达式：。 （1）当mp长为某一取定值t时，m可以在直线y=t上任意一个位置，但要使a油厂和b油厂的管线最短，根据平面镜成像原理，可以唯一地确定m的位置，如图二，做a点关于y=t的对称点，点的坐标为（0,2y-a），与b的连线和y=t的交点即为m的最优位置。a油厂和b油厂的管线可以用b取代，因此，（1）式得以简化，建立模型为： 模型y为决策变量,即为交点m的纵坐标，y的取值范围为：0ya。对目标函数求极值，然后与边界值（即为图三和图四的情形）进行比较得出最省费用。目标函数的导数为：，令,解得： ，由m、 、b共线，斜率相等， 可得：。当炼油厂的位置确定时，建设费用（相同和不相同）也确定时，很容易求解得建设费用最省的设计方案。图一 图二图三 图四问题二：建设费用不但要考虑铺设管道的费用，还要考虑在城区的拆迁和工程补偿等附加费用，问题一的模型对问题二不适用，我们分交点在城区和在郊区两种情形进行讨论，如图五，a炼油厂，b炼油厂管道交点为，管道与虚线交点为。通过图六的比较可以排除m点在城区的可能，因为b点到铁路的距离要比a点到铁路的距离大，通过平面镜成像原理可得m点的位置一定在ab水平距离中点偏左，而且一定不会在a点之上，不考虑费用，交点m不会在城区范围，如要考虑费用，bn长度也会比bm短，故排除m在城区的情况。可建立模型如下: 模型用lingo软件求解，计算得最省费用为：minz= 282.1934 （万元），m点坐标为(5.45, 1.85)，n点坐标为(15,7.37)，则设计方案可以确定。图五 图六问题三:当a厂油管和b厂油管单价不同时，不能用平面镜成像原理对m点进行约束，类似问题二，分两种情形讨论，如图七，当交点在郊区时，可建立模型为： 模型 对于交点在城区的可能，因为a厂和b厂油管费用相差不大，m点偏移到城区的可能性不大，如果存在可能，要看在城区铺设管道线路的情况，如果在城区铺设线路过长，会影响城区居民的生活，造成很多危险因素。当建造费用与在郊区相差不大时，应考虑把车站建在郊外。建立交点在城区的模型，如图八，用以与模型作比较。模型为： 模型用lingo软件分别对这两个模型进行求解，得模型的解最优，最优解为minz=251.4633 （万元） ，m点坐标为（6.73,0.14）,n点坐标为（15，7.28），则可确定管线布置方案。 图七 图八六、 模型评价与推广问题一模型通过平面镜成像原理对交点m进行了约束，目标函数得以简化，使问题的分析解决更加容易，对类似于这样的优化问题提供了一个简而易行的方法。问题二和问题三充分考虑了管道交点m可能出现的情况，模型比较严谨。在现实生活中有很多类似输油管道的铺设的问题，如公路的铺设，港口的建立，都可以用这种模型进行求解，此种模型在现实生活中的应用很广。参考文献:1 谢金星 薛毅，优化建模与lindo/lingo软件m，北京：清华大学出版社，2005年7月。2 姜启源 谢金星 叶 俊，数学模型（第三版）m，北京：高等教育出版社，2003年8月。3 刘玉琏 傅沛仁，数学分析讲义（第四版）m，北京：高等教育出版社，2003年6月。附 录问题二：模型求解程序如下：model:min=(x12+(5-y1)2)0.5*7.2+(y2-y1)2+(15-x1)2)0.5*7.2+7.2*y1+(20-15)2+(8-y2)2)0.5*28.6;end运行结果：global optimal solution found. objective value: 282.1934 extended solver steps: 7