高中数学题库_A集合与简易逻辑集合.doc

集合axx 2axa2190，bxx 25 x60，cxx 22 x80 （1）若abab，求a的值；（2）若 ab，ac，求a的值答案：由已知，得b2，3，c2，4.(1) abab， ab 于是2，3是一元二次方程x2axa2190的两个根，由韦达定理知： 解之得a5. (2)由ab ，又ac，得3a，2a，4a，由3a，得323aa2190，解得a5或a=2当a=5时，axx25x602，3，与2a矛盾；当a=2时，axx22x1503，5，符合题意. 来源：09年湖北宜昌月考一题型：解答题，难度：中档已知：集合a=x|0， b=x|x23x+20，u=r，求（1）ab；（2）（ua）b.答案：a=x|0=x|5x b=x|x23x+20=x|1x2 （1）ab=x|5x （ua）b=x|xg(n)。引理：当m为奇数时，从m, m+1, m+2, m+3, m+4中任意取出4个元素，必有3个两两互质。只需分m=6k+1, 6k+3, 6k+5三类讨论即可。下面证明，当f(n)=g(n)+1时，题设条件成立。用反证法，若不然，对于给定的s，因为m, m+1中必有1个奇数，从这个奇数开始，连续6个整数为一组，设n=6k+r, 1r6.（1）若r=1,2,3,则由引理可知，每组至多取出4个数，一共至多取出4k+r4k+r+1=g(n)+1个数，矛盾。（2）若r=4,5，从m, m+1中的奇数开始分组，最后余下至少3个数，且以奇数开头。以奇数开头的连续3个正整数两两互质，从而必有1个没被取出。由引理可知一共至多取出4k+r-14k+r=g(n)+1个数，矛盾。（3）若r=6，从m, m+1中的奇数开始连续6个整数为一组，最后余下以奇数开头的至少5个整数，连同第一个数（如果第一个数为偶数）作为一组，共分k+1组。由引理可知，每组至多取出4个数，一共至多取出4(k+1)4k+5=g(n)+1个数，矛盾。综上所述，假设不成立。所以当f(n)=g(n)+1=时，对于任意mn+，从s中任取f(n)个元素，总有3个两两互质。故f(n)=来源：08年数学竞赛专题一题型：解答题，难度：较难设集合，求最小的正整数，使得对a的任意一个14-分划，一定存在某个集合，在中有两个元素a和b满足。答案：构造数表表1、表2如下。表1 表2 如表2，第i行的数即为子集ai中的元素，这时|ai|=4(i=1,2,13)，|a14|=3。显然，14个子集中每一个都不存在两个元素满足题中不等式。所以m56.另一方面，若m=56，则对a的任意分划a1，a2，a14，数42，43，56中必有两个数属于同一个a，取此二数为a和b，则42ab56=42a.综上所述，所求m的最小正整数为56。来源：08年数学竞赛专题一题型：解答题，难度：较难已知s是由实数构成的集合，且满足1）若，则。如果，s中至少含有多少个元素？说明理由。答案：首先（否则，但），由得，且（理由同上）。所以互不相同，所以s至少含有3个元素。另一方面，满足条件，故s至少含有3个元素。来源：08年数学竞赛专题一题型：解答题，难度：中档集合a和b各含有12个元素，含有4个元素，试求同时满足下列条件的集合c的个数：1）且c中含有3个元素；2）。答案：若，则有种；若，则有种；若，则有种，故满足条件的c共有1084个。来源：08年数学竞赛专题一题型：解答题，难度：较难s是q的子集且满足：若，则恰有一个成立，并且若，则，试确定集合s。答案：若-1s，则(-1)2=1s与已知矛盾，所以-1s，1s。所以1+1=2s，1+2=3s，依次类推，所以，所以。所以若rq,则设m,nn+.因为ns，s，所以rs，所以q+s。由已知若rs，因为，若r0，则-rq+,所以-rs矛盾。所以rq+,所以sq+，所以s=q+.来源：08年数学竞赛专题一题型：解答题，难度：较难求集合b和c，使得，并且c的元素乘积等于b的元素和。答案：因为1+2+10=55120=12345，所以集合c至多有4个元素，下面对|c|分4种情况讨论。（1）c由一个元素构成，因为c的元素乘积不超过10，b的元素和至少为55-10=45。故此情况不成立。（2）c由两个元素x,y构成，设xy，则有xy=55-x-y,即（x+1）(y+1)=56，因为x+1y+111，解得x=6,y=1,故c=6，7，b=1，2，3，4，5，8，9，10。（3）c由三个元素xy55-x-y-z，无解。（4）c由四个元素xyz55.这时yzt=54-y-z-t,2yz0, 则0b-ab1。由于a+b=c(a1+b1), ab=c2a1b1，因此（a1+b1）|ca1b1。又由于（a1+b1, a1）=1, （a1+b1, b1）=1, 因此a1+b1|c。而a+b99，即c（a1+b1）99，所以3a1+b19。由此可知，s中满足(a+b)|ab的不同数对（a, b）共有23对：当a1+b1=3时，有（6，3），（12，6），（18，9），（24，12），（30，15），（36，18），（42，21），（48，24）；当a1+b1=4时，有（12，4），（24，8），（36，12），（48，16），当a1+b1=5时，有（20，5），（40，10），（15，10），（30，20），（45，30）；当a1+b1=6时，有（30，6）；当a1+b1=7时，有（42，7），（35，14），（28，21）；当a1+b1=8时，有（40，24）；当a1+b1=9时，有（45，36）。令m=6，12，15，18，20，21，24，35，40，42，45，48，则上述23个数对中的每一个数都至少包含m中的1个元素。令t=s-m。则t中任何两数都不能成为满足要求的数对（a,b）。因为|t|=38，所以所求最小自然数k39.另一方面，下列12个满足题中要求的数对互不相交：（6，3），（12，4），（20，5），（42，7），（24，8），（18，9），（40，10），（35，14），（30，15），（48，16），（28，21），（45，36），对于s中任一39元子集r，它只比s少11个元素，而这11个元素至多属于上述12个数对中的11个，因此必有12对中的1对属于r。故所求的最小自然数k=39.来源：08年数学竞赛专题一题型：解答题，难度：较难设是20个两两不同的整数，且整合中有201个不同的元素，求集合中不同元素个数的最小可能值。答案：所给集合的元素个数的最小值为100。首先，令ai=1011+10i, a10+i=1011-10i(i=1,2,，10)，则ai+aj|ij20中共有（20+19+1）-10+1=201个不同的元素，而ai-aj|1ij20=210ii=1，2，10|10i10j|1ij10共有10+2=100个不同的元素。下面用反证法证明：所给集合的不同元素的个数不小于100。若存在一个使所给集合的元素个数小于100的集合s=a1, a2, ,a10，我们计算s的“好子集”x,y,z,w的个数，这里xyzc的数对（b,c）（共190对），考虑它们的差b-c，由于至多有99个不同的差（这里用反证法假设），故必须至少91个数对（b, c），使得存在b, c s，满足bb, cc, 且b-c=b-c，对这样的91个数对（b, c），它与其相应的b, c 形成s的一个4元集b, c, b, c，可得到s的一个“好子集”x, y, z, w，且至多两个数对（b, c）形成相同的子集x, y ,z, w（只能是（b,c）=(w, z)和（w, y），故s的“好子集”至少有46个。另一方面，s的“好子集”x, y, z,w的个数等于，这里的si为s中满足b+c=i, bc的数对（b, c）的个数，其中i为正整数。注意到，对于每个i, s中的每个元素s至多出现在上面的一个数对（b, c）中（事实上，当si-s时，s出现在数对（s, i-s）中，其余情况出现在（i-s, s）中），于是si10.从而在时1 si10，故，由于集合ai+aj|1ij20中有201个不同的元素，故使得si1的正数i有201个。设t为这样的i组成的集合，易知s中有对（b,c）满足bc，有20对（b,c）满足b=c,所以，于是=5（210-201）。这与s的“好子集”至少有46个矛盾，所以，所给集合中至少有100个不同的元素。来源：08年数学竞赛专题一题型：解答题，难度：较难集合1，2，3n可以划分成个互不相交的三元集合，其中，求满足条件的最小正整数答案：设其中第个三元集为则1+2+所以。当为偶数时，有，所以，当为奇数时，有，所以，当时，集合1，11，4，2，13，5，3，15，6，9，12，7，10，14，8满足条件，所以的最小值为5。来源：08年数学竞赛专题一题型：解答题，难度：较难设s是由个人组成的集合。求证：其中必定有两个人，他们的公共朋友的个数为偶数。答案：证明：用反证法：设s为一个由2n个人组成的集合，s中每两个人的公共朋友数为奇数，s中的任意一个人a，记m=f1，fn为a的朋友集。可以证明：每个a，k都为偶数。事实上，对每个fim，考虑它在m中的朋友数，所有这k个fi的这些朋友数之和为偶数（因为朋友是相互的），而对a，fi而言，其公共朋友数为奇数，故每个fi的这样的朋友数为奇数，故k为偶数。设k=2m，现在考虑每个fim，他的所有朋友集不包括a，但不局限于m中他的这样的朋友数为奇数（因为fi的朋友数为偶数，而a不算在内）。因此，所有2m个这样的朋友集的元素个数之和为偶数。从而在2n-1个人（a除外）中，必有一个人在偶数个这样的朋友集中出现，但与a的公共朋友数为偶数。这个矛盾表明有两个s中的人，他们的公共朋友数为偶数。来源：08年数学竞赛专题一题型：解答题，难度：较难集合，试作出x的三元子集族&，满足：（1）x的任意一个二元子集至少被族&中的一个三元子集包含；（2）。答案：先证明下面的引理。引理：对于nn+，集合x1=1，2，2n的全部二元子集可分成2n-1组，且每组是x1的一个分划。引理的证明：如图所示，将1，2，2n-1个数按顺时针方向放到一个正2n-1边形的顶点上，数2n放在外接圆圆心上。连接2n与1，作n-1条以2n-1边形顶点为端点且垂直于1与2n连线的线段，便得到x1的n个二元子集构成x1的n个二元子集。这样，x1的全部个二元子集被分成2n-1组，且每组n个集合构成x1的一个分划。下面来做满足题设的子集族。令a=1，2，2k，b=2k+1,2k+2,4k，c=4k+1,4k+2,6k。由引理可知，a的全部二元子集可分为2k-1组，每组是a的一个分划。将其中一组重复一次，得到a的2k个分划，让其中每个分划与b的一个元素搭配作出k个x的三元子集。类似地，作出b的2k个二元子集构成的分划，包含b的全部二元子集，让其中每个分划与c的一个元素搭配作出k个x的三元子集；作出c的2k个二元子集构成的分划，包含c的全部二元子集，让其中每个分划与a的一个元素搭配作出k个x的三元子集。上面得到的k2k3=6k2个x的三元子集组成的族&满足题设要求。来源：08年数学竞赛专题一题型：解答题，难度：较难设a，b是两个集合，又设集合m满足，求集合m（用a，b表示）。答案：先证，若，因为，所以，所以；再证，若，则1）若，则；2）若，则。所以综上，来源：08年数学竞赛专题一题型：解答题，难度：较难设集合a= b=c=，问：是否存在，使得，并证明你的结论。答案：假设存在这样的，则，所以与均无解，由得。）若，则有实根，所以。）若，则无解，所以。由得，即无解，所以。化简得，所以。（1）若，则不成立；（2）若，则仍不成立；（3）若，由式得，所以或2，又当时式不成立。所以，反之时，均成立，从而，无解，所以存在满足条件。来源：08年数学竞赛专题一题型：解答题，难度：较难集合a，b，c是i=1，2，3，4，5，6，7，8，9，0的子集，（1）若，求有序集合对（a，b）的个数；（2）求i的非空真子集的个数。答案：（1）集合i可划分为三个不相交的子集；ab，ba，中的每个元素恰属于其中一个子集，10个元素共有310种可能，每一种可能确定一个满足条件的集合对，所以集合对有310个。（2）i的子集分三类：空集，非空真子集，集合i本身，确定一个子集分十步，第一步，1或者属于该子集或者不属于，有两种；第二步，2也有两种，第10步，0也有两种，由乘法原理，子集共有个，非空真子集有1022个。来源：08年数学竞赛专题一题型：解答题，难度：较难设a=1，2，3，4，5，6，b=7，8，9，n，在a中取三个数，b中取两个数组成五个元素的集合，求的最小值。答案：设b中每个数在所有中最多重复出现次，则必有。若不然，数出现次（），则在出现的所有中，至少有一个a中的数出现3次，不妨设它是1，就有集合1，其中，为满足题意的集合。必各不相同，但只能是2，3，4，5，6这5个数，这不可能，所以20个中，b中的数有40个，因此至少是10个不同的，所以。当时，如下20个集合满足要求：1，2，3，7，8， 1，2，4，12，14， 1，2，5，15，16， 1，2，6，9，10，1，3，4，10，11， 1，3，5，13，14， 1，3，6，12，15， 1，4，5，7，9，1，4，6，13，16， 1，5，6，8，11， 2，3，4，13，15， 2，3，5，9，11，2，3，6，14，16， 2，4，5，8，10， 2，4，6，7，11， 2，5，6，12，13，3，4，5，12，16， 3，4，6，8，9， 3，5，6，7，10， 4，5，6，14，15。来源：08年数学竞赛专题一题型：解答题，难度：较难给定集合的个子集：，满足任何两个子集的交集非空，并且再添加i的任何一个其他子集后将不再具有该性质，求的值。答案：将i的子集作如下配对：每个子集和它的补集为一对，共得对，每一对不能同在这个子集中，因此，；其次，每一对中必有一个在这个子集中出现，否则，若有一对子集未出现，设为c1a与a，并设，则，从而可以在个子集中再添加，与已知矛盾，所以。综上，。来源：08年数学竞赛专题一题型：解答题，难度：较难求所有自然数，使得存在实数满足：答案：当时，；当时，；当时， 。下证当时，不存在满足条件。令，则所以必存在某两个下标，使得，所以或，即，所以或，。（）若，考虑，有或，即，设，则，导致矛盾，故只有考虑，有或，即，设，则，推出矛盾，设，则，又推出矛盾， 所以故当时，不存在满足条件的实数。（）若，考虑，有或，即，这时，推出矛盾，故。考虑，有或，即=3，于是，矛盾。因此，所以，这又矛盾，所以只有，所以。故当时，不存在满足条件的实数。来源：08年数学竞赛专题一题型：解答题，难度：较难 求1，2，3，100中不能被2，3，5整除的数的个数。答案：记，由容斥原理， ，所以不能被2，3，5整除的数有个。来源：08年数学竞赛专题一题型：解答题，难度：较难s是集合1，2，2004的子集，s中的任意两个数的差不等于4或7，问s中最多含有多少个元素？答案：将任意连续的11个整数排成一圈如右图所示。由题目条件可知每相邻两个数至多有一个属于s，将这11个数按连续两个为一组，分成6组，其中一组只有一个数，若s含有这11个数中至少6个，则必有两个数在同一组，与已知矛盾，所以s至多含有其中5个数。又因为2004=18211+2，所以s一共至多含有1825+2=912个元素，另一方面，当时，恰有，且s满足题目条件，所以最少含有912个元素。来源：08年数学竞赛专题一题型：解答题，难度：较难 ，若，求答案：依题设，再由解得或，因为，所以，所以，所以或2，所以或3。因为，所以，若，则，即，若，则或，解得综上所述，或；或。来源：08年数学竞赛专题一题型：解答题，难度：较难已知关于的不等式组的解集为（）集合，若，求的取值范围；答案：（）由不等式组得，当，即时，满足；当，即时，所以，解得，所以综述上面情况，的取值范围是 （）满足不等式组的整数解仅有，所以且，解得，所以的取值范围是分来源：09年江苏盐城月考二题型：解答题，难度：中档已知集合b=（1）当a=2时，求；（2）求使的实数a的取值范围；答案：（1）当a=2时，（2） 当要使，此时a=1；当的a不存在；当要使综上可知，使的实数a的取值范围为1，3来源：09年湖南月考三题型：解答题，难度：较难 已知集合，（1）若，求实数m的值；（2）设全集为r，若，求实数m的取值范围。答案：()， , () ， 来源：09年江苏南通月考一题型：解答题，难度：较难已知集合，其中，由中的元素构成两个相应的集合：，.其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和.若对于任意的，总有，则称集合具有性质.(1)检验集合与是否具有性质并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和；(2)对任何具有性质的集合，证明：；(3)判断和的大小关系，并证明你的结论.答案：(1)解：集合不具有性质.集合具有性质，其相应的集合和是，.(2)证明：首先，由中元素构成的有序数对共有个.因为，所以；又因为当时，时，所以当时，.从而，集合中元素的个数最多为，即.（iii）解：，证明如下：（1）对于，根据定义，且，从而.如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也至少有一个不成立.故与也是的不同元素.可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，（2）对于，根据定义，且，从而.如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也不至少有一个不成立，故与也是的不同元素.可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，由（1）（2）可知，.来源：07年高考北京卷题型：解答题，难度：较难已知集合求：（1）；（2）；（3）若，求的取值范围。答案：（1）; （2） （3） 来源：09年江苏高邮月考一题型：解答题，难度：中档(文）某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_答案：设所求人数为，则只喜爱乒乓球运动的人数为，故. 注：最好作出韦恩图！来源：09年高考湖南卷题型：填空题，难度：容易(文）设集合a=(xlog2x1), b=(x1), 则a= .答案： . 【解析】易得a= b= ab=.来源：09年高考湖北卷题型：填空题，难度：中档某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_答案：12【解析】设两者都喜欢的人数为人，则只喜爱篮球的有人，只喜爱乒乓球的有人，由此可得，解得，所以，即所求人数为12人。.来源：09年高考湖南卷题型：填空题，难度：中档(文）若是小于9的正整数，是奇数，是3的倍数，则 .答案： . 解法1，则所以，所以解析2，而来源：09年高考重庆卷题型：填空题，难度：容易若，则 .答案：（0，3）【解析】因为所以来源：09年高考重庆卷题型：填空题，难度：容易(文)设全集，若，则集合b=_.答案：2，4，6，8【解析】来源：09年高考天津卷题型：填空题，难度：中档(文）某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有 人。答案：8. 解析:由条件知,每名同学至多参加两个小组,故不可能出现一名同学同时参加数学、物理、化学课外探究小组, 设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为,则. .,由公式易知36=26+15+13-6-4- 故=8 即同时参加数学和化学小组的有8人.来源：09年高考陕西卷题型：填空题，难度：中档已知集合，且，则实数a的取值范围是_答案：a1 【解析】因为ab=r，画数轴可知，实数a必须在点1上或在1的左边，所以，有a1。来源：09年高考上海卷题型：填空题，难度：容易(文）设a是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是a的一个“孤立元”，给定，由s的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个.答案：6【解析】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力. 属于创新题型.什么是“孤立元”？依题意可知，必须是没有与相邻的元素，因而无“孤立元”是指在集合中有与相邻的元素.故所求的集合可分为如下两类：因此，符合题意的集合是：共6个.来源：09年高考北京卷题型：填空题，难度：中档(文） 已知集体a=x|x1,b=x|a,且ab=r，则实数a的取值范围是_.答案：a1 【解析】因为ab=r，画数轴可知，实数a必须在点1上或在1的左边，所以，有a1。来源：09年高考上海卷题型：填空题，难度：中档集合，若，则_。答案：因为，所以或，即或。但当时，所以。来源：08年数学竞赛专题一题型：填空题，难度：中档设集合，集合a满足：，且当时，则a中元素最多有_个。答案：用n(a)表示集合a所含元素的个数。由题设，k与15k(k=9,10,133)这两个数中至少有一个不属于a，所以至少