北师大版初中数学《圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系》学案.doc

【基础知识精讲】1.基本概念(1)顶点在圆心的角叫圆心角.(2)从圆心到弦的距离叫弦心距.(3)1的圆心角所对的弧叫1的弧.2.定理(1)圆是以圆心为对称中心的中心对称图形.(2)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等.(3)在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等.3.应注意的问题(1)解题时作圆心的弦心距是常用辅助线.(2)等弧的度数一定相等，相等度数的弧不一定是等弧.【重点难点解析】本节的重点是掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系，并能运用这些关系解决有关的证明、计算题，难点在于选择适当的辅助线，运用这几个量的相等关系解题.例1 如图7-20，o是rtabc三条角平分线的交点，c=90，o经过c点分别交ac、bc于d、e，交ab于f、g，求证=证明：作弦cd、ce、fg的弦心距om、on、op， o是abc的三条角平分线的交点， om=on=op， 则：=说明：证明弧相等通常证明弧所对的弦或圆周角相等，此题由角平分线定理得三条弦的弦心距相等，从而知道这三条弧相等. 图7-20 图7-21例2 如图7-21，oa、ob是o的两条互相垂直的半径，m是弦ab的中点，过m作mcoa，交于c，求证=.证明：过m、c作meao于e，cfao于f，连oc m为ab的中点，me=ob,易证mefc为矩形 cf=ob=oc，cof=30，则=说明：若=，则cof=boa，由题目条件知，须证明cof=30即可.例3 已知ab、cd是o的两条直径，ap是o的弦，且apcd，求证bd=dp证明：如图7-22，apcd，=，ab、cd是两直径，coa=bod，=，则=故bd=dp说明：此题用到“夹在两平行弦之间的弧相等”，“圆心角相等弧相等”，“弧相等弧所对的弦相等”等结论.例4 如图7-23，mba与mdc是o的二割线，已知弦ab=cd，求bm=dm.证明：作oeab于e，ofcd于f，ab=cd，oe=of，则rtmeortmfo，me=mf，又ae=ab=cd=fcmb=mc说明：本题通过作弦心距将问题转化为证me=mf，再通过三角形全等达到目的，在全等的证明过程中用到“弦相等弦心距相等”这一结论.【难题巧解点拨】例1 如图7-24，o中弦ab=cd，与的中点分别是m和n，mn与ab、cd分别交于e和f，求证：me=nf.证明：连结am、bm、cn、dnab=cd，=m、n的分别为、的中点=am=bm=cn=dn，=fnd=emb，mbe=ndf，mebnfd，me=fn说明：此题通过弧、弦相等关系的互换证得mb=dn，从而得mebfnd，得出结论.例2 如图7-25，已知o的两弦ab和cd相交于p，且bpo=dpo，求证：=.证明：作oecd于e，ofab于f，bpo=dpo，oe=of，cd=ab，=，=说明：本题通过角平分线定理得弦心距相等，从而弦相等，进而弧相等，再去掉公共部分得命题成立.【课本难题解答】1.如图7-26，在o中，弦ab=cd，延长ab到e，延长cd到f，使be=df，求证：ef的垂直平分线经过点o.分析：由角平分线定理的逆定理知，只须证明oe=of，又由条件弦相等得弦心距om=on，从而得fomeon，证出of=oe，命题成立.2.如图7-27，在abc中，acb=90，b=25，以c为圆心，ca为半径的圆交ab于d，求的度数.分析：要求弧ad的度数就是求dca的度数，由条件易求出a=65，再考虑cda，易求得dca=50，=50【典型热点考题】例1 如图7-28，已知o中=2，求证明：ab2cd.证明：取的中心m，连结bm、am=2=从而有am=bm=cd在amb中，abbm+am=2am=2cd故ab2cd说明：本题主要考察弦、弧之间的关系，定理告诉我们等弧对等弦，此题告诉我们长不相等的弧的比值与其所对的弦的比值不等.例2 如图7-29，ab为o的直径，半径ocab，过oc的中点d作弦efab，求证abe=15.证明：作ehab于h，则ehod为矩形eh=od，又d为co的中点，eh=od=co考虑eho知：eoh=30再考虑eob知：ebo=eoh=15例3 在rtabc中，c=90，b=20，以c为圆心ca为半径的圆交ba于d，交bc于e，求的度数(图7-30).解：连连dc，考虑abc，c=90，b=20a=70考虑cda，cd=ca，a=70dca=40，则dce=50，=50说明：本题主要考察弧的度数的概念.本周训练【同步达纲练习】一、填空题(8分5=40分)(1)梯形abcd内接于o，且adbc，则ab= .(2)ab、cd是o的两弦，e、f分别是ab、cd的中点，若ab=cd，作oe= ，aob= ，= .(3)圆内最大的弦是12，则这个圆的半径是 .(4)一条弦把圆分成2:3两部分，则劣弧所对的圆心角的度数是 .(5)等边abc内接于o，则与相等的弧有 ，aob= .二、选择题(8分5=40分)(1)ab、cd分别是两个不等圆的弦，若ab=cd，则( )a.= b. c. d. (2)在o中，=2，那么( )a.ab=2dc b.ab=dc c.ab2dc d.ab2dc(3)在abc中，a=70，o截abc的三边，所截得的弦都相等则boc等于( )a.11 b.125 c.130 d.不能确定(4)在半径不相等的o1和o2中，与所对的圆心角都是60，则下列说法正确的是( )a.与的弧长相等 b. 和的度数相等c.与的弧长和度数都相等d.与的弧长和度数不相等(5)下面说法正确的是( )a.弦相等，则弦心距相等 b.弧长相等的弧所对的弦相等c.垂直于弦的直线必平分弦 d.圆的两条平行弦所夹的弧长相等三、解答题(10分2=20分)(1)从o外一点p向o引两条割线pab、pcd交o于a、b、c、d，且=，求证：圆心o必在bpd的平分线上，(2)如图7-31，已知o的半径oa、ob互相垂直，弦ad的延长线交ob的延