初中数学论文：探索几何中平移旋转之奥妙.doc

探索几何中平移旋转之奥妙 内容摘要：在数学学习中培养探索能力，提高创新能力。关键词：平移 旋转 探究大千世界五彩缤纷，奥妙无穷，数学来自于生活，来自于大自然，与它们紧紧连在一起，所以说要探索大自然，可以从探索数学开始，培养我们的观察、操作、猜想、推理、归纳等能力。下面以几何中的平移、旋转为例来寻找数学的奥妙。例、如图1，abc的周长为2006cm，一只小猫位于上的中点。小猫首先从点p沿平行于bc的方向跑到ac边上的一点p1，再由点p1沿平行于ab的方向跑到bc边上一点p2，再由点p2沿平行于ac的方向跑到ab边上一点p3，问点p3与点p是否是同一点?若是小猫跑了多少路程? 分析：本例我们应用三角形的中位线性质和它的逆定理很容易找到答案。即点p3与点p同一点，且pp1+p1p2+p2p=1/2（bc+ab+ac）=1003cm探索：若起初小猫在ab边上的任意一点位置上（不是中点），那么点p3点p是否同一点？若不是，能否让小猫继续由p3沿平行于bc的方向跑到ac边上一点p4。此后可按上述规律一直跑下去，问小猫能否返回点p?如果能，那么小猫至少要跑多少路程? 分析：（如图2）本题先通过画图，再观察发现p3与p不重合。若再继续画图，易猜想点p6能与点p重合，并运用已知中的众多平行线不难想到用平行四边形的性质和全等三角形的知识去证明我们的猜想。证明：点p不为ab的中点，则由小猫跑的规律可知，p1p2/ab，p2p3/ca，p3p4/bc，p4p5/ab，p5p6/ca，p6p7/bc。p3p2b可由ap1p通过平移得到，p4cp5可由p3p2b通过平移得到，ap7p6可由p4cp5通过平移得到。ap1pp3p2bp4cp5ap7p6故ap=ap6，ap1=ap7即p6与p重合，p7与p1重合。小猫最多经过6次转向，就回到了点p，此时小猫跑的路程为pp1+p1p2+p2p3+p3p4+p4p5+p5p=bp2+ap3+ap1+cp2+bp3+cp1=ab+bc+ca=2006cm例2如图（3）点c为线段ab上一点，acm、cbn是等边三角形，直线an、cm交于点e，直线cn、bm交于点f，连结ef。（1） an与bm是否相等？（2） 判断cef是什么特殊三角形？分析：本题是几何中的一个常见的范例，通过acnmcb易得an=bn.从而又可以证得ncebcf。得ce=cf，即cef是等腰三角形。又ecf=180。-acm-bcn=60。，故cef为等边三角形。探索：如图4，将can绕点c按逆时针方向旋转90。，其他条件不变。判断上面(1)(2)的结论是否仍然成立。分析：1、本题通过画图，然后与原图形进行对比，容易得can与bcm仍然全等，故得an=bm成立。2、在bm上截取be=ne易得bce nce，ce= ce且bcence，又mcf=nce（对顶角相等），从而得bcemcf。若cf= ce，得cef=cef。而cfecmfmcf，cefbcecbe，得cmfcbe。故得cm=cb。从而知道，当等边acm与等边cbn边长相等时，cef为等腰三角形，反之cef不是等腰三角形。（另：本题如果acm绕点c旋转其他角度，是否有类似的结论，请读者尝试。）例3、如图5，正方形abcd的对角线相交于点o，点o是正方形abcd的一个顶点。如果两个正方形的边长相等，那么正方形abcd绕o点无论怎么转动，两个正方形重叠部分的面积是否改变？分析：因为正方形abcd的位置是绕点o旋转而成的，所以我们先将正方形abcd旋转到特殊的位置。（如图6）即ab/ab时，不难得到重叠部分的面积为正方形abcd的1/4。再由图5与图6进行比较，猜想可得重叠部分的面积可能也为正方形abcd的1/4。不难想到作辅助线ogab，ohbc，垂足为g、h。（如图5）易得ogeohf。故可得重叠部分的面积也为正方形abcd的1/4。尝试：如图7，o是边长为a的正方形abcd的中心，将一块半径是够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在o上，并将纸板绕o点旋转。试说明：正方形abcd的边被纸板覆盖部分的总长度为定值。（由读者自己完成）亲爱的读者，通过上面的例题的探究，我们能得到些什么启发呢？数学作为一种普通使用的技术。即是思维科学，也是实验科学，所以我们在发现探究的过程中完成对平移、旋转这一图形变化从直观到抽象，从感性认识到理论认识的转变，发展我们的直观想象能力和创新能力。这样能开阔思路，提高思维能力。从学习数学的角度中真正实现人人学有价值的数学，人人都能获得必需的