初中数学论文：浅析中考几何图形滚动问题的求解.doc

浅析中考几何图形滚动问题的求解摘要：图形的旋转是新课标的重要内容，当几何图形旋转中心沿着一定轨迹进行运动就产生了滚动问题，它既有利于考查学生的动手操作能力和空间思维能力，又培养了学生的创新意识和综合运用知识的能力，因此成为近年来中考命题的热点。几何图形可以沿着一条直线无滑动地翻滚，也可以沿另一图形内部边缘无滑动翻滚，还可以沿另一个图形外部边缘无滑动翻滚；这个几何图形可以是内角相等的多边形，也可以是圆，还可以是扇形。本文着重探讨近几年中考数学题目中几何图形上点在无滑动翻滚过程中经过路线长的解法规律，及滚动过程图形位置变化规律。 关健词：无滑动 翻滚 路线长 规律浅析中考几何图形滚动问题的求解纵观近几年中考数学试题，我们发现关于几何图形滚动的问题还真不少，几何图形可以沿着一条直线无滑动地翻滚，也可以沿另一图形内部边缘无滑动翻滚，还可以沿另一个图形外部边缘无滑动翻滚；这个几何图形可以是内角相等的多边形，也可以是圆，还可以是扇形。如何求解中考几何图形滚动的这些问题？下面通过举例加以分析解决。一、滚动过程中图形上点经过的路线长(一)沿着一条直线无滑动翻滚例1(1)（2008四川达州市）如图所示，边长为2的等边三角形木块，沿水平线滚动，则点从开始至结束所走过的路线长为 （结果保留准确值）(2)(2009黄冈市)矩形abcd的边ab=8，ad=6，现将矩形abcd放在直线l上且沿着l向右作无滑动地翻滚，当它翻滚至类似开始的位置时（如图所示），则顶点a所经过的路线长是_(3)如图，将边长为2cm的正六边形abcdef的6条边沿直线m向右滚动（不滑动），当正六边形滚动一周时，顶点a所经过的路线长是_。分析这是同一系列题目，如右图可知：三角形每次翻滚的角度为120度，矩形每次翻滚的角度为90度，正六边形每次翻滚60度，三个几何图形每次都是翻滚它的一个外角度数；三角形滚动一周，a点走了2个弧长，圆心角都是120度，但半径分别是ac和ab。矩形滚动一周，a点走了3个弧长，圆心角都是90度，但半径分别是ab、ac、ad。正六边形滚动一周，a点走了5个弧长，圆心角都是60度，但半径分别是af、ae、ad、ac、ab。三个几何图形上a点走的路线长度都是圆心角等于它的一个外角，半径分别是以a点到其它顶点的距离的弧长之和。解：（1）a点从开始到结束所走过的路线长度为： （2）顶点a所经过的路线长 （3）当正六边形滚动一周时，顶点a所经过的路线长规律：角度相等的n边形(n3)，它的一个外角度，设其中1个点到其余的n-1个点的距离分别是。当它沿着一直线翻滚一周时，这个顶点所经过的路线长是。例2（2006黄冈）如图2，将边长为8cm的正方形abcd的四边沿直线l向右滚动（不滑动），当正方形滚动两周时，正方形的顶点a所经过的路线的长是_cm分析正方形滚动一周的路线长，其中n=4，a到其它三个顶点c、d、b的距离分别是、8、8。用正方形滚动一周的路线长乘以2就可得到正方形滚动两周时，正方形顶点a所经过的路线的长。解：当正方形滚动两周时，正方形的顶点a所经过的路线的长是。例3(1)（2006南宁课改）如图，是硬币圆周上一点，硬币与数轴相切于原点（与点重合）假设硬币的直径为1个单位长度，若将硬币沿数轴正方向滚动一周，点恰好与数轴上点重合，则点对应的实数是(2) （08山东烟台）9、如图，水平地面上有一面积为的扇形aob，半径oa=，且oa与地面垂直.在没有滑动的情况下，将扇形向右滚动至ob与地面垂直为止，则o点移动的距离为（ ）a、 b、 c、 d、分析这道题目涉及到圆与扇形在直线上滚动，它们在直线上滚动的长度等于圆心走过的路线长。（1）硬币滚动一周的周长为，圆心走的长度aa=。（2）扇形滚动的长度为优弧ab的长度，故圆心移动的距离为优弧ab的长度。解：（1）点a对应的实数是 (2)优弧ab的圆心角为n度，解得n=300。所以优弧ab的长度为，故选c。b例4 已知：圆心角为30，半径为3的扇形aob如图所示，先绕点a顺时针旋转90，再沿直线m作无滑动的滚动后，再绕点b旋转90到达如图扇形aob的位置，则点o所经过的总路程长是_.分析这道题有图形绕某点的旋转，也有扇形沿直线翻滚，如右图可知：o经过了三段路线，一段是以a为圆心，圆心角为90度， oa为半径的扇形弧长，长度为；中间一段是弧ab在直线m上翻滚时，o点经过的路线长oo”，因为扇形oab所在的圆始终与直线m相切，所以o点到直线m的距离始终等于半径，故oo”是一条线段，长度等于弧ab的长度；最后一段是以b为圆心，圆心角为90度，ob为半径的扇形弧长，长度为。解：点所经过的总路线长+=规律：如果将此题中扇形圆心角改为n度，半径设为r，其余条件不变，则圆心o所经过的总路线长是。(二)沿着一图形内部边缘无滑动翻滚例5（2007年连云港）正的边长为，边长为的正的顶点与点重合，点分别在，上，将沿着边顺时针连续翻转（如图所示），直至点第一次回到原来的位置，则点运动路径的长为 （结果保留）解析：如右图可知，p点运动的路径包括三段弧长，这三个弧长的半径都是等边三角形pqr的边长1，圆心角都是120度，所以点p运动路径的长度相当于一个半径为1圆的周长2。oabc图13-4d(三)沿着一图形外部边缘无滑动翻滚例6(2009年河北)拓展联想：（1）如图13-4，abc的周长为l，周长为c的o从与ab相切于点d的位置出发，在abc外部，按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与ab相切于点d的位置，o自转了多少周？请说明理由d图13-5o（2）如图13-5，多边形的周长为l，周长为c的o从与某边相切于点d的位置出发，在多边形外部，按顺时针方向沿多边形滚动，又回到与该边相切于点d的位置，直接写出o自转的周数分析(1)圆o自转的周数等于圆o走的路线长除以圆o的周长，要求圆o自转的周数，关键是求圆o经过的路线长o1o2o3o4o5o6o1，如右图所示。其中o1o6=ac，o2o3=bc，o4o5=ab，o1o6+ o2o3+ o4o5=。另外弧o1o2、弧o3o4、弧o5o6半径都等于圆o的半径，但圆心角分别是acb的外角、cba的外角、bac的外角，因为多边形外角和为360度，故弧o1o2+弧o3o4+弧o5o6=圆o周长c则o点走的路线长等于三角形的周长l与圆o周长之和。(2) 因为多边形外角和等于360度，点o在多边形各顶点处旋转的弧长总和为圆o的周长c，所以圆o在多边形外部滚动一周回到原来位置时，点o所走的总路线长等于（+c）。解：（1）三角形的外角和是360，点o在三个顶点旋转角度之和为360度，所经过的路线长为圆o周长c。abc的周长为l，o在三边上自转时o点经过的路线长为l，所以o点经过的总路线为（+c），o共自转了（周） （2）+1二、滚动过程图形位置变化规律例7(1)如图，小正六边形沿着大正六边形的边缘顺时针滚动，小正六边形的边长是大正六边形边长的一半，当小正六边形由图甲位置滚动到图乙的位置时，线段oa绕点o顺时针转过的角度为_度。 (2)（2007年日照）如图，正方形abcd的边长是3cm，一个边长为1cm的小正方形沿着正方形abcd的边abbccddaab连续地翻转，那么这个小正方形第一次回到起始位置时，它的方向是( ) （a）（b）（c）（d）分析(1)oa绕点o顺时针转过的角度就是小正六边形沿着大正六边形边缘顺时针滚动角度之和，如右图所示，小正六边形滚动角度总和为60+120+60=240，所以线段oa绕点o顺时针转过的角度为240度。(2)小正方形从点a出发顺时针绕着大正方形边缘翻滚一周，回到起始位置时，它的方向改变情况取决于它总共转过的角度，若它共转过的角度是360整数倍，则它方向与原小正方形相同；若它共转过的角度不是360整数倍，则它方向改变，设它共转过的角度被360整除的余数为n，则它方向相当于将原小正方形方向顺时针旋转n度时情况。因此，解决此题的关键是求小正方形共转过的角度。如右图所示，小正方形从大正方形一边端点位置转到大正方形另一邻边端点位置，转过角度为390+90，小正方形每次翻滚90度（小正方形的一个外角），在b处要旋转到bc边，还要旋转大正方形一个外角90度。小正方形第一次回到起始位置时，它共翻滚的角度为4（390+90），是360整数倍，所以它的方向与原小正方形相同，故选b。规律：若一个正n边形沿着一个边长为它a倍（a为整数）的正m边形外部边缘顺时针旋转，第一次回到起始位置时，它共转过的角度为，若ma为n的整数倍，则它的方向与原来一致。例8如图，正方形abcd的边长是2cm，一个边长为1cm的小正三角形沿着正方形abcd的边abbccddaab连续地翻转，那么这个小正方形第一次回到起始位置时，它的方向是( ) 分析这里n=3，a=2，m=4，小正三角形共转过角度为度，它除以360度的余数为240，此时它的方向相当于原正三角形顺时针旋转240，故选c。右图通过正三角形翻滚展示过程也说明答案的正确性。例8(1) (2008泰安) 如图，将边长为1的正三角形沿轴正方向连续翻转2008次，点依次落在点的位置，则点的横坐标为 (2) (2006绍兴)如图，将边长为1的正方形oapb沿x轴正方向连续翻转2 006次，点p依次落在点p1，p2，p3，p4，p2006的位置，则p2006的横坐标x2006=_ (3)如图，将边长为1的正六边形abocdp沿x轴正方向连续翻转2010次，点依次落在点p1，p2，p3，p4，p2010的位置，则点p2010的横坐标为 图1图2图3 分析这三题都是求一个正多边形沿着一条直线x轴连续翻转