初中数学论文：巧用坐标系解几何题.doc

巧用坐标系解几何题在新的初中数学课程标准中,数形结合作为一种重要的思想方法,渗透在新教材中.而平面直角坐标系作为数学研究的一种重要工具,它更是数形结合思想的重要体现.可是在新教材中,坐标系侧重于数结合形解决代数问题,而形结合数解决几何题则涉及较少.本文将从形结合数解决几何题的角度作一些探索. abcdefpqabcdefp例1: 如图,已知正方形abcd的边长为5,e,f分别是边cd,ad的中点,be,cf交于点p.求ap的长。分析;从几何解题的角度出发,此题有多种解法.解法一;猜想ap=ab=5，并加以证明.先证bcecdf ,得cfbe.延长cf,ba交于点q.证afqdfc abcdefphg 得aq=cd=ab.利用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得ap=ab=5. 解法二;同解法一证得cfbe,平移cf至ag交be于h,利用三角形全等或相似证得g为bc中点,从而证得h为bp中点,cfbe，即ah为bp的中垂线,得ap=ab=5abcdefpgh以上两种解法先猜后证,大大简化了计算过程,但有两个难点:一要先猜,二证法繁复,而且都需要添加辅助线,对几何定理的运用要求较高.解法三;通过几何计算的方法解直角三角形.同前两种解法证得cfbe,过p作pgab于g,phbc于h,利用 bcpbec， 求得cpbp=12,bc=5,解rtbcp， 得cp=，bp= 再利用相似解rtpbh，得ph=2,bh=pg=4,则ag=3，pg=4，得ap=5这种解法既有证明又有计算，对解题能力同样有较高的要求。abcdefp下面我们来探讨使用坐标系解题的方法。解：以bc，ab所在直线建立坐标系。则由题意得c（5，0），f（2.5，5），e（5，2.5）求得直线be解析式为，直线cf解析式为， 则p点坐标由的解决定，解方程组得p（4，2）。a（0，5），由两点间距离公式得ap=5。这种解法简洁易懂，通过坐标系这个数形结合的媒介，把较复杂的几何问题转化成了简单的一次函数问题，充分体现了数形结合思想方法的优越性。变式1：如图，正方形abcd中，af：df=1：3，ce ：de=1 ：2求cp ：fpabcdefpabcdefp变式2：如图，矩形abcd中，bc=2ab，e，f分别是cd，ad的中点，求cp ：fpabcdefpmn变式1解；设正方形边长为单位1，以bc，ab所在直线建立坐标系。由题意得e（1，1/3），c（1，0），f（1/4，1），则直线be解析式为，直线cf解析式为解方程组 得p（），过p作bc的垂线交ad。bc于m，n。则cp ： fp=np ：mp=同理可解变式2，cp ：fp=2 ：3例2，如图正方形abcd中，e是bc中点，efae交dcp的角平分线于点f，abcdefgp求证：cfd为等腰直角三角形。证明：设正方形边长为2，则e（1，0），a（0，2），c（2，0），d（2，2），由abeecg，得g（2，直线eg解析式为：，直线cf解析式为；f（3，1） cf=dcf=45度 cdf是等腰直角三角形。例3（2004全国初中数学联赛初试题）如图正方形abcd与正方形cefg边长分别为2，3，m是af中点，则mg= 。yxabcdefgm解：如图建立坐标系，由题意得a（-2，2），f（3，3），则m（），g（0，3）通过以上几个例题，我们看到，在固定形状和大小的几何图形中进行，证明或计算，利