2平面问题的基本理论 【上海大学弹性力学】

空间问题的数学描述 第二章 平面问题的基本理论 已知的几何参数和载荷（表面力和体积力），一般都与三个坐标参数 x、 y、 15个未知函数 6个应力分量： 6个应变分量 3个位移分量： u、 v、 w 一般都是三个坐标参数 x、 y、 基本方程式是三维的，但若某一方向变化规律为已知时，维数可相应减少。 , , , , ,x y z x y y x y z z y z x x z , , , , ,x y z x y y x y z z y z x x z 第二章 平面问题的基本理论 平面问题的数学描述 已知的几何参数和载荷（表面力和体积力）只与两个坐标，例如 x、 与 15个未知函数中只存在有 只是 x、余分量或不存在，或可以用 基本方程式是二维的。 第二章 平面问题的基本理论 2面应力问题与平面应变问题 如果所考察的弹性体具有某种特殊的形状，并且承受的是某种特殊的外力，就可以把空间问题简化为近似的平面问题。 平面应力问题 2t /2几何形状特征： 物体在一个坐标方向（例如 z）的几何尺寸远远小于其他两个坐标方向的几何尺寸，如图所示的薄板。 载荷特征 ：在薄板的两个板面上无表面载荷，作用于边缘的表面力平行于板面，且沿厚度不发生变化，或虽沿厚度变化但对称于板的中间平面，体积力亦平行于板面且沿厚度不变。 第二章 平面问题的基本理论 因为板面上不受力，所以 由于剪应力互等，有 0, 2z z x z y 0 , 0x z y z这样，只有平行于 ,x y x y y x 在平面应力问题中，独立的未知函数有 8个， 只是 x和 随 注意： 0z 由广义虎克定律得到 , , , , , , ,x y x y x y x y 1z z x y x t /2平面应变问题 第二章 平面问题的基本理论 几何形状特征 ：物体沿一个坐标轴（例如 向的长度很长，且所有垂直于 为一等直柱体；位移约束条件或支承条件沿 载荷特征 ：柱体侧表面承受的表面力以及体积力均垂直于 分布规律不随 0w 由于对称（任一横截面都可以看作是对称面），所有各点都只会沿 x和 不会有 因为所有各点的位移矢量都平行于 以称之为平面位移问题，习惯上称为平面应变问题。 o 根据剪应力互等， 由虎克定律，得出 第二章 平面问题的基本理论 0 , 0z x z y0 , 0x z y z0 , 0 , 0 , 0z x z y x z y z 在平面应变问题中，独立的未知函数有 8个， 只是 x和 随 , , , , , , ,x y x y x y x y 注意： 由于 以 0z 由广义虎克定律得到 z x y 在弹性力学里分析问题，要从三个方面来考虑： 静力学方面 、 几何学方面 和 物理学方面 。 首先考虑平面问题的静力学方面，根据平衡条件来导出应力分量与体积力分量之间的关系式，也就是平面问题的平衡微分方程。 2平衡微分方程 第二章 平面问题的基本理论 o x xyyxM。平面问题的基本理论 连续性假设 小变形假设 略去二阶以及二阶以上的微量 xx 假设 x，由于 D面 有 力也将有相应的增量， 用泰勒级数表示为 根据微元体处于平衡的条件，可以得到三个平衡微分方程。 第二章 平面问题的基本理论 o x xyyxM。）作用于体心 002 2 2 2x y y xx y x y y x y xd x d x d y d yd x d y d y d y d x d 略去微量，整理，得出 x y y x证明了剪应力互等定理。 （二） 第二章 平面问题的基本理论 00x y x y xd x d y d y d y d x d x X d x d 整理后，得 0 （三） 0类似于上式，可得 0x y y 平面问题的平衡微分方程 00y 第二章 平面问题的基本理论 2几何方程 Bd d B A yxxyd x d x u d x x d y d y v d yy vd y y 几何方程表明了应变分量与位移分量之间的关系。 剪应变 由两部分组成： A向 为 ，和 B向 为 ，即 第二章 平面问题的基本理论 1y x y x y y 由上图可知， x y y x y x x y 在小变形下， ，所以 同理， 所以 x y y x1出平面问题的几何方程式 第二章 平面问题的基本理论 x x 要保证物体的位移是连续的，则应变分量之间必须满足一定的条件，即变形协调方程，或相容方程。 22222y x x x y 应变分量与应力分量之间的关系，即物理方程，也称为本构方程。 第二章 平面问题的基本理论 2物理方程 在完全弹性的各向同性体内，应变分量与应力分量之间的关系由虎克定律导出 111111x x y zy y z xz z x yx y x yy z y zz x z E 是弹性模量， G 是剪切弹性模量， 是侧向收缩系数，又称为泊松比。 21 平面应力问题的物理方程 第二章 平面问题的基本理论 在平面应力问题中， 0z 1121x x yy y xx y x z x 由虎克定律，得 ，可以用来求得薄板厚度的改变。 因为在平面应力问题中有 0 0和 ，所以有 0 0和 第二章 平面问题的基本理论 平面应变问题的物理方程 在平面应变问题中，因为物体的所有各点都不沿 w = 0，所以 0z 由虎克定律，得 z x y 22111121x x yy y xx y x ，代入虎克定律，得 平面应变问题的物理方程 可以看出，在平面应力问题的物理方程中，将 E 换为 第二章 平面问题的基本理论 因为在平面应变问题中也有 0 0和 ，所以有 0 0和 21E 换为 1，就得到平面应变问题的物理方程。 同样可以看出，在平面应变问题的物理方程中，将 E 换为 2121E ， 换为 1，就得到平面应力问题的物理方程。 引入记号 第二章 平面问题的基本理论 2平面问题基本方程式的 综合与矩阵表示 应力分量列阵 应变分量列阵 位移分量列阵 体积力分量列阵 微分算子矩阵 100第二章 平面问题的基本理论 用应力、应变、位移分量表示的基本方程 平衡微分方程 00 1 或 几何方程 00 或 1第二章 平面问题的基本理论 物理方程 2101011002 （平面应力） 1011101 1 2 1120021y x （平面应变） 统一写为 D用应变表示应力 其中矩阵 D 称为 弹性矩阵 或应力应变关系转换矩阵 第二章 平面问题的基本理论 2101011002 （平面应力） 1011101 1 2 1120021 （平面应变） 这样，用应力、应变和位移分量表示的弹性力学平面问题基本方程可以表示为 第二章 平面问题的基本理论 11 方程组的总数是 8个： 2个平衡方程， 3个几何方程和 3个物理方程。 所包含的未知函数也是 8个： 3个应力分量 ； 3个应变分量 ； 2个位移分量 。 ,x y x y ,x y x y , 第二章 平面问题的基本理论 用应力和应变分量表示的基本方程 平衡微分方程 00 1 连续性方程 引入二阶微分算子行阵 2 2 22 22H y x x y 2 2 2220x x y 2 0H 或 或 第二章 平面问题的基本理论 物理方程 用应力表示应变 101100 0 2 1y x （平面应力） 210111012001y x （平面应变） 统一写为 C第二章 平面问题的基本理论 其中 C 是弹性矩阵 D 的逆矩阵。 101100 0 2 1 210111012001 1（平面应力） （平面应变） 第二章 平面问题的基本理论 这样，用应力和应变分量表示的弹性力学平面问题基本方程可以表示为 方程组的总数是 6个： 2个平衡方程， 1个连续性方程和 3 个物理方程。 所包含的未知函数也是 6个： 3个应力分量 及 3 个应变分量 。 120 ,x y x y ,x y x y 常从该方程组出发按应力求解。 第二章 平面问题的基本理论 2界条件 位移边界条件 应力边界条件 设平面弹性体在 界上给定位移 和 ，它们是边界坐标的已知函数。则在 界上，位移分量必须等于该点的给定位移，即 ,u u v vu 边界 上给定表面力分量 和 ，它们是边界坐标的已知函数。则在边界 上，应力分量与给定表面力之间的关系，可由边界上微元体的平衡条件得出。 SS二章 平面问题的基本理论 xyxyyx一微元三角形 斜边 = l， = m，则 微元体平衡条件 ，得 0. 02x y xl d s m d sX d s l d s m d s X 略去高阶小量，整理后得 x y xl m X同理，由 ，得 0 x y yl m Y由 略去高阶小量后，得到 。 0 x y y x所以，平面问题的应力边界条件 第二章 平面问题的基本理论 x y xx y yl m Xl m Y 在 上 S用矩阵表示为 x y xx y 在 上 S当边界面垂直于坐标轴时，应力边界条件将简化： 边界垂直于 x 轴， l=1, m= 0 ,x x 边界垂直于 y 轴， l= 0 , m=1 ,y y 在 上 S在 上 S第二章 平面问题的基本理论 混合边界条件 物体的一部分边界具有已知位移，因而具有位移边界条件，另一部分具有已知表面力，因而具有应力边界条件。 按照边界情况，弹性力学问题一般分为三类： 位移边界问题 ：在边界面上全部给定位移，即全部是 界 应力边界问题 ：在边界面上全部给定表面力，即全部是 边界。这时，外力（包括体力和面力）应是平衡力系。 混合边界问题： 既有 界，又有 边界。二者可以分别在边界表面不同的区域上，或同一区域不同的方向上。 SSS第二章 平面问题的基本理论 试列出下图所示弹性体的边界条件 q1 gy a O x y 20xa q 1000y 000x 00x=a x=0 y=0 y=b b 人们研究了局部区域上力的作用方式对于弹性力学解答的影响问题，提出了 圣维南原理 ： 如果把物体的某一局部（小部分）边界上作用的表面力改变其分布方式，但保持静力上的等效（即主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），则近处的应力分布将有显著的改变，而远处的应力改变极小，可以忽略不计。 第二章 平面问题的基本理论 2维南原理 P / 2P / 2 P / 2P / 2P / 2P / 2P / A P / A( a )( b)( c )( d)应用圣维南原理，绝对不能离开 “ 静力等效 ” 的条件。 对于局部区域受一平衡力系作用时，圣维南原理还可叙述如下： 如果物体某一局部（小部分）边界表面承受的表面力是一平衡力系（即主矢量和主矩都为零），这个平衡表面力所产生的扰动只限在局部，即只在受力附近产生显著的应力，随着远离受力位置应力迅速衰减甚至消失。 第二章 平面问题的基本理论 第二章 平面问题的基本理论 列出右图所示的全部边界条件 h/2 h/2 x y l q S M （ lh,=1） 大边界上，精确的边界条件 小边界（即次要边界）上，按照圣维南原理列出近似边界条件 边界上 1/ 2 / 2/ 2 / 2/20,0y y xy h y hy y xy h y 在 / 2 / 20/ 2 / 20/2/2 0, x y Sh xd y F y d y Md y F x=0 x=l 0 , 0x l x 第二章 平面问题的基本理论 2解平面问题的基本方法 在弹性力学里求解问题，有三种基本方法： 按位移求解 ， 按应力求解 和 混合求解 。 按位移求解 时，以位移分量为基本未知函数，由一些只包含位移分量的微分方程和边界条件求出位移分量以后，再用几何方程求出应变分量，从而用物理方程求出应力分量。 按应力求解 时，以应力分量为基本未知函数，由一些只包含应力分量的微分方程和边界条件求出应力分量以后，再用物理方程求出应变分量，从而用几何方程求出位移分量。 在 混合求解 时，同时以某些位移分量和应力分量为基本未知函数，由一些只包含这些基本未知函数的微分方程和边界条件求出这些基本未知函数以后，再用适当的方程求出其它的未知函数。 按位移求解 第二章 平面问题的基本理论 在平面应力问题中，物理方程是 1121x x yy y xx y x 求得应力分量 221121x x yy y xx y x 将几何方程 代入，得 第二章 平面问题的基本理论 x x 221121u v v 再将上式代入平衡微分方程 00y 2 2 22 2 22 2 22 2 21101 2 21101 2 2E u u y x yE v v x x y 简化后，得到用位移表示的平衡微分方程 第二章 平面问题的基本理论 代入应力边界条件 x y xx y yl m Xl m Y 22112112E u v u vl m Xx y y xE v u v um l Yy x x y 简化后，得到用位移表示的应力边界条件 对于平面应变问题，须在上面的各个方程中将 E 换为 ，将 21E 1换为 第二章 平面问题的基本理论 如图所示悬挂板，在 端自由，材料比重为 ，试求该板的应力分量和位移分量。 v=0, u=u(x), 泊松比 0 g 22 022gu x A x 0( ) 0( ) 0xx x 0, 22,2 x x g L 代入用位移表示的平衡微分方程 解出 利用边界条件 得出 所以 将平面问题几何方程中 y对 到 第二章 平面问题的基本理论 按应力求解 22 3 3 22 2 2 2yx u v u vy x x y y x x y y x 22222y x x x y 变形协调方程或相容方程 对于平面应力问题，将物理方程代入变形协调方程，得到 利用物理方程将变形协调方程中的应变分量消去，使之只包含应力分量（基本未知函数）。 22221 y y xy x x y 第二章 平面问题的基本理论 利用平衡微分方程，将上式简化为只包含正应力而不包含剪应力。将平衡微分方程写成如下形式 ,y x x y Yy x x y 将前一方程对 一方程对 后相加，并注意 x