《数值分析》考试要求（2015.1.15）（1）

1 数数数 值值值 分分分 析析析 考考考 试试试 要要要 求求求 第一章 引论 1. 掌握绝对误差、绝对误差限、相对误差、相对误差限及有效数字的概念 , 掌握误差限和有效数字之间的关系 ; 会计算误差限和有效数字 . 2. 掌握误差估计的基本方法 . 第二章 非线性方程的解法 1. 会建立简单迭代法的迭代格式 , 会判断迭代方法的收敛性 , 知道迭代方法的误差估计式 . 收敛基本 定理 对于 方程 ()x g x , 如果满足 (1) 当 , x a b 时 , ( ) , g x a b ; (2) ()在 , 且对任意 , x a b 有 ( ) 1g x L ; 则有结论 : (1) 方程 ()x g x 在 , x ; (2) 对任意给定的 0 , x a b , 由迭代格式 1 ( ) 0 , 1 , 2 ,g x k 产生的序列 敛于 *x ; (3) 有误差估计式 1 1 1 01* 1kk k k k x x x x x x L 2 发散定理 设方程 ()x g x 在 , x , 且当 , x a b 时 , ( ) 1 . 则对任意给定的 0 , x a b 且 0 *, 迭代格式 1 ()g x 0,1, 2,k 发散 . 2. 了解迭代法收敛阶的概念 , 会求迭代法的收敛阶 . 收敛阶判定定理 对于 方程 ()x g x , 如果满足 (1) ()x 附近有连续的 m 阶导数 ; (2) ( 1 )( * ) ( * ) ( * ) 0mg x g x g x , 且 ()( *) 0; 则当 0x 充分接近 *x 时 , 由迭代格式 1 ( ) 0 , 1 , 2 ,g x k 所构成的序列 m 阶收敛于 *x . 第三章 解线性方程组的直接法 1. 了解高斯列主元消元法、全主元消元法的基本思想 . 2. 掌握矩阵的三角分解 ( A , 其中 , 会对矩阵进行 杜 里特尔分解、克劳特分解 . 第四章 线性方程组和 非线性方程组的迭代法 1. 了解向量和矩阵的范数的定义 , 会计算几个常用的向量和矩阵的范数 ; 了解矩阵范数和向量范数的相容性 . 2. 会计算简单矩阵的条件数 . 3. 会建立解线性方程组的雅可比迭代法、高斯 迭代格式 , 会判定迭代方法的收敛性 . 定理 (1) 迭代法 收敛的充分必要条件是迭代矩阵的谱半径小于 1; (2) 迭代法 收敛的充分条件是迭代矩阵的范数小于 1; (3) 如 A 严格对角占优 , 则 雅可比迭代法、高斯 敛 ; (4) 如 A 对称正定 , 则 高斯 敛 . 第六章 插值 1. 会求函数的 差分与差商 . 2. 会建立插值多项式并 知道 插值余项 . 拉格朗日插值多项式 ; 牛顿基本插值多项式 , 等距节点下的牛顿 前 插多项式 ; 埃尔米特插值多项式 . 第七章 最小二乘逼近 掌握最小二乘法的思想 , 会求 简单的 拟合曲线 . 第八章 数值微分和数值积分 1. 掌握数值微分的二点公式、三点公式 . 2. 了解插值型数值积分公式 (牛顿 的构造方法 , 掌握梯形公式、辛普 森 公式 . 4 ( ) d ( ) ( ) 2ba x x f a f b ; ( ) d ( ) 4 ( )62ba b a a bf x x f a f f b . 3. 了解复合求积公式的思想 , 掌握复合梯形公式、复合辛普 森 公式 . 11( ) d ( ) 2 ( ) ( )2 x x f a f a i h f b ; 111( ) d ( ) 2 ( ) 4 ( 2 1 ) ( )62x x f a f a i h f a i f b . 4. 了解龙贝格公