2009数值分析试题_A卷与答案VIP

注： 1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考生须在试题图上作解答，请另附该试题图。 3、请在试卷类型、考试方式后打勾注明。 （第 1 页） 试题 _2009_年 _2010_年第 一 学期 课程名称： 数值分析 专业年级： 2009 级（研究生） 考生学号： 考生姓名： 试卷类型： A 卷 B 卷 考试方式 : 开卷 闭卷 一 . 填空 题 （ 本大题共 4 小题， 每小题 4 分，共 16 分） 节点0 1 2,x x x，其对应的函数 y f x 的值分别为0 1 2,y y y，则 二次拉格朗日插值基函数0() 。 2. 设 2f x x ，则 20 , 1 , 3x x x 的二阶向前差分为 。 1 01 1 10 1 1A ， 233x，则1A ，1x 。 4. 1n 个节点的高斯 求积公式的代数精确度为 。 二简答题（本大题共 3 小题，每小 题 8 分，共 24 分） 1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？ 2. 什么是不动点迭代法？ x 满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于 x 的不动点？ 3. 设 n 阶矩阵 A 具有 n 个特征值且满足1 2 3 n ， 请简单 说明求解矩阵 A 的主特征值和特征向量的算法及流程。 三 求一个次数不高于 3 的多项式 3足下列插值条件： 3 12 注： 1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考生须在试题图上作解答，请另附该试题图。 3、请在试卷类型、考试方式后打勾注明。 （第 2 页） 并估计误差。 （ 10 分） 四 试用 1,2,4n 的牛顿 011I 。 （ 10分） 五 用 求 ( ) c o s 0f x x x 的近似解。 （ 10分） 六 试用 解法求解方程组： 1232 5 6 1 04 1 3 1 9 1 96 3 6 3 0 （ 10分） 七 请写出雅可比迭代法求解线性方程组 1 2 31 2 31 2 32 0 2 3 2 48 1 22 3 1 5 3 0x x xx x xx x x 的迭代格式，并判断其是否收敛？（ 10分） 八 就初值问题0(0) 考察欧拉显式格式的收敛性。 （ 10分） 注： 1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考生须在试题图上作解答，请另附该试题图。 3、请在试卷类型、考试方式后打勾注明。 （第 3 页） 数值分析 （ A）卷标准答案 （ 2009 2010 1） 一 填空题（每小题 3分，共 12分） 1. 1200 1 0 2( ) ( )( ) ( )x x x x x x x ； 3. 3， 8； 4. 2n+1 。 二简答题（本大题共 3小题，每小题 8 分，共 24分） 1. 解：系数矩阵为对称正定的方程组可用平方根法。 （ 4分） 对于对称正定阵 A，从 21 可知对任意 k i 有 |ik 即 L 的元素不会增大，误差可控，不需选主元，所以稳定。 （ 4 分） 2. 解：（ 1）若 * ，则称 *x 为函数 x 的不动点。 （ 2 分） （ 2） x 必须满足下列三个条件，才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于 x 的不动点： 1） x 是在其定义域内是连续函数； （ 2分） 2） x 的值域是定义域的子集； （ 2分） 3） x 在其定义域内满足李普希兹条件。 （ 2分） 照幂法求解主特征值的流程 （ 8分） 步 1：输入矩阵 A，初始向量 差限 ，最大迭代次数 N; 步 2：置 k:=1, :=0， u0=| ; 步 3：计算 步 4：计算 并置 vkr, vk/步 5：若 | | ，计算，输出 mk,则，转 6； 步 6：若 kN,置 k:=k+1, := 3；否则输出计算失败 信息，停止 1m a x ; 注： 1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考生须在试题图上作解答，请另附该试题图。 3、请在试卷类型、考试方式后打勾注明。 （第 4 页） 三 解：（ 1）利用插值法加待定系数法： 设 2 2 2 21 2 , 2 4 , 3 1 2 ,p p p 则 22 3 7 6 ,p x x x （ 3 分） 再设 32 1 2 3p x p x K x x x （ 3分） 2K （ 1分） 323 2 9 1 5 6p x x x x （ 1分） （ 2） 243 1 1 2 34!R x f x x x （ 2分） 四 解：应用梯形公式得 1 1 012I I f f （ 2 分） （ 1 分） 应用辛普森公式得： 2110 4 162I I f f f （ 2分） （ 1分） 应用科特斯公式得： 4 1 1 1 37 0 3 2 1 2 3 2 7 19 0 4 2 4I I f f f f f （ 2分 ） （ 2分） 五 解： 由零点定理， 在 (0, )2内有根。 （ 2分） 由牛顿迭代格式1c o s 0 , 1 , . . . . . .1 s i x （ 4 分） 取0 4x 得， 12340 . 7 3 9 3 6 1 3 3 ; 0 . 7 3 9 0 8 5 1 7 80 . 7 3 9 0 8 5 1 3 3 0 . 7 3 9 0 8 5 1 3 3 （ 3分） 故取 *4 0 . 7 3 9 0 8 5 1 3 3（ 1分） 六 解：对系数矩阵做三角分解： 1 1 1 2 1 32 1 2 2 2 33 1 3 2 3 32 5 6 1 0 04 1 3 1 9 1 06 3 6 1u u ul u ul l u （ 2分） 注： 1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考生须在试题图上作解答，请另附该试题图。 3、请在试卷类型、考试方式后打勾注明。 （第 5 页） 1 2 5 62 1 3 73 4 1 4A L U （ 4分） 若 Ly b ，则1 2 31 0 , 1 , 4y y y ； （ 2分） 若 Ux y ，则 (3, 2,1) 。 （ 2分） 七 解：（ 1）对于方程组，雅可比方法的迭代矩阵为 0 0 . 5 0 . 51 0 10 . 5 0 . 5 0B （ 2分） 其特征多项式为 2d e t ( ) 1 . 2 5 ，且特征值为 1 2 30 , 1 . 2 5 , 1 . 2 5 （ 2分） 故有 1 1B ，因而雅可比迭代法不收敛。 （ 1分 ） （ 2）对于方程组， 代法迭代矩阵为 0 0 . 5 0 . 50 0 . 5 0 . 50 0 0 . 5B （ 2分） 其特征值为1 2 30 , 0 . 5 （ 2分） 故有 0 B ，因而雅可比迭代法收敛。 （ 1分） 八 证明题 （本大题共 2小题，每小题 7 分，共 14分） 1. 证： 该问题的精确解为0() xy x y e（ 2分） 欧拉公式为1 ( 1 )i i i iy y h y h y （ 2分） 对任意固定的ix x ， 有 / 1/00(1 ) (1 ) h y h y h ， （ 2分） 则0 ()ix iy e y x （ 1分） 注： 1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考生须在试题