微波滤波器的综合与设计.pdf

南京邮电大学硕士学位论文 摘要 i 摘要摘要 现代通信技术的发展，要求微波滤波器有更好的频率选择性能包括：带内插损尽可能的 低、带外抑制尽可能的陡峭、通带相位特性更趋近于线性等等。广义的切比雪夫函数为传输 函数的滤波器具有了切比雪夫函数滤波器和椭圆函数滤波器的优点，能够达到限定的指标要 求，同时交叉耦合滤波器引入了有限频率处的传输零点，在改善了滤波器的性能的同时没有 增加滤波器的体积，从而以切比雪夫函数为传输函数的交叉耦合滤波器在通信网络中广泛应 用。 本文综合研究了广义切比雪夫函数滤波器的设计理论及其在滤波器设计中的实现。首先 是根据等效电路模型得出其对应的网络特征函数，计算得到对应的导纳函数，根据导纳函数 和广义切比雪夫函数的传输函数得到归一化的耦合矩阵；然后根据滤波器的传输零点和传输 极点之间的关系，确定广义切比雪夫函数滤波器的传输零点的位置。同时，本文还进行了耦 合矩阵的综合 ，对可实现的拓扑结构的耦合矩阵进行相似变换消元。接着给出了从实际微波 电路中提取耦合系数的方法，给出具体的设计实例进行验证。最后给出了交叉耦合滤波器的 设计流程， 并在同轴腔体和基片集成波导中实现了交叉耦合滤波器的设计,验证了前面理论可 行性。 关键词： 广义切比雪夫函数，交叉耦合，耦合矩阵，相似变换，传输零点 南京邮电大学硕士学位论文 abstract ii abstract the development of modern communications technology requires microwave filters have better frequency selectivity, such as in-band insertion as low as possible, band rejection as steep as possible， pass-band phase characteristic more nearly in the linear and so on. filters with the transfer function of generalized chebyshev function have the advantages of elliptic function filters and chebyshev function filters which can satisfy the requirement. in order to improve the performances of the filter while not increasing the size of the filter, the cross-coupled filter introduces finite transmission zeros. thus filters with transfer function of general chebyshev function are widely used in communication networks. in this thesis, a comprehensive study on the generalized chebyshev filters theory and design is made. firstly, based on the corresponding equivalent circuit model, the characteristic function of the network can be gotten, and the corresponding admittance function can be calculated. and then, according to the admittance function and the generalized chebyshev function, the normalized coupling matrix can be achieved. secondly, the location of the generalized chebyshev function filters transmission zeros can be determined based on the relationship of the filters transmission zeros and poles. at the same time, in this thesis synthesis on the cross-coupling matrix is extracted, and then coupling-matrix reduction is practical in the line with similarity transformation to make sure that the topologies can be realized. after that, method, which can be verified by specific design examples，is given to extracted coupling coefficient from the actual microwave circuit. finally, the process of the cross-coupled filter is given and in order to verify the feasibility of the theory, a 4-pole cavity filter and a siw filter are simulated and invested by em software. keywords: generalized chebyshev function, cross-coupling, coupling matrix, similarity transformation, transmission zeros 南京邮电大学硕士学位论文 目录 iii 目录目录 摘要 i abstract . ii 目录 iii 第一章 引言 1 1.1 滤波器的概况 . 1 1.2 国内外的研究现状 . 2 1.3 内容安排 . 3 第二章 滤波器设计基本理论 5 2.1 传输函数及其低通原型 . 5 2.1.2 传输函数. 5 2.1.2 最平坦函数 . 7 2.1.3 切比雪夫函数. 8 2.1.4 椭圆函数 10 2.1.5 广义切比雪夫函数 11 2.2 频率变换 12 2.2.1 低通到高通的转换 13 2.2.2 低通到高通的转换 14 2.2.3 低通到带通的转换 14 2.2.4 低通到带阻的变换 15 2.3 倒相器 16 2.4 本章小结 18 第三章 耦合矩阵的综合与耦合参数的提取 19 3.1 耦合矩阵的综合 19 3.1.1 交叉耦合网络模型的分析（流程框图） 20 3.1.2 由广义切比雪夫函数综合出的耦合矩阵 22 3.2 耦合矩阵的相似变换及消零 26 3.2.1 折叠型拓扑结构耦合矩阵的化简 27 3.3 耦合参数的提取 29 3.3.1 交叉耦合的路径及传输零点的确定 30 3.3.2 耦合谐振腔耦合参数的提取 31 3.3.3 非对称型耦合结构中耦合系数的提取 36 3.4 本章小结 37 第四章 广义切比雪夫响应滤波器的综合 38 4.1 广义切比雪夫滤波器的设计实例 38 4.2 本章小结 42 第五章 交叉耦合带通滤波器的设计 43 南京邮电大学硕士学位论文 目录 iv 5.1 交叉耦合滤波器的设计过程 43 5.2 交叉耦合带通滤波器的仿真设计 44 5.2.1 四阶同轴腔体交叉耦合带通滤波器的仿真设计 44 5.2.2 siw 交叉耦合带通滤波器的仿真设计 52 5.3 本章小结 59 第六章 结论 60 致谢 . 61 参考文献 . 62 附录 . 64 南京邮电大学硕士学位论文 第一章 引言 1 第一章第一章 引言引言 1.11.1 滤波器的滤波器的概况概况 滤波器在现代无线通信系统中是非常重要的一环，由于其具有选频功能，可以进行频率 的重新组合，因此在通信网络中得到广泛的应用。1915 年德国科学家 k.w.wagner 设计的经 典滤波器“瓦格纳滤波器” ，开启了滤波器的设计和理论研究。同时美国科学家 g.a.campbell 发明了另一种广为应用的低频滤波器设计方法镜像参数法1。微波波段滤波 器的理论和设计始于二战前几年，开拓者包括 mason，sykes，darlington，fano，lawson 和 richards。初期，微波滤波器的设计采用了 g.a.campbell 的镜像参数法，这种方法设计出来 的滤波器的实现需要在终端接随频率变化而变化的镜像阻抗，这是一种不实际的实现，并且 设计出来的滤波器的性能并不理想，取而代之的是一种称为传输波设计法的方法，这种方法 的广泛应用主要体现在腔体滤波器的设计。 在 20 世纪 50 年代， 斯坦福研究所的 g.mattaei， l.young，e.jones，s.cohn 等人成为微波滤波器开发的中坚人物。他们设计了一种叫做插入 损耗法的方法2。现在所采用的大多滤波器的设计都是以该方法为基础延续而来的。 。 微波滤波器根据实现的传输线的类型可以分为如图 1.1 所示的波导滤波器、微带滤波 器、同轴腔滤波器、带状线滤波器等。微带滤波器具有结构尺寸小、易于加工、易于和其它 元件匹配等优点；另外，根据使用介质材料的不同，微带滤波器可以在相当大的频率范围内 使用。但是，同其它结构的滤波器相比，微带滤波器的缺点是插入损耗大。波导滤波器具有 损耗低、高 q 值、使用频率范围大等优点，但却有体积和重量大的缺点，越来越不适合微波 通信系统的应用。同轴腔滤波器通过在谐振腔实现电感或电容的耦合实现滤波。同时实现谐 振器之间的交叉耦合，通过控制交叉耦合的阶数和强弱以改变传输零点的位置和数目20。同 轴腔滤波器具有窄带、矩形系数好、功率容量高等优点，并且具有小型化的优势，基片集成 波导是其小型化的体现。 南京邮电大学硕士学位论文 第一章 引言 2 图 1.1 常见滤波器类型 1.21.2 国内外的研究现状国内外的研究现状 在微波滤波器的综合和优化理论的研究过程中，大量的专家和学者贡献了一己之力。传 统滤波器的发展经历了单通路到多通路的一个发展过程。1957 年，s. b. cohn 在滤波器低通 原型基础上提出了滤波器直接耦合原理3。1974 年，s.b.cohn 把计算机优化技术引入微波滤 波器的设计过程4，为滤波器的综合与优化提供了条件。这一阶段滤波器的设计是直线型的， 即在输入、输出端只存在一条通路。 与直线型滤波器相对应的是交叉耦合结构的滤波器，即在输入、输出端存在一条以上的 通路，这种在不相邻的谐振单元之间存在耦合的拓扑结构，能在有限频率实现传输零点，同 时可以调整滤波器的带内群时延。 70 年代， atia 和 williams5提出了交叉耦合滤波器的通用 理论。同时，atia 还综合出了广义切比雪夫滤波器的等效模型。在这一研究基础上，提出了 耦合矩阵的概念，并且给出了耦合矩阵的综合方法6。在 atia 的研究基础上，1999 年到 2005 年间 richard j.cameron7-11用循环递归的方法来计算交叉耦合的传输和反射函数多项式，由 导纳矩阵和局部分式展开法实现了耦合矩阵的综合，提出了折叠型（folded）拓扑结构滤波器 的耦合矩阵转换消元方法。这一研究成果使得广义切比雪夫滤波器的设计更加灵活也更贴近 南京邮电大学硕士学位论文 第一章 引言 3 实际。 国内方面，70 年代中期，在甘本袚、吴万春等老一代微波学家就建立了微波滤波器的完 善的设计理论，现在,在洪伟、吴柯、梁昌洪等专家的研究下更上了一个台阶12-13。关于滤波 器的综合和优化方面，强锐等则结合了遗传算法和 solvopt 算法得到了耦合矩阵14；周建梅 总结了切比雪夫型交叉耦合滤波器的综合和优化过程15 ； 左涛提出了 jacobi 矩阵逆特征值求 耦合矩阵的方法16。 提取耦合矩阵的方法国内外以 r.j.cameron 的相似变换法7和 amari17的优化法为主， 但 是这两种方法都存在自身的缺陷。优化法同与综合法相比较，缺点为提取耦合矩阵精度低， 收敛速度慢、存在不收敛的可能等；优点是耦合矩阵的消元不受拓扑结构的限制；综合方法 提取的耦合矩阵精确度较高，但实现过程较复杂，不同的拓扑结构，没有通用的耦合矩阵的 消元方法。 1.31.3 内容安排内容安排 无线通信的迅猛发展，导致频率资源的日益紧张，作为无线通信网络重要组成部分的微 波滤波器性能的优劣直接影响整个通信系统的质量。高抑制、低插损、宽频带、大功率、寄 生通带远和群时延带内平坦等成为主要技术指标要求。同时，作为商用系统中的组成部分， 体积、成本等也是用户极为关心关注的方面。设计过程的繁杂、设计成本的提升使得对关系 滤波器的结构和电性能的耦合矩阵的研究更为迫切，而耦合矩阵的提取和综合是微波滤波器 的综合与优化的一个重要组成部分。微波技术和计算机技术的发展，使得将现代滤波器的综 合理论与计算机优化技术相结合成为可能。微波滤波器的设计和实现已不再是单纯的综合和 分析的过程。在对滤波器的研究过程中，将不可实现或难以实现的耦合矩阵进行化简、消元 成为研究的重点。 本文的主要目的是研究交叉耦合滤波器的综合。主要内容及工作如下： 1 深入研究交叉耦合网络模型，由广义切比雪夫函数综合出对应的耦合矩阵，并对应 不同的拓扑结构， 分析耦合矩阵的化简消元方法。 编写 matlab 程序实现对任意拓扑 结构的耦合矩阵的消元。 2推导出耦合系数的计算公式同时计算耦合系数。分析不同的耦合结构，计算各谐振 腔间的耦合系数，包括电耦合和磁耦合以及混合耦合。利用 em 软件实现不同结构耦 合系数的提取和耦合矩阵的综合和基于广义切比雪夫函数的带通滤波器的设计 3利用耦合理论设计微波滤波器。在前面的理论研究的基础上，采用腔体谐振器设计 南京邮电大学硕士学位论文 第一章 引言 4 出具有交叉耦合结构的带通滤波器。为满足现代通信系统的集成化和小型化要求，利 用基片集成波导（siw）技术实现多层结构的交叉耦合滤波器，分析仿真结果。 南京邮电大学硕士学位论文 第二章 滤波器设计基本理论 5 第二章第二章 滤波器设计基本理论滤波器设计基本理论 微波滤波器作为通信网络的一个重要的组成部分，主要有如图 2-1 所示四种类型。本章 的内容是在前人的研究的基础上18-20，阐述微波滤波器的基本概念和设计理论。作为后续滤 波器设计的理论基础，内容有微波滤波器的低通原型及其传输函数、频率变换等。 通带 阻带 衰减（分贝） f 阻带 通带 衰减（分贝） f (a)低通滤波器 (b)高通滤波器 阻带 阻带 衰减（分贝） f 通带 阻带 阻带 衰减（分贝） f 通带 (c )带通滤波器 （d）高通滤波器 图 2-1 微波滤波器的四种基本类型 2.12.1 传输函数及其低通原型传输函数及其低通原型 2.1.2 2.1.2 传输函数传输函数 在滤波器的设计过程中，用来说明低通滤波器技术指标的参数主要有：通带边频即截止 频率 1 、阻带边频 2 、通带最大衰减 ar l、阻带最小衰减 as l和带内回波损耗即反射系数 rl。其中前四个参数反映滤波器对有效信号的选择功能，最后一个参数表示滤波器对无效信 号的抑制性能。 典型的低通滤波器的传输函数如下图 2-2 所示。在滤波器的设计过程中，低通滤波器常 南京邮电大学硕士学位论文 第二章 滤波器设计基本理论 6 规的综合过程是首先根据指标要求确定要用到的传输函数的类型，根据给定的各项参数描述 滤波器具体的传输特性)( 21 s，再根据传输函数利用各种网络综合方法得到具体的元件值或 结构尺寸19。 图 2-2 典型的低通函数传输特性 这种方法得到的数值只是针对单一 1 、 2 的滤波器的设计，参数变化后要从头进行滤 波器的综合设计，这就需要对滤波器的各项参数进行归一化的计算，定义归一化频率为： 1 / （2-1） 根据这种归一化的原理设计出来的滤波器就是低通原型滤波器。 现代滤波器的设计与应用主要关联的是双端口网络18，对于理想的无源滤波器网络，定 义了其传输函数为 21 s，其中传输函数的幅度可以用式 2-2 来描述。 ) (1 1 ) ( 22 2 21 n f js （2-2） 其中是幅度常量， n f 是滤波器的特征函数， 是归一化频率。 在滤波器的设计中有时需要关注传输函数的相位，这就体现在滤波器的群时延指标上。 由群时延和相位的关系，这一指标可以表示为式（2-3） ) ( )( d d d （2-3） 的函数是关于传输函数幅度其中 21 s。 在线性时不变网络中，滤波器的传输函数和反射函数的幅度可以综合表示为式（2-4） 、 （2-5） 南京邮电大学硕士学位论文 第二章 滤波器设计基本理论 7 )( )( )( 21 se sp ss (2-4) )( )( 11 se sp s r （2-5） 其中 js rl sfsp |)(/ )()110/1 ( 10/ rl 是滤波器网络的回波损耗，在将)(),(),(sfsesp 归一化以后得到（2-6） 1 2 r （2-6） 滤波器的函数表达式定义为式（2-4） 、 （2-5） ，表明存在一定的s值，使得函数的值为零 和无穷，这就对应于滤波器传输的零点和极点。同样，极点对应于滤波器的谐振频率。前人 的研究表明，线性时不变网络传输函数设计的滤波器应该具有稳定性，这就要求其谐振频率 存在于s平面的左半平面或虚轴上，否则会引起振荡，使得传输函数的幅度随时间的变化而 不断增大18。这一原理要求多项式)(se是胡氏多项式17，即多项式的根分布在s平面的左半 平面或虚轴上；)(sp的根则可以分布在平面上的任何一点。通过改变s的值来改变滤波器的 传输零点和传输极点。 2.1.22.1.2 最平坦函数最平坦函数 最平坦函数称为 buttworth 响应函数，这一传输函数的幅度表达式为（2-7） n js 22 2 21 ) (1 1 | ) (| （2-7） 其中110 10/ ar l 。对于最平坦滤波器的设计，通常选取dblar3,称为 3db 带宽，带入式 (2-7)得到 n js 2 2 21 ) (1 1 | ) (| （2-8） 图 2-4 最平坦函数衰减特性 图 2-5 最平坦函数滤波器极点分布 南京邮电大学硕士学位论文 第二章 滤波器设计基本理论 8 其中 n 是滤波器的阶数。由式（2-8）得到在0时，滤波器得到最多12 n个零点，也就 是说得到的是最理想、最平坦的滤波器传输函数曲线。由最平坦函数的传输函数表达式得到 其衰减函数表达式为（2-9） ) (1lg(10) ( 2n ar l （2-9） 对两端都接有电阻的归一化低通原型滤波器，当 衰减dblar3) (是，其归一化元件值的计 算为（2-10） nk n k g gg k n .21 2 ) 12( sin2 1 10 （2-10） 根据上式所示的对低通原型滤波器的元件值进行归一化设计后，在实现的过程中可以根 据式（2-11）进行反归一化的计算 10 10 011 101 / / / zgc gzl zgg gzr ii ii nn nn （2-11） 其中 10, z分别是滤波器的源阻抗和截止频率。 2.1.3 2.1.3 切比雪夫函数切比雪夫函数 切比雪夫函数又称为等波纹函数，通带特性表现为等波纹特性，阻带特性表现为最平坦 响应特性（如图 2-6.）该传输函数的幅度表示为式（2-12） ) (1 1 | ) (| 2 2 2 21 n t js （2-12） 等波纹常数是给定的通带波纹 ar l的函数表示为式（2-13） 第一类 n 阶的切比雪夫函数19 1)(coshcosh( 1)(coscos( ) ( 1 1 n n tn （2-14） 南京邮电大学硕士学位论文 第二章 滤波器设计基本理论 9 图 2-6 切比雪夫函数衰减、频率特性曲线 图 2-7 切比雪夫滤波器极点分布 由前人的研究我们知道切比雪夫滤波器的衰减特性的函数表达式为（2-15）20 )(1lg(10 2 nar tl (2-15) 对于双端口网络的切比雪夫原型滤波器，其归一化的元件值的计算可以依据式（2-16） 为偶数 为奇数 n n g nk gb aa g a g n kk kk k ) 4 (tanh 1 3 , 2 4 2 2 1 11 1 1 1 （2-16） 其中 nn n k b nn n k a n l k k ar , 2 , 1)sin( , 2 , 1 2 ) 12( sin ) 2 sinh( ) 37.17 ln(coth 2 （2-17） n 是滤波器电路集总参数电抗元件的数目。 南京邮电大学硕士学位论文 第二章 滤波器设计基本理论 10 2.1.4 2.1.4 椭圆函数椭圆函数 椭圆函数的特性曲线在通带和阻带都具有切比雪夫波纹，这种响应的参数必须要用椭圆 函数来计算。响应曲线如图 2-8。 图 2-8 椭圆函数衰减、频率特性曲线 由图 2-8 可以得到椭圆函数滤波器的阻带衰减极点不是全在无限远处，并且零点和极点的数 目相同，从而这种滤波器可以得到很陡峭的截止率31。图中 as l、 ar l分别是阻带最小衰减和 通带最大衰减。 椭圆函数的幅度表示为式（2-18） ) (1 1 | ) (| 2 2 2 21 n f js （2-18） 且为奇数 为偶数 3 ) () / ( ) () ( ) () / ( ) () ( 2/ )1( 1 22 2/ )1( 1 22 2/ 1 22 2/ 1 22 nn nm f n i is n i i n i is n i i n （2-19） 其中10 i 1 s m、n为待定常数，1| |时，1) (1 n f并且1| ) 1(| n f 椭圆函数的衰减公式为 ) (1lg(10) ( 2 jfl na （2-20） 根据式（2-18）可以得到椭圆函数滤波器的传输极点和传输零点满足互为倒数的关系。 南京邮电大学硕士学位论文 第二章 滤波器设计基本理论 11 滤波器的阶数 n 确定后就确定了零点和极点的位置， s 是阻带等波纹的开始频率，并且当 n 为偶数时，mf sn ) (可以确定阻带的最小值 2.1.5 2.1.5 广义切比雪夫函数广义切比雪夫函数 椭圆函数响应相对于切比雪夫响应和最平坦响应来说，具有较好的带外抑制能力，但是 在滤波器的阶数确定的同时也确定了传输极点和零点的位置， 这就使得滤波器的设计固定化， 而广义切比雪夫函数在具有切比雪夫函数和椭圆函数的优点之外，还可以随意设置零点的位 置。 广义切比雪夫函数在通带和阻带内可以产生等波纹特性，其特性曲线和椭圆函数特性曲 线相似如图（2-8）其传输函数的幅度可以用式（2-21）表示7-11 )(1 1 | )(| 2 2 2 21 n c js (2-21) )( 1 1 n n nn xchchc （2-22） pn pn n x /1 /1 （2-23） pn 是广义切比雪夫函数的奇点，可以看作是)( n c的参变量，决定了函数奇点的位置，n 表 示奇点的个数，当所有的奇点都位于无限远处时，广义的切比雪夫函数退化为切比雪夫函数。 在 n 阶的交叉耦合谐振器构成的无耗二端口滤波器网络中，将其传输函数和反射函数分解为 两个多项式的比值关系表示为7-10 )( )( )( 11 n n e f s )( )( )( 21 n n e p s （2-24） 根据反余弦函数的公式，我们得到 )ln( 1 n n nnn bachc （2-25） 式中 nn xa 2/1 2 ) 1( nn xb然后可以得到 )ln(exp() )ln(exp( 2 1 nnnnn babac 南京邮电大学硕士学位论文 第二章 滤波器设计基本理论 12 )( 1 )( 2 1 1 1 n n nn n n nn ba ba （2-26） 对式（2-26）进行分母有理化得到 )()( 2 1 11 n n nn n n nnn babac （2-27） 根据式（2-22） 、 （2-25）得到 )1 ( )()( 2 1 1 11 n n pn n n nn n n nn n dcdc c （2-28） 其中 pn n c 1 2/1 2) 1 1 ( pn n d 2/12 ) 1( 根据式（2-21） 、 （2-24） 、 （2-28）我们得到 n n pn n p 1 )1 ( n n nn n n nnn dcdcf 11 )()( 2 1 （2-29） 2.22.2 频率变换频率变换 滤波器设计过程中，低通原型滤波器是设计的基础，可以通过反归一化方法，变换成任 意指标要求的低通滤波器。也可以通过频率变换设计高通、带通或带阻滤波器32。首先，通 过频率变换将高通、带通或带阻滤波器的衰减特性变换为对低通原型的衰减特性要求，设计 一个满足该衰减特性的低通原型；然后，进行反向的频率变化得到符合指标要求的滤波器。 频率变换即是将低通原型滤波器中的归一化的频率变量转变成实际要求的频率，是 频率变量之间的变换，和传输函数幅度是没有关系的。在转换的过程中，为把归一化阻抗转 变成实际阻抗，我们首先要定义一个转换系数 南京邮电大学硕士学位论文 第二章 滤波器设计基本理论 13 图 2-9 低通原型滤波器电路模型 0 。在已知归一化源阻抗1 0 g和滤波器的实际源阻抗 0 z或 0 y的前提下， 0 定义为 为电导当 为电阻当 0 0 0 0 0 0 0 g y g g g z （2-30） 理论上对低通原型网络元件的变换对应关系如式（2-31） ll 0 ， 0 /cc ，rr 0 ， 0 /gg （2-31） 2.2.12.2.1 低通到高通的转换低通到高通的转换 低通原型滤波器到实际低通滤波器的变换过程中涉及到的公式为 ) ( c c （2-32） 公式中 c 、分别是低通原型滤波器的截止频率和频率变量，、 c 分别是实际滤波器的频 率变量和截止频率。联合计算式（2-30） 、 （2-32）计算低通滤波器的元件值 gl c c 0 ) ( g表示电感值 0 ) ( g c c c g表示电容值 （2-33） 图 2-10 低通原型滤波器变换为实际的低通滤波器 南京邮电大学硕士学位论文 第二章 滤波器设计基本理论 14 2.2.22.2.2 低通到高通的转换低通到高通的转换 低通原型滤波器变换为实际的高通滤波器的变换公式为 cc （2-34） 公式中 c 、分别是低通原型滤波器的截止频率和频率变量，、 c 分别是实际滤波器的频 率变量和截止频率。这在低通原型滤波器衰减特性曲线0和的点变换成高通滤波 器的和0，这样经过变换后，低通原型滤波器的通带变为高通滤波器的阻带，低通 原型滤波器的阻带变为高通滤波器的通带。式中的负号是适应元件在变换过程中性质变化的 需要。由式（2-31 ）可以得到实际元件值的变换公式 g c cc0 1 ) 1 ( g表示电感值 g l cc 0 ) 1 ( g表示电容值 （2-35） 图 2-11 低通原型滤波器及其对应的高通滤波器 2.2.32.2.3 低通到带通的转换低通到带通的转换 低通原型滤波器到实际的带通滤波器的变换公式为 )( 0 0 fbw c （2-36） 0 12 fbw 210 （2-37） fbw是带通滤波器的相对带宽， 1 、 1 分别是带通滤波器的上下截止频率， 0 是带通滤波 器的中心频率。在转换的过程中，低通原型滤波器的串联电感支路变换为实际的低通滤波器 的串联谐振电路；并联电容支路变换为实际的低通滤波器的并联谐振电路20。如图 2-12 南京邮电大学硕士学位论文 第二章 滤波器设计基本理论 15 图 2-12 归一化的低通原型滤波器到实际的带通滤波器的转换 这一转变过程中的归一化的元件值和实际电路元件值的变换关系为式(2-38)、 （2-39） 串联电感支路： 0 0 0 0 k k k k g fbw zc fbw g zl （2-38） 并联电容支路： 0 0 0 0 k k k k g fbw zl fbw g zc （2-39） 图 2-13 低通原型滤波器及其对应的带通滤波器的响应曲线 2.2.4 2.2.4 低通到带阻的变换低通到带阻的变换 低通原型滤波器到实际的带阻滤波器的变换公式为 )( 0 0 fbw c （2-40） 其中fbw是带通滤波器的相对带宽， 0 是带阻滤波器的中心频率。由低通到带阻的变换同 由低通到带通的变换是一个相反的过程。在转换的过程中，低通原型滤波器的串联电感支路 变换为实际的低通滤波器的并联谐振电路；并联电容支路变换为实际的低通滤波器的串联谐 振电路20。其中归一化的元件值和实际滤波器的元件值之间的变换关系为 南京邮电大学硕士学位论文 第二章 滤波器设计基本理论 16 串联电感支路 ： 0 0 0 0 1 ck k ck k fbwg zl fbwg z c （2-41） 并联电容支路： 0 0 0 0 k k k k g fbw zl fbw g zc （2-42） 图 2-13 低通原型滤波器及其对应的带阻滤波器的响应曲线 2.3 2.3 倒相器倒相器 前面给出了滤波器的基本设计的原理， ，但是在用特定的传输线是此案滤波器时，往往希 望只用串联或并联元件，我们可以使用阻抗（k）或者导纳（j）倒相器来实现电路的等效。 阻抗和导纳倒相器在概念上的图示如图 2-14（a）这些倒相器本质上是使得负载阻抗或者导纳 形成反相，所以可以用来变换串联元件为并联元件，反之亦可 南京邮电大学硕士学位论文 第二章 滤波器设计基本理论 17 图 2-14 （a）阻抗倒相器和导纳倒相器,(b) 用四分之一波长变换器实现的倒相器 （c）传输线和电抗元件实现 （d）电容网络的实现 在上图中，输入阻抗 in z和负载阻抗 l z满足下面的关系式（2-43） ，阻抗倒相器是理想的 倒相器。同样，在输入导纳 in y和负载导纳 l y满足下面关系的条件下（2-43） ，导纳倒相器是理 想倒相器。 lin zkz 2 lin yjy 2 （2-43） 在利用倒相器达到微波滤波器的实现过程中，通常把抵用原型滤波器的元件实现间隔变换， 就是说在低通网络的元件之间加入倒相器，同时把网络中的串联电感元件变换为并联电容、 并联电容元件变换成串联电感，实现整个网络只包括一种元件的变换，使得微波滤波器的实 的容易21。如下图所示 图 2-15 加入倒相器的转换 南京邮电大学硕士学位论文 第二章 滤波器设计基本理论 18 （a）导纳变换器和并联电容构成的滤波器网络 (b) 阻抗变换器和并联电感构成的滤波器网络 图 2-16 阻抗和导纳变换器组成的滤波器网络 2.4 2.4 本章小结本章小结 本章主要给出了滤波器的基本设计理论及在利用集总参数模型设计滤波器过程常用的响 应函数和低通原型滤波器同实际频率滤波器之间的频率变换，为后面滤波器的设计实现提供 理论支持，其次简单介绍了倒相器的基本内容。 南京邮电大学硕士学位论文 第三章 耦合矩阵的综合与耦合参数的提取 19 第三章第三章 耦合矩阵的综合与耦合参数的提取耦合矩阵的综合与耦合参数的提取 3.13.1 耦合矩阵的综合耦合矩阵的综合 耦合矩阵的综合有很多的方法，但是最为常用的是部分分式展开法7-11，相对来讲，这种 方法在综合低通原型的元件值时的计算量小。 指定一有限零点带内回 波损耗滤波器阶数 s11(s)和s21(s)的表达式 y22(s)和y21(s)的表达式 阻抗矩阵 等效双端口网络模型 s11(s)、s21(s)响应曲线 用广义切比雪夫函数综合网络 传输零点 从网络特征函数导出短路导纳 参数 从短路导纳参数提取耦合矩阵 双端口网路参数及其相互转换 交叉耦合网络模型 包含源-负载耦合的耦合矩阵综合 幺正性 相关matlab程序 n阶耦合 阶耦合 耦合矩阵的相似变换 跨耦合引入有限零点的原理 amari的多项式递归方法 复零点改善群时延的原理 图 3-1 交叉耦合滤波器的综合流程图 南京邮电大学硕士学位论文 第三章 耦合矩阵的综合与耦合参数的提取 20 3.1.13.1.1 交叉耦合网络模型的分析（流程框图）交叉耦合网络模型的分析（流程框图） 图 3-2 n 阶交叉耦合滤波器等效电路模型 图 3-3 耦合结构二端口模型 我们知道，滤波器的传输零点是依靠不相邻谐振器之间的交叉耦合产生的，图 3-2 即为 交叉耦合滤波器的等效电路模型。而广义切比雪夫滤波器低通原型无法利用传统的梯形网络 来实现，只能在网络中加入交叉耦合27-28。根据 kirchhoff 定律，图 3-2 的各个谐振回路的电 压之和为零，从而得到各回路的电路方程 0) 1 ( 0) 1 ( ) 1 ( 2211 22 2 2121 12121 1 11 n n nnnn nn snn i cj ljriljilj ilji cj ljilj eiljilji cj ljr （3-1） 式中 jiij ll 表示谐振器之间的互感。假设耦合为电耦合，则式（3-1）可以表示为矩阵的形 式 南京邮电大学硕士学位论文 第三章 耦合矩阵的综合与耦合参数的提取 21 0 0 1 1 1 2 1 21 2 2 221 112 1 11 s n n nnnn n n e i i i cj ljrljlj lj cj ljlj ljlj cj ljr （3-2） 即可以表示为 eiz，其中z是nn阶阻抗矩阵。为计算简单起见，我们考虑同步调 谐，谐振器的谐振频率为lc/1 0 ，对阻抗矩阵进行归一化后式（3-2）可以表示为 zfbwlz 0 fbw 是相对带宽 （3-3） p fbwl r fbwl l j fbwl l j fbwl l jp fbwl l j fbwl l j fbwl l jp fbwl r z nn n n 0 1 0 2 0 1 0 2 0 21 0 1 0 12 0 1 11 11 11 （3-4 ） 其中)( 1 0 0 fbw jp ，此时我们定义外部品质因数 ni ql r ei i , 1 1 0 （3-5） ene qq 1 分别表示输入谐振器和输出谐振器的外部品质因数；接着定义耦合系数 l l m ij ij （3-6） 耦合系数 ij m表示互耦电感与谐振单元电感的比值， 其含义是耦合能量与谐振器内部能量的 比值，其值为正代表能量的流入，为负代表能量的流失22。而自耦合系数表示的是谐振器自 身谐振频率相对于滤波器中心频率的偏移。同时定义归一化的品质因数和耦合系数为 fbw m m nifbwqq ij ij eiei , 1 （3-7） 则式（3-4）可以表示为简化的形式 南京邮电大学硕士学位论文 第三章 耦合矩阵的综合与耦合参数的提取 22 p q jmjm jmpjm jmjmp q z en nn n n e 1 1 21 221 112 1 （3-8） 在现代的滤波器的设计中，这种交叉耦合网络已经得到充分的应用26 3.1.23.1.2 由广义切比雪夫函数综合出的耦合矩阵由广义切比雪夫函数综合出的耦合矩阵 由广义切比雪夫函数综合出耦合矩阵的过程是首先根据 2.1.5 章节的分析和推导， 得到式 （2-29） n n pn n p 1 )1 ( n n nn n n nnn dcdcf 11 )()( 2 1 的表达形式。然后将各个多 项式进行重新的组合得到导纳参数，再从导纳参数中提取出所需要的耦合矩阵，在分析的过 程中，显然滤波器 n f是由传输零点 n 构成的多项式。接下来对这一多项式进行分析。 )( )( 2 1 )()( 2 1 11 nn n n nn n n nnn gg dcdcf （3-9） 其中 ) 1 1 ( ) 1 ()()( ) 1 1