方阵与其分块方阵的特征值与特征向量之间的关系.doc

方阵与其分块方阵的特征值与特征向量之间的关系摘要：本文利用特殊方阵的分块矩阵,每一块的行和为常数时,构造一个阶矩阵,使得方阵的个特征值为的个特征值并给出了严格的证明.关键词：矩阵的分块;特征值引言在处理行列数较大的矩阵时,常把一个大矩阵看成是由若干小矩阵所组成的,而这些小矩阵就称为大矩阵的子块.用子块表示矩阵的方法称为矩阵的分块表示,这样可使原矩阵显得结构简单而清晰,也可简化运算过程.本文正是利用了这一点,讨论了方阵的阶分块矩阵与的特征值、特征向量之间关系.一. 预备知识：定义 设是阶方针,如果对于数,存在非零列向量,使关系式成立,则称为的一个特征值,称为的属于特征值的特征向量.定义 设,称为的特征矩阵.行列式,称为的特征多项式,称为的特征方程.定理 数是阶矩阵的特征值,当且仅当存在维列向量,使.其中是其次线性方程组的任一非零解.二. 主要结果： 先讨论阶矩阵的4分块矩阵,每一块的行和为常数时，构造一个2阶矩阵,再讨论矩阵和的特征值、特征向量间的关系.设矩阵,的分块如下：,其中且满足即矩阵的行和分别为常数.以的行和作矩阵的元素得对应一个2阶方阵：.以下证明的两个特征值一定是的特征值.设的两个特征值,对应的特征向量分别设为.则由定义1有,即,. 因此有 即所以是的一个特征值.而因为,所以列向量,所以这个向量为的属于特征值的特征向量.同理可证也是的一个特征值.所以的两个特征值一定是的特征值.（证毕）用特征值中的一个来说明一下,矩阵和的属于同一个特征值的特征向量间的关系.容易看出,矩阵的属于特征值的特征向量为,而向量是由的属于特征值的特征向量的个和个推广而成的.反过来,矩阵的特征值不一定是矩阵的特征值.因为矩阵有个特征值,而矩阵只有两个特征值.三. 算例：下面就用以上推导过程做一个简单例子.已知矩阵,对分块得一对应2阶方针.求的特征值：对应,解齐次线性方程组.由,得矩阵的属于特征值的一个特征向量.对应,解齐次线性方程组.由,得矩阵的属于特征值的一个特征向量.由定义1有,即现只对作分析,代入得.其线性方程组为因此有,即.所以为的特征值,且向量为矩阵的属于特征值的特征向量.同理可证也是矩阵的特征值,且对应的特征向量为.本文可以推广为一般情况定理 设为阶矩阵的阶分块矩阵,且每一块的行和都为常数，则的个特征值必为的特征值,且对应的特征向量可以扩为的特征向量.证明 若阶矩阵为:则可分块如下:, 其中已知每一块的行和都为常数.不妨设为根据行和为常数构造阶矩阵:.设的个特征值,对应的特征向量分别为.则由定义1有 , , 其中.代入得.因此可得线性方程组:. 即为的特征值,且对应的特征向量为. 到此已证明的个特征值必为的特征值，且对应的特征向量可扩为的特征向量.参考文献1 张禾瑞,郝鈵新编. 高等代数(5版)m. 北京:高等教育出版社,2007,6.2 王纪林编著. 线性代数m. 北京:科学出版社,2003.3 冯红编著. 线性代数大讲堂提高冲次版m. 大连:大连理工大学出版社,2005,8.the phalanx divides the relation of of a piece of characteristic value of phalanx and the characteristic vector with itabstract: this text makes use of special phalanx of cent piece matrix, each a cake of of go with is constant, construct a the rank matrix , make phalanx of the characteristic be worth for of the characteristic value combined to a stri