1.1.1 正弦定理(一) 学案（人教b版必修5）

第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理11.1正弦定理(一)自主学习 知识梳理1一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的_已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做_2在RtABC中，C90，则有：(1)AB_，0A90，0B90；(2)a2b2_(勾股定理)；(3)sin A_，cos A_，tan A_，sin B_，cos B_，tan B_；(4)_，_，_.3正弦定理：在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即_，这个比值是_ 自主探究已知ABC的三个内角A、B、C及对应的三边a、b、c，试用向量法证明正弦定理对点讲练知识点一已知两角和一边解三角形例1在ABC中，a5，B45，C105，解三角形总结已知一个三角形的三边和三内角这六个量中的三个量，其中至少有一个是边，可以求解其余的三个量变式训练1在ABC中，已知a2，A30，B45，解三角形知识点二已知两边及其中一边的对角解三角形例2在ABC中，a2，b6，A30，解三角形总结已知三角形两边和其中一边的对角，解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，根据该正弦值求角时，需对角的情况加以讨论变式训练2在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知A60，a，b1，则c等于()A1 B2 C.1 D.知识点三已知两边及其中一边的对角，判断三角形解的个数例3不解三角形，判断下列三角形解的个数(1)a5，b4，A120；(2)a9，b10，A60；(3)c50，b72，C135.总结已知三角形的两边及其中一边的对角，此类问题可能出现一解、两解或无解的情况，具体判断方法是：可用三角形中大边对大角定理，也可作图判断变式训练3不解三角形，判断下列三角形解的个数(1)a7，b14，A30；(2)a30，b25，A150；(3)a7，b9，A45.1利用正弦定理可以解决两类有关三角形的问题：(1)已知两角和任一边，求其它两边和一角(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角2已知两边和其中一边的对角，求第三边和其它两个角，这时三角形解的情况比较复杂，可能无解，可能一解或两解例如：已知a、b和A，用正弦定理求B时的各种情况.A为锐角absin Aabsin Absin Aab无解一解(锐角)课时作业一、选择题1在ABC中，下列等式中总能成立的是()Aasin Absin B Bbsin Ccsin ACabsin Cbcsin B Dasin Ccsin A2在ABC中，已知a18，b16，A150，则这个三角形解的情况是()A有两个解 B有一个解C无解 D不能确定3在ABC中，已知a8，B60，C75，则b等于()A4 B4 C4 D.4在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，如果ca，B30，那么角C等于()A120 B105 C90 D755在ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是()Ab10，A45，C70Ba30，b25，A150Ca7，b8，A98Da14，b16，A45二、填空题6在ABC中，AC，BC2，B60，则C_.7在ABC中，已知a、b、c分别为内角A、B、C的对边，若b2a，BA60，则A_.8在ABC中，ax，b2，B45，若三角形有两解，则x的取值范围是_三、解答题9在ABC中，若a2，A30，讨论当b为何值时(或在什么范围内)，三角形有一解，有两解或无解？10在锐角三角形ABC中，A2B，a、b、c所对的角分别为A、B、C，求的取值范围第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理11.1正弦定理(一)知识梳理1元素解三角形2(1)90(2)c2(3)(4)ccc3.三角形外接圆的直径2R自主探究证明(1)若ABC为直角三角形，不妨设C为直角如图所示，根据正弦函数的定义，sin A，sin B，所以c2R(2R为外接圆直径)C90，sin C1，c2R.2R.(2)若ABC为锐角三角形，过A点作单位向量i，则有：ii()ii，i，i0，ii，即ccos(90A)acos(90C)，csin Aasin C，.同理可证：；.(3)若ABC为钝角三角形，可仿(2)证明对点讲练例1解由三角形内角和定理知ABC180，所以A180(BC)180(45105)30.由正弦定理，得ba55；ca555()变式训练1解，b4.C180(AB)180(3045)105，c22.例2解a2，b6，ab，A30bsin A，所以本题有两解，由正弦定理得：sin B，故B60或120.当B60时，C90，c4；当B120时，C30，ca2.所以B60，C90，c4或B120，C30，c2.变式训练2B由正弦定理，可得，sin B，故B30或150.由ab，得AB，B30，故C90，由勾股定理得c2.例3解(1)sin Bsin 120，所以三角形有一解(2)sin Bsin 60，而1，所以当B为锐角时，满足sin B的角有60B90，故对应的钝角B有90B120，也满足ABsin C，所以B45，所以BC180，故三角形无解变式训练3解(1)A30，absin A，故三角形有一解(2)A15090，a30b25，故三角形有一解(3)A45，bsin 45ab，即AB，且A150，只有一解；对于C，ab，即AB，且A98，无解675解析由正弦定理，sin A.BC2AC，A为锐角，A45.C75.730解析b2asin B2sin A，又BA60，sin(A60)2sin A，即sin Acos 60cos Asin 602sin A，化简得：sin Acos A，tan A，A30.82x2解析因三角形有两解，所以asin Bb