2.3《数学归纳法》教案（1）

2.3数学归纳法教案（1）教学目标中国#教育出*版%网1、理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的证明步骤。2、通过数学归纳法的学习，体会用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明规律的途径。z&zs#tep.c*om教学重点、难点重点：借助具体实例了解数学归纳的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题。难点：学生不易理解数学归纳的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明；运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。教学过程：一、问题情景 情境1：已知数列的通项公式为。（1）求出其前四项，你能得到什么样的猜想？（2）你的猜想正确吗？来源:zz*ste%p. 情境2：对于数列，已知， 。（1）求出数列前4项,你能得到什么猜想？（2）你认为你的结论一定正确吗？如何证明猜想是正确的？是否用行之有效，有限的步骤进行证明呢？二、学生活动一般来说，与正整数n有关的命题，当n比较小时可以逐个验证，但当n较大时，验证就很麻烦。特别是n可取所有正整数时逐一验证是不可能的。因此，我们需要寻求一种方法：通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数都成立。1、了解多米诺骨牌游戏。可以看出，只要满足以下两条件，所有多米诺骨牌就都能倒下：来源%:*中教网&（1）第一块骨牌倒下；（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。来源:思考：你认为条件（2）的作用是什么？可以看出，条件（2）事实上给出了一个递推关系：当第k块倒下时，相邻的第k+1块也倒下。来源:这样，要使所有的骨牌全部倒下，只要保证（1）（2）成立。2、用多米诺骨牌原理解决数学问题。来源:zzst%*思考：你认为证明数列的通过公式是 这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？来源:分析： 多米诺骨牌游戏原理通项公式的证明方法（1）第一块骨牌倒下。（1）当n=1时a1=1，猜想成立（2）若第k块倒下时，则相邻的第k+1块也倒下。（2）若当n=k时猜想成立，即 ，则当n=k+1时猜想也成立，即 。根据（1）和 （2），可知不论有多少块骨牌，都能全部倒下。根据（1）和（2），可知对任意的正整数n，猜想都成立。三、数学构建1、数学归纳法的原理一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n0时命题成立；（2）（归纳递推）假设n=k()时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。来源:zzs%t&ep.#com只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立。上述证明方法叫做数学归纳法。用框图表示为：若n=k (kn0)时命题成立，证明n=k+1时命题也成立。验证n=n0时命题成立。来%源:中教网&归纳奠基 归纳递推 来源:ww#w%.zzstep.*命题对从n0从开始所有的正整数n都成立。注意：（1）这两步步骤缺一不可。 （2）用数学归纳法证明命题时，难点和关键都在第二步，而在这一步主要在于合理运用归纳假设，结合已知条件和其他数学知识，证明“当n=k+1时命题成立”。来源:中国教育出版*网&（3）数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都用数学归纳法证明，学习时要具体问题具体分析。www&.zz*step.co#m四、数学运用w&ww.zzstep.c%om1、例题例1、用数学归纳法证明：135（2n1）证明：(1)当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立.(2)假设当n=k时，等式成立，就是1+3+5+(2k1)=k2，那么1+3+5+(2k1)+2(k+1)1=k2+2(k+1)1=k2+2k+1=(k+1)2.来#源:&*中教%网n=k+1时也成立.由(1)和(2)，可知等式对任何nN*都成立.来源&:中教*#网例2、用数学归纳法证明：2+4+6+8+2n=n2+n+1(nN*)证明 ：假设当n=k时等式成立，即2+4+6+8+2k=k2+k+1(kN*)那么，当n=k+1时，有2+4+6+8+2k+2（k+1)=k2+k+1+2(k+1)=(k+1)2+(k+1)+1 ,因此，对于任何nN*等式都成立。例3、用数学归纳法证明：证明 当n=1时,左边= ,右边= ，此时，原等式成立。 假设n=k(kN*)时原等式成立 ，即 那么n=k+1时, 这就是说，当n=k+1时,命题也成立。 由 知,对一切正整数n,原等式均正确。 2、课堂练习1、已知三角形内角和为180，四边形的内角和为360，五边形的内角和为540，于是有：凸n边形的内角和为(n-2)180，若用数学归纳法证明，第一步验证n取第一个正整数时命题成立，则第一个正整数取值为 _ 32、用数学归纳法证明（a1），在验证n=1等式成立时 ，左边应取的项是_. 来源:3、用数学归纳法证明:(n+1)(n+2)(n+n)=2n 1 3(2n-1)时，在证明n=k+1时：左边代数式为 ，共有 项，从k到k+1左边需要增乘的代数式为 (k+1)+1(k+1)+2(k+